研究目的

和自然對流相關的問題一直受到研究者的重視，並藉著不同的數 值方法或實驗方法，來瞭解自然對流發生的情形及各種現象。本研究 的重點是利用流場的行為特徵展開為 Lorenz 簡化模型，並利用此模 型探討水平同心圓管在自然對流之狀況下，各項參數對流場所產生的 影響。分為以下數項：

1. 影響水平同心圓管間自然對流的參數普朗特數(Pr)、瑞里數(Ra)及

內外圓柱半徑比(η)：

在固定 Pr 及 η 下，隨著 Ra 增加所造成圓管間流體的流場及溫度 場之變化情形。

2. 當不穩定發生後自然對流流場的現象，並探討 Ra 所影響流場行為

的範圍。

第 二 章 數學模式

本文中所探討的物理模式如圖一所示，兩水平無限長的同心圓 管，其間充滿黏滯性牛頓流體， 和 分別為內外圓柱之溫度， 和 分別為內外圓柱之半徑。內外圓管之溫度分別固定如下：

T1 T₂ r₁ r₂

T₁=T₀+∆T₀ T₂ =T₀

本文主要探討兩水平無限長的同心圓管在溫差作用下及自然對 流作用下，各項參數對流場之影響。本章中將先建立其動量及能量之 數學模式，作以數值方法之解題基礎。

2.1 統御方程式

在開始分析問題以前我們先作以下之假設：

A. 兩同心圓管為無限長，流場為 2-D 流場 B. 流體為牛頓流體

C. 根據波斯尼克近似法(Boussinesq approximation)，除浮力項外，流 體之物理性質皆為定值

D. 忽略流體之黏滯性耗損

其圓柱座標

( r , θ )

的統御方程式如下：

連續方程式(continuity equation)：

1 0

) 1 (

∂ = + ∂

∂

∂

θ v ru r

r

r (2.1)

動量方程式(momentum equations)：

能量方程式(energy equation)：

T T

ν為運動黏滯係數(Kinematic viscosity) g 為重力加速度(gravitation acceleration) α 為熱擴散係數(thermal diffusivity)

β為熱膨脹係數(thermal expansion coefficient) Pr 為普朗特數(Prandtl number)

Ra 為瑞里數 (Rayleigh number)

邊界條件(boundary conditions) ：

r=r₁ ：u= v=0，T =T₀ +∆T₀ (2.4a) r=r₂ ：u= v=0，T =T₀ (2.4b)

2.2 無因次化

連續方程式(continuity equation)：

^{1 ( ) 1 = 0} 動量方程式(momentum equations)：

R

能量方程式(energy equation)：

∆Θ

上式中 ₂

邊界條件(boundary conditions)：

η

⎥⎦⎤

第 三 章 數值方法

在求解方面，吾人將流場之 r 方向以符合邊界條件的正交函數 Chandrasekhar[24]展開。而

θ

方向因是週期性函數的特徵出現，因此 以傅立葉級數(Fourier series)展開，配合徑向函數以雙重級數展開的形

表一為不同內外半徑比η所對應的特徵值α_m、β_m，而當半徑比 模擬流場的速度並設邊界條件(boundary conditions)為：

η

經過正交積分化之後可得到下列五條聯立一階微分方程式：

(3.6a)~(3.6e)即為吾人所欲建立的 Lorenz 方程組，係數的積分值 表示於表二中。方程式為五條一階非線性常微分方程所構成，無法直 不同的推導過程有所不同，在此採用古典形式的四階Runge-Kutta 數 值方法，考慮以下聯立方程組：

( 2 2 ) (Spectral analysis)，而頻譜分析為研究混沌的一個重要方法。

我們利用傅立葉轉換(Fourier transform)將隨時間變化所得到的 函數結果作轉換，求得其頻率函數進而求取函數分量的強度。當時間 函數 f(τ)為一週期性函數時，該頻譜圖將會是其基本頻率及其倍數頻 率的組合；當時間級數發展為一非週期性函數時，該頻譜圖則會以振 盪的連續頻率，而在圖上為連續曲線。

吾 人 在 此 採 用 快 速 傅 立 葉 轉 換(Fast Fourier Transform)(簡 稱 FFT)，為最有效率的演算方法，藉以求取我們所需之頻譜強度圖。該 演算法是由離散傅立業轉換(Discrete Fourier Transform)所演化而來，

但其運算速率更為有效率，可較快獲取我們所要的轉換函數。我們可 藉由轉換後之頻譜圖來判讀動力系統的運動形態，若為一個同頻 (Synchronous)的週期性振盪，則頻譜為基頻與其倍數頻率的組合；而 當次調諧(Subharmonic)的週期性運動時，則由基頻之分數倍頻所組 成，而對於進入混沌狀態的系統，其頻譜圖則是無法判讀的連續不規 則圖形。

第 四 章 結 果 與 討 論

本章中吾人將討論普朗特數Pr、瑞里數 及內外圓柱半徑比 η 等參數，對水平同心圓管間之自然對流的動態行為有何影響。

Ra

4.1 水平同心圓管間流場及溫度場之行為

在固定 Pr 下水平同心圓管間自然對流在低 時會呈現左右對稱 的兩個新月形渦旋，隨著 之改變而先後出現兩種變化情形。第一 種情形是當瑞里數由低往高增加至臨界瑞里數 後，同心圓管間流 場會由底部開始出現第二對渦旋，並且隨著 之增加而逐漸變大，

最後吾人所建構的 Lorenz 模型會在同心圓管的區間形成四個大小相 仿並且左右對稱的渦旋。

Ra Ra

Rac

Ra

出現第二對渦旋後，隨著 持續增加到第二臨界瑞里數 之後 會產生第二種情形。這時候由 Lorenz 模型所解出來的函數值開始出 現非穩態的現象，並且隨著 值的增加其震盪的情形愈為顯著。圖 二為固定η 在不同的 Pr 下，所對應的 以及 的位置。

Ra

Ra₀

Ra

Rac Ra₀

在溫度場方面，在固定 Pr 下隨著 的增加等溫線由原來類似 同心圓的情況逐漸往圓管的上方偏移，隨著 持續增加自然對流的 效應會逐漸變強，這使得在內管上方及外管下方位置出現等溫圈，並 隨著 的增加這兩個等溫圈亦逐漸擴大並包附整個圓管。

Ra Ra

Ra

4.2 穩態流場及其穩定性

4.2.1 Ra

^對

流場的影響

圖三及圖四分別為 η=0.5，Pr=0.05 以及 η=0.75，Pr=0.03 時，水 平同心圓管間流場在不同 下的流線圖以及溫度分布圖。在流場部 分由圖三及圖四中可以看出在低 時流場呈現一對對稱的渦旋，渦 旋的對稱中心在管子的中間部位。

Ra

Ra

隨著 的增加，由圖三(c)及圖四(b)可以發現這對渦旋逐漸往上 移動，並且在超過η=0.5 Pr=0.05 時的 =2800；以及 η=0.75 Pr=0.03 時的 =7500 之後，如圖三(e)、圖四(c)在圓管的底部開始出現第二 對渦旋，並且隨著 值的增加而逐漸擴大。

Ra

Rac

Rac

Ra

從圖五(a)可以看到隨著 的增加流線函數的展開項係數 W 的

值隨著 的增加而逐漸增強，這表示 在 以下流場的運動主要

是由單一對渦旋的係數W 所決定。隨著 Ra 的增加，X 值逐漸取代 W 值的地位，此時流場的行為改由 X 值主宰，流場逐漸轉變為兩對渦 旋的模式，從圖五(a)可以明顯的看到這個趨勢。

Ra

Ra Ra

Ra_c

4.2.2 Ra

^對

溫度場的影響

在溫度場方面如圖三及圖四，在低 時的等溫線呈同心圓，大 小由內管逐漸向外管減少。隨著 的增加溫度場開始出現變化，可 以看出溫度場等溫線在靠近內管下方位置緊密堆集；在內管上方位置 的等溫線則變得鬆緩。這代表了當流速逐漸增加之後，流體受溫度及 浮力的影響愈來愈顯著。內管下方的流體受熱逐漸往上移動，使得此 區域間的溫度變化較內管上方大。

Ra

Ra

隨著 的增加，如圖三(f)及圖四(c)溫度場在內管的上方以及外 管的下方這兩個位置各出現了一個等溫圈，並且隨著 的增加而逐 漸擴大。這是因為此時流場新出現的渦旋逐漸增強而影響到溫度場，

這亦表示當 增加而流體流速變快時，自然對流的效應也隨之增強。

Ra

Ra

Ra

4.3 第二臨界瑞里數 Ra

0

後水平同心圓管間流場及溫 度場之行為

在固定 Pr 下當瑞里數增加至第二臨界瑞里數 之後，由吾人所 建構的Lorenz 模型利用 Runge-Kutta 數值方法所解出來的係數會出現

非穩態的解，而非穩態的解會隨著 的增加震盪的情形亦愈加劇

烈。為了解內外圓管間流場在 之後的流場行為，吾人對於所解出 來的解隨時間的變化情形取係數 X 做成時間級數圖，並配合 FFT 獲 取頻譜圖，藉以了解流場在超越 後的行為。

Ra0

Ra

Ra0

Ra0

4.3.1 由時間級數與 FFT 頻譜圖探討流場及溫度場的行為

η=0.5，Pr=0.05 時所發生的 =25000，如圖六(a)Ra=29000 時當 時間夠長以後可以發現所解出來的 X 值並不隨著時間的增加而有所 收斂，呈現的是單一週期性的波動圖形。從 FFT 頻譜圖可以看到，

頻譜是由在頻率為0.77 及其倍頻所組成，確為單一週期性運動型態。

附錄二為 η=0.5，Pr=0.05，Ra=29000 時將非穩態發生的週期分別取 時間 t=128.041、128.272、128.503、128.734 繪製成的流線圖及溫度 分布圖。

Ra0

圖六(b) =60000 時 X 的振幅由圖四(a)的 5000 增加至 120000，

而FFT 則是由較小的頻率為 0.7 及其倍頻所組成，這表示當 增加 至60000 時流的運動仍是單一週期性的。圖六(c) =100000 時 X 所

Ra

Ra

Ra

出現解仍然是單一週期性的結果，其FFT 頻譜圖則是由 0.58 及其倍 頻所組成。

η=0.75，Pr=0.03 時所發生的 =70000，如圖七(a)當 =77000 時 X 所得到的解是振幅為 的不收斂結果，FFT 圖則是由頻率 為0.94 及其倍頻所組成，為單一週期的運動模式。圖七(b)(c)(d) 的 分別為120000、200000 以及 300000，從 X 的時間級數圖可以看到隨 著 的增加其振幅亦愈來愈大，而所構成的頻率隨著 的增加而逐 漸縮小但是仍然為單一週期性運動型態。

Ra0

Ra

108

6 . 3 ×

Ra

Ra Ra

當非線性系統存在時，理論上應隨著某些係數的增而出現週期倍 增的現象，隨著係數的增加呈現的結果也許是更複雜的自我複製現象 或是到達混沌狀態。吾人所建構的 Lorenz 模型所解出來的結果，到 達 之後確有出現不穩定的解，但是隨著 的增加並未出現週期倍 增的現象甚至混沌的情形，出現的現象只有解出來的係數振盪的振幅 隨著 的增加愈來愈大。超過某一 值之後程式將開始發散，將時

間格點變小或是將前一個可以解出解的 所算出來的解當作起始

值，仍然無法解出其不穩定的結果。

Ra0

Ra

Ra Ra

Ra

會影響到這個結果的原因就是非線性項，如表二所示從吾人所建 構的Lorenz 模型可以發現所有非線性項前面的係數的大小相較於其 他線性項的係數明顯小很多，隨著半徑比η 的增加，非線性項前面的 係數亦愈小。這表示吾人用sin、cos 以及 Chandrasekhar 等函數所展 開的模式在正交的時候將非線性的效力減小，所以如圖五可以發現所 解出來的WXYZV 值皆為比較偏向線性的結果。同時非線性項的效 力相對於線性項的效力小，使得吾人所建構的Lorenz 模型能找到 2-渦旋轉化為4-渦旋的臨界瑞里數Ra_c所存在的範圍受到半徑比 η 以

及Pr 所影響；找不穩定的臨界瑞里數 時，也只能在低Pr 值的範 圍發生。

Ra0

4.4 各參數對流場穩定性的影響

4.4.1 Pr 數對流場的影響

如圖二(a)(b)在固定一個 Pr 數下 由小逐漸增大，可以看到流場 會先通過一條 2-渦旋衍生為 4-渦旋的線。在這條線段以上的位置皆 為兩對渦旋的流場；以下則為單一渦旋的流場，線段的趨勢是隨著 Pr 數的增加而逐漸增加。隨著 數的增加又會通過第二條線段，在 這條線段以上所解出來的數值皆為不穩定狀態並隨著 的增加而振 幅擴大。

Ra

Ra

Ra

在圖二(a)可以發現吾人由模型所解出來的結果在 Pr 為 0.045 左

在圖二(a)可以發現吾人由模型所解出來的結果在 Pr 為 0.045 左

在文檔中 水平同心圓管間自然對流之動態模型 (頁 16-0)