LTI 连续系统的零输入响应

y t a y t a y t b x t （2.4-2）

2.4.2 LTI 连续系统的框图

由前所述可知，LTI 连续系统还可以用具有理想特性的符号组合而成的图形来表征系统特 性，即用模拟框图来表示系统。它形象地说明了输入与输出关系，并与系统的数学模型形成相 互对应的关系。

图2.4-2 所示为一个二阶 LTI 系统的模拟框图。





b0

) y(t )

(t

x



a1

a0





图2.4-2 二阶系统的模拟框图 根据图2.4-2 中各个基本部件的运算关系可得其数学模型为

(2) (1)

1 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) y t a y t a y t b x t

由以上分析可以看出，二阶LTI 系统一定是由线性时不变元（部）件组成，且仅包含有两 个独立的动态元（部）件。图2.4-1 中是电感和电容，图 2.4-2 中是两个积分器，虽然组成系 统的元（部）件不同，但它们都具有相同的数学模型，反映出它们具有相同的系统动态特性。

不难得出结论，LTI 连续系统的数学模型是常系数的线性微分方程。n 阶 LTI 系统一般是 含有多个独立的动态元（部）件的系统，其输入x t 与输出 ( )( ) y t 之间的关系为 n 阶常系数的线 性微分方程，即

( ) ( 1) (1)

1 1 0

( ) ( 1) (1)

1 1 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n

n

m m

m m

y t a y t a y t a y t b x t b x t b x t b x t

 

 

    

      （2.4-3）

式中 n 和 m 均为正整数，a_n1,,a₁,a₀和b_m,b_m1,,b₁,b₀为常系数。

2.5 LTI 连续系统的零输入响应

2.5.1 系统的初始条件

建立系统的数学模型后，在给定激励下求系统的响应还需要知道动态系统的初始条件。

1．系统的初始状态

对于动态电网络，电容器、电感器分别具有储存电场能、磁场能的特性，电容电压v_C( )t 、 电感电流i t 反映了储能情况，一般为平稳变化的量，不会发生突变。假设以_L( ) t 时刻为时t₀ 间分界点，并将t 时刻前的一瞬间记为₀ t₀^，t 时刻后的一瞬间记为₀ t₀^。而v_C( )t₀^ 和i t_L( )₀^ 记忆 了(, )t₀ 期间激励作用于系统的全部历史信息，并对t 时的系统输出产生影响，称t₀ v_C( )t₀^

和i t_L( )₀^ 为系统的状态值。一般情况下，时间的起始点为t 时刻，所以系统的状态值为 (0 )0 v_C ^

(0 ) 1V

2.5.2 零输入响应

LTI 连续系统的响应可以分解为零输入响应和零状态响应之和，即 ( ) _zi( ) _zs( )

y t y t y t （2.5-4）

其中，y_zi( )t 为零输入响应，它仅仅是由系统的初始储能产生的响应；y_zs( )t 为零状态响应，

它仅仅是由系统的外加激励产生的响应。

零输入响应是指系统无外加激励，即激励信号x t( ) 0 ，这时仅由系统的初始储能产生的 响应。由式（2.4-3）表示的系统方程可得

( ) ( 1) (1)

1 1 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

n n

y t an_ y ^ t   a y t a y t  （2.5-5）

该式为齐次微分方程，其特征方程为

1 1 1 0 0

n n

s an_s ^   a sa  （2.5-6）

对其进行因式分解

1 2

(sp)(sp ) ( sp_n) 0

其中，p₁,p₂,,p_n为方程的 n 个特征根。根据特征根的不同情况，零输入响应将具有不同 的形式。

（1）当特征根均为单根时，零输入响应的一般形式为

1

( ) e ⁱ

n p t

zi i

i

y t A







其中，p 为各个单根；_i A 为单根对应指数项的待定系数。 _i

（2）当特征根中含有 k 重根，其他为单根时，零输入响应的一般形式为

1 ( 1)

1 1

( ) e^{p t k i n} e^{p tj}

zi i j

i j k

y t A t ^ A

  







其中，p 为 k 重根，₁ A 为重根对应各项的待定系数；_i p 为各个单根，_j A 为单根对应指数项的_j 待定系数。

由此可见，零输入响应是齐次方程的解。零输入响应的形式只与系统的结构和参数有关，

即与系统数学模型的系数有关；而待定系数的大小要由系统在0^时刻的初始值y_zi(0 )^ 和

( )^k (0 )

yzi ^ 来确定。

在零输入条件下，若系统的内部结构和参数不发生变化，则有y(0 )^ y_zi(0 )^ y(0 )^ ，

( )^k (0 ) ( )_zi^k (0 ) ( )^k (0 )

y ^ y ^ y ^ 。需要注意的是，零输入响应虽然是齐次方程的解，但不是系统 的齐次解。

例 2.5-2 已知某系统的数学模型为y⁽¹⁾( ) 3 ( )t  y t x t( )，激励x t( ) e ^4tu t( )，系统的初始 状态y(0 ) 5^  ，求系统的零输入响应y_zi( )t 。

解 系统的零输入响应满足方程

(1)( ) 3 ( ) 0

zi zi

y t  y t  由特征方程s30得特征根s3，则零输入响应的形式为

( ) e 3^t

yzi t A ^ t≥0

由系统的初始值求待定系数，得y_zi(0^) y(0^)A5，所以零输入响应为

由特征方程s² 2s  ，求得特征根1 0 s₁s₂   ，查表 2-1 可得零输入响应形式为 1