( ) t ( ) ( ) d y t x x T
当激励x t( )( )t 时，响应y t( )h t( )。所以此一阶系统的冲激响应为
( ) t ( ) ( ) d ( ) ( ) h t T u t u t T
2.6.3 阶跃响应阶跃响应是一种特殊的零状态响应，其激励信号为单位阶跃信号u t ，其示意图如图 2.6-4( ) 所示。
) u(t
0 t
0 t
1 u(t) LTI系统 g(t)
) (t g
图2.6-4 阶跃响应示意图 理论上，可以利用与冲激响应的关系求阶跃响应，即
( ) 0t ( )d
g t
h （2.6-21）在工程上，测试系统的阶跃响应是一个非常重要的问题。为了方便地观察响应信号，实 际的激励信号并不采用某时刻以后的直流信号来模拟阶跃信号，而是采用周期方波信号的上升 前沿来代替阶跃信号，在示波器上就能够很清楚地观测到响应波形了，其示意图如图2.6-5 所 示。通过对阶跃响应的分析，可以测试系统的稳定性、快速性及准确性。阶跃响应分析法是自 动控制领域中不可缺少的一种分析方法。
) u(t
被测试系统 )
u(t g(t)
) (t g
脉冲信号源 示波器
图2.6-5 阶跃响应的测试
2.7 卷积与零状态响应
2.7.1 任意信号的分解
对于任意激励信号x t ，如图 2.7-1（a）所示，可以用一系列的矩形脉冲来近似，如图 2.7-1( )
（b）所示。根据函数积分原理，当 很小时，可以用矩形脉冲的顶端所构成的阶梯折线 x t( ) 来近似表示激励信号x t ，即 ( )
k
k t p k x t
x () ( ) ( ) （2.7-1）
其中 ( ) ( ) ( )
2 2
p t u t u t 为矩形脉冲，幅度为 1，脉冲宽度为 ，脉冲面积为 ， ( )
x k 为信号 ( ) x t 在 k 时刻的取值。
越小，阶梯折线越光滑，即阶梯折线 ( )x t 就更加逼近原信号x t ，如图 2.7-1（c）所( ) 示。由于当 → d 时，kΔ→ ，∑→∫，则由式（2.7-1）得
0 0
( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )d
k
x t x t x k t k x t
（2.7-2）（a）任意激励信号 （b）任意激励信号用矩形脉冲来近似
) (t x
0 t
2 3
) ( x
k )
0 (
x x(k )
（c）任意激励信号用冲激信号来近似 图2.7-1 任意信号x t( )的分解
由此得到一个重要的结论，即任意信号都可以分解为无限多个强度为x( )d 的冲激信号 及其时移的加权叠加或积分。
2.7.2 卷积与零状态响应
由式（2.7-2）可知，任意激励信号 ( )x t 都可以分解为冲激信号 ( ) t 及其时移的加权之和，即 ( ) ( ) ( )d
x t x t
根据冲激响应的定义及LTI 系统的特性， ( ) t →h t ， (( ) t)→h t( )，则当激励为x t( ) 时，系统的零状态响应为
( ) ( ) ( )d yzs t x h t
（2.7-3）显然，式（2.7-3）表示为一个卷积积分。表明利用激励信号 ( )x t 与单位冲激响应 ( )h t 卷积 即可得到系统的零状态响应yzs( )t ，简记为
( ) ( ) ( )
yzs t x t h t （2.7-4）
如果系统是因果系统，即在t 时， ( ) 00 h t ，且激励信号 ( )x t 仅在 t≥0 时有值，则零状
态响应为
2.7.3 卷积的图解法
卷积图解法是借助于图形计算卷积积分的一种基本计算方法。与解析法相比，图解法使 人更容易理解系统零状态响应的物理意义和积分上下限的确定。从几何意义来说，卷积积分是 相乘曲线下的面积。采用图解法可以使枯燥的数学符号生动活泼起来，图形的加入起到画龙点 睛的奇妙效果。
卷积的一般公式
1( ) 2( ) 1( ) (2 )d f t f t f f t
（2.7-7）由式（2.7-7）可得图解法具体步骤为：
（1）置换（ t → ），即 f t →1( ) f1( ) ， f t →2( ) f2( ) 。
（2）反褶（ → ），即 f2( ) → f2( ) 。
（3）平移（ → t），即 f2( ) → f t2( 。 )
（4）相乘，即f1( ) ( f t2 )。
（5）积分，即 f1( ) ( f t2 )d
。为了清楚地认识卷积的过程及积分定限的问题，以图 2.7-3 所示的两个时限信号 f t 和1( )
2( )
f t 为例来说明卷积图解过程，卷积结果以y t 表示。 ( )
0 t
)
1(t f
1 -1
1
0 t
)
2(t f
1 1 2
2
1 2
1
图2.7-3 两个时限信号 由图2.7-3 可得两个原信号的表达式，分别为
1
( ) 1( 1)[ ( 1) ( 1)]
f t 2 t u t u t
2
( ) 2[ ( 1) ( 1)]
f t u t2 u t
信号 f t 和1( ) f t 卷积过程的“置换”2( ) 、“反褶”和“平移”的步骤分别如图2.7-4 所示。
在图2.7-4 的“置换”步骤中，只是自变量发生改变，图形不变；“反褶”步骤中，f2( ) 变成f2( ) ，此时的 t0；“平移”是参变量 t 由 到变化，对应的f t2( 沿时间) 轴从 最左边移动到最右边。根据本题目，二信号的关系分5 种情况，只有平移 2、平移 3 和平移 4 阶段f1( ) ( f t2 )才有值，从图中的阴影可以得知二信号相乘后的积分限。有关本题目的卷积 计算问题说明如下：
“平移”1：此时 1 2 1
t ，即 3
t ，二信号无交叠，卷积结果为 2
1 2
( ) ( ) ( ) 0 y t f t f t
0 1
两个时限信号相卷积，其结果仍然为时限信号，左边界为二信号左边界之和，右边界为 二信号右边界之和，其信号值域的非零值区间范围发生了变化。
2.7.4 卷积的性质 1．交换律
1( ) 2( ) 2( ) 1( )
f t f t f t f t （2.7-8）
式（2.7-8）表明，在求解两个连续信号的卷积时，可以将其中的任一信号反褶，卷积结 果保持不变。为了运算简单，常将表达式较为简单的那一信号进行反褶。
2．分配律
1( ) [ ( )2 3( )] 1( ) 2( ) 1( ) 3( )
f t f t f t f t f t f t f t （2.7-9）
卷积的分配律反映了系统的叠加性，可以用来求若干子系统并联后，系统总的冲激响应。
图2.7-6 中的系统由两个子系统并联而成，子系统的冲激响应分别为h t 和1( ) h t 。 2( )
y(t)) (t x
)
1(t h
)
2(t h
图2.7-6 两个子系统并联 根据系统框图可知，系统的响应为
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t x t h t x t h t 由卷积的分配律，可得
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t x t h t h t x t h t 则系统总的冲激响应为
1 2
( ) ( ) ( )
h t h t h t （2.7-10）
3．结合律
1 2 3 1 2 3
[ ( )f t f t( )]f t( ) f t( ) [ ( ) f t f t( )] （2.7-11）
利用卷积的结合律，可以求得若干子系统串联后，系统总的冲激响应。
图2.7-7 中的系统由两个子系统串联而成，子系统的冲激响应分别为h t 和1( ) h t 。 2( )
)
2(t ) h
1(t
h y(t)
) x(t
图2.7-7 两个子系统串联 根据系统框图可知，系统的响应为
1
2( ) ( ) ( ) ( ) y t x t h t h t 应用卷积结合律，可得
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t x t h t h t x t h t 则系统总的冲激响应
1 2
( ) ( ) ( )
h t h t h t （2.7-12）
4．卷积的微分与积分
当激励信号x t( )( )t 时，响应y t( )h t( )，则有
2.7.5 系统的全响应及其含义
由前面所述分析方法可知，动态系统的全响应可以分为：
1．全响应分解为零输入响应与零状态响应
全响应可以分解为零输入响应yzi( )t 与零状态响应yzs( )t 之和，即 ( ) zi( ) zs( )
y t y t y t （2.7-20）
2．全响应分解为自由响应与强迫响应
全响应y t 还可以分解为自由响应( ) y t 与强迫响应h( ) y t 之和，即 p( ) ( ) h( ) p( )
y t y t y t （2.7-21）
自由响应又称固有响应，它反映了系统本身的特性，取决于系统的特征根；强迫响应又 称强制响应，是与激励相关的响应。通过求解系统的零输入响应和零状态响应，并获得系统的 全响应，然后利用系统特性与自由响应、激励与强迫响应的关系可以得到自由响应和强迫响应。
3．全响应分解为暂态响应与稳态响应
全响应y t 还可以分解为暂态响应( ) y t 与稳态响应T( ) y t 之和，即 s( ) ( ) T( ) s( )
y t y t y t （2.7-22）
对于全响应，当 t→时，响应趋于零的那一部分响应分量称为暂态响应，又称瞬态响应；
当 t→时，响应中能够保持恒定或周期变化的那一部分响应分量称为稳态响应。通常，当阶 跃信号或周期信号作用于系统时产生的零状态响应就是稳态响应。
图 2.7-12（a）和（b）表示某一系统在t 时稳定输出恒定量，0 t 时，系统受到不同0 的激励，经过一段过渡时间后重新建立平衡，达到新的稳定状态。图2.7-12（a）中 (0 )y y(0 ) ， 而图 2.7-12（b）中 (0 )y y(0 ) 。从原稳态到新稳态所经历的时间越短，说明系统的快速性 越好；图 2.7-12（a）中有振荡，振荡幅度越小，则系统的平稳性越好；最终的稳态值与所希 望的值越接近，则系统的准确性越好。
0 ) y(t
a
t b
原稳态
新稳态 暂态
0 ) y(t
a
t b
原稳态
新稳态 暂态
（a）初始值与初始状态连续变化 （b）初始值与初始状态不连续变化 图2.7-12 系统全响应的过渡过程示意图
例 2.7-5 已知某二阶系统的数学模型为y(2)( ) 3t y(1)( ) 2 ( )t y t x(1)( )t x t( )，系统的初 始状态y(0 ) 1 ，y(1)(0 ) 2 。当激励 ( )x t u t( )时，求系统的全响应y t ，并指出零输入响( ) 应与零状态响应、自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。
解 （1）用经典法求零输入响应 ( )y t ，即
(2)( ) 3 (1)( ) 2 ( ) 0
zi zi zi
y t y t y t 由特征方程s23s ，解得特征根为2 0 s1 ，1 s2 ，则 2