第三章 區域性風險分析方法測試
3.4 區域性風險分析方法模擬結果
依據表 3-2 五個分析案例所設定之參數統計特性，分別考慮 U-FOVE 與 M-FOVE 等兩種情況，可利用區域性風險分析方法計算各格網點安全係 數之期望值、標準差、相關係數以及區域穩定可靠度，茲就模擬結果分述 如下：
U-FOVE
圖 3-9 與圖 3-10 所示分別為格網點(2,4)最深處安全係數與壓力水頭期 望值隨時間之變化圖。圖中五個案例之變化曲線皆重合，其原因在於區域 性風險分析方法係使用一階二次矩法所建立，因此安全係數與壓力水頭之 期望值僅與各地質參數之期望值有關，而由於同一參數之期望值在五個案 例皆相等，因此五個案例所計算之安全係數與壓力水頭期望值均相同。
圖 3-11 所示為格網點(2,4)最深處安全係數標準差隨時間之變化圖。由 圖 3-11 可看出，隨著地質參數變異程度提高，安全係數之標準差亦逐漸增 加。而圖 3-12 所示為不同案例區域可靠度隨時間之變化情形，由圖中可發 現，整體而言五個案例之區域可靠度皆隨著降雨歷程而逐漸降低，而在第 36 小時前，地質參數於變異程度較高之案例其區域可靠度亦相對降低，然 而約在第36 小時後則呈現相反之趨勢，地質參數變異程度較高之案例其區
域可靠度反而相對增加。造成上述現象之原因在於安全係數之期望值約在 第36 小時由大於 1 降低至小於 1(圖 3-9)，當各點之安全係數期望值大於 1 時，由於地質參數變異程度越高之案例其安全係數之標準差越高，因此在 五個案例安全係數期望值皆相同下，參數變異程度越高之案例其安全係數 之機率密度函數小於 1 之面積越大，因此可靠度越低；相反地，當各點之 安全係數期望值小於 1 時，參數變異程度越高之案例其安全係數之機率密 度函數小於1 之面積越小，因此可靠度越高，此現象可以圖 3-13 加以表示。
而在安全係數之相關係數方面，圖 3-14 所示為格網點(1,1)與(1,2)以及 (1,1)與(3,4)間相關係數隨時間之變化圖。由圖中可發現相關係數於五個案例 均相同，且亦不隨時間而變化，此因本研究假設地質參數符合二階定常性，
因此安全係數之相關係數僅與格網點間之距離有關。
M-FOVE
針對修正地質參數統計特性之M-FOVE，圖 3-15 與圖 3-16 所示分別為 格網點(2,4)最深處安全係數之期望值與標準差隨時間之變化圖。由於凝聚 力修正後之期望值將會大於原始案例設定之值，且依據蘇歆婷(2007)安全係 數之大小與凝聚力呈線性正比之關係，因此圖3-15 中隨著地質參數變異程 度提高，安全係數之期望值亦逐漸增加。而在安全係數之標準差方面，其 仍隨者地質參數變異程度增加而增加，但在中高度與高度之案例中，其增 加之幅度則較U-FOVE 為緩。
圖 3-17 所示為不同案例區域可靠度隨時間之變化圖，整體而言五個案 例之區域可靠度皆隨著降雨歷程而逐漸降低，然相同案例下其區域可靠度 皆較U-FOVE 為高，其原因在於 M-FOVE 所計算之安全係數期望值與標準 差分別大於與小於U-FOVE 之計算結果。
3.5 區域性風險分析方法測試
3.5.1 多變量常態分佈假設探討
本節首先將藉由蒙地卡羅模擬結果分析單一格網點安全係數為常態分 佈假設之合理性，接著再進一步評估假設所有格網點安全係數之結合機率 密度函數為多變量常態分佈之適用性。
單一格網點安全係數機率密度函數
由模擬區域 12 個格網點中任取 4 點(1,1)、(1,2)、(2,4)與(3,4)，依照五 個不同案例將此四個格網點最後一個模擬時刻之 5,000 個安全係數繪製其 組體圖(histogram)，圖 3-18、圖 3-19 與圖 3-20 所示分別代表地質參數為高 度、中度與低度案例時之安全係數組體圖。由此三張圖可看出，當地質參 數變異程度不高時，安全係數之組體圖與常態分佈曲線幾近重合；而隨著 地質參數變異程度提高，取樣之參數出現負值之機率提高，利用前處理消 除負值之程序將使得接近 0 之安全係數出現次數增加，因此其組體圖在接 近0 之附近會出現突起，而在接近 1 及大於 1 之位置與常態分佈曲線重合。
由於安全係數以 1 作為判斷崩塌與否之指標，而無論地質參數變異程度如 何，在 1~∞之範圍安全係數組體圖皆與常態分佈曲線重合，由此可說明單 一格網點安全係數假設為具有常態分佈之合理性。
所有格網點安全係數結合機率密度函數
雖然前段已說明單一格網點安全係數之機率密度函數可假設為常態分 佈，然此並不代表所有格網點安全係數之結合機率密度函數為多變量常態 分佈，本研究將利用統計軟體 SYSTAT®中之多變量常態分佈測試模組繪製 Beta Q-Q plot，以檢視多變量常態分佈假設之合理性。
Beta Q-Q plot 為使用馬氏距離( Mahalanobis distance )計算各樣本之趨
勢與 Beta Quantile 呈現之理論常態分佈是否吻合於直線上，判斷樣本是否 偏離多變量常態分佈。以圖形來看，若資料點在圖上越接近45°直線，則越 符合多變量常態分佈。根據蒙地卡羅模擬所求得最後時刻 12 個格網點各 5,000 組之安全係數樣本，圖 3-21 與圖 3-22 所示分別代表地質參數為中度 與低度案例時之Beta Q-Q plot。由圖 3-21 至圖 3-22 可看出，當地質參數變 異程度較低時，12 個格網點各 5,000 組安全係數之資料利用馬氏距離計算 各樣本之趨勢，與常態分佈趨勢吻合。當變異程度提高時，Beta Q-Q plot 於上半部呈現些微偏離45°直線情形(如圖 3-23)，為探究其原因，將高度變 異程度時之案例分為兩部份:(1)凝聚力未經修正時所畫單點與結合機率之 常態分佈測試圖，以座標(3,4)所畫安全係數組體圖呈現與常態分佈曲線幾 近重合狀況(圖 3-24)，且結合機率密度函數呈現多變量常態分佈趨勢，如圖 3-25；(2)凝聚力經修正後之單點與結合機率之常態分佈測試圖，以圖 3-18 之點(3,4)來看，凝聚力經前處理後消除小於 0 部份，使安全係數資料計算 結果於 0 附近形成突起，而結合機率之常態分佈測試圖於上半部呈現偏離 現象(圖 3-23)。由於本研究所計算區域可靠度，即安全係數大於等於 1 之機 率，無論變異程度如何，範圍 1~∞皆與常態分佈曲線重合，如此可說明安 全係數之多變量常態分佈假設為合理。
3.5.2 一階二次矩法適用性探討
本節針對區域性風險分析方法與蒙地卡羅模式之計算結果進行比較，
並定義相對誤差為[(
FOVE
-MCS
) /MCS
] × 100%，其中FOVE
與MCS
分別 代表區域性風險分析方法與蒙地卡羅模擬之計算結果。以下就安全係數之 期望值、標準差、相關係數、以及區域可靠度與區域崩塌機率等進行探討。安全係數期望值
表3-3 所示為格網點(2,4)最深處於第 1 與第 45 個小時之安全係數期望
值計算結果。由表3-3 可看出，因
MCS
之凝聚力取樣值經過前處理，隨著 變異程度提高，MCS
所計算之安全係數期望值也會增加；而M-FOVE 亦同 樣對凝聚力之統計特性進行前處理，因此兩者計算結果相近。U-FOVE 因 不隨變異程度改變，因此在高度變異程度之案例其計算結果與MCS
差異較 大。以高度變異程度時安全係數期望值之相對誤差來看，M-FOVE 與
MCS
結果相近，雖然U-FOVE 比起 M-FOVE 之相對誤差為大，但最大相對誤差 仍不超過-4%(圖 3-26)，因此可說明一階二次矩法確實適用於計算安全係數 之期望值。安全係數標準差
表3-4 所示為格網點(2,4)最深處於第 1 與第 45 個小時之安全係數標準 差計算結果；圖 3-27 則為相對誤差變化圖。由表 3-4 與圖 3-27 可看出，
M-FOVE 與
MCS
之安全係數標準差計算結果非常相近，相對誤差最大不超 過-0.9%。另外在 U-FOVE 方面，因為其並未修正地質參數之統計特性，因此 U-FOVE 所計算之安全係數標準差皆超過
MCS
，且其相對誤差隨著變異程 度提高而有增加之趨勢。以高度變異程度來看，U-FOVE 與MCS
相對誤差 最多為10.3%。安全係數相關係數
在模擬區域內任取 3 個格網點(1,1)、(1,2)與(3,4)，進行相關係數之比 較。表 3-5 所示為格網點(1,1)與(1,2)，以及(1,1)與(3,4)第 45 個小時安全係 數之相關係數計算結果。圖 3-28 則為相對誤差變化圖。由表 3-5 與圖 3-28 可發現，因相關係數只與格網點間之距離有關，相距越近其相關係數越大，
因此U-FOVE 與 M-FOVE 之計算結果均非常接近
MCS
，相對誤差最大僅為2%。
區域可靠度與崩塌機率
表3-6 所示為第 1 與第 45 個小時之區域可靠度計算結果。圖 3-29 則為 相對誤差變化圖。整體而言，因 M-FOVE 經過地質參數統計特性前處理，
因此其區域可靠度與
MCS
之相對誤差較小；而 U-FOVE 與MCS
之相對誤 差最大達19.6%，由相對誤差來看兩者差異甚大，然由表 3-6 所列數值可知 U-FOVE 與MCS
之區域可靠度相減結果最大差距僅約 6%；若以區域崩塌 機率(即 1 – 區域可靠度，代表區域內任一格網點發生崩塌之機率)加以表 示，如表3-7 與圖 3-30 所示，則 U-FOVE 以及 M-FOVE 所計算區域崩塌機 率與MCS
之相對誤差最大僅約8.51%。小結
依據以上安全係數期望值、標準差、相關係數以及區域可靠度計算結 果之比較，可說明本研究應用一階二次矩法建立區域性風險分析方法之合 理性；此外由於U-FOVE 對於區域可靠度有較為低估之現象(相對誤差皆小 於 0)，為保守考量，本研究後續針對石門水庫集水區之實際應用時，將不 針對凝聚力之統計特性進行修正。