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第二節 Copula 理論與模型
一、Copula 理論與估計流程
根據Nelsen (1999) 在書中的定義，Copula 是指串接多個邊際分配服從均勻 分配的聯合累積分配函數。歸功於Sklar’s theorem，我們可以利用機率積分轉換，
將任意邊際分配轉換為均勻分配，藉此建構出 Copula 模型。因此，對隨機變數 服從邊際分配函數 ，且 , for j = 1, 2, …, n 為連續，則存在唯一的 Copula 如下：
(2.6) 然而，觀察圖1-1 至 1-3 不難發現，在 SPY-SH 避險組合與 SPY-VIXY 避險 組合中，兩檔ETF 的報酬長期而言呈現反向的趨勢，為了讓 Copula 可以順利捕 捉其逆向尾端相依特性，我們可將避險工具的標準化殘差反轉。故令
即可推知：
反轉後得到的累積機率 其實就相當於 的簡單線性轉換，因此我 們根據 (2.6)、(2.7) 式，以及 Patton (2006) 提出的條件 Copula，將動態條件加入 後可得到推導如下：
(2.8) 其中， 、 、 分別定義如下：
。
(2.7)
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所以經過轉換之後，聯合分配函數 就可以被
表述為兩個隨機均勻變數 以及 的 Copula。若我們再對其微分，便可得到 聯合條件機率密度函數如下：
(2.9) 故由 (2.9) 式可以得知， 與 的聯合條件機率密度函數可以拆分為 以及 的 Copula 條件機率密度函數、以及 與 的邊際條件機率密 度函數這三者的乘積。將等式兩邊取自然對數之後，於是我們就可以得到下方的 對數概似函數：
(2.10)
其中， 分別代表 這
三個函數的參數。為了避免一次估計參數過多，因此我們參考Joe and Xu (1996) 的兩階段估計法，先估計 與 的邊際分配參數，最後再將得到的估計值 用來估計Copula 的參數：
(2.11)
(2.12)
(2.13)
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二、Copula 模型與避險方法
有很多種方法可以在條件 Copula 下捕捉關聯結構隨時間經過而發生的變異，
像是 Rodriguez (2007) 使用狀態轉換的 Copula 模型研究市場蔓延效果，又或者 是像Rob, Genest, and Werker (2005) 將 Copula 運用在二元選擇權評價模型，而 以其自定義之γ函數取代一般金融實證研究使用的 ARMA 過程。因此視目的之 不同，所使用的動態條件可能也有所不同。
由於本研究需要了解避險組合內兩資產的動態相關過程以進行動態避險，與 Patton (2006) 討論不同時期下匯率的關聯結構之變動，在研究性質上較為相仿，
故依循Patton (2006) 的做法來設定 AR(1) 的動態條件，並使用四種 Copula 作為 評估避險績效的候選模型，分別是 Gaussian copula、Student-t copula、Gumbel copula 以及 Clayton copula，下面依序介紹它們的累積機率分配函數以及對應的 動態過程：
1. Gaussian copula
經常在金融實證中用來建模的其中一種Copula，分布型態對稱，且左尾
與右尾相依參數皆為0，即 。其累積機率分配函數定義如下：
其中， 為標準常態分配的分位函數 (quantile function) ； 為標準常態 分配的聯合分配函數，其相關參數為 且 。估計出 之後，將 其作為起始值加入 的動態過程如下：
其中， ，使用此轉換函數的目的在於確保 落在
(-1, 1) 的值域中。
(2.14)
(2.15)
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2. Student-t copula
具有相關參數 與自由度 兩個參數，分布型態對稱，且存在相同的 左尾與右尾相依。其累積機率分配函數定義如下：
其中， ； 為 Student-t 分配的分位函數。當 趨近於無窮大的時候，Student-t copula 將會近似於 Gaussian copula。估計出
與 之後，將 作為起始值加入 的動態過程如下：
轉換函數則與Gaussian Copula 相同，以確保 落在 (-1, 1) 的值域中。
3. Gumbel copula
最早是由Gumbel (1960) 提出，分布型態不對稱，反映右尾相依結構。
其累積機率分配函數定義如下：
其中， 為控制相依強度的參數，且 。當 時，右尾相依參數為 0，當 趨近於無窮大時，右尾相依參數為 1。估計出 之後，須將 其先 轉換為 Kendall’s tau，即 ，再作為起始值加入 的動態過程如 下：
其中， ，這是因為 Gumble copula 只能描述正相依性，故 須確保 落在 (0, 1) 的值域中。
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
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4. Clayton copula
最早是由Clayton (1978) 提出，分布型態不對稱，反映左尾相依結構。
其累積機率分配函數定義如下：
其中， 為控制相依強度的參數，且 。當 趨近於 0 時，則左尾相依 參數趨近於0，當 趨近於無窮大時，左尾相依參數為 1。估計出 之後，
須將其先轉換為 Kendall’s tau，即 ，再作為起始值加入 的 動態過程，如 (2.19) 式。而且 Clayton copula 同樣也只能描述正相依性，因 此轉換函數亦與Gumbel Copula 相同。
估計完動態 Copula 的參數 之後，我們同時也可以得到 Copula 參數 或 的動態過程。但是為了要估算出動態避險比率，除了要從 (2.2) 式獲得兩 2 檔 ETF 的條件波動度外，還需要有條件相關係數，因此 Gumble 與Clayton 的參數可以根據 Spearman’s rho 的定義，並利用下式推得：
(2.21) 故樣本內動態避險比率 為：
(2.22) 為了探討Copula 模型的避險績效，因此本研究將樣本內動態避險比率 ∆t 對次一交易日進行避險，並將OLS 法配適出的靜態最適避險比率 也一同 納入比較，得到樣本內避險組合報酬 如下：
for Copulas (2.23) for OLS (2.24) (2.20)
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樣本外動態避險比率 則是根據模型配適結果再往前預測一期，故：
(2.25) 其中， 為根據 或 的配適值得到的 t + 1 期 Spearman’s rho 預測值，
為根據 的配適值得到的 t + 1 期 SPY 條件波動度預測值， 為 根據 的配適值得到的 t + 1 期避險工具條件波動度預測值。
樣本外避險採滾動窗口 (rolling windows) 的方式進行，故每次均以樣本外 動態避險比率 對次一交易日進行避險，至於 OLS 法的樣本外避險比率則
由第 t 期所採計之樣本配適出靜態最適避險比率 。因此可以得到樣本外避
險組合報酬 如下：
for Copulas (2.26) for OLS (2.27)