信号与系统（第二版） - 万水书苑-出版资源网

第 2 章 连续信号与系统的时域分析

本章学习目标

本章详细介绍连续信号时域基本特性，特别是单位冲激信号的特性；详细介绍 连续系统的基本特性、时域经典法求解 LTI 连续系统的零输入响应和冲激响应，时 域卷积解法求解 LTI 连续系统的零状态响应；给出信号的基本运算及系统的响应仿 真分析方法和结果。通过本章的学习，读者应该达到以下要求：  掌握典型信号的特性，熟悉信号的基本运算与变换。  掌握LTI 连续系统的基本特性，了解 LTI 连续系统数学模型的建立及系统 的初始条件。  熟悉LTI 连续系统零输入响应的经典解法和零状态响应的卷积解法。  掌握冲激信号的性质及LTI 连续系统的冲激响应、阶跃响应。  熟悉卷积积分及其主要性质，了解卷积积分的图解。  初步熟悉对信号的基本运算及系统阶跃响应特性的仿真分析。 在第1 章中着重介绍了信号与系统的基本概念。从本章开始分别从时域到变换域的角度， 对信号的基本特性和系统的基本特性进行分析，并利用 Multisim 对基本信号和基本电路系统 进行仿真分析。 本章将讨论连续信号的基本特性，特别是引入了单位冲激函数( )t 和单位阶跃函数u t 为( ) 基本信号，从而使对于一般信号的描述、运算与变换等变得更加清晰、简单和方便。对于连续 系统，通过给定系统的数学模型为求解其响应，建立了连续系统的时域分析方法。特别是利用 输入信号与系统单位冲激响应的卷积求系统的零状态响应，不仅简化了响应求解的问题，而且 进一步奠定了系统分析的理论基础。随着计算机技术的发展，利用时域卷积分析系统得到了更 广泛的应用。

2.1 基本连续时间信号

本节所介绍的信号都是理想的典型信号，与实际信号有一定的差距，但对理论分析却是 重要的和有意义的，对工程实际不乏指导意义。 2.1.1 正弦信号 正弦信号和余弦信号仅在相位上相差π / 2 ，统称为正弦信号，在这里可以是正弦电压信 号，也可以是正弦电流信号。一般表示为 ( ) sin( ) f t K  t （2.1-1）

其中 K 为振幅，为角频率， 为初相位（初相角）。这三个参量称为正弦信号的三要素。 除了这三要素，正弦信号还有周期 T 和频率 f 两个参数，它们之间的关系为 1 2π T f    或 2π 2π f T   其中的单位为弧度/秒（rad/s），f 的单位为赫兹（Hz），T 的单位为秒（s）。 正弦信号的波形如图2.1-1 所示。图 2.1-1（a）的横坐标是时间 t，在实际的测量中，通过 示波器能够观测到。而图2.1-1（b）的横坐标是 t ，在描述和表示上比较方便，易于理解。 0 t ) (t f K T   0 t ) (t f K 2π  （a）横坐标是时间 （b）横坐标是相位 图2.1-1 正弦信号 2.1.2 指数信号 1．指数信号 通常，描述某事物呈现一种快速单边衰减或增长都会采用指数信号。一般指数信号可以 表示为 ( ) e t f t K  （2.1-2） 其中 K 和（指数因子）为实常数，所以式（2.1-2）表示的信号称为实指数信号，简称指数 信号。 的大小决定了指数信号变化的快慢，即变化速率， 值越大，信号变化速率越快， 反之，越慢。指数信号在信号与系统分析理论中是一个非常重要的信号，原因是指数信号对时 间的微分或积分仍会得到原信号形式，容易进行数学分析。当取不同数值时，其含义为： （1）当 0时，指数信号称为增长指数信号，波形如图2.1-2（a）所示。 （2）当 0时，指数信号称为直流信号，波形如图2.1-2（b）所示。 （3）当 0时，指数信号称为衰减指数信号，波形如图2.1-2（c）所示。 0 t ) (t f 0 t K K 0 t K ) (t f f(t) （a）增长指数信号 （b）直流信号 （c）衰减指数信号 图2.1-2 指数信号 仅存在于 t≥0 或 t≤0 时间范围内的指数信号称为单边指数信号。常见的是 t≥0 的单边衰 减指数信号，其表达式为 ( ) e t 0 f t K   ，t≥0 （2.1-3）

波形如图 2.1-3 所示。注意，信号在 t=0 时发生跳变，跳变值为f(0) f(0 ) f(0 )  0 K  。 K 0 t K ) (t f 图2.1-3 单边衰减指数信号 2．复指数信号 复指数信号与指数信号相似，其表达式为 ( ) est f t K （2.1-4） 其中 K 为常数，可以是实数，也可以是复数；指数因子s  j是一复数。复指数信号还可 以写成三角形式 ( j ) ( ) e t e cost j e sint f t K   K  t K  t （2.1-5） 当 K 为实数时， ( )f t 的实部和虚部分别表现为变幅正弦振荡信号： （1）当  ，0  时，复指数信号 ( )0 f t 的实部、虚部表现为增幅正弦振荡信号，实部 波形如图2.1-4（a）所示，正弦信号的振幅按增长指数规律变化，其包络为增长指数信号。 （2）当  ，0  时，复指数信号 ( )0 f t 的实部、虚部表现为等幅正弦振荡信号，实部 波形如图2.1-4（b）所示，正弦信号的振幅不变化。 （3）当  ，0  时，复指数信号 ( )0 f t 的实部、虚部表现为衰减正弦振荡信号，实部 波形如图2.1-4（c）所示，正弦信号的振幅按衰减指数规律变化，其包络为衰减指数信号。 0 t ) (t f 0 t K K 0 t K ) (t f f(t) K  K K （a）增幅正弦振荡信号 （b）等幅正弦振荡信号 （c）衰减正弦振荡信号 图2.1-4 复指数信号 （4）当  ， 0  时，复指数信号 ( )0 f t 成为一直流信号。 不难看出，复指数信号在信号与系统分析理论中是一个非常重要的信号。它不仅能够描 述各种基本信号，还同实指数信号一样，对时间的微分或积分仍会得到原信号形式，容易进行 数学分析。但是，在实际上并不存在复指数信号。 2.1.3 抽样信号 抽样信号以符号Sa t 来表示，其表达式为 ( ) sin ( ) t Sa t t  （2.1-6）

波形如图2.1-5 所示。 t ) (t Sa π 2π 3π 4π π  2π  3π  4π  图2.1-5 抽样信号 抽样信号的特性如下： （1）抽样信号是偶函数，即满足Sa t( )Sa( ) 。 t （2）抽样信号在tkπ（k 为非零整数）时刻取值为 0。 （3）在t 时刻存在一个重要的极限0 0 0 sin lim ( ) lim 1 t t t Sa t t     。 （4）Sa t 曲线下的面积等于 π ，即( )  Sa t( )dt π  



。 2.1.4 奇异信号 函数本身存在不连续点（有跳变）或其导数、积分含有不连续点，此类信号统称为奇异 信号，亦称奇异函数。 典型的奇异信号有如下几种，其中单位阶跃信号和单位冲激信号尤为重要。 1．单位斜变信号 斜变信号又称斜坡信号，是指信号在某时刻以后随时间呈现正比例增长。当斜变信号随 时间增长的速率为1 时，称为单位斜变信号或单位斜坡信号，用符号 ( )R t 表示，定义为 0 0 ( ) 0 t R t t t      ≥ （2.1-7） 其波形如图2.1-6（a）所示。 图2.1-6（b）所示为延迟的单位斜变信号，时间起始点为t （₀ t₀  ），其定义为 0 0 0 0 0 0 ( ) t t R t t t t t t    _{ }   ≥ （2.1-8） 随时间增长的速率不为 1 的斜变信号称为一般的斜变信号，也可以表示成单位斜变信号 的形式，如信号 f t( ) 2 t（t≥0），可以写成 ( ) 2 ( )f t  R t 。在实际应用中，斜变信号一般有时 间延迟，且当信号增长到一定数值时不再发生变化，如图2.1-6（c）所示，可表示为 0 0 0 0 ( ) ( ) b t t t t t a f t a b t t a  _{  }     _  ≤ ≥ （2.1-9） 若用斜变信号表示，则 0 0 ( ) b[ ( ) ( )] f t R t t R t t a a      （2.1-10）

t ) (t R t ) (t t0 R  0 t t01 t ) (t f 0 t t0a （a）无延迟单位斜变信号 （b）有延迟单位斜变信号 （c）有延迟有折转截平斜变信号 图2.1-6 斜变信号 2．单位阶跃信号 （1）单位阶跃信号又称开关信号，如图 2.1-7（a）所示，用符号 ( )u t 来表示，其定义为 0 0 ( ) 1 0 t u t t     _  （2.1-11） 式（2.1-11）表明，在t 时刻，其值发生了跳变，即 (0 ) 00 u   ， (0 ) 1u   。通常，可以不考 虑信号u t 在( ) t 时刻的定义值。 0 在理想情况下，单位直流电压源或电流源在t 时刻接入电路并且无限持续下去，此种0 电源激励信号可以近似表示为单位阶跃信号。图2.1-7（b）所示为一理想直流电压源在t 时0 刻接入电网络 N，则网络 N 的输入电压 ( )v ti u t( )。 0 1 t ) (t u 1V vi(t) N S （a） （b） 图2.1-7 单位阶跃信号 （2）如果单位直流电源的接入时间为t ，且t₀ t₀ ，可以用延迟的单位阶跃信号来表0 示，如图2.1-8（a）所示，表示为        0 0 0 ₁ 0 ) ( t t t t t t u （2.1-12） （3）理想直流电源接入电路时，可能存在时间延迟，而且电源的电压值或电流值不为 1， 如图2.1-8（b）所示，表示为 0 ( ) ( ) f t Ku tt （2.1-13） 0 t ) (t t0 u  0 t ) (t f 0 t K 0 t 1 （a）有延迟 （b）有延迟幅值不为 1 图2.1-8 阶跃信号 单位阶跃信号u t 和延迟的单位阶跃信号( ) u t( t₀)均可以理解为开关信号，可以借助二者 确定任意信号的起始时刻。如单位斜变信号表示为R t( )tu t( )，延迟的单位斜变信号表示为

0 0 0 ( ) ( ) ( ) R tt  t t u tt ，单边指数信号表示为 f t( )Ketu t( )，图2.1-6（c）所示的信号可表 示为 0 0 0 0 ( ) b[( ) ( ) ( ) ( )] f t t t u t t t t a u t t a a         （2.1-14） 3．单位冲激信号 冲激信号的概念来源于某些物理现象，如自然界中的雷电、电力系统中开关启闭产生的 瞬间电火花、通信系统中的抽样脉冲等。 图2.1-9 所示为一无初始储能的充电电路，直流电压源的电压为 E，当电容容量 C 不变， 电阻 R 减少时，充电速率提高，当 R→0 时，开关闭合后，电容两端电压由原来的 0 值突变到 电源电压值 E，此时电流值为无限大，如何来表示这一无限大的电流呢？ E R C v(t) 0  t 开关闭合 ) (t i S 图2.1-9 无初始储能的充电电路 在图 2.1-9 所示的电路中，当R0，C1F，E1V 时，开关闭合后的一瞬间电流幅度 达到无穷大，引用冲激信号来表示，其强度即电容电压1V。当信号的幅度无限大，强度为单 位数值1 时，称此信号为单位冲激信号，用符号 ( ) t 来表示。单位冲激信号( )t 的定义方式有 多种，这里采用矩形脉冲的极限来定义。 如图 2.1-10（a）所示的矩形脉冲信号p t_( )，其脉冲宽度为 ，脉冲幅度为1/，则矩形 脉冲的面积为1。若保持面积不变，当 减少时，脉冲幅度必然增加，如图2.1-10（b）所示； 当 →0 时，1/→∞，矩形脉冲信号演变为单位冲激信号 0 ( ) limt p t_( )     ，其定义为 ( ) 0 0 ( ) 0 ( )d 1 t t t t t t               _ 



（2.1-15） 单位冲激信号( )t 的波形如图 2.1-10（c）所示，其幅度为 ，强度为 1。 ( ) t 的定义是基于 广义函数的概念，它不符合普通函数的定义，函数与自变量之间没有明确的关系。 当单位冲激信号出现在t 时，称其为延迟的单位冲激信号，表示为t₀ (tt₀)，如图2.1-11 （a）所示，定义为 0 0 0 0 0 ( ) 0 ( ) ( )d 1 t t t t t t t t t t t                 _{ } 



（2.1-16）

0 t ) (t p_ 0 t ) (t  (1) 2  2    1 0 t ) (t p 2  2    1 （a）矩形脉冲信号 （b）矩形脉冲信号时宽的演变 （c）单位冲激信号 图2.1-10 单位冲激信号的定义过程 当冲激信号的幅度无限大，强度为 A 时，如图 2.1-11（b）所示，可以称其为一般冲激信 号，即 f t₁( )A t( )，定义为 1 1 1 ( ) 0 0 ( ) 0 ( )d f t t f t t f t t A            _ 



图2.1-11（c）所示为延迟的冲激信号， f t₂( )A t( t₀)。 0 t ) (tt0  (1) 0 t 0 0 t0 t t ) ( 1t f ) (A (A) ) ( 2 t f （a）有延迟的单位冲激信号 （b）一般冲激信号 （c）有延迟的冲激信号 图2.1-11 冲激信号 4．单位冲激偶信号 单位冲激信号的求导称为单位冲激偶信号，又称二次冲激信号，用符号(1)( )t 表示。冲激 偶信号顾名思义是有两个上下对称的冲激信号，如图2.1-12（a）所示，或简单表示为图 2.1-12 （b）所示的形式。 0 t ) ( ) 1 ( _t    0 t ) 1 (   或 ) ( ) 1 ( _t  （a）对称表示 （b）非对称表示 图2.1-12 冲激偶信号 由上述分析可以看出，信号R t 、 ( )( ) u t 、 ( ) t 和(1)( )t 之间具有如下关系：

（1）微分关系 (1) d ( ) [ ( )] d d ( ) [ ( )] d d ( ) [ ( )] d u t R t t t u t t t t t     _    _    _  （2.1-17） （2）积分关系 (1) ( ) ( ) d ( ) ( )d ( ) ( ) d t t t t u t R t u              _   _    _ 







（2.1-18） 式（2.1-18）中的积分下限可以取 0。 如果信号R(t)、u(t)、(t)与(1)(t)存在延迟，它们之间仍然存在上述关系。 5．门函数 门函数是一矩形脉冲信号，又称矩形窗函数，用符号g t_( )来表示，如图2.1-13 所示，其 脉冲宽度为 ，脉冲幅度为 1，定义为 1 / 2 ( ) 0 / 2 t g t t         _  （2.1-19） 式（2.1-19）还可以表示为 ( ) 2 2 g t_ u t_ _u t_ _    。 0 t ) (t g 2  2   1 图2.1-13 门函数 6．符号函数 符号函数又称正负号函数，用符号sgn t 来表示，如图 2.1-14 所示，定义为 1 0 sgn 1 0 t t t      _  （2.1-20） 式（2.1-20）还可以表示为 sgnt2 ( ) 1u t  。 0 t t sgn 1 1  图2.1-14 符号函数

2.2 信号的运算与变换

2.2.1 信号的代数运算 1．加减运算 已知信号 f t 和₁( ) f t ，则两个信号加减运算后的₂( ) f t 表示为₃( ) 3( ) 1( ) 2( ) f t  f t  f t （2.2-1） 信号进行加减运算时，注意要在对应区间的对应时刻上进行。同时，信号值域的非零值 区间范围发生了变化，即f t 下限取信号₃( ) f t 和₁( ) f t 下限中的小值，₂( ) 上限取信号 f t 和₁( ) f t₂( ) 上限中的大值。 例 2.2-1 分别求出门函数g t_( )与符号函数sgn t 相加和相减后的信号，并写出表达式。 解 两信号的相加和相减运算如图2.2-1 所示。其表达式为 1 2 0 2 0 ( ) sgn 2 0 2 1 2 t t g t t t t           _{  }   _{ }     _                    2 1 2 0 0 0 2 2 2 1 sgn ) (      t t t t t t g 相加运算 相减运算 0 t t t g()sgn 2  2   2 0 t t t g()sgn 2  2   2 1 1  1 0 t ) (t g_ 2  2   1 0 t t sgn 1 1  1  图2.2-1 信号的加减运算 由图2.2-1 可以看出，两信号的相加和相减运算得到的信号值域的非零值区间范围发生了 变化。 2．相乘运算 已知信号 f t 和₁( ) f t ，则两个信号相乘后的₂( ) f t 表示为 ₃( ) 3( ) 1( ) 2( ) f t  f t  f t （2.2-2） 信号进行相乘运算时，注意要在对应区间的对应时刻上进行。同时，信号值域的非零值 区间范围发生了变化，即f t 下限取信号₃( ) f t 和₁( ) f t 下限中的大值，₂( ) 上限取信号 f t 和₁( ) f t₂( )

上限中的小值。 例 2.2-2 求门函数g t_( )与符号函数sgn t 相乘后所得信号，并写出表达式。 解 两信号的相乘运算如图2.2-2 所示。其表达式为

0

2

( ) sgn

1

2

0

1

0

2

t

g t

t

t

t

















 

_



 



_{ }



0 t ) (t g_ 2  2   1 0 t t sgn 1 1  相乘运算 0 t t t g()sgn 2  2   1 1  图2.2-2 相乘运算 由图2.2-2 可以看出，两信号的相乘运算得到的信号值域的非零值区间范围发生了变化。 2.2.2 信号的微分与积分 已知信号 f t ，其微分运算后得到( ) y t ，表示为 ₁( ) 1 d ( ) ( ) d f t y t t  （2.2-3） ( ) f t 经积分运算后得到y t ，表示为 ₂( ) 2( ) ( )d t y t f    

_

（2.2-4） 在进行微分与积分运算时，要特别注意两点：一是对于含间断点的信号，微分时得到冲 激信号，冲激强度等于跳变值；二是分段积分时，前一段的积分值对以后积分的影响。 例 2.2-3 已知电压信号v t ，如图 2.2-3 所示。若 ( )( ) v t 是电容两端的电压，求流过电容的 电流i t ；若 ( )_C( ) v t 是电感两端的电压，求流过电感的电流i t 。其中电容容量为 C，电感的_L( ) 电感量为 L。 解 由图2.2-3 所示波形可以写出表达式 ( )v t u t( )u t( 2)，根据电路理论，并应用信号 之间的关系，得到流过电容和电感的电流分别为









d ( ) d ( ) ( ) ( 2) ( ) ( 2) d d C v t i t C C u t u t C t t t t         









1 1 1 ( ) t ( ) d t ( ) ( 2) d ( ) ( 2) L i t v u u R t R t L    L     L 

_



_

     对应的波形如图2.2-4 所示。 图2.2-4 中，表示冲激信号强度的负号只是表明冲激信号的方向。

0 t ) (t v 2 0 t ) (t iC 2 1 _(C) ) ( C 0 t ) (t iL 2 L 2 图 2.2-3 电压信号 图 2.2-4 电流信号 2.2.3 信号的反褶 信号的反褶，又称折叠，就是把原信号沿纵轴翻转 180°。已知原信号 ( )f t ，其反褶运算 后得到y t ，表示为 ( ) ( ) ( ) y t  f  （2.2-5） t 式（2.2-5）表明，将 ( )f t 中的自变量 t 置换为-t 就得到反褶信号 (f  。实际上，对录制好的t) 音像信号进行倒放的过程就是对信号的反褶过程。 例 2.2-4 求图2.2-5 所示信号的反褶信号 ( )f  。 t 解 由图2.2-5 所示的信号可得其反褶信号的波形，如图 2.2-6 所示，表示为 1 1 ( ) (1 ) ( 2) ( ) ( 1) 2 2 f   t t u t  tu t u t （2.2-6） t t ( ) f t 图2.2-5 原信号 图 2.2-6 反褶信号 在例2.2-4 中，也可以直接由变量替换求得 1 1 ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( 2) 2 2 f  t u  t tu   t t u  t （2.2-7） 式（2.2-7）和式（2.2-6）是相等的，只是形式不同而已。 2.2.4 信号的时移 信号的时移，又称为平移，是将原信号沿时间轴向左或向右移动。若信号为 f t ，时移( ) 后得到y t ，表示为 ( ) ( ) ( ) y t  f tb （2.2-8） 其中，b 为实常数，信号 (f tb)是将 f t 平移 b 个单位后的信号。当( ) b 时， (0 f tb)滞后 于f t ， ( )( ) f t 向右平移 b 个单位得到 (f tb)；当b 时， (0 f tb)超前于f t ，将 ( )( ) f t 向 左平移 b 个单位得到 (f tb)。用表达式表示时将信号 f t 函数式中的 t 置换为 t + b。 ( ) 超前可以简单地认为“时间起点（或终点）靠前”；滞后可以简单地认为“时间起点（或 终点）靠后”，如图2.2-7 所示。 在 f( ) 的基础上怎样得到 (t f  t b)呢？ ( ) f  是原信号 ( )t f t 的反褶信号，如 (f   可由 ( )t 1) f  右移一个单位获得，与由 ( )t f t 得

到 f(t1)的情况恰恰相反，如图2.2-8 所示。 ) (t f f(t) t ( ) f t t ) 1 (t f t ) 1 (t f 图2.2-7 信号的时移（1） ) ( t f  f( t) t ( ) f t t ) 1 (t f t ) 1 (t f 图2.2-8 信号的时移（2） 由图2.2-6 至图 2.2-8 可以看出，信号进行反褶和时移运算后，信号的波形没有发生本质 上的变化，也就意味着运算后的信号没有丢失其所传递的信息。 2.2.5 信号的尺度变换 在实际信号传输过程中，为了提高传输效率，经常要对信号进行时间“压缩”，在接收端 “扩展”被压缩的信号得到原信号，这就要用到信号的尺度变换知识，信号经时域压缩后可以 提高传输速率，但必须以牺牲带宽资源作代价，有关内容将在第3 章中介绍。 若原信号为 f t ，尺度变换后得到 ( )( ) y t ，表示为 ( ) ( ) y t  f at （2.2-9） 其中， a 为实常数。 ( )f at （a ）的表达式是将 ( )0 f t 中的自变量 t 置换为 (a t 后的表达式。) ( ) f at 的波形是将 ( )f t 的波形沿时间轴压缩或扩展 1 a 倍后得到的波形。当0 a  时， ( )1 f at 相对于 f t 被扩展，值域的非零值区间范围变大；当( ) a  时， ( )1 f at 相对于 ( )f t 被压缩，值 域的非零值区间范围变小。信号的尺度变换如图2.2-9 所示。 0 t ) (t f -2 1 4 2 0 t ) 2 ( t f -1 1 2 2 2 1 压缩 0 t ) 2 (t f -4 1 8 2 4 扩展 图2.2-9 信号的尺度变换 当a 时，可以先求 (0 f a t ，再将其反褶，最后得到 ( )) f at 。如果由 ( )f t 求信号 (f at ，b) 一般情况下，先时移，然后反褶，最后尺度变换；求 f at(  的表达式时，将 ( )b) f t 中的自变 量 t 置换为 (a t 即可。 b) 例 2.2-5 以图2.2-9 中的信号 ( )f t 为原信号，求 ( 1 1) 2 f  t 的波形。

解 遵循先时移，然后反褶，最后尺度变换的顺序对原信号 f t 进行变换，其波形如图( ) 2.2-10 所示。 0 t ) (t f -2 1 4 2 2 反褶 0 t ) 1 (t f -3 1 3 2 1 时移 0 t ) 1 (t f -3 1 3 2 -1 0 t ) 1 2 (t  f -6 1 6 2 -2 尺度变换 图2.2-10 信号的变换 从图2.2-9、图 2.2-10 可以看出，信号在尺度变换中无论是压缩还是扩展，得到的信号不 仅在值域的非零值区间上发生了变化，其幅值也发生了变化，如图中的斜率变化。说明波形产 生了失真。也就意味着经过尺度变换运算后信号将丢失其所传递的部分信息。 2.2.6 信号的分解 为了更好地分析信号的特性，可以将复杂信号分解为多个简单信号（基本信号）分量 之和。 可以从不同的角度将任意信号 f t 分解，如将其分解为直流分量与交流分量之和；分解( ) 为偶分量与奇分量之和；分解为脉冲或冲激信号之和（将在2.7 节中介绍）；分解为正弦信号 或复指数信号之和（将在第3 章中介绍）。下面仅介绍前两种分解形式。 一般的周期信号 f t 分解为直流分量与交流分量之和，即 ( ) ( ) D A( ) f t  f  f t （2.2-10） 其中， f 为直流分量，即为信号 ( )_D f t 的时间平均值， _D 1 a T ( ) d a f f t t T  

_

，T 为信号的周期， a 为任一时刻； f_A( )t 为交流信号，是信号 ( )f t 去直流以后得到的交变信号。 例 2.2-6 将图2.2-11 所示周期信号 ( )f t 分解为直流分量与交流分量。 0 t ) (t f 2 1 4 5 -3 -4   图2.2-11 周期信号 解 信号 f t 的直流分量为 ( ) 1 0 1 1 ( ) d 2 d 0.5 4 a T D _a f f t t t T  









交流分量为 fA( )t  f t( )fD。 周期信号的直流分量与交流分量如图2.2-12 所示。 ) (t fA 0 t D f 0.5 0 t 1.5 1 4 5 -3 -4   -0.5 图2.2-12 周期信号分解为直流分量与交流分量 任意信号 f t 分解为偶分量( ) f t 与奇分量_e( ) f t 之和，即_o( ) ( ) e( ) o( ) f t  f t f t （2.2-11） 因任意信号可以表示为







 



1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 f t  f t  f t  f  t f  t f t  f  t f t  f  t 设 ( ) 1[ ( ) ( )] 2 e f t  f t f  ，t ( ) 1[ ( ) ( )] 2 o f t  f t  f  ，则有 ( )t f t  f t_e( ) f t_o( )。f t 为偶分_e( ) 量，满足f te( ) fe( ) ； ( )t f t 为奇分量，满足o f to( ) fo( ) 。 t 例 2.2-7 将图2.2-13 所示信号 ( )f t 分解为偶分量与奇分量。 0 t ) (t f 2 1 图2.2-13 时限信号 解 原信号 f t 及其反褶信号 (( ) f  如图 2.2-14（a）所示，根据t) ( ) 1[ ( ) ( )] 2 e f t  f t  f  ，t 1 ( ) [ ( ) ( )] 2 o f t  f t  f  ，求得偶分量 ( )t f t 与奇分量_e f t ，如图 2.2-14（b）所示。 _o( ) 0 t ) (t f 2 1 0 t ) (t fe 1 1 -1 0 t ) ( t f  2 -1 0 t ) (t fo 1 1 -1 -1 （a）原信号及其反褶信号 （b）分解为偶分量及奇分量 图2.2-14 时限信号的分解 上例是对时限信号的分解，对于周期信号的分解也是先由原信号 f t 得到其反褶信号，( )

然后再由偶分量和奇分量的表达式求解。图 2.2-11 所示的周期信号分解为偶分量与奇分量的 波形如图2.2-15 所示。 0 t ) (t fe 1 1 4 5 -3 -4   -1 3 -5 0 t ) (t fo 1 1 4 5 -3 -4   -1 3 -5 -1 图2.2-15 周期信号的分解

2.3 线性时不变连续系统

2.3.1 线性时不变系统的基本性质 线性时不变系统是既满足线性又满足时不变特性的系统，简记为 LTI（Linear Time Invariant）系统。本书主要讨论因果的 LTI 系统，下面详细阐述其线性和时不变特性。 1．系统的线性特性 系统的线性特性是指系统同时具有叠加性和齐次性（均匀性）。叠加性是指，若干激励信 号同时作用于系统产生的响应等于各个激励信号单独作用于系统产生的响应之和。齐次性是 指，如果系统的输入激励变化为原来的 a 倍时，系统的输出响应也随之变化原来的 a 倍。 例如，激励信号x t 作用于系统产生的响应为₁( ) y t ，简记为₁( ) y t₁( )T x t



₁( )



；而激励信 号x t 作用于系统产生的响应为₂( ) y t ，简记为₂( ) y t₂( )T x t



₂( )



；若当激励信号x t₁( )x t₂( )共 同作用于系统所产生的响应为y t₁( )y t₂( )，即



1( ) 2( )





1( )

 

2( )



1( ) 2( ) T x t x t T x t T x t y t y t 则说明系统满足叠加性。 此例还可以进一步简单表示为：若有x t →₁( ) y t ，₁( ) x t →₂( ) y t ，当系统存在如下关系 ₂( ) 1( ) 2( ) x t x t →y t₁( )y t₂( ) 则系统满足叠加性。 同样，设 a 为任意常数，若y t( )T x t



( )



，当系统存在如下关系：



( )





( )



( ) T ax t aT x t ay t 则系统满足齐次性。 由线性系统的定义可得，若x t →₁( ) y t ，₁( ) x t →₂( ) y t ，则有 ₂( ) 1 1( ) 2 2( ) a x t a x t →a y t_{1 1}( )a y t_{2 2}( ) （2.3-1） 以上所述为零状态系统，即不考虑由系统的初始储能产生的响应，仅考虑外加激励产生 的响应。 动态系统的输出响应不仅决定于系统的输入激励，而且还与系统的初始储能有关，那么怎样 将系统的初始储能考虑进去呢？当系统为非零状态时，系统的响应可以分成两部分：一部分是仅 由系统的初始储能作用产生的响应，称为零输入响应，表示为yzi( )t ；另一部分是仅由外加激励 作用产生的响应，称为零状态响应，表示为yzs( )t ，即系统的全响应为 ( )y t yzi( )t yzs( )t 。此时，

当系统的零输入响应和零状态响应分别满足线性特性时，系统才是线性系统。 例 2.3-1 判断下列系统是否为线性系统。 （1） ( )y t x t( )x(2 t) （2）y t( ) 2 ( ) x t  t （3） d2₂ ( ) ( ) d ( ) 2 ( ) ( ) d dt y t y t t y t  y t x t （4）_{y t( ) [ ( )] x t} 2 解 （1）已知x t →₁( ) y t₁( )x t₁( )x₁(2 ，t) x t →₂( ) y t₂( )x t₂( )x₂(2 ，则 t)



 

 











1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (2 ) (2 ) ( ) (2 ) ( ) (2 ) ( ) ( ) T a x t a x t a x t a x t a x t a x t a x t x t a x t x t a y t a y t                所以该系统为线性系统。另外，通过直接观察本小题的方程，可以判断出是线性方程，其所对 应的系统一定是线性系统。 （2）已知x t →₁( ) y t₁( ) 2 ( ) x t₁  ，t x t →₂( ) y t₂( ) 2 ( ) x t₂  ，则 t



1 1( ) 2 2( )

 

2 1 1( ) 2 2( )



2 1 1( ) 2 2 2( ) T a x t a x t  a x t a x t  t a x t  a x t  t 而a y t_{1 1}( )a y t_{2 2}( )a₁



2 ( )x t₁  t



a₂



2 ( )x t₂  ，即 t





1 1( ) 2 2( )



1 1( ) 2 2( ) T a x t a x t a y t a y t 所以该系统为非线性系统。 （3）通过直接观察微分方程是否含有因变量与其各阶导数之积，是否含因变量或其导数 的高次方项（不低于二次方），可以判断出微分方程是否具有线性，从而得出系统是否是线性 系统。 因为本小题含有因变量与其一阶导数之积 ( )d ( ) d y t y t t ，所以该系统为非线性系统。 （4）通过直接观察方程发现，激励为二次方项，所以该系统为非线性系统。 从频域的角度上看，线性系统具有频率的保持性。即信号通过线性系统后不会产生新的 频率分量。例如当线性系统的输入信号含有角频率为 ₁, ₂ ,,_n的成分，则系统输出的稳 态响应也只能含有这些频率成分，有时由于滤波作用，输出的频率成分会减少，但绝不会增加。 有关线性系统的频域分析将在第3 章中进行介绍。 2．系统的时不变特性 由于时不变系统的元件参数不随时间改变，所以系统的零状态响应形式与激励信号的接 入时刻无关，即当激励延迟时间 时，其响应也同样延迟时间 ，波形形状不变，如图 2.3-1 所示。 电信号在传递过程中，随着时间和距离的变化，其幅值大小也会发生变化，但波形不会 发生变化。因此这样的电系统就称为时不变系统。 线性系统可以是时不变系统，也可以是时变系统。判断系统是否为时不变系统的方法为： （1）当描述系统输入与输出关系为常系数微分方程时，系统为时不变系统。 （2）一般情况下，已知 ( )x t → ( )y t ，若系统存在如下关系：



( )



( ) T x t y t （2.3-2） 

则系统为时不变系统。 ) (t x y(t) 时不变系统 0 t 0 t ) (t y 0 t ) (t x 0  t  图2.3-1 时不变系统示意图 例 2.3-2 判断例2.3-1 的各系统是否为时不变系统。 解 （1）由已知 ( )x t → ( )y t x t( )x(2 t) x t( )  x( t 2)，可得



( )



( ) ( 2) T x t x t     x t  而 ( ) ( ) [ ( ) 2] y t x t      x t  显然，存在



( )



( ) T x t y t  所以该系统为时变系统。 （2）由已知x(t)→y t( ) 2 ( ) x t  ，可得 t



( )



2 ( ) T x t  x t   t 而 ( ) 2 ( ) ( ) y t  x t   t  显然，T x t



( )



y t(  ，所以系统为时变系统。 ) （3）观察表达式可知，其方程中各项系数均为常系数，即为常系数微分方程。必然满足



( )



( ) T x t y t ，所以系统为时不变系统。  （4）由已知 ( )x t →y t( ) [ ( )] x t 2，可得



_{( )}



_{[ ( )]}2 T x t  x t 而 2 ( ) [ ( )] y t  x t 显然，T x t



( )



y t(  ，所以系统为时不变系统。 ) 3．线性时不变系统的特性 由上述分析可以看出，系统的线性特性和时不变特性是系统的两个重要特性，它们是两 个不同的概念。也就是说，线性系统可以是时不变的，也可以是时变的。而对于线性时不变系 统应同时满足线性特性和时不变特性，即若x t →₁( ) y t ，₁( ) x t →₂( ) y t ，则 ₂( ) 1 1( 1) 2 2( 2) a x tt a x tt →a y t_{1 1}( t₁)a y t_{2 2}( t₂) （2.3-3） 判断系统是否为线性时不变系统的方法是：

（1）当系统的微分方程是常系数的线性微分方程时，系统为线性时不变系统。 （2）一般情况下，可分别判断系统是否满足线性和时不变性。 另外，线性时不变系统还具有微积分特性。微积分特性是指若x t → ( )( ) y t ，则有 d ( ) d x t t → d ( ) d y t t 及 ( ) d t x  



→ t y( )d  



即输入信号微分或积分，经系统作用后的输出信号也微分或积分。 4．线性时不变系统的因果特性 若线性时不变系统满足因果特性，则此系统为线性时不变因果系统。 例 2.3-3 判断输入输出关系为y t( )x t(  1) x t(  的系统是否为线性时不变因果系统。 2) 解 由系统的输入输出关系，就可以容易地判断出该系统为线性时不变系统。而当t0 时，系统的输出为 (0) ( 1) (2) y   x x 上式可以理解为0 时刻的输出等于（-1）时刻（在 0 时刻之前）的输入与 2 时刻（在 0 时刻之 后）的输入之和，显然该系统的响应与系统未来的激励有关，所以该系统为非因果系统。 2.3.2 线性时不变系统的模拟 1．系统的基本部件及其运算关系 系统除了可以抽象为数学模型以外，还可以借助一些能够反映输入与输出关系的理想运 算单元的组合来表示系统。将这些具有某种特定运算功能的运算单元称为基本部件。常用的基 本部件符号及其运算关系如图2.3-2 所示。



) ( 1t x ) ( 2t x ) (t x ) ( ) ( ) (t x1t x2t y   a y(t)ax(t) （a）加法器 （b）倍乘器 ) (t x 延时T y(t)x(tT) x1(t) ) ( 2t x ) ( ) ( ) (t x1t x2t y   ) (t x y t( ) t x( )d   





（c）积分器 （d）延时单元 （e）乘法器 图2.3-2 系统的基本部件 2．线性时不变系统的模拟 在进行系统分析时，首先要建立系统的数学模型，然后对系统的数学模型进行求解。即 在给定输入激励和一定边界条件的情况下，运用数学方法求系统的输出响应。随着计算机技术 的发展和普及，采用计算机仿真技术对系统进行分析已经成为系统分析与设计的重要手段。 系统的模拟是采用几种基本部件的组合形式来描述系统的，并使其与被模拟系统的数学 模型相对应，从而实现对系统的计算机仿真。通过计算机仿真实验可以更加快捷、方便地获得 系统分析的结果，对于实际物理系统的设计与调试具有重要的工程意义。 例如，如图2.3-3 所示的 RC 电路，根据电路理论，不难得出输入与输出关系的数学模型为

d ( ) 1 1 ( ) ( ) d y t y t x t t RC RC （2.3-4） ) (t x R C y(t) 图2.3-3 RC 电路 式（2.3-4）为一阶常系数线性微分方程。将式（2.3-4）两边对时间积分 1 1 ( ) t ( ) d t ( ) d y t y x RC    RC    

_



_

整理后得 1 1 ( ) t ( ) ( ) d y t x y RC  RC       _  _  



（2.3-5） 由式（2.3-5）可画出 RC 电路的模拟框图，如图 2.3-4（a）所示。从系统设计的角度上看， 系统的结构应尽量简单，以利于降低成本，提高可靠性等。因而，还可将式（2.3-5）整理为 1 ( ) t [ ( ) ( )] d y t x y RC     

_

 （2.3-6） 由式（2.3-6）可画出的模拟框图如图 2.3-4（b）所示。





RC 1 ) (t y ) (t x



RC 1





) (t y ) (t x RC 1



（a） （b） 图2.3-4 RC 电路的模拟框图 3．子系统之间的连接 一个系统往往由若干子系统有机组合而成。子系统之间的连接方式一般为串联（又称级 联）和并联两种基本形式。 两个子系统的串并联分别如图2.3-5 和图 2.3-6 所示。 ) (t y ) (t x 系统1 系统2 x(t) y(t) 系统1 系统2



) ( 1t y ) ( 1t y ) ( 2t y 图 2.3-5 两个子系统串联 图 2.3-6 两个子系统并联 由图2.3-5 可知，系统 1 的输入为 ( )x t ，输出为y t ；而₁( ) y t 又作为系统 2 的输入，则₁( ) 系统总的输出为









2 1 2 1 ( ) ( ) [ ( )] y t T y t T T x t （2.3-7）

同样，由图2.3-6 可得系统总的输出为

 

 

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t y t y t T x t T x t （2.3-8） 由两个子系统的串并联关系，可以推导出多个子系统的串联、并联和混联（既有串联又 有并联）时系统的输入与输出关系。

2.4 LTI 连续系统的模型

系统模型是指对实际系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组 合而成的图形来表征系统的特性。例如，在电路理论中的电路模型就是一种反映输入与输出具 有某种关系的数学模型。 系统模型的建立是系统分析中非常重要的一个问题，特别是一些复杂的系统，涉及到许 多专业方面的知识。本节着重讨论简单LTI 连续系统模型的建立，明确系统模型与数学模型 之间的对应关系，为建立复杂系统的模型奠定基础。 2.4.1 LTI 连续系统的数学模型 由电路理论可知，对于任意一个线性时不变电路，当电路结构和组成电路的元件参数确 定以后，根据电路的两个约束关系，即元件的伏安关系和基尔霍夫定律，可以建立起与该电路 对应的动态方程。 例如，如图2.4-1 所示的 RLC 电路中，激励 ( )x t 为电压源电压，响应为电容的电压 ( )y t 。 ) (t x R C y(t) L ) (t i ) (t uR uL(t) 图2.4-1 RLC 电路 根据基尔霍夫（KVL）定律，不难得出 ( ) ( ) ( ) ( ) R L u t u t y t x t 同样，根据元件的伏安关系，又可以得出 ( ) ( ) R u t R i t d ( ) ( ) d L i t u t L t  d ( ) ( ) d y t i t C t  经整理后，得到RLC 电路的数学模型为 2 2 d d 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) d d R y t y t y t x t L t LC LC t    （2.4-1） 该式是二阶常系数线性微分方程，其描述的电路为二阶LTI 系统。

上述二阶LTI 系统的数学模型写成一般表达式为 (2) (1) 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) y t a y t a y t b x t （2.4-2） 2.4.2 LTI 连续系统的框图 由前所述可知，LTI 连续系统还可以用具有理想特性的符号组合而成的图形来表征系统特 性，即用模拟框图来表示系统。它形象地说明了输入与输出关系，并与系统的数学模型形成相 互对应的关系。 图2.4-2 所示为一个二阶 LTI 系统的模拟框图。





0 b ) (t y ) (t x



1 a 0 a





图2.4-2 二阶系统的模拟框图 根据图2.4-2 中各个基本部件的运算关系可得其数学模型为 (2) (1) 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) y t a y t a y t b x t 由以上分析可以看出，二阶LTI 系统一定是由线性时不变元（部）件组成，且仅包含有两 个独立的动态元（部）件。图2.4-1 中是电感和电容，图 2.4-2 中是两个积分器，虽然组成系 统的元（部）件不同，但它们都具有相同的数学模型，反映出它们具有相同的系统动态特性。 不难得出结论，LTI 连续系统的数学模型是常系数的线性微分方程。n 阶 LTI 系统一般是 含有多个独立的动态元（部）件的系统，其输入x t 与输出 ( )( ) y t 之间的关系为 n 阶常系数的线 性微分方程，即 ( ) ( 1) (1) 1 1 0 ( ) ( 1) (1) 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n m m m m y t a y t a y t a y t b x t b x t b x t b x t                （2.4-3） 式中 n 和 m 均为正整数，an₁,,a₁,a₀和bm,bm1,,b1,b0为常系数。

2.5 LTI 连续系统的零输入响应

2.5.1 系统的初始条件 建立系统的数学模型后，在给定激励下求系统的响应还需要知道动态系统的初始条件。 1．系统的初始状态 对于动态电网络，电容器、电感器分别具有储存电场能、磁场能的特性，电容电压vC( )t 、 电感电流i t 反映了储能情况，一般为平稳变化的量，不会发生突变。假设以L( ) t 时刻为时t0 间分界点，并将t 时刻前的一瞬间记为₀ t₀，t 时刻后的一瞬间记为₀ t₀。而vC( )t₀  _和 0 ( ) L i t 记忆 了(, )t₀ 期间激励作用于系统的全部历史信息，并对t 时的系统输出产生影响，称t₀ vC( )t₀ 

和i tL( )₀  _{为系统的状态值。一般情况下，时间的起始点为 0} t 时刻，所以系统的状态值为 (0 )v_C  和iL(0 )  _{。n 阶系统有 n 个状态值，分别为0 时刻各电容的电压值、各电感的电流值。系统的} 初始值与接入的激励和在接入激励时系统的状态息息相关。 根据各电容及电感的状态值能够确定在t0时刻系统的响应y(0 ) 及其响应的各阶导数 ( )k _{(0 )} y  （k1, 2 ,,n1），称这一组数据为 n 阶系统的初始状态。 2．系统的初始值 可以认为，系统在t0时刻已经达到稳定状态，即系统中储能元件电容电压v t 和电感_C( ) 电流i t 不再发生变化，此时，电容相当于开路，电感相当于短路。在L( ) t 0   时刻，由于储能 的连续性，电容电压v t 和电感电流C( ) i t 在一般情况下均不发生突变，即L( ) vC(0 ) vC(0 )  _  _， (0 ) (0 ) L L i  i  。此时，由外加激励x(0 ) 及系统的v_C(0 ) 、i_L(0 ) 共同作用所确定的 n 阶系统 的响应y(0 ) 及其各阶导数y( )k (0 ) ，称这一组数据为系统的初始值。 一般情况下，由于外加激励的作用或系统内部结构和参数发生变化，使得系统的初始值 与初始状态不等，即 ( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) k k y y y y           （2.5-1） 这样，在进行系统分析时，只能利用初始值这一组初始条件，而不能用初始状态。 系统的初始值可以分解为零输入初始值与零状态初始值。仅由系统初始储能v_C(0 ) 、 (0 ) L i  所确定的初始值yzi(0 )  _及 ( )k _{(0 )} zi y  称为零输入初始值；仅由外加激励x(0 ) 所确定的初 始值y_zs(0 ) 及y( )zsk (0 )  _{称为零状态初始值，即有} ( ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) zi zs k k k zi zs y y y y y y               （2.5-2） 在零输入条件下，且系统的内部结构和参数不发生变化时，有 ( ) ( ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) zi zi k k k k zi zi y y y y y y y y                   （2.5-3） 所以，当给定系统的数学模型和激励后，如何确定系统的初始值就显得非常重要。 3．初始状态和初始值的确定 通常在给定电网络的情况下，确定初始状态和初始值的一般方法和步骤，通过例2.5-1 进 行说明。 例 2.5-1 电路如图2.5-1 所示，其中C F，1 R₁R₂  ，激励信号 1 2 V 0 ( ) 4e Vt 0 t x t t       ≥ 试确定初始状态y(0 ) 及初始值y(0 ) 。 解 （1）求动态元件的状态值v_C(0 ) 。 当t 时，x(t)=2V 为直流，电路处于稳态，电容相当于开路。其 00 等效电路如图2.5-2 所示。由0等效电路可得

(0 ) 1V C v   ) (t x ) (t x 1 R C ) (t y 2 R 图2.5-1 例 2.5-1 图 （2）根据状态值v_C(0 ) ，求电路响应的初始状态y(0 ) 。 根据电路分析，可得 ( ) ( ) _C( ) y t x t v t 则 (0 ) (0 ) _C(0 ) 1V y  x  v   （3）根据v_C (0 ) ，求电路响应的初始值y(0 ) 。 由于电容电压v_C( )t 不能发生突变，因此可得 (0 ) (0 ) 1 C C v  v   V 则画出0等效电路（C 以独立电压源代替），如图 2.5-3 所示。  1 V 2 1_ y(0) ) 0 (  C v  1 V 4 1_ y(0) ) 0 (  C v ) 0 (  C i 图2.5-2 0-_{等效电路 图2.5-3 0}+_等效电路 根据电路分析，得 (0 ) (0 ) _C(0 ) 4 1 3 y  x  v     V 通过以上分析可以看出，由于外加激励的作用，使得 (0 ) (0 ) y  y  如果将激励信号改为 ( ) 2 V 0 2e Vt 0 t x t t       ≥ ，此时，在t 时， (0 )0 x x(0 )  _  _{，激励信号连} 续变化，则 (0 ) (0 ) y  y  从而也进一步说明，激励信号的跃变作用对初始值和初始状态的影响。 0 4 2 e– t

2.5.2 零输入响应 LTI 连续系统的响应可以分解为零输入响应和零状态响应之和，即 ( ) _zi( ) _zs( ) y t y t y t （2.5-4） 其中，y_zi( )t 为零输入响应，它仅仅是由系统的初始储能产生的响应；y_zs( )t 为零状态响应， 它仅仅是由系统的外加激励产生的响应。 零输入响应是指系统无外加激励，即激励信号x t( ) 0 ，这时仅由系统的初始储能产生的 响应。由式（2.4-3）表示的系统方程可得 ( ) ( 1) (1) 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n n y t a _ y  t   a y t a y t  （2.5-5） 该式为齐次微分方程，其特征方程为 1 1 1 0 0 n n n s a _s    a sa  （2.5-6） 对其进行因式分解 1 2 (sp)(sp ) ( sp_n) 0 其中，p₁,p₂,,p_n为方程的 n 个特征根。根据特征根的不同情况，零输入响应将具有不同 的形式。 （1）当特征根均为单根时，零输入响应的一般形式为 1 ( ) e i n p t zi i i y t A  



（2.5-7） 其中，p 为各个单根；_i A 为单根对应指数项的待定系数。 _i （2）当特征根中含有 k 重根，其他为单根时，零输入响应的一般形式为 1 ( 1) 1 1 ( ) e e j k n p t p t i zi i j i j k y t A t  A    







（2.5-8） 其中，p 为 k 重根，₁ A 为重根对应各项的待定系数；i p 为各个单根，j A 为单根对应指数项的j 待定系数。 由此可见，零输入响应是齐次方程的解。零输入响应的形式只与系统的结构和参数有关， 即与系统数学模型的系数有关；而待定系数的大小要由系统在0时刻的初始值y_zi(0 ) 和 ( )k _{(0 )} zi y  来确定。 在零输入条件下，若系统的内部结构和参数不发生变化，则有y(0 ) y_zi(0 ) y(0 ) ， ( )k _{(0 )} ( )k _{(0 )} ( )k _{(0 )} zi y  y  y  。需要注意的是，零输入响应虽然是齐次方程的解，但不是系统 的齐次解。 例 2.5-2 已知某系统的数学模型为y(1)( ) 3 ( )t  y t x t( )，激励x t( ) e 4tu t( )，系统的初始 状态y(0 ) 5  ，求系统的零输入响应y_zi( )t 。 解 系统的零输入响应满足方程 (1)_{( ) 3 ( ) 0} zi zi y t  y t  由特征方程s30得特征根s3，则零输入响应的形式为 3 ( ) e t zi y t A  t≥0

由系统的初始值求待定系数，得_y (0) _y(0)_A5 zi ，所以零输入响应为 3 ( ) 5e t zi y t   t≥0 例 2.5-3 某二阶系统的数学模型为y(2)( ) 4t  y(1)( ) 3 ( )t  y t x t( )，已知系统的初始状态 (0 ) 1 y   ，y(1)(0 ) 3  ，激励 x(t)=e – t u(t)，求系统的零输入响应yzi( )t 。 解 系统的零输入响应满足方程 (2)_{( ) 4} (1)_{( ) 3 ( ) 0} zi zi zi y t  y t  y t  由特征方程s2 4s  ，求得特征根3 0 s₁  ，1 s₂  ，则零输入响应的形式为 3 3 1 2 ( ) e t e t zi y t A  A  t≥0 其一阶导数为 (1)( ) ₁e t 3 e₂ 3t zi y t  A   A  ，由系统的初始值可以得到 1 2 (1) (1) 1 2 (0 ) (0 ) 1 (0 ) (0 ) 3 3 zi zi y y A A y y A A                  解得待定系数A₁ ，3 A₂  ，所以系统的零输入响应为 2 3 ( ) 3e t 2e t zi y t     t≥0 由上述分析归纳出零输入响应的几种可能形式，如表2-1 所示。利用此表可以简化解题 步骤。 表 2-1 零输入响应形式对照表 方程 阶次 一般方程 （零输入条件） 特征根 零输入响应形式 （t≥0） 待定系数的求解 一阶 y(1)( )t a y t₀ ( ) 0 s  a0 yzi( )t Aest Ayzi(0 ) 1 s 、s 为单实根 ₂ 1 2 1 2 ( ) es t es t zi y t A A 1 2 ₍₁₎ 1 1 2 2 (0 ) (0 ) zi zi A A y s A s A y           1 2 s s  为重根 s ( )



_{1 2}



est zi y t  A A t 1 (1) 1 2 (0 ) (0 ) zi zi A y sA A y    _      二阶 (2) (1) 1 0 ( ) ( ) ( ) 0 y t a y t a y t    1,2 j s   为复根 1 2 ( ) e ( cos sin ) t zi y t A t A t  _    1 (1) 1 2 (0 ) (0 ) zi zi A y A A y      _      例 2.5-4 电路如图2.5-4 所示。t 以前，开关位于 1 位置，且已进入稳态。0 t 时刻0 开关S 转至 2 位置。求电路的零输入响应 ( )i_zi t 。 解 开关S 转至 2 位置后，由电路理论可得 d ( ) 1 ( )d ( ) ( ) d t i t L i R i t x t t C



     对上式等号两边分别求导，得到电路的数学模型为 (2)_{( ) 2} (1)_{( ) ( )} (1)_{( )} i t  i t i t x t 电路的零输入响应满足方程 (2)_{( ) 2} (1)_{( ) ( ) 0} zi zi zi i t  i t i t 

由特征方程s2 2s  ，求得特征根1 0 s₁s₂   ，查表 2-1 可得零输入响应形式为 1 1 2 ( ) ( )e t zi i t  A A t  t≥0 其一阶导数为 (1) 2 1 2 ( ) ( ) e t zi i t  A A A t  要求解待定系数，必须先确定响应的初始值i_zi(0 ) 和i(1)zi (0 )  _{。由图2.5-4 可知，在 0} t 时， 电路达到稳态，电容相当于开路，电感相当于短路，由此得到电路的状态值i(0 ) 0  ， (0 ) 8V C v   。根据换路定律，有 (0 ) (0 ) 0 i  i   (0 ) (0 ) 8V C C v  v   在零输入的条件下，0等效电路如图2.5-5 所示。此时，由于电路结构发生了变化，电路 的初始值与初始状态有可能不等，必须求得零输入的初始值，即 (0 ) (0 ) 0 zi i  i   (0 ) 8V Lzi v    V 10 _8V F 1 H 1  2 i(t) S 1 2 ) 0 (  C v ) 0 (  i  2 ) 0 (  zi L v 图2.5-4 例 2.5-4 图 图2.5-5 零输入条件下的₀_等效电路 由电感的伏安关系， (1) 0 d ( ) (0 ) (0 ) d zi Lzi zi t i t v L Li t       ，得i(1)_zi (0 )   ，故有 8 1 (1) 2 1 (0 ) 0 (0 ) 8 zi zi i A i A A             所以系统的零输入响应为 ( ) 8 e t zi i t   t  t≥0 零状态响应是指系统没有初始储能，系统的初始状态为零，即 y(0 ) y(1)(0 )   (n 1)_{(0 )} y    ，这时仅由系统的外加激励所产生的响应称为零状态响应。关于零状态响应的求0 解在2.7 节中介绍。

2.6 LTI 连续系统的冲激响应与阶跃响应

为了能够利用卷积法求解零状态响应，本节重点介绍冲激响应。并依据LTI 连续系统的微 积分特性可以方便地由冲激响应得到阶跃响应，反之亦然。

2.6.1 冲激信号的性质 在2.1 节中对冲激信号的概念已经作了一些介绍，为了更好地理解和应用单位冲激信号， 下面介绍一下单位冲激信号( )t 的一般性质。 1． ( ) t 的抽样特性 若连续时间信号 f t 在( ) t 连续，则有 0 ( ) ( ) (0) ( ) f t  t  f  t （2.6-1） 同样，若连续时间信号f t 在( ) t 连续，则有 t₀ 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f t  tt  f t  tt （2.6-2） 如图2.6-1 所示。 0 t ) (t  (1) 0 ) (t f t 0 t 0 t ) (tt0  (1) 0 ) (t f t ₀ t ) ( ) (t0 t t0 f   0 t t0 ) ( ) 0 ( t f  ( (0) )f 0 ( ( ))f t 图2.6-1 (t)的抽样特性 式（2.6-1）表明，任意连续信号 ( )f t 与单位冲激信号 ( ) t 相乘，可以得到一个强度为 f(0) 的一般冲激信号；式（2.6-2）表明，任意连续信号 ( )f t 与(tt0)相乘，可以得到一个只在tt0 时强度为f t( )₀ 的一般冲激信号，其中f(0)和 f t( )₀ 均表示 f t 在对应时刻的抽样值。 ( ) 2． ( ) t 的筛选特性 若连续时间信号 f t 在( ) t 连续，则有 0 ( ) ( ) d (0) f t  t t f   



（2.6-3） 同样，若连续时间信号f t 在( ) t 连续，则有 t₀ 0 0 ( ) ( ) d ( ) f t  t t t f t    



（2.6-4） 式（2.6-3）和式（2.6-4）表明，利用 ( ) t 的抽样性能够将f t 的数值筛选出来。 ( ) 3． ( ) t 的奇偶性 ( )t  为一偶函数，即 ( )t ( )t    （2.6-5）  有关奇偶性的证明可以查阅相关书籍，这里从略。 4． ( ) t 的尺度变换特性 ( )t  的尺度变换特性，即 1 ( )at ( )t a    a （2.6-6） 0

利用( )t 的定义可以得到证明。 式（2.6-6）表明， ( ) t 的尺度变换仍然是冲激信号( )t ，只是其强度发生了变化。 5．(1)( )t 的特性 (1)_{( )} t  为一奇函数，即 (1)_{( )} (1)_{( )} t t     （2.6-7） 设信号 f t 及其导数在( ) t 连续，则有 0 (1) (1) (1) ( ) ( ) (0) ( ) (0) ( ) f t  t  f  t  f  t （2.6-8） (1) (1) ( ) ( ) d (0) f t  t t f    



（2.6-9） 有关(1)( )t 特性的证明可以查阅相关书籍，这里从略。 同样还可以得出 (1) (1) 0 0 ( ) ( ) d ( ) f t  t t t f t     



（2.6-10） 例 2.6-1 利用( )t 的性质化简下列各式。 （1）cos π π 3 6 t  t  _   _     _{  }   （2） 2e ( )d t t t   _ 



（3）(t2 t 1) (2 ) t （4） 5 (1) 2 5 ( )(t t t 2)dt   



解 （1）cos π π cos π π π 3 π 3 6 6 3 6 2 6 t  t  t  t  _   _ _  _   _ _  _          _{ }   _{   }     （2） 2e t ( )d 2 ( )d 2 t t t t    _     





（3）( 2 1) (2 ) ( 2 1)1 ( ) 1 ( ) 2 2 t  t  t  t  t  t   t （4） 5 (1) 2 2 ₀ 5 0 d ( ) ( 2)d ( 2) ( 2 1) 1 d t t t t t t t t t t  _        _   _       



2.6.2 冲激响应 以单位冲激信号( )t 作为激励，LTI 连续系统产生的零状态响应称为单位冲激响应，简称 冲激响应，记为h t 。冲激响应示意图如图 2.6-2 所示。 ( ) 0 t ) (t  (1) 0 t ) (t h LTI系统 ) (t  h(t) 图2.6-2 冲激响应示意图 冲激信号与冲激响应的关系简单地表示为 ( ) [ ( )] h t T  t 或 ( ) t →h t ( ) 由于冲激响应能够反映系统本身的特性，同时它又是利用卷积求零状态响应的基础，所 以，在信号与系统的分析中，研究和分析系统的冲激响应具有重要的实际意义。