第四章 結果與討論
4.2 穩態流場及其穩定性
4.2.1 Ra
對流場的影響
圖三及圖四分別為 η=0.5，Pr=0.05 以及 η=0.75，Pr=0.03 時，水 平同心圓管間流場在不同 下的流線圖以及溫度分布圖。在流場部 分由圖三及圖四中可以看出在低 時流場呈現一對對稱的渦旋，渦 旋的對稱中心在管子的中間部位。
Ra
Ra
隨著 的增加，由圖三(c)及圖四(b)可以發現這對渦旋逐漸往上 移動，並且在超過η=0.5 Pr=0.05 時的 =2800；以及 η=0.75 Pr=0.03 時的 =7500 之後，如圖三(e)、圖四(c)在圓管的底部開始出現第二 對渦旋，並且隨著 值的增加而逐漸擴大。
Ra
Rac
Rac
Ra
從圖五(a)可以看到隨著 的增加流線函數的展開項係數 W 的
值隨著 的增加而逐漸增強，這表示 在 以下流場的運動主要
是由單一對渦旋的係數W 所決定。隨著 Ra 的增加，X 值逐漸取代 W 值的地位，此時流場的行為改由 X 值主宰，流場逐漸轉變為兩對渦 旋的模式，從圖五(a)可以明顯的看到這個趨勢。
Ra
Ra Ra
Rac4.2.2 Ra
對溫度場的影響
在溫度場方面如圖三及圖四，在低 時的等溫線呈同心圓，大 小由內管逐漸向外管減少。隨著 的增加溫度場開始出現變化，可 以看出溫度場等溫線在靠近內管下方位置緊密堆集；在內管上方位置 的等溫線則變得鬆緩。這代表了當流速逐漸增加之後，流體受溫度及 浮力的影響愈來愈顯著。內管下方的流體受熱逐漸往上移動，使得此 區域間的溫度變化較內管上方大。
Ra
Ra
隨著 的增加，如圖三(f)及圖四(c)溫度場在內管的上方以及外 管的下方這兩個位置各出現了一個等溫圈，並且隨著 的增加而逐 漸擴大。這是因為此時流場新出現的渦旋逐漸增強而影響到溫度場，
這亦表示當 增加而流體流速變快時，自然對流的效應也隨之增強。
Ra
Ra
Ra
4.3 第二臨界瑞里數 Ra
0後水平同心圓管間流場及溫 度場之行為
在固定 Pr 下當瑞里數增加至第二臨界瑞里數 之後，由吾人所 建構的Lorenz 模型利用 Runge-Kutta 數值方法所解出來的係數會出現
非穩態的解，而非穩態的解會隨著 的增加震盪的情形亦愈加劇
烈。為了解內外圓管間流場在 之後的流場行為，吾人對於所解出 來的解隨時間的變化情形取係數 X 做成時間級數圖，並配合 FFT 獲 取頻譜圖，藉以了解流場在超越 後的行為。
Ra0
Ra
Ra0
Ra0
4.3.1 由時間級數與 FFT 頻譜圖探討流場及溫度場的行為
η=0.5，Pr=0.05 時所發生的 =25000，如圖六(a)Ra=29000 時當 時間夠長以後可以發現所解出來的 X 值並不隨著時間的增加而有所 收斂，呈現的是單一週期性的波動圖形。從 FFT 頻譜圖可以看到，
頻譜是由在頻率為0.77 及其倍頻所組成，確為單一週期性運動型態。
附錄二為 η=0.5，Pr=0.05，Ra=29000 時將非穩態發生的週期分別取 時間 t=128.041、128.272、128.503、128.734 繪製成的流線圖及溫度 分布圖。
Ra0
圖六(b) =60000 時 X 的振幅由圖四(a)的 5000 增加至 120000，
而FFT 則是由較小的頻率為 0.7 及其倍頻所組成，這表示當 增加 至60000 時流的運動仍是單一週期性的。圖六(c) =100000 時 X 所
Ra
Ra
Ra
出現解仍然是單一週期性的結果，其FFT 頻譜圖則是由 0.58 及其倍 頻所組成。
η=0.75，Pr=0.03 時所發生的 =70000，如圖七(a)當 =77000 時 X 所得到的解是振幅為 的不收斂結果，FFT 圖則是由頻率 為0.94 及其倍頻所組成，為單一週期的運動模式。圖七(b)(c)(d) 的 分別為120000、200000 以及 300000，從 X 的時間級數圖可以看到隨 著 的增加其振幅亦愈來愈大，而所構成的頻率隨著 的增加而逐 漸縮小但是仍然為單一週期性運動型態。
Ra0
Ra
108
6 . 3 ×
Ra
Ra Ra
當非線性系統存在時，理論上應隨著某些係數的增而出現週期倍 增的現象，隨著係數的增加呈現的結果也許是更複雜的自我複製現象 或是到達混沌狀態。吾人所建構的 Lorenz 模型所解出來的結果，到 達 之後確有出現不穩定的解，但是隨著 的增加並未出現週期倍 增的現象甚至混沌的情形，出現的現象只有解出來的係數振盪的振幅 隨著 的增加愈來愈大。超過某一 值之後程式將開始發散，將時
間格點變小或是將前一個可以解出解的 所算出來的解當作起始
值，仍然無法解出其不穩定的結果。
Ra0
Ra
Ra Ra
Ra
會影響到這個結果的原因就是非線性項，如表二所示從吾人所建 構的Lorenz 模型可以發現所有非線性項前面的係數的大小相較於其 他線性項的係數明顯小很多，隨著半徑比η 的增加，非線性項前面的 係數亦愈小。這表示吾人用sin、cos 以及 Chandrasekhar 等函數所展 開的模式在正交的時候將非線性的效力減小，所以如圖五可以發現所 解出來的WXYZV 值皆為比較偏向線性的結果。同時非線性項的效 力相對於線性項的效力小，使得吾人所建構的Lorenz 模型能找到 2-渦旋轉化為4-渦旋的臨界瑞里數Rac所存在的範圍受到半徑比 η 以
及Pr 所影響；找不穩定的臨界瑞里數 時，也只能在低Pr 值的範 圍發生。
Ra0