降雨引發坡地淺崩塌之區域性風險分析研究

國立交通大學

土木工程學系

碩士論文

降雨引發坡地淺崩塌之區域性風險分析研究

Investigation of Regional Risk Analysis for Rainfall-Triggered

Shallow Landslide

研 究 生 ： 林仙蕓

指導教授 ： 楊錦釧 博士

張胤隆 博士

降雨引發坡地淺崩塌之區域性風險分析研究

Investigation of Regional Risk Analysis for Rainfall-Triggered

Shallow Landslide

研

究

生： 林仙蕓 Student: Hsien-Yun Lin

指導教授： 楊錦釧

Advisor: Jinn-ChuangYang

張胤隆 Yin-Lung Chang

國 立 交 通 大 學

土 木 工 程 學 系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Civil Engineering

College of Engineering

Nation Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master

in

Civil Engineering

July 2008

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

降雨引發坡地淺崩塌之區域性風險分析研究

學生: 林仙蕓 指導教授: 楊錦釧 博士 張胤隆 博士 國立交通大學土木工程學系碩士班

摘要

降雨引致之淺崩塌為常見之大規模天然災害之ㄧ。以格網點為計算單 元並基於無限邊坡理論與可靠度分析所建立之邊坡穩定分析方法，由於具 有根基於力學基礎且同時考量地質參數不確定性等優點，近年來已廣泛地 應用於相關研究中(Baum et al. 2002)。然對於具數個格網點之分析區域而 言，多數研究皆僅探討各格網點之可靠度而忽略鄰近格網點之影響，並無 法定量地評估分析區域之整體崩塌潛勢，因此本研究將考慮各格網點間之 空間相關性，以系統之觀點提出區域可靠度之分析方法。 依據蘇歆婷(2007)，本研究選定凝聚力、摩擦角、土壤飽和單位重與飽 和水力傳導係數等為具不確定性之地質參數，並假設地質參數之空間變異 性符合二階定常性且共變異函數為指數型態據以計算各地質參數在不同格 網點間之相關係數。接著再以Tsai and Yang(2006)所發展之「降雨引發坡地 淺崩塌定率評估模式」為基礎，配合一階二次矩法計算各格網點安全係數 之統計特性，包含期望值、標準差與相關係數等。最後再假設安全係數之 結合機率函數為多變量常態分佈，進一步利用串聯系統之概念求解坡地穩 定之區域可靠度。 為了評估區域可靠度分析方法之正確性，本研究以假設之案例配合蒙 地卡羅模擬進行測試。測試結果顯示無論地質參數之不確定性程度為何，

安全係數之結合機率函數皆可合理地假設為屬於多變量常態分佈，且一階 二次矩法與蒙地卡羅模擬所計算之區域可靠度差異不大，顯示本研究利用 一階二次矩法評估區域性崩塌風險之合理性。 經測試後，本研究以石門水庫集水區進行實際案例之探討。模擬結果 顯示，相較於傳統僅計算單一格網點可靠度之邊坡穩定分析方法，本研究 所提出之區域可靠度因同時考慮區域內地質參數之空間變異性與各格網點 可靠度之分散程度，故更能呈現區域整體之崩塌趨勢。此外，依據區域可 靠度之不同，其亦可作為決策者擬定各區域治理工程優先順序之參考。

關鍵字:降雨引發坡地淺崩塌、二階定常性、一階二次矩法、區域可靠度

Investigation of Regional Risk Analysis for

Rainfall-Triggered Shallow Landslide

Student : hsien-Yun Lin Advisors : Jinn-Chuang Yang Yin-Lung Chang Department of Civil Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

Rainfall-triggered shallow landslide is one of the major natural hazards. Recently, the infinite slope theory combining reliability analysis was widely applied to assess the grid-based regional slope stability (Baum et al. 2002). The advantages of above method are based on sound physical mechanic and accounting the uncertainties of hydrogeological parameters, simultaneously. However, for a specified region consisting of several grid points, most researches accounted for the slope reliability of each individual point, and ignored the influence of its neighboring points, thus, the overall landslide potential for whole region cannot be quantified. In this study, a framework to evaluate the regional reliability during rainstorm event is presented which explicitly incorporating the spatial correlation between each grid points.

According to Su (2007), the cohesion (c), friction angle (φ), unit weight of saturated soil (γsat), and saturated hydraulic conductivity (Ksat) are considered as the random hydrogeological parameters in this study. Based on the assumption that the spatial variability of random hydrogeological parameters are second-order stationary with exponential covariance function, the spatial correlation of uncertain parameters between each grid points inside the pre-specified region are accounted firstly. From the “Rainfall-Triggered Shallow

Landslide Model” developed by Tsai and Yang (2006) along with the first-order second-moment method (FOSM), the statistical properties of safety factor (FS), including expectation, standard deviation, and correlation coefficients, are quantified. Furthermore, based on the assumption that the joint probability function for safety factors is multivariate normal distribution, the concept of “series system” is adopted to obtain the regional reliability (i.e. the reliability that all the grid points do not failure during rainstorm event).

To examine the accuracy of proposed framework, a hypothetical example is utilized. The examination is conducted through the comparison of the regional reliability calculated by the proposed framework and Monte Carlo simulation (MCS). The results indicate that the multivariate normal distribution assumption of safety factors and the FOSM are applicable for risk assessment of landslide, regardless of the uncertainties degrees of hydrogeologic parameters.

After the proposed framework has been examined,it is applied to the Shihmen reservoir watershed. From the application results, comparing with the traditional methods which determine the reliabilities for each individual grid points, the regional reliability is more suitable to assess the overall landslide potential for whole region because it incorporate the spatial variability of hydrogeological parameters and the spread of reliabilities among all the grid points simultaneously. Thus, the proposed framework could assist the engineers outline the management priorities for different regions according to various degrees of regional reliabilities.

Keywords: rainfall-triggered shallow landslide, second-order stationary, First-Order Second-Moment Method, regional reliability

誌

謝

承蒙恩師楊教授錦釧於生活上無微不至之照顧，並於研究期間之諄諄 教誨，僅此致上衷心謝忱。感謝張博士胤隆包容拙者於研究過程所犯之種 種錯誤並匡正拙者觀念之偏差，指引正確研究方向，俾使拙者順利完成論 文，至此獻上誠摯之謝意。感謝湯教授有光提供諸多寶貴意見，使拙者獲 益良多。於論文審查期間，感謝口試委員虞教授國興、黃教授文政及吳博 士祥禎惠賜卓見，精進本論文內涵，謹致萬分謝意。 再者，感謝東霖學長、德勇學長、夢祺學長、昇學學長、曉萍學姊、 世偉學長、環宇學長、秀容學姊、峰志學長、力瑋學長、昭文學長、弘恩 學長、仲達學長、浩榮學長、欣瑜學姐、宣汝學姊、歆婷學姐、建華學長、 宗明學長、雅婷學姐、柏宏學長、偉國學長及宥達學長，於各方面之指導 與幫助，尤其感謝歆婷學姐熱心相助與指點迷津。感謝同窗好友鏡如與拙 者度過艱澀之研究生活，於課業上相互切磋、指教，以及同學俊哲、冠顯、 仁凱、思廷、誠達與佑民在此愉悅相處兩年，亦感謝學弟妹全謚、歆淳、 振家與俊宏之諸多幫忙。 特別感謝家盛於程式撰寫上之細心指導，並且包容與支持我完成論 文。此外，感謝好友們睿彥、志椿、仲強、炫琦、彥廷、幸嬋、琮瑋、小 魚及冷媒在我意志消沉時，不間斷地為我打氣。 最後，感謝外婆、父親、母親、二姐、弟弟、cheese 以及在天上之外 公，謝謝你們的關愛與無悔付出，感激之情溢於言表，謹以此論文獻予你 們並分享我的喜悅與榮耀。

目

錄

摘要...I Abstract ...III 誌謝...V 目錄... VI 表目錄... IX 圖目錄...X 符號說明...XIII 第一章 緒論... 1 1.1 研究動機與目的... 1 1.2 文獻回顧... 2 1.2.1 邊坡穩定分析方法... 2 1.2.2 邊坡穩定可靠度分析... 4 1.2.3 系統可靠度... 7 1.3 研究方法... 8 1.4 章節介紹... 9 第二章 理論基礎及分析方法建置... 10 2.1 降雨引發坡地淺崩塌定率模式簡介... 10 2.2 區域性風險分析方法建立... 12 2.2.1 地質參數特性分析... 12 2.2.2 地質參數空間變異性分析... 14 2.2.3 安全係數統計特性及其空間變異性分析... 15 2.2.4 區域可靠度分析... 21 2.3 小結... 23

第三章 區域性風險分析方法測試... 24 3.1 案例設定... 24 3.2 蒙地卡羅模擬... 26 3.2.1 參數取樣方法與前處理... 26 3.2.2 參數取樣次數探討... 27 3.2.3 區域可靠度判定... 28 3.3 區域性風險分析方法輸入資料修正... 29 3.4 區域性風險分析方法模擬結果... 30 3.5 區域性風險分析方法測試... 32 3.5.1 多變量常態分佈假設探討... 32 3.5.2 一階二次矩法適用性探討... 33 3.6 區域可靠度之延伸應用... 35 第四章 應用案例探討分析... 38 4.1 石門水庫優先治理區... 38 4.1.1 區域選取... 38 4.1.2 分析方法設定... 38 4.1.3 砂崙仔模擬結果分析... 40 4.1.4 下文光模擬結果分析... 41 4.2 治理工程優先順序評估... 42 4.2.1 治理工程選擇與分析方法設定... 42 4.2.2 模擬結果與分析... 43 第五章 結論與建議... 45 5.1 結論... 45 5.2 建議... 47 參考文獻... 49

附錄A 拉丁超立方取樣方法... 55

表

目 錄

表2-1 地質參數統計特性整理表 ...59 表2-2 地質參數變異係數比較表 ... 60 表2-3 地質參數統計資料歸納 ... 60 表3-1 不同地質水平相關尺度資料彙整表 ... 61 表3-2 測試案例不確定性地質參數之變異性數表 ... 62 表3-3 格網點(2,4)安全係數期望值比較... 62 表3-4 格網點(2,4)安全係數之標準差比較... 63 表3-5 安全係數相關係數之比較 ... 63 表3-6 區域可靠度比較 ... 64 表3-7 區域崩塌機率比較 ... 64 表4-1 石門水庫集水區主要地層地質參數表 ... 65 表4-2 不同案例變異係數表 ... 65 表4-3 案例一總降雨量為200mm時砂崙仔之可靠度 ... 66 表4-4 案例二總降雨量為200mm時砂崙仔之可靠度 ... 66 表4-5 案例一總降雨量為200mm時下文光之可靠度 ... 67 表4-6 案例二總降雨量為200mm時下文光之可靠度 ... 68 表4-7 本研究選用三項二階段治理工程相關資料 ... 69 表4-8 治理工程位置與地層資料 ... 69 表4-9 案例一總降雨量為200mm時可靠度隨時間之變化 ... 70 表4-10 案例二總降雨量為200mm時可靠度隨時間之變化 ... 71 表4-11 案例一步同降雨量下第144個小時各工程之可靠度 ... 72

圖

目 錄

圖1-1 研究步驟流程圖 ... 73 圖2-1 研究方法建構流程 ... 74 圖2-2 降雨引發入滲之示意圖 ... 75 圖3-1 土體斜面示意圖 ... 75 圖3-2 模擬案例平面圖 ... 76 圖3-3 概念化降雨雨型示意圖 ... 76 圖3-4 高度變異程度時凝聚力取樣值組體圖 ... 77 圖3-5 低度變異程度時凝聚力取樣值組體圖 ... 77 圖3-6 參數取樣組數測試(凝聚力)... 78 圖3-7 參數取樣組數測試(飽和水力傳導係數)... 78 圖3-8 蒙地卡羅模擬流程圖 ... 79 圖3-9 格網點(2,4)不同案例安全係數期望值變化圖(U-FOVE) ... 80 圖3-10 格網點(2,4)不同案例壓力水頭期望值變化圖(U-FOVE) ... 80 圖3-11 格網點(2,4)不同案例安全係數標準差變化圖(U-FOVE) ... 81 圖3-12 不同案例區域可靠度變化圖(U-FOVE) ... 81 圖3-13 安全係數期望值與標準差對可靠度影響示意圖 ... 82 圖3-14 不同案例相關係數變化圖 ... 82 圖3-15 格網點(2,4)不同案例安全係數期望值變化圖(M-FOVE) .... 83 圖3-16 格網點(2,4)不同案例安全係數標準差變化圖(M-FOVE) .... 83 圖3-17 不同案例區域可靠度變化圖(M-FOVE) ... 84 圖3-18 高度變異程度各格網點安全係數組體圖 ... 84 圖3-19 中度變異程度各格網點安全係數組體圖 ... 85 圖3-20 低度變異程度各格網點安全係數組體圖 ... 85 圖3-21 中度變異程度案例多變量常態分佈趨勢檢測 ... 86

圖3-22 低度變異程度案例多變量常態分佈趨勢檢測 ... 86 圖3-23 高度變異程度凝聚力取樣經前處理之多變量常態分佈趨勢檢 測 ... 87 圖3-24 高度變異程度凝聚力取樣未經前處理之單點安全係數組體圖 ... 87 圖3-25 高度變異程度凝聚力取樣未經前處理之多變量常態分佈趨勢 檢測... 88 圖3-26 不同案例安全係數期望值與MCS之相對誤差 ... 88 圖3-27 不同案例安全係數標準差與MCS之相對誤差 ... 89 圖3-28 不同案例安全係數相關係數與MCS之相對誤差 ... 89 圖3-29 不同案例區域可靠度與MCS之相對誤差 ... 90 圖3-30 不同案例區域崩塌機率與MCS之相對誤差 ... 90 圖3-31 允許最多破壞點數之可靠度隨時間變化情形 ... 91 圖4-1 探討案例概念圖 ... 91 圖4-2 石門水庫集水區六大優先治理區分佈概況圖 ... 92 圖4-3 砂崙仔立體圖... 93 圖4-4 砂崙仔平面圖... 93 圖4-5 下文光立體圖... 94 圖4-6 下文光平面圖... 94 圖4-7 砂崙仔地層分佈 ... 95 圖4-8 下文光地層分佈 ... 95 圖4-9 砂崙仔地區(案例一)可靠度隨降雨量之變化... 96 圖4-10 砂崙仔地區，案例一之單點可靠度隨降雨量變化情形 ... 96 圖4-11 砂崙仔地區，兩案例之可靠度隨降雨量變化情形 ... 97 圖4-12 下文光地區單點可靠度隨降雨量之變化 ... 97

圖4-13 下文光，可靠度隨降雨量之變化 ... 98

圖4-14 三項治理工程現地位置 ... 98

圖4-15 編號16治理工程其可靠度隨降雨量之變化 ... 99

符號說明

a =相關尺度(Correlation Scale)； ( ) / Cψ =dθ ψd ； 0 C =土壤含水層隨壓力水頭之最小變化率； C=土壤凝聚力(Cohesion)； 0 C =土壤含水層隨壓力水頭之最小變化率；

[ ]

Corr ⋅ =相關係數矩陣(Correlation)；

[ ]

COV ⋅ =共變異數(Covariance)； COV=變異係數(Coefficient Of Variation)； D0=水力擴散度(hydraulic diffusivity)； Dx=水平間隔大小； Dy=垂直間隔大小； Z d =初始地下水位(Groundwater Table)； LZ d =坡地土層厚度；

[ ]

E ⋅ =平均值； FS=安全係數(Safety Factor)； g=重力加速度； H=平均水深； Iz=降雨強度(Rainfall Intensity)；

Ksat=飽和水力傳導係數(Hydraulic Conductivity)；

L=載重(Load)；

[ ]

P ⋅ =機率；

R=阻抗(Resistance)；

Td=降雨延時(Rainfall Duration)；

[ ]

Var ⋅ =變異數(Variance)； Z=垂向深度； α =邊坡坡度(Slop Angle)； β=下限； sat

γ =土壤飽和單位重(Saturated Unit Weight of Soil)；

w

γ =地下水單位重(Unit Weight of Ground Water)；

ε=三階以上之高階項； θ=土壤含水量；

[ ]

Φ ⋅ =累積標準常態分佈值； μ =期望值； σ =標準差； φ=土壤內摩擦角(Friction Angle)； ψ =地下水之壓力水頭(Pressure Head)； ΔK_sat=K_sat之微小增量； t Δ =時間間距； x Δ =距離； V=特徵向量(eigenvector)； Λ=特徵值(eigenvalue)組成之對角矩陣。

第一章

緒論

1.1 研究動機與目的

台灣屬於亞熱帶海島型氣候，年降雨量豐富但降雨分佈極不均勻，春 夏兩季多發生暴雨事件；此外山坡地面積約佔全島三分之二，除了地質條 件脆弱外，近年來隨著人口與經濟之發展，於平地資源有限下山坡地之開 發漸增，致使部份坡地水土失去涵養。凡此種種現象，使得降雨引致之淺 崩塌(shallow landslide)成為常見的大規模天然災害之一。坡地崩塌除了可能 危害山區農業經濟發展與道路交通建設，造成建築物毀損以及民眾生命財 產之損失外，崩塌後產生之大量土砂亦可能經由河川水力之運移而進入水 庫庫區，致使庫容減少降低水資源可利用量。以2004 年艾利颱風為例，石 門水庫集水區二日平均降雨量高達967 mm，造成大範圍崩塌與土砂災害， 不僅水庫泥砂淤積量增加 2,788 萬 m3，高濁度之原水亦迫使桃園地區短缺 供水達18 日。

為了預測坡地崩塌之潛勢，邊坡穩定分析(slope stability analysis)已廣泛 應用於評估坡地是否會因降雨而發生崩塌，而其中以無限邊坡理論(infinite slope)結合可靠度(reliability)分析所建立之方法由於具有根基於力學機制、 計算快速易於應用、以及考慮地質參數不確定性(uncertainty)等優點，近年 來已逐漸受到重視，其特點在於以小尺度(數十公尺)之格網點為基本單元 (grid-based)，計算每一格網點之可靠度。然實務上對於山坡地保育治理而 言，其通常關注於尺度達數公頃以上之區域(region)，在此情況下若能同時 考慮區域內各格網點之相關性，評估每一區域在降雨期間不致發生淺崩塌 之整體可靠度，則更能作為先期規劃(如工程位置與區域治理優先順序等) 或疏散預警之參考依據。

發坡地淺崩塌定率評估模式」，進一步考慮地質參數之不確定性與空間變異 性，建立以系統可靠度(system reliability)為考量之區域性風險分析方法，期 能作為管理單位災害預警或擬定治理工程優先順序之決策工具。

1.2 文獻回顧

1.2.1 邊坡穩定分析方法 一般而言，坡地崩塌之型式依其移動方式，可分為落石(fall)、翻覆 (topple)、滑動(slide)、側滑(spread)與流動(flow)等五種。而依據 Dai et al. (2002) 之研究，導致崩塌發生之影響因子可概分為兩類，即(1)潛在因子；(2)誘發 因子。 (1) 潛在因子(preparatory variables)：即存在於現實條件之中，驅使邊坡處於 臨界破壞之穩定狀況，包含地質構造、坡度、地質參數與植被等。 (2) 誘發因子(triggering variables)：致使呈臨界狀態之坡地發生實際崩塌，如 地震或降雨等。

依據Soeters and Van Westen (1996)及 Van Westen et al. (1997)之研究，邊 坡穩定之分析方法可歸納為(1)歷年資料判別法(2)經驗法(3)解析法，以下分 別針對此三方法作敘述。 歷年資料判別法(Landslide Inventory): 藉由地質調查，將影響邊坡穩定之因素以及可能的破壞方式，搭配已 變形之地質環境及其演化過程，建立歷年坡地崩塌破壞之資料庫，用以分 析區域坡地再發生崩塌之密度與頻率。由於僅依據過往資料作人為判定， 此方法無法定量(quantity)評估坡地是否會發生崩塌，因此，目前將歷年資 料判別法用作量化災害與風險評估之前置作業。Korup (2005)運用此方法於 紐西蘭西南方山區，進行崩塌面積在空間上分佈情形之調查。

經驗法(Heuristic and Statistical Method):

根據以往崩塌相關資料，包含潛在因子與誘發因子等，藉由多變量回 歸分析(multi-variables regression analysis)歸納出影響因子與邊坡穩定之相 關性，以建立簡單經驗公式，計算坡地是否會發生崩塌。

Carrara (1988)與 Carrara et al. (1992)曾利用多變量統計分析(multivariate statistical analysis)配合地理資訊系統(geographic information system, GIS)，依 據過往資料在區域內每一個格網上，對各項參數依破壞影響程度區分等 級，分析坡地崩塌之發生。Van Westen et al. (1993)利用雙變數統計法 (bivariate statistical methods)對各參數分別給定權重，並假設參數間相互獨 立，用以評估坡地是否發生崩塌。Hovius (1997)利用冪次法(power low)探討 崩塌之規模與頻率間之關係。而在國內相關研究方面，謝正倫(2002)引用打 荻珠男(1971)推導之經驗公式，研究霧社水庫集水區之土砂生產量，並參考 日本於集水區治理規劃上之經驗，推估單場暴雨造成崩塌地之土砂產量； 而陳樹群(2003)以環境影響評估時常用之方法篩選崩塌相關因子，並給予各 因子評分及權重方法，評估坡地是否會產生崩塌。 解析法(Deterministic Approach): 主要以力學為基礎，考慮邊坡塊體之力學平衡計算安全係數(safety factor, FS)，以評斷坡地是否會發生崩塌。Huang and Yamaski (1993)曾利用 有限元素法，計算出邊坡內任一位置之應力與應變值，並以應力場之局部 安全係數作為邊坡穩定之判別。Harp and Jibson (1995)指出降雨所造成之崩 塌多屬淺層邊坡滑動，因此若坡地水平向尺度遠大於崩塌深度，可假設平 面為無限邊坡滑動，用以推求靜態之安全係數。

Iverson (2000)利用一維垂向近似飽和 Richards 方程式之簡單解析解， 計算在不考慮超滲降雨作用下斜坡之入滲情形，並配合無限邊坡理論，建

立可模擬因地下水位上升引起之飽和含水層邊坡破壞分析模式。Iverson 模 式由於具有簡單且實用之特點，再加上美國地質調查所(U.S. Geological Survey, USGS)於 2002 年將其擴充包裝後(Baum et al., 2002)，Iverson 模式已

被許多研究採用為降雨引發坡地淺崩塌之模擬工具，例如 Baum et al.

(2002)、Crosta and Frattini (2003)、Keim and Skauqset (2003)、Baum et al. (2003)、Frattini et al. (2004)、Lan et al. (2005)以及 Shou et al. (2005)等。

Iverson 模式為了方便求得壓力水頭之解析解，假設土壤之入滲能力在 降雨過程中皆等於飽和水力傳導係數，Tsai and Yang (2006)進一步考慮土壤 入滲能力之時變效應，以有限元素法(finite-element method)求解非線性系 統，提供較準確之入滲估計量，增加模式之精確度。 小結 學理上而言，經驗法比起解析法較為不嚴謹，但是具有簡單性，因此 廣泛應用於大範圍集水區尺度之坡地崩塌分析之中。然而經驗法不包含力 學上之涵義，分析出之結果常因主觀意識而有所差異，導致應用上具有地 區性之限制。反觀解析法因依循嚴謹之力學基礎，具有通用性與客觀性， 不受區域之限制與人為因素影響。然對於解析法而言，其最大之應用限制 在於需事先了解詳細之地質條件，始能獲得符合現地之模擬結果。 1.2.2 邊坡穩定可靠度分析 參數不確定性 傳統上以計算安全係數為主之解析法，是一種有效之工程實用方法， 然在實際應用上有時會存在相當之困難度，原因在於大量地質參數資料取 得不易、難以確定潛在滑動面與地下水壓力監測資料不易取得等因素，導 致 分 析 為 安 全 之 坡 地 實 際 上 卻 發 生 崩 塌( 或 相 反 ) 。 Alonso (1976) 與 Vanmarcke (1977)提出地質參數之不確定性在邊坡穩定分析中，對模式之預

測有重大影響。Baecher (1985) 指出，由於採用固定安全係數並無直接處理 不確定因素之變異量，使得每個估計量(estimate)趨於保守，以致很難明確 了解真正之安全係數。羅文強(1999)說明由於邊坡系統的複雜性、模糊性等 特點，無法得到其確定解與最佳解，因此不適用定率(deterministic)方法來描 述，認為理想方式為基於數學模式及機率模式相結合而求得滿意解。 Chowdhury(1984)、Christian et al. (1992)與 Mostyn and Li(1993)皆提出 機率分析所提供之資訊，即坡地崩塌之可靠度有助於設計者評估各項方案 並進行策略規劃。Morgenstern (1997)更進一步說明因場址地理性質、地質 參數、分析與設計中包含種種不確定性，故透過可靠度分析方法，可以了 解地質參數之不確定性對崩塌問題所造成的影響程度。 可靠度分析方法 隨著準確度、所需之統計資料與問題複雜度之不同，可靠度分析方法 亦有所不同。理想方法為利用解析法推導邊坡穩定分析模式輸出值(通常為 安全係數)之機率密度函數(probability density function, PDF)，然此方法之缺 點包含(1)須先行了解模式輸入參數之完整統計特性；以及(2)當模式具非線 性(nonlinear)之特性或不為顯示(explicit)之數學式時，往往極難推導輸出值 之機率密度函數。由於以上兩項缺點，導致解析法在實用上受到相當大之 限制，工程實務上常以近似法(approximation methods)或蒙地卡羅(Monte Carlo Simulation, MCS)作為可靠度之分析方法。

在近似法中，一階二次矩法(first-order second-moment, FOSM)為較常運 用於坡地穩定之可靠度分析方法，為Meyer 於 1926 年建立，Cornell(1969) 將此法應用到工程系統上，其藉由泰勒級數展開模式，並忽略展開式中二 階以上之高階項，因此僅需知道各具不確定性參數之期望值(expectation)、 變異數(variance)及共變異數(covariance)，即可推求模式輸出值之統計特 性。一階二次矩法雖具有計算快速之優點，然其捨棄二階以上之高階項，

當模式非線性程度或參數之不確定性提高時，所求之結果會產生較大之誤 差。

應用一階二次矩法分析邊坡穩定可靠度之研究包括 Wu and Kreft

(1970)、Cornell (1971)、Li and Lumb (1974)、Alonso (1976)、Tang et al. (1976)、Venmarcke (1977)、Wolff (1985)、Barabosa et al. (1989)及 Christian et al. (1994)等，然而大部分研究僅探討土壤凝聚力(cohesion)與摩擦角(angle of friction) 之 不 確 定 性 於 地 下 水 位 呈 穩 態 (steady state) 時 對 邊 坡 之 影 響 ， Sivakumar Babu and Mukesh (2003)進一步考慮壓力水頭之不確定性，分別探 討穩態與地震時，喜馬拉雅山區邊坡穩定之可靠度，研究指出壓力水頭之 微小變化對邊坡穩定造成很大之影響。而對於降雨引發之淺崩塌，蘇歆婷 (2007)依據 Tsai and Yang (2006)所發展之數值模式，首先利用敏感度分析 (sensitivity analysis)獲得水力傳導係數(hydraulic conductivity)對於坡地發生 淺崩塌之時間有重要影響之結論，接著再以一階二次矩法建立考慮凝聚 力、摩擦角與水力傳導係數不確定性之「降雨引發坡地淺崩塌風險評估模 式」，用以計算降雨期間坡地穩定可靠度之變化，並將所發展模式應用於石 門水庫集水區之砂崙仔地區。 蒙地卡羅模擬法藉由統計取樣之技巧，重複執行邊坡穩定分析模式， 以獲得模式輸出之樣本(sample)，再利用此樣本推估模式輸出值之統計特 性。而執行蒙地卡羅時須事先了解具不確定性參數之機率密度函數，才能 利用取樣技巧製造樣本，而樣本數之大小與其不確定性程度有正相關，取 樣之樣本數越多，模式計算出之結果更符合現地情況，但亦同時增加計算 時間。Hoek (1998)利用蒙地卡羅模擬法，考慮地質條件、張力裂縫深度、

地下水位高度與水平地震力等參數之機率分佈，針對Sau Mau Ping 處之公

路進行邊坡危險程度之評估。而國內研究方面，王建峰(2001)經由現地調查 與室內試驗，獲得影響邊坡穩定性因子之相關資料，隨後進行統計分析，

求出影響因子各自之機率分佈及其特徵參數，再利用蒙地卡羅模擬法針對 九份二山順向坡之殘土作再滑動之風險評估。Liu and Wu (2007)利用 USGS 所擴充包裝之Iverson 模式(Baum et al., 2002)配合蒙地卡羅模擬，分析南投

武界之坡地降雨淺崩塌機率，並以2001 年桃芝颱風後實測崩塌地進行模擬 結果比較。 針對一階二次矩與蒙地卡羅模擬於坡地崩塌可靠度分析之差異，Husein Malkawi et al. (2000)利用極限平衡法計算坡地之安全係數，並考慮凝聚力、 土壤飽和單位重與摩擦角為具不確定性參數後，利用一階二次矩法與蒙地 卡羅模擬法計算邊坡穩定之可靠度，結果顯示當輸入值與輸出值間為顯式 關係時，兩種方法之差異甚小。Chen et al. (2007)考慮土壤孔隙率、摩擦角、 凝聚力、土層厚度、地表水深及坡度為具不確定性之參數，利用一階二次 矩法與蒙地卡羅模擬法計算完全飽和之無限邊坡穩定可靠度，結果顯示當 參數為常態分佈時，兩方法求得之結果僅微小差異。蘇歆婷(2007)蒐集過往 相關研究資料，整理地質參數之可能範圍，並指出無論地質參數之不確定 性程度為何，一階二次矩皆可獲得接近於蒙地卡羅模擬之可靠度分析結 果 ， 且 安 全 係 數 之 機 率 密 度 函 數 可 合 理 地 假 設 為 常 態 分 佈(normal distribution)。 1.2.3 系統可靠度 由1.1 節之敘述可知，當山坡地治理關注於尺度達數公頃以上之區域性 崩 塌 問 題 時 ， 區 域 可 靠 度 通 常 更 能 表 達 區 域 整 體 之 崩 塌 潛 勢 。 依 據 Chowdhury and Xu (1995)對單一邊坡系統可靠度之敘述：「邊坡系統可靠度 除了與每一種破壞型式之可靠度有關外，亦受不同破壞型式彼此間之相關 性影響」；因此以相同之概念，若將區域性崩塌問題定義為一個系統，則針 對以格網點為基本計算單元之「無限邊坡理論結合可靠度分析」方法而言， 系統(或區域)可靠度將受區域內每一格網點各自之可靠度以及格網點彼此

間之相關性所影響。若區域內僅具有一個格網點，則系統可靠度即為該格 網點之可靠度；然受限於地形或地質條件於空間分佈上之變異性，格網點 大小通常不宜超過數十公尺，例如蘇歆婷(2007)與 Liu and Wu (2007)分別採 用40 m × 40 m 與 10 m × 10 m 之格網大小，在此情況下系統可靠度之評 估將趨於繁複，付兵先(2006)即曾依據隨機場(random field)理論描述土壤參 數之空間變異性，並指出參數之相關性對可靠度分析具不可忽視之重要性。 考慮地質參數空間相關性之系統可靠度分析常見於地下水管理之相關 研究，例如Chan (1994)以及 Feyen and Gorelick (2004)曾探討不同地下水整 治方案下，整治區域內各控制點(control point)地下水汙染物濃度均小於標準 值之可靠度；而Chang et al. (2007)直接考慮地層下陷量建立地下水量管理 模式，其應用結果顯示，即使各別控制點地層下陷量小於要求值之可靠度 皆超過 90%，但所有控制點地層下陷量皆小於要求值之系統可靠度則可能 遠低於90%，且與地質參數變異程度(variability)有關。 而在邊坡穩定相關研究方面，多數研究探討的是單一邊坡考慮各種潛 在破壞面下之系統可靠度，而非考慮各格網點崩塌機率之區域性問題。 Chowdhury and Xu (1995)利用極限平衡法與一階二次矩法同時考慮堤岸 (embankment)各種潛在之弧形破壞面位置及其破壞機率，並據以計算堤岸整 體之系統可靠度，其指出傳統上僅將最低可靠度所在深度視為滑移表面並 不適當，且系統可靠度低於所有潛在破壞面之可靠度。

1.3 研究方法

由前節之敘述可知，過往邊坡穩定可靠度分析之研究僅計算單一格網 點之可靠度，而未考量地質參數在空間上之相關性以及區域之整體可靠 度。考量 FOSM 具有計算快速之優點，且在邊坡穩定可靠度分析上與蒙地

卡羅模擬差異不大(蘇歆婷，2007)，故本論文將以 Tsai and Yang (2006)所發 展之「降雨引發坡地淺崩塌定率評估模式」計算坡地之安全係數，同時分

析地質參數之不確定性與空間變異性，進一步利用 FOSM 評估不同格網點 安全係數之統計特性與相關性，建立「降雨引發坡地淺崩塌之區域性風險 分析方法」，以求解坡地穩定之區域可靠度。分析方法建立後將利用虛擬案 例進行模擬並與蒙地卡羅模擬法進行比較，以測試 FOSM 之適切性與分析 方法建立之合理性，最後再將所發展分析方法應用於石門水庫集水區，以 展示其在山坡地治理工程規劃之價值，研究流程如圖1-1 所示。

1.4 章節介紹

本論文分為五章，其整體架構如下所述： 第一章為緒論，闡述本論文之動機與目的，並回顧相關研究之進展。 第二章為理論基礎及分析方法建置，簡要概述「降雨引發坡地淺崩塌定率 評估模式」之理論，並詳述區域性風險分析方法建立之步驟與理論。第三 章為區域性風險分析方法測試，藉由與蒙地卡羅作比較，探討可靠度分析 方法之適用性與分析方法建立之正確性。第四章為應用案例探討分析，展 現分析方法運用於評估治理優先順序之實用性。第五章為結論與建議，針 對本論文作综合性探討，並提出未來可進行研究之方向與建議。

第二章

理論基礎及分析方法建置

本章節敘述分析方法理論及建構流程，如圖 2-1。

2.1 降雨引發坡地淺崩塌定率評估模式簡介

對於一般豪雨所引發之坡地崩塌，大多以淺層崩塌為主，在評估淺層 崩塌之可能性時，利用無限邊坡理論所建立之邊坡穩定分析模式已廣泛地 被採用。無限邊坡理論乃假設坡地之破壞面平行於坡面，且崩塌深度遠小 於坡地之縱向長度與寬度，如圖 2.2 所示，並依據莫爾庫侖破壞準則

(Mohr-Coulomb failure criteria)，以力平衡概念計算安全係數，作為判別坡地 是否發生崩塌之依據，為一種簡易邊坡穩定分析方法。 邊坡破壞之標準可定義為對系統的載重(loading, S)超過系統阻抗能力 (resistance, R)，應用於無限邊坡穩定分析時，土層重力所產生之下滑力與土 壤剪力強度(抗剪強度)分別代表上述之載重與系統阻抗能力，當土層中某一 臨界面其抗剪強度降低至小於下滑力，或其下滑力增加至大於抗剪強度， 即產生邊坡斜面之滑動破壞。因此判定邊坡穩定之作業函數(performance function)可以兩種形式表示：(1)土壤抗剪強度(R)與下滑力(L)之比值，即為 安全係數(FS)，當 FS 小於 1 時即代表坡地發生崩塌；(2)土壤抗剪強度(R) 減下滑力(L)，當其小於 0 時代表發生崩塌。上述兩種型式中，因為FS 為無 因次，故為一般工程上常使用之邊坡穩定判定方式。 利用莫爾庫侖理論所發展之無限邊坡穩定分析，配合時變壓力水頭之 計算即可估計降雨入滲是否引發崩塌。安全係數計算方式可表示如下： tan ( , ) tan

tan sin cos sin cos

w sat sat z t c FS Z Z ψ γ φ φ α γ α α γ α α × × = − + × × × × × × (2.1) 其中， 為安全係數；

φ

為土壤內摩擦角；α 為坡度；

ψ

(z, t)為第 t 時刻位 於地表下z公尺處之壓力水頭(pressure head)(L)；γw與 γsat分別為地下水與飽

和土壤之單位重(ML-2T-2)；Z為垂向破壞深度(L)；c 為土壤凝聚力(ML-1T-2)。 降雨引發入滲之示意圖如圖2-2。 在式(2.1)中壓力水頭之計算方面，假設土壤趨於飽和，坡地因降雨而 產生入滲之控制方程式可表示為 2 2 0 cos 2 D t Z ψ _α ψ ∂ _{= × ×}∂ ∂ ∂ (2.2) 0 0 = Ksat D C (2.3) 式中，Ksat為飽和水力傳導係數(LT-1)；C0表示C(ψ)之最小值，而 C(ψ) = dθ / dψ，表示含水量(θ)與壓力水頭之比值。求解式(2.2)入滲控制方程式所需之 初始條件及邊界條件如下： 初始條件 2 ( , 0) (z z d_z) cos ψ = − × α (2.4) 式中，dz為初始地下水位(L)。 邊界條件 假設土層底部為一不透水邊界，則邊界條件可寫成： 2 ( , ) cos LZ d t Z ψ _α ∂ ₌ ∂ (2.5) 上式中，dLZ為坡地土層厚度(L)。 而在土層表面邊界條件方面，考量土壤入滲能力時變現象，首先假設 降雨完全入滲，也就是入滲能力大於降雨強度，因此壓力水頭分佈可寫成： 2 (0, ) cos (0, ) 0 ψ _{α ψ} ∂ _{= − + ≤ <} ∂ Z d sat I t if t and t T Z K (2.6)

其中，Td為降雨延時(rainfall duration)；IZ為降雨強度(rainfall intensity)。若 壓力水頭在降雨延時內皆為小於或等於零，表示完全入滲的假設正確，並 逐次計算下一時距；若壓力水頭大於零，表示產生窪蓄(pounding)現象，即 降雨並非完全入滲，而模式不考慮窪蓄所造成漫地流(overland flow)的情 況，因此改變地表邊界條件形式為： (0, ) 0t if (0, ) 0t and t T_d ψ = ψ > < (2.7) 若時間超過降雨延時，壓力水頭則隨坡度而變化： 2 (0, ) cos _d t if t T Z ψ _α ∂ _{= >} ∂ (2.8) 由於地表面降雨入滲邊界條件為非線性型式，無法利用解析方式求解 壓力水頭，因此Tsai and Yang (2006)利用有限元素法建立數值計算式，提高 模式之準確度。

2.2 區域性風險分析方法建立

2.2.1 地質參數特性分析 邊坡穩定分析之成果與各項地質參數息息相關，受限於調查工作之困 難，全面而完整之地質參數資料勢不可得，使得定率模式之輸入參數具有 一定程度之不確定性存在，故邊坡穩定分析結果亦存在不確定性。因此風 險分析方法建立之第一步即在分析各項地質參數之統計特性及其對安全係 數之影響，以決定何項參數需視為風險因子(risk sources)。 由2.1 節「降雨引發坡地淺崩塌定率評估模式」之簡介可知，定率模式 中所包含之地質參數共有飽和水力傳導係數(Ksat)、C0、土壤飽和單位重 (γsat)、凝聚力(c)與摩擦角(

φ

)等，蘇歆婷(2007)曾彙整過往邊坡穩定分析相關 研究中之地質參數資料，並利用敏感度分析探討對邊坡穩定具有重要影響

之參數，本研究將參考其研究成果，作為後續分析方法建立之依據，茲摘 錄部分內容如下。 參數不確定性程度分析 不同之輸入參數其不確定性亦有差異，將不確定性相當低之參數納入 風險分析之考量因子不僅對分析結果無益，且將大幅增加風險分析方法之 複雜度。針對上述五個地質參數，由Iverson (2000)之應用案例設定可知C0 之變異程度極小且可加以忽略；而依據過去相關研究，飽和水力傳導係數 (Ksat)、土壤飽和單位重(γsat)、凝聚力(c)與摩擦角(

φ

)等地質參數之統計特性 可歸納整理如表2-1 與表 2-2 所示。 依據表 2-1 與表 2-2 顯示，飽和水力傳導係數與凝聚力之變異程度最 大，其中lnKsat之標準差變化範圍廣達0.4~2.6，凝聚力之變異係數(coefficient of variation, COV)最大可達 0.9(即期望值之 0.9 倍)；而土壤飽和單位重相對 而言其變異係數較小，但亦可達0.1。 另外在參數之機率密度函數方面，Gelhar (1993)指出飽和水力傳導係數 可假設為對數常態分佈(log-normal)；而多數研究皆假設凝聚力與摩擦角為 常態分佈。

依據Chowdhury and Xu (1993)、Christian et al., (1994)與 Husein Malkawi et al., (2000)之研究，土壤飽和單位重、凝聚力與摩擦角間之相關性相當小 而可加以忽略；Chen et al., (2007)指出雖然凝聚力以及摩擦角與地下水位有 關，但在地質參數間相關性資料缺乏之情況下，可合理視為相互獨立。故 本研究假設土壤飽和單位重、凝聚力、摩擦角與飽和水力傳導係數間相互 獨立，而無相關性存在。 參數敏感度分析 蘇歆婷(2007)曾分別利用局部(local)與整體(global)敏感度分析，探討土

壤飽和單位重、凝聚力、摩擦角與飽和水力傳導係數之變化對安全係數之 影響。依據其研究成果顯示，若僅考慮穩態情況，則土壤飽和單位重、凝 聚力與摩擦角之改變均對安全係數造成相當程度之影響，而其中安全係數 對摩擦角之變化最為敏感，凝聚力次之，且兩者皆與安全係數呈正相關， 土壤飽和單位重則與安全係數呈線性負相關。若考慮降雨入滲之動態情況 (transient state)，則飽和水力傳導係數與安全係數間具有高度之非線性相 關，當飽和水力傳導係數介於10-4 ~ 10-7 m/sec 間時，其對壓力水頭與安全 係數之時變性具有非常重大之影響。 小結 綜合以上地質參數不確定性與敏感度分析之相關研究結果，吾人可歸 納摩擦角、凝聚力與土壤飽和單位重之不確定性對邊坡穩定影響較大，而 飽和水力傳導係數則影響壓力水頭之時變性以及坡地破壞發生之時刻，因 此本研究於分析方法建立時將考量土壤飽和單位重、摩擦角、凝聚力與飽 和水力傳導係數為風險因子。 2.2.2 地質參數空間變異性分析 由於地質環境演變過程複雜，造就地質狀況於空間上呈現異質性 (heterogeneity)之特質，或稱其具有空間變異性(spatial variability)。傳統上地 質 參 數 之 空 間 變 異 性 分 析 皆 假 設 符 合 二 階 定 常 性(second-order stationary)(Cressie, 1993)，代表具空間變異性之隨機變數其期望值於空間內 任一點皆相等，且空間內任兩點之共變異數(covariance)僅與兩點間之距離 以及方向有關，而與兩點所在之位置無關，以數學形式表示則為： E X s

[

( )

]

=μ_X (2.9)

[

( ), ( )1 2

]

( 1 ) Cov X s X s =C s −s₂ (2.10)

其中，E[]與Cov[]分別代表期望值與共變異數運算子(operator)；X為具空間 變異性之地質參數；s表示空間內之點位；

μ

X為X之期望值；C為定常共變

異函數(stationary covariance function)。若C(|s1 – s2|)僅為兩點距離絕對值之 函數，則稱此共變異函數具有等向性(isotropic)。

於實際案例之應用時，由於地質參數之異質性造成期望值往往不是定 值，而會隨著不同位置而改變，本研究利用水平地質分區之概念，假設同 一地層之凝聚力、摩擦角、土壤飽和單位重與對數水力傳導係數等參數其

空間變異性符合二階定常性且定常共變異函數為指數型態(Wagner and

Gorelick, 1989; Mylopoulus et al., 1999)，而不同地層則為線性獨立，亦即共 變異數等於零，則同一地層內，式(2.9)與式(2.10)可改為：

[ ]

X X E =μ (2.11)

[

]

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Δ − × = X j i X j i a x X X Cov _{, σ}2 _exp , _(2.12) 其中，i 與 j 代表空間中點位；X 可代表凝聚力、摩擦角、土壤飽和單位重 或對數水力傳導係數；

μ

X與

σ

X分別為期望值與標準差；|Δxi, j|表示點 i 與點 j之距離；aX為水平相關尺度(correlation scale)。 對於區域內任兩點而言，只要知道不同地層其地質參數之期望值、標 準差以及相關尺度，則該兩點間地質參數之共變異數即可由式(2.11)與式 (2.12)獲得。 2.2.3 安全係數統計特性及其空間變異性分析 依據前節地質參數空間變異性之探討，本節將利用一階二次矩法分析 安全係數之統計特性及其空間變異性。 安全係數期望值

假設分析區域內共有K個格網點，若作業函數f之輸出FSK×₁受 N項地 質參數XN, K所影響，則 FSK×₁可表示為：

[

1

]

(

,

)

1,1 1, ,1 , , K T K N K N N X X FS FS f f X X _K ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = _{= ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ FS … X (2.13) 由式(2.1)安全係數之計算式可知，任一格網點之安全係數僅與該格網 點之地質參數有關，而與其他格網點之地質參數無關，因此對任一格網點k 其安全係數FSk可由式(2.13)簡化如下：

(

Nk

) (

k Nk

)

k f f X X FS = X _, = _1, ,…, _, (2.14) 將FSk以泰勒級數(Tayler series)在 x0 = (x1, k ,…, xN, k)展開，可得下式：

(

)

(

)

(

)

0 0 0, , 0, 1 , 2 , 0, , 0, 1 1 , , 1 2 N k k n k n k n n k N N i k i k j k j k i j i k j k f FS FS X X X f X X X X X X ε = = = ⎛ _∂ ⎞ = + ⎜_⎜ ⎟_⎟ − + ∂ ⎝ ⎠ ⎛ _∂ ⎞ − × − + ⎜ ⎟ ⎜_{∂ ∂} ⎟ ⎝ ⎠

∑

∑∑

x x (2.15) 其中，FS 0, k = f(x0)；ε代表三次以上之高階項。若忽略式(2.15)中二次以上 之高階項，則可進一步簡化為：

(

∑

= − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ≈ N n k n k n k n k k X X X f FS FS 1 , 0 , , , 0 0 x

)

(2.16) 式(2.16)為線性方程式，因此依據線性組合(linear combination)原理，FSk 之期望值可表示為：

[ ]

_∑

(

= − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ≈ N n k n X k n k k X X f FS FS E _nk 1 , 0 , , 0 , 0 μ x

)

(2.17) 其中，

μ

X n,k為第k 格網點第n項地質參數之期望值。當展開點為

(2.18) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = K N N k X X X X X , 1 , , 1 1 , 1 0 μ μ μ μ μ x 將式(2.1)代入式(2.17)，則各格網點安全係數之期望值可表示為：

[ ]

[

]

T K FS FS EFS = _0,1,…, _0, (2.19)

[ ]

(

)

( )

(

[ ]

)

[ ]

0, tan , tan

tan sin cos

sin cos k k k k w k k k sat k k k k sat k k k E E z t E FS E Z E c E Z φ ψ γ φ α γ α γ α α × × ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − ⎡ ⎤ × × × ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ × × × ⎣ ⎦ α + k = 1,…, K (2.20) 安全係數共變異數 依據2.2.2 節所述，由於同種地質參數在空間上存在相關性，致使不同 格網點之安全係數彼此間亦存在相關性。根據共變異數之定義，區域內任 二格網點i與j安全係數之共變異數可表示為：

[ ]

, i j i j i j Cov FS FS⎡_{⎣ ⎦}⎤=E FS⎡_⎣ ×FS ⎤_⎦−E FS ×E FS⎡_{⎣ ⎤⎦} (2.21) 式(2.21)等號右側第二項中，各格網點之期望值可直接利用式(2.20)推 求；而等號右側第一項則可以式(2.16)進一步推導如下：

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0 0 0, 0, 0, , 0, 1 , 0, , 0, 1 , , 0, , 0, 1 , 1 , N i j i j i n j n j n n j N j n i n i n n i N N n i n i n j n j n n i n n j f FS FS FS FS FS X X X f FS X X X f f X X X X X X = = = = ⎛ _∂ ⎞ × = × + × ⎜_⎜ ⎟_⎟ − + ∂ ⎝ ⎠ ⎛ _∂ ⎞ × ⎜_⎜ ⎟_⎟ − + ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ _∂ ⎞ _∂ − × ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∑

∑

∑

x x x x (2.22) 隨後將式(2.22)取期望值：

(

)

(

)

(

) (

, 0 0, , 0 0, 0 0 0, 0, , 1 , , 1 , , , , , 1 , 1 , i j i n j j j n i i i j N i j FS FS FS X n j n n j _X N FS X n i n n i _X N N n j n j n i n i n n i _X n n j _X f E FS FS X X f X X f f E X X X X X X μ μ μ μ μ μ = = = = ⎡ _∂ ⎤ ⎡ × ⎤= × + × ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ _{⎢∂ ⎥} ⎣ ⎦ ⎡ _∂ ⎤ + × _{⎢ ⎥} − ∂ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ _∂ ⎤ _∂

)

⎡ ⎤ + _{⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣} − × − _⎦ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑

∑

∑

∑

(2.23) 當展開點x_{n ,0k}為 , n k X μ ，形式如下:

(

)

(

)

, , 0, , , 0, 0, 0, 1 , 1 , , , 1 , 1 , , i j i n j n j j n i n i i i j N i j FS FS FS X X n n j _X N FS X X n n i _X N N n i n j n n i _X n n j _X f E FS FS X f X f f Cov X X X X μ μ μ μ μ μ μ μ = = = = ⎡ _∂ ⎤ ⎡ × ⎤= × + × ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ _{⎢∂ ⎥} ⎣ ⎦ ⎡ _∂ ⎤ + × _{⎢ ⎥} − ∂ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ _∂ ⎤ _∂ ⎡ ⎤ + ⎢_∂ ⎥ ⎢_∂ ⎥ _{⎣ ⎦} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑

∑

∑

∑

j (2.24) 則安全係數之共變異數可表示為:

[

] [ ]

, , 0 0 , , 1 , , , , n i n j i j i l i j N n i n j n n i _X n j _X Cov FS FS E FS FS E FS E FS f f Cov X X X X = ⎡ ⎤= × − × ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ _∂ ⎞ _∂ ⎡ ⎤ = ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎜_⎜ ⎟_{⎟ ⎣ ⎦} ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

(2.25) 若區域內共有 個格網點，則安全係數之共變異數矩陣(covariance matrix)可表示如下： K

[ ]

₌ tC X C FS S S (2.26) 其中，CX為地質參數之共變異數矩陣；S = ∇X f(μX)，個別表示如下:

[

( , )

]

2

_{[ ]}

1 (sec )

tan sin cos

ψ γ φ φ α γ α α ⎧⎛ _× ⎞ ⎫ ∂ ₌⎪_{⎜ − ⎟×} ⎪ ⎨_{⎜ ⎟} ⎬ ∂ _⎪⎩⎝ ⎡_⎣ ⎤ × ×_⎦ × _{⎠ ⎪⎭} k k w k k k sat k k k E z t f E E Z (2.27)

[

]

[ ] [ ]

2 ( , ) tan sin cos k _k k w k sat _{sat k k k} E z t E E c f E Z ψ γ φ γ _{γ α} ⎛ _{× × −} ⎞ ∂ _{=⎜ ⎟} ⎜ ∂ _{⎡ ⎤ × × ×} ⎣ ⎦ ⎝ k α ⎟_⎠ (2.28)

1 sin cos k k sat k k k f c E γ Z α α ⎛ ⎞ ∂ _=⎜ ⎜ ∂ _⎝ ⎡_⎣ ⎤ × ×_⎦ × _⎠⎟⎟ (2.29)

[ ]

tan sin cos k w k k sat k k k E f E Z γ φ ψ γ α α ⎛ _× ⎞ ∂ _{= −⎜} ⎜ ∂ _⎝ ⎡_⎣ ⎤ × ×_⎦ × _⎠⎟⎟ (2.30) 寫成轉置矩陣形式如下： 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 K sat t K sat K f f f f c ₁ 0 K f f f c φ γ ψ φ γ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜_{∂ ∂ ∂ ∂} ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ _{∂ ∂ ∂} ⎟ ⎝ ⎠ S f ψ ∂ ∂ 0 0 0 0 0 0 (2.31) 而各地質參數之共變異數矩陣亦將其寫成矩陣形式如下： 1,1 1, ,1 , 1,1 1, ,1 , 1,1 1, ,1 , 1,1 1, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K K K K K K K K sat sat sat sat x K K K K K K c c c c φ φ φ φ γ γ γ γ ψ ψ ψ = C ,1 ψK K, ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2.32) 式(2.26)至式(2.32)安全係數共變異數矩陣之計算中，土壤飽和單位重、 凝聚力與摩擦角等地質參數之期望值與變異數需事先給定；地質參數之共 變異數矩陣可利用 2.2.2 節式(2.12)推求；而壓力水頭之期望值與共變異數 則需進一步探討。

壓力水頭期望值與共變異數 由於坡地入滲控制方程式(式(2.2))中，僅飽和水力傳導係數為具有不確 定性之地質參數，令壓力水頭 ψ = g(Ksat)，其中函數 g 即代表式(2.2)至式 (2.8)。相似於前段利用泰勒級數展開以分析安全係數統計特性之方法，壓 力水頭之期望值及共變異數可表示如下式:

[

( , )

]

( ) k k E ψ z t = g E K⎡_{⎣ sat} ⎤_⎦ (2.33) ( , ), ( , ) , i j i _sat j sat i j i j sat s sat _{E K} sat E K g g Cov z t z t Cov K K K K ψ ψ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎛ ⎞ ⎛ _∂ ⎞ _∂ ⎡ ⎡ ⎤_{= ⎜} ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ _⎝⎜_∂ ⎟_{⎠ ⎝}⎜_∂ ⎟_⎠ ⎣ at ⎤⎦ (2.34) 由於飽和水力傳導係數之期望值為已知，因此壓力水頭之期望值

[

k( , )

]

E ψ z t 可直接利用「降雨引發坡地淺崩塌定率評估模式」加以計算。而 在壓力水頭共變異數之計算方面，以數值微分並利用一階中央差分法推求 ∂ψ / ∂Ksat，其差分式可表示為: ( ) ( 2 k k k k k ) k

sat sat sat sat

sat sat g E K K g E K K g K K ⎡ ⎤+ Δ − ⎡ ⎤− Δ ∂ _{= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦} ∂ ⋅ Δ (2.35) 其中，ΔKsat表示 Ksat之微小增量。 對數飽和水力傳導係數之共變異數為已知(式 2.12)，但式(2.34)計算壓 力水頭之共變異數必需利用飽和水力傳導係數之共變異數，因此需藉由下 三式進行轉換： ln( ) ln( ) ln( ),ln( ) ln( ), ln( ) σ σ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ _{⎤ =} ⎣ i j ⎦ _×i sati satj sat sat sat sat K K Cov K K Corr K K j (2.36)

{

ln( ) ln( )

}

2 2 ln( ) ln( ) exp ln( ),ln( ) 1 , exp 1 exp 1 i j sati satj i l sati satj sat sat K K sat sat K K Corr K K Corr K K σ σ σ σ ⎡ _{⎤ × × −} ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ _{⎡ ⎤} ⎡ _{⎤ − × −} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.37)

(2.38)

, ,

i j i j sat_i s

sat sat sat sat K K

Cov K⎡_⎣ K ⎤_⎦=Corr K⎡_⎣ K ⎤_⎦×σ σ at j × 其中

，

Corr[]與 Cov[]為相關係數與共變異數。將轉換後之飽和水力傳 導係數共變異數式(2.38)代入式(2.34)，即可計算出壓力水頭之共變異數矩 陣。 2.2.4 區域可靠度分析

依據Mays and Tung (1992)之定義，系統(system)是由多個彼此互相作用 (interactive)之單元(component)所組成之集合，因此系統可靠度除了與每一 個單元各自之可靠度有關外，亦受單元彼此間之相關性所影響。在系統可 靠度之相關研究中，串聯(series)與並聯(parallel)系統為最基本之兩種型式， 任何複雜之系統皆可以此兩種型式之複合加以表示。所謂串聯意謂系統內 任何一個單元破壞即會導致整個系統的破壞；而並聯則表示若系統內所有 單元皆發生破壞才會導致系統之破壞。針對區域性坡地崩塌問題，本研究 定義系統為由一個以上格網點所構成之空間區域，且其系統可靠度(或稱區 域可靠度)為區域內每一格網點皆不發生崩塌之機率，即串聯系統。 考慮一個由 個格網點組成之區域，若Fk表示第 k個格網點發生崩塌， 則此區域整體之崩塌機率為 K 個格網點中至少有一個產生崩塌之機率，可 表示如下： K

(

)

, 1 2 1 ... K f sys K k k P p F F F P F = ⎛ = ∪ ∪ ∪ _{= ⎜} ⎝

∪

⎠ ⎞ ⎟ (2.39) 其中，P_{f sys,} 為區域整體之崩塌機率。換言之，區域可靠度(Ps, sys)為所有格網 點皆不發生崩塌之機率：

(

' ' '

)

' , 1 2 1 ... K s sys K k k P p F F F P F = ⎛ = ∩ ∩ ∩ _{= ⎜} ⎝ ⎞ ⎟ ⎠

∩

(2.40) 其中 Fk’為 Fk之互補事件(complementary event)，即不發生崩塌。由於坡地

崩塌係以安全係數是否小於1 作為判定，因此式(2.40)可寫為：

(

' ' '

)

(

)

, 1 2 ... 1 1, 2 1,..., 1 s sys K K P =P F ∩F ∩ ∩F =P FS > FS > FS > (2.41) 由2.2.3 節安全係數共變異數分析之成果可知，每個格網點安全係數並 非相互獨立，因此區域可靠度亦可表示為：

( )

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' , 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 1 2 1 , , , 1 1 1 1 1, 1 1, 1, , 1 s sys K K K K P P F P F F P F F F P F F F F P FS P FS FS P FS FS FS P FS FS FS FS − − = × × ×⋅⋅⋅× ⋅⋅⋅ = > × > > × > > > ×⋅⋅⋅× > > > ⋅⋅⋅ > 1 2 , 1 (2.42) 或以結合機率之型態表示： (2.43)

(

)

∫∫ ∫

∞ ∞ ∞ = 1 1 1 2 1 2 1 ,sys , , , K K s f FS FS FS dFS dFS dFS P …

其中 f 為所有格網點安全係數之結合機率密度函數(joint probability density function)。 欲利用式(2.43)計算區域可靠度必須知道結合機率密度函數 f 之型態， 依據蘇歆婷(2007)之研究，單一格網點安全係數之機率密度函數近似於常態 分 佈 ， 本 研 究 進 一 步 假 設 f 屬 於 多 變 量 常 態 分 佈(multivariate normal distribution)，因此式(2.43)可改寫為： 1 1 2 1 , 1 1 1 1 2 1 exp ( ) ( ) 2 (2 ) μ μ π − _{∞ ∞ ∞} − ⎡ ⎤ = _⎢− − × × − _⎥ ⎣ ⎦ ⋅⋅⋅

∫∫ ∫

k k FS t s sys K k FS FS k FS K C P FS C FS dFS dFS dFS 2 _(2.44) 式(2.44)中，安全係數之期望值與共變異數矩陣可分別利用式(2.19)與式 (2.26)求得，配合適當之數值積分技巧即可獲得區域可靠度。本研究採用 Alan Genz (1992)所建立，且目前廣泛應用於統計學領域之多變量標準常態 分佈計算軟體，該軟體之特點在於可同時處理定積分(definite integral)與不

定積分(indefinite integral)，且能計算變數多達 500 個之積分值。

2.3 小結

藉由本章所建立之區域性風險分析方法，使用者可藉此評估邊坡之區 域可靠度，以下整理分析方法建立時所需之設定條件及執行步驟: (1) 針對分析區域探討不同地層之分佈並建立模擬格網點，設定每一格網點 之地形地文資料，如所屬地層、土層厚度、坡度、初始地下水位等。 (2) 設定降雨條件，如總降雨量、降雨延時、觀測時間與雨型等。 (3) 根據地質狀況設定具不確定性地質參數之統計特性，如期望值與標準差。 (4) 依據式(2.12)，計算每一格網點地質參數之共變異數矩陣。 (5) 利用「降雨引發坡地淺崩塌定率評估模式」配合一階二次矩法求取壓力 水頭之期望值與共變異數，如式(2.33)與(2.34)。 (6) 利用式(2.19)與式(2.26)，配合各格網點地質參數與壓力水頭之期望值與 共變異數，計算安全係數之統計特性。 (7) 利用式(2.44)配合前項步驟所求得之安全係數統計特性，以 Alan Genz 所 發展之多變量標準常態分佈計算軟體計算區域可靠度。

第三章

區域性風險分析方法測試

第二章「區域性風險分析方法」之建立中，主要使用一階二次矩法計 算安全係數之統計特性與空間變異性，並假設安全係數之結合機率密度函 數為多變量常態分佈以推估區域可靠度。本章將利用虛擬案例進行測試， 比較所發展之分析方法與蒙地卡羅模擬之計算結果，以評估一階二次矩法 之適用性與多變量常態分佈假設之合理性。

3.1 案例設定

區域幾何條件 給定一個底部堅實且不透水之砂土層，假設土體坡面為一斜面(圖 3-1) 且土層底端為一滑動區塊，將一面積達 76,800 平方公尺(7.68 公頃)之平面 區域(虛線部分)劃分為 3×4 共 12 個格網點(圖 3-2)，每一格網之面積為 80 m × 80 m。利用此 12 點，進行分析方法測試。 降雨量、延時與雨型 為簡化複雜之氣候變化對雨量、延時及雨型之影響，陳弘恩(2005)將降 雨組體圖以四種概念性時變降雨雨型表示，如圖 3-3 所示。依據其研究， 在相同總降雨量與降雨延時下，前進型雨型最容易造成邊坡之崩塌，因此 本論文測試案例中假設雨型為前進型，總降雨量為300 mm，降雨延時為 15 小時。假設降雨結束後30 小時其安全係數之變化已趨於穩定，因此總模擬 時間為 45 小時，將其分為 270 個間距，則每一時間間距 Δt 為 600 秒。由 於模擬區域較小，本研究假設同一時間內每一格網點之降雨量皆相等。 不具不確定性之參數 1. 土層厚度(dLZ)

土壤厚度常與坡度有關，Turner (1996)指出當坡度越緩其土層沉積深度 有越深的情形。陳本康(2005)利用石門水庫集水區現場量測之土壤滑動厚度 與坡度關係，經回歸後所得之經驗式為： d_LZ = −0.0716× +α 5.66 (3.1) 本案例將依據式(3.1)給定每一格網點之土層厚度。 2. 初始地下水位(dZ) 初始地下水位可能因高程、土壤性質、地層走向、植被狀況、水系距 離以及臨前降雨量等因素而有所差異，目前並未有相關資料可供應用，因 此假設初始地下水位為 2 公尺，若土層厚度小於 2 公尺，則初始地下水位 自動修正為等於土壤厚度。 3. C0 依 據 Iversion (2000) 針 對 降 雨 所 引 發 崩 塌 評 估 之 研 究 ， 其 範 圍 為 0.05~0.1，本案例設定為 0.1。 4. 水單位重(γw) 設定為9800_{N m/} 3。 具不確定性地質參數相關統計資料 1. 摩擦角(

φ

) 假設摩擦角為常態分佈，且期望值為30 度(°)。 2. 凝聚力(c) 假設凝聚力為常態分佈，且期望值為15,000 N/m2。 3. 土壤飽和單位重(γsat) 假設土壤飽和單位重為常態分佈，且期望值為26,000 N/m3。 4. 飽和水力傳導係數(Ksat) 假設飽和水力傳導係數為對數常態分佈，且期望值為1.0 × 10-6 m/sec。

5. 相關尺度(aX) 表3-1 所列為常見土層其對數水力傳導係數之相關尺度範圍，由表 3-1 可知相關尺度可能因土層種類與位置等不同而有極大之差異，本案例假設 相關尺度為1200 公尺。 參數變異程度 由於一階二次矩法以及多變量常態分佈假設之正確性主要受地質參數 之變異程度所影響，本研究參考Chen et al. (2007) 中地質參數變異係數之 範圍，共設計五個不同案例，同一地質參數在五個案例中之期望值皆相等， 而變異係數則由案例一至案例五逐步遞減(後文將分別稱為高度、中高度、 中度、中低度與低度變異程度案例)，以探討參數變異程度對研究方法計算 結果之影響，詳細設定如表3-2 所示。

3.2 蒙地卡羅模擬

3.2.1 參數取樣方法與前處理 由於地質參數為一具強烈空間關聯性之隨機變數，因此本研究利用特 徵拆解法(spectral decomposition)，將取樣後不具空間相關性之地質參數進 行正交轉換(orthogonal transformation)，成為具相關性且為標準常態分佈之 隨機變數，如式(3.2)所示。 2 ₁ 1 1 × × × × = X + X K K K K K K V Λ Y X μ σ (3.2) 其中，K為同一地層內之總格網點數；X 為各點地質參數值所組成之向量；

μ

X 與

σ

X 分別為地質參數之期望值與標準差；V 為由 R(X)之特徵向量 (eigenvector)組成之正規化矩陣；Λ代表由 R(X)之特徵值(eigenvalue)組成之 對角矩陣；R(X)為 X 之相關係數矩陣；Y 為具有標準常態分佈之變數且不 具相關性。

由式(3.2)可知，吾人僅需分別對各格網點進行標準常態分佈之取樣， 及可藉由式(3.2)將取樣值轉換為各格網點之參數值。本研究利用 LHS(Latin Hypercubic Sampling) (McKay, 1988)作為隨機變數取樣之方法，由於 LHS 具有以較少取樣次數達到取樣不偏移(unbiased)之特質，McKay et al. (2000) 提出其特別適合作為模式輸入參數取樣之工具。關於LHS 之取樣步驟以及 式(3.2)之推導詳如附錄 A 與附錄 B 所列。 利用式(3.2)可獲得分析區域各格網點上，每一項地質參數之取樣資 料，研究中假設摩擦角、凝聚力、與土壤飽和單位重為常態分佈，因此當 其變異程度過大時，將造成參數取樣值可能小於零之不合理現象。觀察表 3-2，摩擦角與土壤飽和單位重最大之變異係數分別為 0.24 與 0.03，尚不致 造成取樣出不合理參數值之現象，然而凝聚力變異係數最大可達0.9，代表 約有13.5%之機率取樣出小於零之數值，因此在蒙地卡羅模擬前，必須對凝 聚力之取樣資料進行前處理之工作。本論文前處理工作係將小於零之凝聚 力取樣值全部以零取代，則其機率密度函數將轉變為混合型態(mixed distribution)，亦即凝聚力大於零時為具有常態分佈之連續隨機變數，而等 於零時則具有單點機率之離散隨機變數。 經前處理後，凝聚力之樣本期望值會變大(小於 0 部份往右移)，而標準 差會變小，如圖3-4 所示。若為低度變異程度，凝聚力取出負值之機會較低， 混合型態不明顯，呈現常態分佈的情況如圖3-5 所示。 3.2.2 參數取樣次數探討 以蒙地卡羅模擬而言，參數取樣次數越少越能簡化數值模擬時之繁複 程度及縮短計算時間，然而當取樣次數過少時，可能會造成樣本資料無法 代表參數實際統計特性之現象，尤其當參數變異程度越高時更為明顯，因 此本研究將針對變異程度較高之凝聚力與飽和水力傳導係數，探討合理的 取樣次數。