第四章 結果與討論
4.4 各參數對流場穩定性的影響
4.4.2 半徑比 η 對流場的影響
由圖二(a)和(b)作比較，可以大概看出在這兩個半徑比之內的 及 所出現的位置是隨著半徑比的增加而增加的。圖九(a)為固定 Pr 下對不同的半徑比所出現 的位置圖，其中在 η=0.75 之前 隨著 η 的增加而增加；η 大於 0.75 的最高點之後模型所找出來的 則又 呈現減小的現象。
Rac
Ra0
Rac Rac
Rac
圖九(b)為吾人的模型在 Pr=0.5 與 Pr=0.7 時與 Yoo(1996)以有限差 分法和Powe(1969)以實驗方式在 Pr=0.7 所得 的比較圖。從圖形可 以看到 Yoo 的線段隨著半徑比 η 的增加而減少，而吾人在 η=0.65 及 η=0.85 的部分大致上也與 Yoo 及 Powe 的位置符合。在 η=0.65 之後 比較 Pr=0.5 及 Pr=0.7 的線段，從圖形可以看出線段的趨勢是隨著 Pr 的增加而往下平移，在 η=0.65~0.85 之間的範圍所得到的趨勢大致上 與 Yoo 以有限差分法所得到的結果一致。由於吾人的模型無法找出 Pr=0.7 時 η=0.65 之前的結果，所以 η=0.65 以下的部分仍有缺陷在。
Rac
第 五 章 結 論
本文中藉由雙重級數展開法建構Lorenz 模型，以 Runge-Kutta 數 值方法求解水平同心圓管間流場在不同參數下的數值解，藉以探討各 項參數對流場及溫度場產生的影響。綜合前一章節所得到的結果，吾 人得到以下的結論︰
1. 由吾人所建構的 Lorenz 模型分析水平同心圓管間的流場，發現會 隨著 Ra 的增加而出現兩個階段的變化。第一階段是到達臨界瑞里
數 後流場會出現兩對渦旋；第二階段是到達第二臨界瑞里數
後流線函數的函數值開始出現非穩態的現象。
Rac
Ra0
2. 由吾人所建構的 Lorenz 模型分析水平同心圓管間的溫度場，發現 會隨著 Ra 的增加而等溫線會由原來的同心圓狀逐漸往上偏移，並 形成一對等溫圈。到達第二臨界瑞里數 後溫度亦開始出現非穩 態的現象。
Ra0
3. 第二臨界瑞里數 後，由吾人所建構的Lorenz 模型所解出來的函 數值隨著 Ra 的增加呈現單一週期的波動。並隨著 Ra 的增加而頻 率逐漸縮小但振幅逐漸擴大，這個波動的波形亦不隨著瑞里數 Ra 的增加有其他變化情形。
Ra0
4. 固定半徑比 η 下，臨界瑞里數 發生的大小隨著普朗特數 Pr 的 增加而增加，經比較得知吾人的模型在低的普朗特數 Pr 數下所做 出來的臨界瑞里數 與文獻上的情形較為符合。
Rac
Rac
模型中發現非線性項係數的大小相較於其他線性項係數明顯小很 多，這使得非線性系統對模型所造成的影響薄弱，造成不穩定情形只 發生在低普朗特數Pr 下的某些範圍內。這與使用 Chandrasekhar 函數 所展開的φ1(r)、 與 有關，因為這些函數的大小相對而言 比起三角函數小很多，並且隨著半徑比 η 的增加差距愈大。
)
1(r
Φ Φ2(r)
參 考 文 獻
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η
α1 α2 β1 β2
0.5 4.7495 7.8699 3.1966 6.3123
0.65 4.7379 7.8598 3.1634 6.2943
0.75 4.7336 7.8561 3.1514 6.2881
0.85 4.7312 7.8541 3.1447 6.2848
0.9 4.7305 7.8536 3.1429 6.2838
表一 不同半徑比η所對應之特徵值α、 β 。
η=0.5 η=0.65 η=0.75 η=0.85 a1 1.5105196e-3 8.3243810e-6 1.3807562e-8 -5.9668725e-13 a2 -3.9380286e+1 -4.0162089e+1 -4.0449872e+1 -4.0577459e+1 a3 -1.5059819 5.8282392e+1 8.9195977e+3 1.5230933e+9 a4 1.1580179e+1 6.9401283e+2 1.5695355e+5 4.7617326e+10 a5 -1.4826765e+1 -1.1212021e+3 -3.0970934e+5 -1.2481121e+11 b1 -2.0388776e-3 -1.8792281e-5 -4.7384931e-8 -2.1581940e-11 b2 -5.8148493e+1 -9.3967672e+1 -1.4107332e+2 -2.4993819e+2 b3 -3.0996635 1.9861155e+2 -4.6045102e+4 1.4110635e+10 c1 -3.8182239e-25 8.6352365e-26 -1.2699431e-30 1.0199933e-31 c2 -1.0841603e-2 9.1757166e-5 -2.2420820e-7 3.1589123e-13 c3 -1.1342907e-2 1.2077091e-4 -3.6006815e-7 6.7377343e-13 c4 -1.0218114e+1 -1.0007014e+1 -9.9313225 -9.8893777 d1 1.0819384e-2 -9.1725660e-5 2.2419221e-7 -3.1588883e-13 d2 -1.6132570e-1 3.9959929e-2 -1.2028225e-2 2.1816970e-3 d3 -3.9355899e+1 -3.9431645e+1 -3.94576510e+1 -3.9471807e+1 d4 2.8719646e-1 1.4116253e-1 7.7104154e-2 3.2752662e-2 e1 -1.1856343e-4 -6.6791212e-7 -1.1152965e-9 -8.7700424e-16 e2 -9.7537722 -9.8238212 -9.8490333 -9.8630132 e3 -8.0828962e-2 1.9986247e-2 -6.0143779e-3 1.0917665e-3 e4 -2.3300917 1.8484810 -1.5141054 1.1395259
表二 Lorenz 模型之展開係數
圖一 基本物理模式示意圖
(a)
圖二 (a)η=0.5 (b)η=0.75 時，隨 Pr 改變所出現臨界瑞里數Rac以及到 達第二臨界瑞里數Ra0的位置。
(b)
續
(a)
(b)
圖三 當η=0.5，Pr=0.05 在內外圓柱具溫差條件下的流線圖(左)及 其溫度分布圖(右)，(a) Ra=10 (b) Ra=100 (c) Ra=1000 (d) Ra=2000 (e) Ra=3000 (f) Ra=4000 (g) Ra=8000 (h) Ra=20000。
(f)
(g)
(h)
續
(a)
(b)
圖四 當
η
=0.75，Pr=0.03 在內外圓柱具溫差條件下的流線圖(左) 及其溫度分布圖(右)，(a) Ra=100 (b) Ra=4000 (c) Ra=8000 (d)Ra=20000 (e) Ra=60000。(c)
(d)
(e) 續
(a)
(b)
圖五 η=0.5，Pr=0.05 時在穩定狀態下，由 Runge-Kutta 法所解出來 各函數隨 Ra 值的變化圖。
(a)
圖六 當
η
=0.5，Pr=0.05 在內外圓管具溫差條件下的時間級數圖(上) 及其頻譜圖(下)，(a) Ra=29000 (b) Ra=60000 (c) Ra=100000。(b)
續
(c)
續
(a)
圖七 當 η=0.75，Pr=0.03 在內外圓管具溫差條件下的時間級數圖 ( 上 ) 及 其 頻 譜 圖 ( 下 ) ， (a) Ra=77000 (b) Ra=120000 (c) Ra=200000 (d) Ra=300000。
(b)
續
(c)
續
(d)
續
圖八 η=0.85 時在不同的 Pr 下，水平同心圓管在穩定解範圍內所發生 2-渦旋轉 4-渦旋的臨界瑞里數Rac對照圖。
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85
Pr=0.03 Pr=0.1 Pr=0.5
η
Rac
(a)
(b)
圖九 (a)在固定 Pr 之下，不同的半徑比 η=0.5、0.65、0.75 及 0.85 所 出現臨界瑞里數 之位置圖。(b)在 Pr=0.7 時，與 Yoo 及 Powe 的 對照圖。
Rac
Rac
附 錄 一
以下圖中分別表示在半徑比η=0.5時，φ1(r)，Φ1(r)與Φ2(r)分 別的關係圖，其中在r 範圍部份是由
η
− η 1 到
η
− 1
1 之間。
φ1
(a)
Φ1
Φ2
Φ1
Φ2
(b)
附 錄 二
下圖表示當η=0.5，Pr=0.05，Ra=29000 為超過第二臨界瑞里數後 在半週期內的流線圖(左)及其溫度分布圖(右)，(a) t=128.041 (b) t=
128.272 (c) t=128.503 (d) t=128.734。
(a)
(b)
(c)
(d)
續