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第二節 參數估計結果
一、邊際分配模型的估計結果
SPY - SH 避險組合與 SPY - VIXY 避險組合各別的邊際 GJR-GARCH 模型 參數之估計結果，如表3-2 所示。其中，參數 βi 衡量時間序列的 GARCH 效 果，而在這兩個避險組合下，該參數的估計值皆在5%顯著水準下顯著，表示變 異數有明顯隨時間而起伏的趨勢。 γi 則是衡量槓桿效果，SPY 的估計值在兩 個避險組合下皆顯著大於0，表示負向衝擊對 SPY 報酬率的條件變異數造成的 波動大過正向衝擊，而SH 與 VIXY 則顯著小於 0，表示正向衝擊造成的影響比 負向衝擊更大。
估計完邊際的GJR-GARCH 模型之後，本研究也針對標準化殘差
依序進行Q 檢定、Q²檢定以及 ARCH-LM 檢定，檢查一階與二階動差是否仍然 存在自我相關的現象。故由表3-2 可知，每一個檢定統計量皆在 10%顯著水準 下皆呈現不顯著，表示經過GJR-GARCH 模型的配適之後，將原本報酬率序列 的一階與二階自我相關現象消除了，因此所有的標準化殘差的序列皆為白噪音 過程，這也代表模型的設定良好。
模型配適完畢之後，再將避險組合內兩個ETF 的標準化殘差分別轉換為 偏斜t 分配的累積機率 與 ，並以Kolmogorov-Smirnov test 檢定實證分配 是否服從理論的均勻分配，而所有序列的統計量皆為不顯著，即不拒絕 與
服從均勻分配。
DOI:10.6814/NCCU201900817
ARMA(0,0) - GJR-GARCH(1,1)
SPY - VIXY 避險組合 ARMA(0,1) - GJR-GARCH(1,1) 參數 SPY( i = s ) SH( i = f ) SPY( i = s ) VIXY( i = f )
4. K-S 指 Kolmogorov-Smirnov 檢定統計量，在此用以檢定標準化殘差經轉換為偏斜 t 1分配的累積機率後是否服從均勻分配。
5..邊際分配模型設定如下：
DOI:10.6814/NCCU201900817 已知的Copula 僅能衡量變數之間往同一方向的尾部相依，例如：Gumbel copula 捕捉右尾相依的特性，Clayton copula 捕捉左尾相依的特性，而 Student-t copula、
SJC copula 與 Mixture copula 則同時捕捉左尾及右尾的相依。由表 3-1 可知，本 Copula 模型的估計參數作為起始值，進行動態 Copula 模型的估計，以捕捉關聯 結構的動態過程。
圖 3-2 與圖 3-3 則是將圖 3-1 依照分布的密度，分別繪製成 3D 立體圖與等 高線圖。從這兩種圖形來看，不論是SPY - SH 避險組合或是 SPY - VIXY 避險組 合，都可以發現轉換後的 與 在左尾及右尾似乎皆呈現高度的尾部相依，
而且相依程度也相當對稱，故基於參數精簡的原則，本研究便以Student-t copula 作為捕捉左右尾相依的候選模型，並加入Gaussian copula、Gumbel copula、Clayton copula 一同進行比較。
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圖3-1：累積機率聯合散佈圖
圖3-2：累積機率聯合 PDF 立體圖
圖3-3：累積機率聯合 PDF 高等線圖
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二、Copula 模型的估計結果
本研究針對SPY - SH 避險組合以及 SPY - VIXY 避險組合，分別估計了四 種Copula 模型：Gaussian copula、Student-t copula、Gumbel copula、Clayton copula，動態模型的估計結果臚列於表 3-3，靜態模型的估計結果詳見附錄 A。
從表3-3 的結果可以發現，多數模型參數的估計值都呈現顯著，表示當期 的 ρt 或 τt 常常會受到上一期的 ρt-1 或 τt-1 影響，而且近 10 期內報酬率所含 的資訊也會對當期的 ρt 或 τt 產生持續的作用。因此相較靜態 Copula 與動態 Copula 這兩類模型估計出來的結果會發現，在相同避險組合下，這四種 Copula 模型的對數概似值都是動態Copula 比靜態 Copula 更高，且 AIC 值也幾乎都比 靜態Copula 更低，代表在模型的配適度上以及對於資料的解釋程度上，動態 Copula 比靜態 Copula 較為優勢。
而在這四種動態Copula 之中，又以動態 Student-t copula 為最佳，在兩個避 險組合下都有最大的對數概似值以及最低的AIC 值，意味著 SPY 與 SH，以及 SPY 與 VIXY 這兩對資產在全樣本期間內，都比較傾向有對稱的關聯結構，而 且左右雙尾都有尾部相依。正如同Hsu et al. (2008) 的實證結果指出，交叉避險 不存在綁住期貨與現貨價格的套利條件，報酬間的線性相關也會比較低，因此 Gaussian copula 可能無法完整地捕捉資產間的關聯結構。故本研究認為，動態 Student-t copula 模型既能將關聯結構隨時間的變化納入考量，對於 SPY - SH 避 險組合以及SPY - VIXY 避險組合之左右雙尾皆呈現高度相依的現象，也有較 佳的解釋力。
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Gaussian Student-t Gumbel Clayton SPY - SH ψ0 10.6396***
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三、樣本內避險績效分析
估計完四個動態Copula 的參數之後，我們可以直接得到 ρt 的動態過程，
或是將 τt 經由轉換導出 ρt 的動態過程，再根據 (2.22) 式計算出每個 t 時點的 避險比率 ∆t，圖3-4 與圖 3-5 即為 SPY - SH 避險組合及 SPY - VIXY 避險組合 樣本內動態避險比率的時間序列圖。
儘管避險比率有一部分取決於兩個資產間條件波動度的比值，不過也有很 重要的一部分則取決於關聯結構的估計方式。如果利用不同特性的Copula 模型 配適，最後得到的 ρt 往往會有截然不同的動態過程，這也導致動態避險比率 可能隨著選擇的模型改變而產生些許差異。從圖3-4 與圖 3-5 中就可以發現，
由Clayton copula 估算出的避險比率通常比較低，而 Student-t copula 則往往高 出一些。
但若是以兩個避險組合的避險比率拿來比較，SPY - VIXY 避險組合的避險 比率大約介於0.05 至 0.40 之間，而 SPY - SH 避險組合則介於 0.90 至 1.30 之 間，因此平均而言，SPY - VIXY 避險組合所使用的避險比率都小於 SPY - SH 避險組合。至於哪一種避險組合、哪一種Copula 模型的避險績效較佳，本研究 將以避險效率法與確定等值法進行分析。
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圖3-4：SPY - SH 避險組合之樣本內動態避險比率
圖3-5：SPY - VIXY 避險組合之樣本內動態避險比率
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表3-4 為 SPY - SH 與 SPY - VIXY 兩個避險組合在樣本內避險的結果。在 SPY - SH 的避險組合中，四種動態 Copula 避險的平均報酬均高於 OLS 避險，
左偏以及高峰厚尾的程度也比OLS 避險小一些，然而 SPY 與 SH 這兩個 ETF 因為相當趨近於完全負相關，因此OLS 可以解釋兩者報酬間絕大部分的變異，
相較動態Copula 的避險效率更提升了 0.29%～0.30%。但若以確定等值法來評 估避險績效的話，動態Copula 可以獲得較佳的平均報酬，並有助於減低左偏與 高狹峰等風險，若以避險者的立場而言，仍應傾向使用動態Copula 進行避險，
其中又以Clayton copula 的避險效用為最佳，而 Gaussian copula 為其次。
至於SPY - VIXY 避險組合的部分可以發現，相較於 SPY - SH 避險組合，
不僅平均報酬較高，報酬的分布也改而傾向右偏，而且峰度也大幅降低，這也 證實了Alexander and Korovilas (2012) 的看法，將 VIX 商品加入投資組合之中 的確發揮了降低其他動差風險的效果；只不過，在本研究中發現，SPY - VIXY 避險組合的標準差還是比SPY - SH 避險組合高出了 3～4 倍。而這些數據可能 顯示VIXY 在市場下挫時雖然可以保護 SPY 的下檔風險甚至帶來避險利益，但 是因為對市場波動相當敏感，因此造成避險組合的波動度連帶受到影響。關於 避險績效的部分，以避險效率而言，不論用OLS 避險或是動態 Copula 避險，
大約都介於70%至 74%左右，明顯比 SH 更低；但若以避險效用來看，以 VIXY 進行避險的效果普遍都勝過用 SH 避險的績效，而其中避險效用最佳的前 兩名則分別是Gumbel copula 與 Clayton copula。
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2. HE(%)為 Johnson(1960)提出的避險效率法，衡量避險後變異數降低的幅度。
3..CE 為 Alexander and Barbosa(2008)提出的確定等值法，額外考量了投資人對左偏與 1高狹峰的風險趨避程度λ，在此將 λ 設定為 10%。 報酬的平均值、偏度與峰度皆劣於動態Copula。因此，動態 Copula 整體而言仍 獲得較佳的避險效用。
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四、樣本外避險績效分析
由於樣本內的避險比率預測與避險績效分析，可能會因為模型被過度配適 (over-fitting)，導致模擬表現與真實情況產生嚴重差異，因此我們必須再進一步 檢驗樣本外的避險績效。故本研究以滾動窗口 (rolling windows) 的方式，以 2013 年 1 月 2 日至 2017 年 12 月 18 日 (共 1250 筆觀察值) 作為起點，根據這 些資料估計出動態Copula 或是 OLS 的參數，並用以預測出次一交易日的避險 比率，然後再向前滾動一筆資料，每次均採計約5 年的交易日數共 1250 筆的樣 本，最終兩個避險組合都可以得到364 筆樣本外的避險報酬。
圖3-6 與圖 3-7 為 SPY - SH 避險組合及 SPY - VIXY 避險組合樣本外動態 避險比率的時間序列圖。從這兩張圖中可以看到，由Clayton Copula 估計出來 的避險比率，一樣比其他三種動態Copula 都要更低，雖然在 SPY - SH 避險組 合中，差距似乎較不明顯，但是在SPY - VIXY 避險組合中，卻可以清楚地發 現四種動態Copula 之間存在較大的分歧，只有 Gasussian copula 與 Student-t copula 的趨勢較為接近。
再以兩個避險組合的避險比率互相比較，SPY - VIXY 避險組合的避險比率 大約介於0.05 至 0.40 之間，而 SPY - SH 避險組合則介於 0.85 至 1.25 之間，因 此在樣本外也可以發現，SPY - VIXY 避險組合所使用的避險比率都小於 SPY - SH 避險組合。以下將分析哪一種避險組合、哪一種 Copula 模型的避險績效較 佳，以及樣本內與樣本外的結果有何異同。
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圖3-6：SPY - SH 避險組合之樣本外動態避險比率
圖3-7：SPY - VIXY 避險組合之樣本外動態避險比率
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表3-5 為 SPY - SH 與 SPY - VIXY 兩個避險組合在樣本外避險的結果。在 SPY - SH 的避險組合中，如同樣本內的結果，動態 Copula 避險的平均報酬、偏 度與峰度都比OLS 避險表現得更好一點，不過避險報酬的波動仍比 OLS 避險 的幅度更大一些，考量各階動差的表現，避險效用仍屬動態Copula 避險更佳。
再觀察SPY - VIXY 的避險組合，這次 OLS 避險的平均報酬表現則大幅超越所 有的動態Copula 避險，然而變異數與峰度均較為落後，而導致避險效用上未能 勝過動態Copula 避險，因此變異數、峰度最低而且避險報酬為正的 Student-t copula 既是避險效率最佳也是避險效用最高的模型，而避險比率相仿的 Gaussian copula 則居於其次。
綜合這兩個避險組合得到的樣本外避險結果，仍然可以發現OLS 法同樣在 報酬相關性較高的SPY - SH 避險組合中有較好的避險效率，而在相關性較低的 SPY - VIXY 避險組合，則是動態 Copula 優於 OLS 法。至於避險效用的部分，
綜合這兩個避險組合得到的樣本外避險結果，仍然可以發現OLS 法同樣在 報酬相關性較高的SPY - SH 避險組合中有較好的避險效率，而在相關性較低的 SPY - VIXY 避險組合，則是動態 Copula 優於 OLS 法。至於避險效用的部分，