區間相關係數

國

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隸 屬 度 函

數 等候公車時間(分)

0.7 1

12.01

7.99 16.7

3.3 10 20

0 因為 0.7 12.01

7 . 6

7 .

16     x x

， 0.7 7.99 7

. 6

3 .

3   

 x

x

則學生 B 對等候公車時間三角模糊隸屬度函數，則在 0.7截集下的模糊區間 為 Ix_i,0.7 [7.99,12.01]

以直角座標圖表示如圖 2.4：

圖 2.4 民眾等候公車時間之三角型隸屬度函數的 =0.7 時的截集

  2.2 區間相關係數   

而依據 xi與 yi的性質，本研究將針對區間模糊數相關係數做合適的定義，以 取得其相關係數。

首先，將其分成下列兩種情形：(1) xi與 yi均為實數(皮爾森相關係數)。

(2) xi與 yi均為區間模糊數。

(1) xi與 yi均為實數

此情況為傳統的線性相關係數， 一般以表示，代表兩個變數 X 及Y 的相 關程度。它的定義為

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相關係數

Y X Y

X Y

X Cov X Y









   ^,  ^{( , )}

當0時，我們稱 X 與Y 之間為直線正相關；當 0，則稱 X 與Y 之間為 直線負相關；若是 0，則稱 X 與Y 為之間沒有線性相關存在，或說統計相關。

不過要求相關係數，必須要得知它們的變異數 、_X²  和它們之間的共變_Y² 異數Cov(X,Y)。但是在實務應用上，常常並不容易得到。因此，我們用樣本相 關係數r 來估計_xy ，即





















 n

i i n

i i n

i

i i

xy

y y x

x

y y x x r

1

2 2

1 1

) ( )

(

) )(

(

其中(x_i,y_i)為第

i

對樣本值，i1,2,3...,n；x及 y 分別為其樣本平均數。

(2)

x

_i與

y

_i均為區間模糊數

當處理的兩變數均為模糊數時。利用以下兩種定義來求相關係數。

定義 2.12 模糊相關係數(取區間中心點的方法)

將區間型模糊數分兩種情形，(1)連續型區間模糊數(區間內均勻分配) (2)離散型等距尺度區間模糊數。

(1)當模糊數為連續型模糊數(區間內均勻分配)，分別對兩變數X ,Y 取各樣本區 間中心點x 、_i y 為代表值。 _i

(2)當模糊數為離散等距尺度區間型模糊數，用定義 2.7 分別對兩變數X ,Y 取各 樣本的反模糊化值，得模糊數的重心值x 、_i y 當作代表值。 _i

根據上述方法，取得區間中心點當代表值後，再將此代入以下相關係數公式。

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例 2.11 調查 3 位評審給予三位歌唱大賽選手的評分的相關係數

大學某社團辦歌唱大賽，找來 3 位音樂系的評審 A、B、C，對三位晉級總 決賽的參賽選手評分，評分最高分 10 分，最低分 0 分，而三位評審皆給予模糊 給分。A 評審給予連續區間給分，而 B、C 評審給予離散區間給分。下表為三位 評審給分內容，並根據定義 2.12 求代表值、區間長度、模糊標準差。如下表 2.5、

2.6、2.7：

表 2.5 A 評審給予各選手分數的區間數

選手 分數 代表值 區間長度(_)

1 號選手 [7,7] A₁ 7 0

2 號選手 [7,9] A₂ ⁸ 2

3 號選手 [8,10] A₃ 9 2 表 2.6 B 評審給予各選手分數的隸屬度函數 分數

選手

] 4 , 3

[ [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] 反模糊化值 模糊標準差 1 號選手 0.5 0.5 ^B₁ ^5.5 F_B1 2

2 號選手 0.2 0.8 B₂ 5.9 12

2 .

F_B 

3 號選手 0.4 0.6 B₃ 5.7 ₀₉₈

3 .

F_B 

表 2.7 C 評審給予各選手分數的隸屬度函數 分數

選手

] 4 , 3

[ [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] 反模糊化值 模糊標準差

1 號選手 0.2 0.8 C₁ 5.3 04

1 .

F_C 

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根據上表算出三組樣本均值：A8，B5.7，C5.5，再用公式(2.1)算 出來修正前的相關係數。如下表 2.8：

A 評審給的區間樣本最大長度訂為max10，B、C 評審給的離散樣本最 大標準差為maxF 4.5。則利用(2.2)廣義誤差公式。結果如下:

(1)A 為連續區間樣本，B 為離散區間樣本，得R_AB 0.50.018 (2)A 為連續區間樣本，C 為離散區間樣本，得R_AC 0.190.011 (3)B 為離散區間樣本，C 為離散區間樣本，得R_BC 0.940.022

2 號選手 0.7 0.3 C₂ 5.8 046

2 .

F_C 

3 號選手 0.1 0.9 C₃ 5.4 ₀₃

3 .

F_C 

表 2.8 未修正前評審間給予分屬的相關係數 r A 評審 B 評審 C 評審

A 評審 1 0.5 0.19

B 評審 1 0.94

C 評審 1

表 2.9 當 1的修正相關係數 R A 評審 B 評審 C 評審 A 評審 1 0.482 0.179 B 評審 1 0.918

C 評審 1

表 2.10 當2的修正相關係數 R A 評審 B 評審 C 評審 A 評審 1 0.464 0.168

B 評審 1 0.896

C 評審 1

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由上表可得知 B 評審和 C 評審給的分數相關程度較高，所以他們看法較接 近而 A 評審和 C 評審給的分數相關程度較低，看法落差較大。

根據定義 2.12，取區間中心點的方法作出的相關係數值R ，使_xy 1

1 

 R_xy ，並將模糊樣本反模糊化得到一實數，而非模糊數，但以模糊觀點 來說，希望得到相關係數為一模糊數，因此本研究將模糊相關係數作另一定義，

取得合適的模糊相關區間。

定義 2.13 模糊相關係數(以端點及四分位數為主的相關係數) 將區間型模糊數分兩種情形(1)連續型區間模糊數(均勻分配) (2)離散型區間模糊數。

(1)當模糊數為連續型模糊數(均勻分配)，分別對兩變數X,Y取各樣本的模糊區 間，取左右兩端點(x_Li,x_Ri)、(y_Li,y_Ri)及四分位數(x_i1,x_i2,x_i3)、(y_i1,y_i2,y_i3) 當代表值。

(2)當模糊數為離散型模糊數，用定義 2.7 分別對兩變數X,Y中各樣本反模糊化 值，取得模糊數的重心值x 、_i y ，再用定義 2.8 取得模糊標準差，並用定義 _i 2.10 轉換成三角形模糊數，使用截集方式取得模糊區間，再從各組模糊區 間中取左右兩端點(x_Li,x_Ri)、(y_Li,y_Ri)及四分位數(x_i1,x_i2,x_i3)、(y_i1,y_i2,y_i3)

當代表值。

根據上述方法，取得端點和四分位數當代表值後，再將其五個變數代入以下 相關係數公式。

] ) ( , ) [(

ˆ_xy r_{xy L,} r_{xy U,}

r  (2.3)

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其中R_xy 



⁽r_xy⁾_L,_ ⁽x^,y^),(r_xy⁾_U,_ ⁽x^,y⁾



，當r_xy 0時，



號取－號，

當r_xy 0時，



號取＋號。 值依使用者選擇來調整誤差。其它符號和定義 2.12 相同。

在文檔中 區間模糊相關係數及其在數學成就評量 - 政大學術集成 (頁 18-25)