模糊數性質

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2.研究方法

本章先在 2.1 模糊統計量中，引用一些常用的模糊統計量，並介紹區間模糊 數及其轉換方法，以說明模糊統計方法如何處理模糊資料。在 2.2 節中介紹傳統 皮爾森線性相關係數，定義模糊線性相關係數及廣義誤差公式。而在 2.3 中提出 模糊線性相關係數的性質，最後在 2.4 節整理當遇到區間樣本時區間樣本的演算 法。

2.1  模糊數性質 

模糊集合是一種人類的思考與語言量化的新理論，對生活上的各種不確定 性，以更合理的方式去分析，預期能更接近、合乎人性與智慧。在許多科學的研 究過程中，資料會因人類本身主觀意識、時間差異與環境的影響，而具備模糊性，

為了建立合理的數學模式，方有模糊理論的產生。

在傳統的集合論中，元素對於集合的關係，只有屬於與不屬於該集合的觀 念，以二元集合以特徵函數(characteristic function)來表達，即為







 

A , 0

1

x A x ) ,

x ( X_A

若 若

若將此集合關係應用於描述某些實務現象時，常發現不合理的情形。因為某 些現象並不一定存在非此即彼的關係，而模糊集合理論及打破傳統的二元集合 論，而採取軟計算(soft computing)來表示元素與集合之間的隸屬程度，我們稱為 隸屬度函數(membership function)。

隸屬度函數是模糊理論的基礎，用來表達元素對於集合之間的隸屬程度。但 是對於不同的事件，要建立一個適當的隸屬度函數，卻是一件不容易的事情，雖 然隸屬度代表這對事物客觀的屬性，但其中隱含個人主觀意識的因素。

隸屬度函數可分為離散型(discrete type)與連續型(continuous type)兩種。離散 型的隸屬度函數是直接給予有限集合內每個元素的隸屬度，並以向量形式表現出 來，定義如下：

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區間模糊數的概念在日常生活中是常見的，因為在某些情況下現有資訊無法 使我們確定真正的值為何，故在定義 2.3 我們定義出區間模糊數。

定義 2.3 區間型模糊數(吳柏林，2005)

區間型糊模數為一具有均勻隸屬度函數的模糊數，以閉區間的符號”[ ]” 來表示。若a,bR且a＜b，則[ ba, ]表一區間型模糊數，a稱為[ ba, ]的下界，b 稱為[ ba, ]的上界；若ab，則[a,b][a,a][b,b]ab表一實數a(或b)。同 樣的，一實數 k 亦可表示為[k,k]。

若[ ba, ]為一區間型模糊數，設

0 2

b c  a ，

0 2

a

s b 分別表示其中心及半 徑，我們也可將一區間型模糊數表示成：[c₀;s₀][c₀ s₀,c₀ s₀][a,b]。 而ba，代表該區間的長度。

例 2.2 區間型模糊數的應用

每年六、七月研究生畢業，都會有一波求職潮，而每位畢業生對薪資期望都 有所不同，例如某畢業生對於薪資期望大約在 35000，但是若價錢再低一點也可 接受，所以要求薪資不是確切數字，而是一個範圍，此畢業生希望薪資在

] 40000 , 32000

[ 這個區間內，考慮[32000,40000]這個區間，會比考慮某一價錢更 加明確，更可以提供急需求才的公司主管們參考。

在定義 2.3 根據吳柏林(2005)已定義出區間模糊數，在區間模糊數中是均勻 分配的，由於人的喜好是複雜的，在於可接受範圍可細分在不同的模糊區間，故 本文新定義出離散等距尺度區間模糊數，定義如 2.4，更能貼近人類多元且複雜 的想法

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圖 2.1 學生一週上網時間隸屬度函數

上 網 小 時 隸

屬度

ٛ 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

5 6 4 3 1 2

0

傳統統計學中，算術平均數不僅可以對資料的大小情形有個大略的了解，在 計算統計量時，更是不可或缺的統計量，而模糊平均數在模糊統計中，也同樣扮 演十分重要的角色，本文將針對連續型區間模糊數和離散型區間模糊數做樣本均 數的定義。

定義 2.5 連續型區間模糊數樣本均數(樣本為連續區間型且均勻分配)

設U 為一個論域，令



^L₁^,L₂^,...,L_k



^{為佈於論域U 上的k個等距尺度變數，}



n i

b a

x_i [ _i, _i], 1,2...,

{   為論域U的一組模糊樣本，則模糊樣本均數為：





 ⁿ 

i

i

i b

a x n

F

1 2

1 。

例2.4 畢業生對薪資期望的樣本均數

在我們對於今年畢業生求職潮中，調查下列五位研究所畢業生對薪資期望的 一組模糊樣本為[2 萬元,3 萬元]，[3 萬元,4 萬元]，[4 萬元,6 萬元]，[5 萬元,8 萬元]，[4 萬元,7 萬元]，則根據定義 2.5，其模糊樣本均數

) 4.6萬元

2 7 4 2

8 5 2

6 4 2

4 3 2

3 (2 5

1  

 

 

 

 

 x F

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生他們所希望的薪資。

定義 2.6 離散型等距尺度區間模糊樣本均數

設U 為一個論域，令



L₁,L₂,...,L_k



為佈於論域U 上的k個等距尺度變數，

} ,...

,

{x₁ x₂ x_n 為一組模糊樣本，且每個樣本x 對應變數_i L 之隸屬度為_j m ，其中_ij



 k

j

mij 1

=1。令M 為_j L 的組中點，若_j



 



 ⁿ

i k

j

j

ijM M

n m x F

1 1

1 ，我們定義模糊樣

本{x₁,x₂,...x_n}之模糊樣本均數FxM 。

例 2.5 客戶可接受摩扥車價錢的模糊樣本均數

因為摩托車在市面上的價格不一，而客戶會因為價錢、需求、品牌作為選擇 摩托車的依據，因此訪問五位客戶可接受價錢之隸屬度，並將整理如下表 2.2：

表 2.2 客戶可接受摩托車價錢之隸屬度選擇

客戶 [4萬,4.5萬] [4.5萬,5萬] [5萬,5.5萬] [5.5萬,6萬] [6萬,6.5萬] A 0.2 0.6 0.2

B 0.6 0.4

C 0.3 0.7

D 0.8 0.2

E 0.4 0.5 0.1

由於客戶對價錢考量不一，每個客戶對各區間接受程度又所差異，若要從此 樣本得到適合的價錢，又要忠實反映樣本的資訊，那麼使用模糊樣本均數是不錯 的方法。計算如下：

令M 為價錢區間的組中點：{4.25，4.75，5.25，5.75，6.25} _j

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 x

F （0.2×4.25+0.6×4.75+0.2×5.25+0.6×5.25+0.4×5.75+0.3×4.75+0.7×5.25 +0.8×5.25+0.2×5.75+0.4×4.75+0.5×5.25+0.1×5.75）/5

＝（4.75+5.45+5.1+5.35+5.1）/5

＝ 5.15

由以上可得：客戶對摩托車價錢模糊樣本均數為 5.15 萬，也就是說參考 5 位客戶的意見之後，可做出客戶平均應該在 5.15 萬上下。

為了將離散型區間樣本轉換成更適合模糊區間數，本研究須先將離散型區間 樣本反模糊化，以取得模糊數值之重心。茲將離散模糊數的反模糊化值定義如下

：

定義 2.7 離散型等距尺度區間樣本的反模糊化值

設 X 為一模糊數，等距尺度變數{L_i;i1,2,,...,k}為論域U 中有序的數 列，_Li(X)m_i為模糊樣本 X 相對於L 的隸屬度，而_i M 為_i L 的組中點，則_i





 ^k

i

i i

f mM

x

1

為模糊數 X 的反模糊化值。

例 2.6 民眾對等候公車時間長短可接受程度的反模糊化值

訪問台北市五位民眾，他們對於等候公車時間長短的可接受程度的隸屬度，

並將結果整理如下表:

表 2.3 民眾對於等候公車時間長短的可接受程度的隸屬度 民眾 [0,5] [5,10] [10,15] [15,20] [20,25] [25,30]

A 0.2 0.4 0.4

B 0.6 0.3 0.1

C 0.3 0.4 0.2 0.1

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定義 2.9 三角形隸屬度函數(吳柏林，2005)

設U 為一個論域，令



L₁,L₂,...,L_k



為佈於論域U 上的k個語言變數，分別賦 予^r



^r₁^,r₂^,....,r_k



之權重數值，當 k 點量表中第L 等距尺度變數被勾選時，則其_i 三角隸屬度函數為：







 



max 1 ,0 )

( s

r

x x ⁱ

 x

其中s是三角形的分布半徑。

例 2.8 數學教科書評選之三角形隸屬度函數

台北市某國中舉行數學教科書評選，五位評選教師對第二家出版社之教科書 的滿意程度，整理如表 2.4：

表 2.4 評選教師對教科書的滿意程度

評選教師 非常不滿意 不滿意 普通 滿意 非常滿意

A ○

B ○

C ○

D ○

E ○

我們分別賦予五個語言變數的滿意程度權重為：

1 

L 非常不滿意=0 L₂ 不滿意=0.25 L₃ 普通=0.5

4 

L 滿意=0.75 L₅ 非常滿意=1

則第一位評選教師對第二家出版社之教科書的滿意三角形隸屬度函數為：







 



 0.75,0 1

max )

( s

x x

  x

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隸 屬 度 函

數 等候公車時間(分)

0.7 1

12.01

7.99 16.7

3.3 10 20

0 因為 0.7 12.01

7 . 6

7 .

16     x x

， 0.7 7.99 7

. 6

3 .

3   

 x

x

則學生 B 對等候公車時間三角模糊隸屬度函數，則在 0.7截集下的模糊區間 為 Ix_i,0.7 [7.99,12.01]

以直角座標圖表示如圖 2.4：

圖 2.4 民眾等候公車時間之三角型隸屬度函數的 =0.7 時的截集

在文檔中 區間模糊相關係數及其在數學成就評量 - 政大學術集成 (頁 6-18)