無因次化

第二章數學模式

2.2 無因次化

連續方程式(continuity equation)：

¹ ⁽ ⁾ ¹ ⁼ ⁰ 動量方程式(momentum equations)：

R

能量方程式(energy equation)：

∆Θ

上式中 ₂

邊界條件(boundary conditions)：

η

⎥⎦⎤

第三章數值方法

在求解方面，吾人將流場之 r 方向以符合邊界條件的正交函數 Chandrasekhar[24]展開。而

θ

方向因是週期性函數的特徵出現，因此以傅立葉級數(Fourier series)展開，配合徑向函數以雙重級數展開的形

表一為不同內外半徑比η所對應的特徵值α_m、β_m，而當半徑比模擬流場的速度並設邊界條件(boundary conditions)為：

η

經過正交積分化之後可得到下列五條聯立一階微分方程式：

(3.6a)~(3.6e)即為吾人所欲建立的 Lorenz 方程組，係數的積分值表示於表二中。方程式為五條一階非線性常微分方程所構成，無法直不同的推導過程有所不同，在此採用古典形式的四階Runge-Kutta 數值方法，考慮以下聯立方程組：

( 2 2 ) (Spectral analysis)，而頻譜分析為研究混沌的一個重要方法。

我們利用傅立葉轉換(Fourier transform)將隨時間變化所得到的函數結果作轉換，求得其頻率函數進而求取函數分量的強度。當時間函數 f(τ)為一週期性函數時，該頻譜圖將會是其基本頻率及其倍數頻率的組合；當時間級數發展為一非週期性函數時，該頻譜圖則會以振盪的連續頻率，而在圖上為連續曲線。

吾人在此採用快速傅立葉轉換(Fast Fourier Transform)(簡稱 FFT)，為最有效率的演算方法，藉以求取我們所需之頻譜強度圖。該演算法是由離散傅立業轉換(Discrete Fourier Transform)所演化而來，

但其運算速率更為有效率，可較快獲取我們所要的轉換函數。我們可藉由轉換後之頻譜圖來判讀動力系統的運動形態，若為一個同頻 (Synchronous)的週期性振盪，則頻譜為基頻與其倍數頻率的組合；而當次調諧(Subharmonic)的週期性運動時，則由基頻之分數倍頻所組成，而對於進入混沌狀態的系統，其頻譜圖則是無法判讀的連續不規則圖形。

第四章結果與討論

本章中吾人將討論普朗特數Pr、瑞里數及內外圓柱半徑比 η 等參數，對水平同心圓管間之自然對流的動態行為有何影響。

Ra

4.1 水平同心圓管間流場及溫度場之行為

在固定 Pr 下水平同心圓管間自然對流在低時會呈現左右對稱的兩個新月形渦旋，隨著之改變而先後出現兩種變化情形。第一種情形是當瑞里數由低往高增加至臨界瑞里數後，同心圓管間流場會由底部開始出現第二對渦旋，並且隨著之增加而逐漸變大，

最後吾人所建構的 Lorenz 模型會在同心圓管的區間形成四個大小相仿並且左右對稱的渦旋。

Ra Ra

Rac

Ra

出現第二對渦旋後，隨著持續增加到第二臨界瑞里數之後會產生第二種情形。這時候由 Lorenz 模型所解出來的函數值開始出現非穩態的現象，並且隨著值的增加其震盪的情形愈為顯著。圖二為固定η 在不同的 Pr 下，所對應的以及的位置。

Ra

Ra₀

Ra

Rac Ra₀

在溫度場方面，在固定 Pr 下隨著的增加等溫線由原來類似同心圓的情況逐漸往圓管的上方偏移，隨著持續增加自然對流的效應會逐漸變強，這使得在內管上方及外管下方位置出現等溫圈，並隨著的增加這兩個等溫圈亦逐漸擴大並包附整個圓管。

Ra Ra

Ra

4.2 穩態流場及其穩定性

4.2.1 Ra

^對

流場的影響

圖三及圖四分別為 η=0.5，Pr=0.05 以及 η=0.75，Pr=0.03 時，水平同心圓管間流場在不同下的流線圖以及溫度分布圖。在流場部分由圖三及圖四中可以看出在低時流場呈現一對對稱的渦旋，渦旋的對稱中心在管子的中間部位。

Ra

隨著的增加，由圖三(c)及圖四(b)可以發現這對渦旋逐漸往上移動，並且在超過η=0.5 Pr=0.05 時的 =2800；以及 η=0.75 Pr=0.03 時的 =7500 之後，如圖三(e)、圖四(c)在圓管的底部開始出現第二對渦旋，並且隨著值的增加而逐漸擴大。

Ra

Rac

Ra

從圖五(a)可以看到隨著的增加流線函數的展開項係數 W 的

值隨著的增加而逐漸增強，這表示在以下流場的運動主要

是由單一對渦旋的係數W 所決定。隨著 Ra 的增加，X 值逐漸取代 W 值的地位，此時流場的行為改由 X 值主宰，流場逐漸轉變為兩對渦旋的模式，從圖五(a)可以明顯的看到這個趨勢。

Ra

Ra Ra

Ra_c

4.2.2 Ra

^對

溫度場的影響

在溫度場方面如圖三及圖四，在低時的等溫線呈同心圓，大小由內管逐漸向外管減少。隨著的增加溫度場開始出現變化，可以看出溫度場等溫線在靠近內管下方位置緊密堆集；在內管上方位置的等溫線則變得鬆緩。這代表了當流速逐漸增加之後，流體受溫度及浮力的影響愈來愈顯著。內管下方的流體受熱逐漸往上移動，使得此區域間的溫度變化較內管上方大。

Ra

隨著的增加，如圖三(f)及圖四(c)溫度場在內管的上方以及外管的下方這兩個位置各出現了一個等溫圈，並且隨著的增加而逐漸擴大。這是因為此時流場新出現的渦旋逐漸增強而影響到溫度場，

這亦表示當增加而流體流速變快時，自然對流的效應也隨之增強。

Ra

4.3 第二臨界瑞里數 Ra

後水平同心圓管間流場及溫度場之行為

在固定 Pr 下當瑞里數增加至第二臨界瑞里數之後，由吾人所建構的Lorenz 模型利用 Runge-Kutta 數值方法所解出來的係數會出現

非穩態的解，而非穩態的解會隨著的增加震盪的情形亦愈加劇

烈。為了解內外圓管間流場在之後的流場行為，吾人對於所解出來的解隨時間的變化情形取係數 X 做成時間級數圖，並配合 FFT 獲取頻譜圖，藉以了解流場在超越後的行為。

Ra0

Ra

Ra0

4.3.1 由時間級數與 FFT 頻譜圖探討流場及溫度場的行為

η=0.5，Pr=0.05 時所發生的 =25000，如圖六(a)Ra=29000 時當時間夠長以後可以發現所解出來的 X 值並不隨著時間的增加而有所收斂，呈現的是單一週期性的波動圖形。從 FFT 頻譜圖可以看到，

頻譜是由在頻率為0.77 及其倍頻所組成，確為單一週期性運動型態。

附錄二為 η=0.5，Pr=0.05，Ra=29000 時將非穩態發生的週期分別取時間 t=128.041、128.272、128.503、128.734 繪製成的流線圖及溫度分布圖。

Ra0

圖六(b) =60000 時 X 的振幅由圖四(a)的 5000 增加至 120000，

而FFT 則是由較小的頻率為 0.7 及其倍頻所組成，這表示當增加至60000 時流的運動仍是單一週期性的。圖六(c) =100000 時 X 所

Ra

出現解仍然是單一週期性的結果，其FFT 頻譜圖則是由 0.58 及其倍頻所組成。

η=0.75，Pr=0.03 時所發生的 =70000，如圖七(a)當 =77000 時 X 所得到的解是振幅為的不收斂結果，FFT 圖則是由頻率為0.94 及其倍頻所組成，為單一週期的運動模式。圖七(b)(c)(d) 的分別為120000、200000 以及 300000，從 X 的時間級數圖可以看到隨著的增加其振幅亦愈來愈大，而所構成的頻率隨著的增加而逐漸縮小但是仍然為單一週期性運動型態。

Ra0

Ra

108

6 . 3 ×

Ra

Ra Ra

當非線性系統存在時，理論上應隨著某些係數的增而出現週期倍增的現象，隨著係數的增加呈現的結果也許是更複雜的自我複製現象或是到達混沌狀態。吾人所建構的 Lorenz 模型所解出來的結果，到達之後確有出現不穩定的解，但是隨著的增加並未出現週期倍增的現象甚至混沌的情形，出現的現象只有解出來的係數振盪的振幅隨著的增加愈來愈大。超過某一值之後程式將開始發散，將時

間格點變小或是將前一個可以解出解的所算出來的解當作起始

值，仍然無法解出其不穩定的結果。

Ra0

Ra

Ra Ra

Ra

會影響到這個結果的原因就是非線性項，如表二所示從吾人所建構的Lorenz 模型可以發現所有非線性項前面的係數的大小相較於其他線性項的係數明顯小很多，隨著半徑比η 的增加，非線性項前面的係數亦愈小。這表示吾人用sin、cos 以及 Chandrasekhar 等函數所展開的模式在正交的時候將非線性的效力減小，所以如圖五可以發現所解出來的WXYZV 值皆為比較偏向線性的結果。同時非線性項的效力相對於線性項的效力小，使得吾人所建構的Lorenz 模型能找到 2-渦旋轉化為4-渦旋的臨界瑞里數Ra_c所存在的範圍受到半徑比 η 以

及Pr 所影響；找不穩定的臨界瑞里數時，也只能在低Pr 值的範圍發生。

Ra0

4.4 各參數對流場穩定性的影響

4.4.1 Pr 數對流場的影響

如圖二(a)(b)在固定一個 Pr 數下由小逐漸增大，可以看到流場會先通過一條 2-渦旋衍生為 4-渦旋的線。在這條線段以上的位置皆為兩對渦旋的流場；以下則為單一渦旋的流場，線段的趨勢是隨著 Pr 數的增加而逐漸增加。隨著數的增加又會通過第二條線段，在這條線段以上所解出來的數值皆為不穩定狀態並隨著的增加而振幅擴大。

Ra

在圖二(a)可以發現吾人由模型所解出來的結果在 Pr 為 0.045 左側的部位這兩條線段所相距的位置較遠，而Pr 在 0.045 右側呈現兩條線段趨勢類似的情形，這部分也與文獻上的結果較為吻合；在圖二(b) 之中Pr 在 0.015 也有相類似的情形。這表示吾人所建構的模型在較低的Pr 之下，與實際上的趨勢差異較大。

礙於吾人所建構的模型所能發現及的範圍極為狹窄，要

找到兩條線共存的範圍更是不易，尤以受到發生範圍的約束為

最。因為在不同的半徑比 η 下吾人所建構的模型能找到和的 Pr 範圍皆極為狹窄，所以吾人能找到的 Pr 範圍內，並未有文獻可以與和同時比較。

Rac Ra₀ Ra0

Rac Ra₀

但是如圖八如果抦除的部分，可以看到在η=0.85 時 Yoo(1998) 所得到的線段與吾人建立的模型所畫出來的線段，在低 Pr 範圍內的

Ra0

趨勢以及數值上是相仿的。但是隨著 Pr 數的增加，與 Yoo 所得到的結果會逐漸偏遠。這說明吾人的模型在低的Pr 數下所做出來的與文獻上的情形較為符合，也大概知道在圖二裡低 Pr 數第二臨界瑞里數的部分是與理論上的結果差異較大。

Rac

Ra0

4.4.2 半徑比 η 對流場的影響

由圖二(a)和(b)作比較，可以大概看出在這兩個半徑比之內的及所出現的位置是隨著半徑比的增加而增加的。圖九(a)為固定 Pr 下對不同的半徑比所出現的位置圖，其中在 η=0.75 之前隨著 η 的增加而增加；η 大於 0.75 的最高點之後模型所找出來的則又呈現減小的現象。

Rac

Ra0

Rac Ra_c

Rac

圖九(b)為吾人的模型在 Pr=0.5 與 Pr=0.7 時與 Yoo(1996)以有限差分法和Powe(1969)以實驗方式在 Pr=0.7 所得的比較圖。從圖形可

在文檔中水平同心圓管間自然對流之動態模型 (頁 19-0)

第二章 數學模式

2.2 無因次化

R

η

第 三 章 數值方法

θ

η

第 四 章 結 果 與 討 論

Ra

4.1 水平同心圓管間流場及溫度場之行為

Ra Ra

Ra

Ra

Ra

Ra Ra

Ra

4.2 穩態流場及其穩定性

4.2.1 Ra

流場的影響

Ra

Ra

Ra

Ra

Ra

Ra Ra

4.2.2 Ra

溫度場的影響

Ra

Ra

Ra

Ra

Ra

4.3 第二臨界瑞里數 Ra

後水平同心圓管間流場及溫 度場之行為

Ra

4.3.1 由時間級數與 FFT 頻譜圖探討流場及溫度場的行為

Ra

Ra

Ra

Ra

Ra

Ra Ra

Ra

Ra Ra

Ra

4.4 各參數對流場穩定性的影響

4.4.1 Pr 數對流場的影響

Ra

Ra

Ra

4.4.2 半徑比 η 對流場的影響

第二章數學模式

第三章數值方法

第四章結果與討論

後水平同心圓管間流場及溫度場之行為