反向型ETF與波動型ETF之避險績效──應用Copula-GJR-GARCH模型 - 政大學術集成

全文

(1)國立政治大學國際經營與貿易學系研究所碩士學位論文. 反向型 ETF 與波動型 ETF 之避險績效 ──應用 Copula-GJR-GARCH 模型 The Hedging Performance 治 ETF and Volatility ETF 政for Inverse. 大. 立the Copula-GJR-GARCH Model —Applying ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 指導教授：林信助博士. 研究生：林展源撰. 中華民國 108 年 7 月. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(2) 誌謝牛頓說：「如果我能看得更遠，那是因為我站在巨人的肩膀上。」縱觀計量學界這短短數十餘載所積累下來的豐功偉業，實在難以想像研究水準進步竟如此飛快，對於一個才剛開始踏入計量領域的菜鳥來說，這座巨人儼然令人望而生畏。所幸在碩士生必經的這條學術征途上，我遇見了恩師林信助博士，指引我一路克服重重的挑戰與難關，讓我最終也能爬上巨人的一隅，與學界先進們一同眺望遠方的勝景。儘管過程跌跌撞撞，老師對我的信任卻始終堅定不移，. 政治大指點迷津，我便無法完成這篇論文，亦無從得知登高望遠的充實感與成就感。立大度地包容我的不成熟。若非老師耐心地循循善誘，為我在前進的每一哩路上. ‧ 國. 學. 歸功於老師您的指導，我才能從求學之旅中獲得長足進步，您的諄諄教誨也都讓我受用無窮，學生感激不已。. ‧. 同時，我也特別感謝口試委員顏汝芳博士與鄭宗記博士蒞臨指教，兩位. sit. y. Nat. 教授的真知灼見也都相當地發人深省，促使我改進許多未臻完善之處，讓這篇. al. er. io. 論文因此增色不少。另外，我也深深地感謝立諭與宜謙這兩位與我一起在商業. v. n. 競賽締造佳績的夥伴，立諭大力支持本論文實證工作所需的設備環境，讓論文. Ch. engchi. i n U. 得以如期產出，宜謙則在我寫論文、找工作這段繁忙的期間付出許多的關心，你們對我的好，都讓我留下了最刻骨銘心的美好回憶。最後，我要感謝與我共同度過兩年碩士時光的同學們以及我的父親，從每個人的身上我都學到了很多，我的碩士生涯也因你們而燦爛。但這並非終點，路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索。今後我也將不負恩師所望，繼續充實自己的本職學能。林展源. 謹致於. 政治大學國貿系研究所中華民國 108 年 7 月. ii. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(3) 中文摘要近年來，反向型 ETF 與波動型 ETF 成為相當熱門的避險與投機商品，然而以往的文獻卻很少將這兩種商品的避險績效互相比較。因此，本研究嘗試建構這兩種不同的避險組合，並利用動態 Copula-GJR-GARCH 模型，估計每個樣本點上的報酬變異與關聯結構參數，藉此求得更加精準的最適避險比率。本研究也以避險效率與避險效用來評估避險績效，旨在提供避險者可以從更客觀的角度分析前沿避險模型與傳統 OLS 模型的差異。最後經本研究實證結果顯示，所有動態. 政治大優於反向型 ETF，也具有避險成本較低的優勢。立. Copula 模型在避險效用上均勝於傳統 OLS 模型，而且波動型 ETF 不僅避險效用. ‧ 國. 學. 關鍵詞：ETF、避險績效、Copula-GJR-GARCH 模型. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. iii. i n U. v. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(4) Abstract In recent years, inverse ETFs and volatility ETFs have become very popular instruments for the purpose of hedging and speculation. However, seldom did previous studies compare the hedging performance of those two instruments. Therefore, we attempt to construct two hedging portfolios with those two instruments, and employ the dynamic Copula-GJR-GARCH model to estimate the variation of returns and parameters of copula at each sample point, thereby obtaining the optimal hedging ratio. 政治大 and the conventional OLS 立 model from a relatively objective perspective, we evaluate more precisely. In order to analyze the difference between the frontier hedging model. ‧ 國. 學. the hedging performance of each portfolio by both the corresponding hedge effectiveness and the corresponding hedging utility. The empirical results show that all. ‧. models embedded with a dynamic Copula function perform better than the conventional. sit. y. Nat. OLS model in terms of hedging utility, and the volatility ETF not only has greater. al. n. cost.. er. io. hedging utility than the inverse ETF, but also has an advantage of lower hedging. Ch. engchi. i n U. v. Keywords: ETF, Hedging performance, Copula-GJR-GARCH model. iv. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(5) 目錄中文摘要.................................................................................................... ii Abstract .................................................................................................... iv 目錄.............................................................................................................v 圖目錄....................................................................................................... vi 表目錄...................................................................................................... vii. 政治大. 第壹章緒論...............................................................................................1. 立. 第貳章研究方法 ......................................................................................7. ‧ 國. 學. 第一節邊際分配模型.......................................................................................... 7. ‧. 第二節 Copula 理論與模型 ................................................................................. 9. Nat. io. sit. y. 第三節避險績效衡量........................................................................................ 14. er. 第參章實證結果分析 ............................................................................16. al. n. v i n Ch 第一節資料敘述統計........................................................................................ 16 engchi U 第二節參數估計結果........................................................................................ 19. 第肆章結論.............................................................................................33 參考文獻...................................................................................................35 附錄...........................................................................................................39. v. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(6) 圖目錄圖 1-1：SPY 近 6 年價格走勢圖 ................................................................................. 3 圖 1-2：SH 近 6 年價格走勢圖 ................................................................................... 3 圖 1-3：VIXY 近 6 年價格走勢圖 .............................................................................. 3 圖 3-1：累積機率聯合散佈圖 ................................................................................... 22 圖 3-2：累積機率聯合 PDF 立體圖 .......................................................................... 22. 政治大. 圖 3-3：累積機率聯合 PDF 高等線圖 ...................................................................... 22. 立. 圖 3-4：SPY - SH 避險組合之樣本內動態避險比率............................................... 26. ‧ 國. 學. 圖 3-5：SPY - VIXY 避險組合之樣本內動態避險比率 .......................................... 26. ‧. 圖 3-6：SPY - SH 避險組合之樣本外動態避險比率............................................... 30. Nat. n. al. er. io. sit. y. 圖 3-7：SPY - VIXY 避險組合之樣本外動態避險比率 .......................................... 30. Ch. engchi. vi. i n U. v. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(7) 表目錄表 3-1：連續日報酬率之全樣本敘述統計量表 ....................................................... 17 表 3-2：GJR-GARCH 模型之參數估計結果 ............................................................ 20 表 3-3：動態 Copula 模型之參數估計結果 .............................................................. 24 表 3-4：動態 Copula 模型之樣本內避險比較 .......................................................... 28 表 3-5：動態 Copula 模型之樣本外避險比較 .......................................................... 32. 政治大. 表 A - 1：靜態 Copula 模型之參數估計結果………………………………………39. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. vii. i n U. v. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(8) 第壹章緒論面對波詭雲譎的國際政經環境，手中持有的投資組合應該如何避險？避險的績效又該如何衡量？但凡避險相關的議題，長久以來都是業界與學界共同關注的焦點。不過隨著金融商品日新月異，市場上可供選擇的避險工具越來越多樣化，而且先進的計量模型隨著電腦平行運算的普及，也已經能夠更高效率地得到精密而準確的估計結果。因此，拜金融創新與資訊技術升級所賜，我們可以突破過去研究的侷限，大膽地以指數股票型基金 (Exchange Traded Fund, ETF) 嘗試建構. 政治大與關聯結構的型態，最後合理地求算動態避險比率。至於這樣的搭配，是否可以立. 有別以往的避險組合，並透過 Copula-GJR-GARCH 模型細膩地勾勒出邊際分配. 創造出比傳統的最小平方法 (ordinary least squares, OLS) 更好的避險績效，是本. ‧ 國. 學. 研究接下來即將深入探討的問題。. ‧. 過去關於避險的文獻較多都是利用現貨直接衍生的期貨商品當作避險工具，. y. Nat. 然而相較於使用期貨避險，以投資人的角度來說，透過反向型 ETF (inverse ETF). er. io. sit. 避險不僅交易門檻較低，也不須面臨槓桿與追繳保證金的風險，對投資人而言既容易理解也較靈活方便，除了一般投資人以外，也相當受到握有大量持股之機構. al. n. v i n 投資人的青睞。Curcio, Anderson 就利用反向槓桿型 C h and Guirguis (2015) engchi U. ETF. (leveraged inverse ETF) 對 REITs 型的 ETF 進行避險，發現使用反向槓桿型 ETF 可以獲得比期貨更好的避險報酬，而且易於實現交易策略、潛在損失有限、商品流動性佳，顯示反向型 ETF 作為避險的用途存在一定的潛力。除了反向型 ETF，波動型的 ETP (Exchange Traded Products).商品在近年來也同樣受到投資人的歡迎。自從 2007 年次貸危機之後，國際間的黑天鵝事件層出不窮，每每造成投資人恐慌情緒促升、股市大幅震盪，追蹤波動率指數的 ETN (Exchange Traded Note) 與 ETF 於是在這樣的時空背景下應運而生，至今共有 24 檔在美國的交易所掛牌，對於無法操作衍生性金融商品的退休基金、共同基金來說，提供了許多可供波動度交易的選擇。而相較於其他資金避風港 (Safe haven)， 1. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(9) 例如：黃金、日圓、公債及其相關的 ETF 等等，這類波動型 ETP 商品對於市場波動度更加敏感，所以當市場波動愈激烈的時候，往往會有愈多的上漲空間，這就意味著投資人將可以用更低廉的避險成本獲得更大的下檔風險保護效果。 Alexander and Korovilas (2012) 也表示 VIX (Volatility Index).期貨或 VIX ETN 雖然經常會因為正價差而產生轉倉的損失，但是它們不僅與 SPDR S&P 500 ETF (交易代碼: SPY) 有很強的負相關，同時本身也具有右偏分配的特性，若是將 VIX 期貨或 VIX ETN 加入投資組合，除了可以沖銷下跌的損失，也有助於減緩投資組合整體報酬分配左偏的現象；由此可知，性質相近的波動型 ETF (volatility ETF). 政治大本研究將以 SPY 這檔 ETF 代表投資人所持有的市場投資組合，並比較立. 也不失為一種幫助投資組合分散風險的有效工具。. ProShares Short S&P 500 (交易代碼: SH) 與 ProShares VIX Short-Term Futures ETF. ‧ 國. 學. (交易代碼: VIXY) 兩種不同的 ETF 對 SPY 避險的績效。其中，SPY 於 1993 年. ‧. 1 月 22 日開始發行，不僅歷史悠久，至今也是全球交易量最多、資產規模最大. y. Nat. 的 ETF，屬於單位投資信託結構 (Unit Investment Trusts, UIT)，以完全相同持股. er. io. sit. 的方式追蹤 S&P500 的指數表現；SH 則為反向型 ETF，2006 年 6 月 21 日開始發行，在所有反向型 ETF 中也同樣是成立最久而且至今規模最大的，主要透過. al. n. v i n Swap 交易與 T-Bill 來追蹤 S&P500 VIXY C h 單日報酬反向一倍的指數表現；最後的 engchi U. 為波動型 ETF，繼 iPath S&P 500 VIX Short-Term Futures ETN (交易代碼：VXX) 這檔最熱門的波動型 ETN 商品於 2019 年 1 月到期後，VIXY 就成為了目前市場上存在最久也最具代表性的短期波動型 ETF，其發行於 2011 年 1 月 3 日，結構上屬於期貨基金 (Commodity pool)，以持有近月期貨與次月期貨各約 62%與 38% 左右的比例，追蹤 S&P500 VIX 短期期貨指數。下圖 1-1 至圖 1-3 為這三檔 ETF 的價格走勢圖。. 2. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(10) 300 270 240 210 180 150 120 2013/1. 2014/1. 2015/1. 2016/1. 2017/1. 2018/1. 2019/1. 圖 1-1：SPY 近 6 年價格走勢圖 70. 立. 60. ‧ 國. y. sit 2016/1 2017/1 a2015/1 iv l C n h e近n 6g年價格走勢圖圖 1-2：SH chi U. n. 2014/1. er. io. 20 2013/1. Nat. 30. ‧. 40. 學. 50. 政治大. 2018/1. 2019/1. 2018/1. 2019/1. 1500. 1200 900 600 300 0 2013/1. 2014/1. 2015/1. 2016/1. 2017/1. 圖 1-3：VIXY 近 6 年價格走勢圖. 3. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(11) 當避險組合建構完成之後，下一步的關鍵就是如何找出兩個資產間最合適的避險比率。較早期的文獻奠基於 Markowitz (1952) 所提出的投資組合理論，將現貨與期貨組成避險組合，透過讓避險組合的變異數極小化來尋找出最適避險比率，例如 Johnson (1960)、Stein (1961)、Ederington (1979) 以及 Figlewski (1984) 等，該避險比率亦可利用 OLS 直接估計出來，也就是最傳統的靜態 OLS 避險模型。一直到後來 Baillie and Myers (1991) 發現避險比率恆為常數的假設不符現實，於是將雙變量 GARCH 模型應用到避險比率的估計，讓避險比率可以隨時間而變動，Kroner and Sultan (1993)、Park and Switzer (1995)、Chakraborty and Barkoulas. 政治大參數估計，在這些研究當中大多使用的是 Bollerslev (1990) 立. (1999) 等也分別用不同的雙變量 GARCH 模型估計避險比率。同時，為求簡化的 Constant. Conditional Correlation GARCH (CCC-GARCH) 模型，不過 Engle (2002) 又放寬. ‧ 國. 學. 了相關係數固定的假設，發展出允許動態條件相關的 Dynamic Conditional. ‧. Correlation GARCH (DCC-GARCH) 模型，於是有愈來愈多避險相關的實證研究. y. Nat. 將其應用到避險方法中，讓避險比率可以更好地捕捉兩個資產間的動態相關過程，. er. io. sit. 例如 Hautsch 與 Inkmann (2003)以及 Lien and Yang (2006) 等等。以上所有應用雙變量 GARCH 模型研究的結果都顯示，不論在樣本內或者是樣本外，動態避險比. al. n. v i n 率相較其他靜態避險比率，降低風險的效果大多都更加顯著。 Ch engchi U. 然而，即便是 DCC-GARCH 模型所使用的相關係數，也都是基於服從多元. 常態分配以及線性相關的假設，但市場上多數金融資產的報酬通常會呈現明顯的左偏或右偏且高峰厚尾的分配，況且資產間的關聯結構不一定對稱。因此，這些假設與真實的情況仍有所脫節，可能會導致估計的結果產生偏誤，為了要得到更有效的估計，我們需要將這些特性一起考慮納入避險模型當中。針對這個問題，可以利用 Sklar (1959) 提出的 Copula 理論，將 N 維的聯合分配函數拆解成 N 個邊際分配與關聯結構 (Copula)，不再需要假設所有資產都來自單一分配，資產之間不對稱相關的特性也可以由資訊內涵更加豐富的 Copula 來捕捉。首度將這個概念實際應用在財務金融的領域是 Li (2000)，透過 4. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(12) Copula 估計擔保債務憑證 (Collateralized Debt Obligation，CDO) 之資產池內的聯合違約風險，以用來進行 CDO 的訂價。而這項創新的應用對於市場風險管理也有重大的意義，因為過往金融機構計算風險值(Value at Risk, VaR) 所使用的共變異數法、蒙地卡羅模擬法，需要服從嚴格的分配假設或隨機過程，至於歷史模擬法則容易受到取樣品質的影響而左右估計結果，為了改善風險值的估計，也有學者開始研究如何以 Copula 估計投資組合的 VaR，例如 Fantazzini (2008) 以及 Ghorbel and Trabelsi (2009) 等。除了 CDO 的評價與 VaR 的估計，Copula 也可以用來探討各國股市受到極. 政治大這些研究對於投資組合或避險組合的建構往往帶來相當重要的啟示，例如 Lai 立. 端衝擊之後產生的蔓延效果，或是不同資產報酬間的右尾相關與左尾相關，而. and Tseng (2010) 研究中國與世界七大工業國家 (G7) 股市的極端相關性. ‧ 國. 學. (Extreme dependence) 與平常相關性 (Regular dependence)，利用 Mixture Copula. ‧. 觀察在不同報酬分位數下的聯合衝擊機率，發現中國股市不容易受到 G7 股市. y. Nat. 重挫的影響，相對 G7 來說是一個理想的資金避風港；換言之，當 G7 的投資人. er. io. sit. 在建構全球投資組合時，不妨考慮將中國股市納入，如此可以增加投資組合分散風險的效果，避免國際股市崩跌造成鉅額損失。Reboredo (2013) 則是使用了. al. n. v i n 數種 Copula 來探討黃金相對於石油屬於避險工具或者是資金避風港，最後發現 Ch engchi U 兩者不存在長期的負相關，且左尾的極端相關性微弱，因此判斷黃金為石油的資金避風港但不適合作為避險用途。根據以上這兩個實證研究的案例，我們也可以事先利用 Copula 估計得到的極端相關參數來檢驗 SH 與 VIXY 這兩檔 ETF 是否適合作為指數 SPY 的避險工具。雖然 Copula 應用的領域廣泛，但是用一般的 Copula 估計出來的參數也只有一個固定的常數。為了讓參數可以像 DCC-GARCH 模型的相關係數一樣隨著時間變動，Patton (2006) 將 Copula 理論推廣到條件 Copula，並賦予參數 AR(1) 的動態過程，建構出關聯結構可以隨時間而變動的動態 Copula 模型。Bartram and Wang (2007) 也跟隨 Patton (2006)，推導出了 AR(2) 的動態過程。從此動態 5. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(13) Copula 模型開始蓬勃發展，而且不論是用來研究資產之間相關性的中長期變化，或是作為避險模型估算避險比率，都是相當實用而且富有彈性的候選模型，因此近十幾年間也陸續有學者將動態 Copula 模型應用至動態避險的研究。例如，Hsu, Tseng and Wang (2008) 比較了 3 種動態 Copula-GJR-GARCH 模型與 OLS、CCC-GARCH、DCC-GARCH 的避險績效，結果發現動態 Copula 在樣本內與樣本外的表現平均而言比其他的模型較為優秀，而且不論在直接避險或是交叉避險的組合也都有更突出的避險績效。其他還有 Chang (2012)、Pan and Sun (2014) 與 Lai (2018) 等，也分別用了各種不同的動態 Copula-GARCH 模型. 政治大本研究將建構兩種避險組合，一個是 SPY 與 SH 的反向型 ETF 避險組合，立. 進行動態避險的實證。. 另一個是 SPY 與 VIXY 的波動型 ETF 避險組合，嘗試以 Gaussian、Student-t、. ‧ 國. 學. Gumbel、Clayton 等 4 種 Copula 組成動態 Copula-GJR-GARCH 避險模型，再與. ‧. 傳統 OLS 避險模型比較樣本內與樣本外的避險績效。主要目的是為了提供一般. y. sit. io. er. 參考依據。. Nat. 投資人與無法操作衍生性金融商品的機構投資人，建構避險策略時作為決策的. 本文後續章節如下。第二章介紹動態 Copula-GJR-GARCH 模型與避險績效. al. n. v i n 的衡量方法，第三章討論避險的實證結果，最後一章為結論。 Ch engchi U. 6. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(14) 第貳章研究方法 Copula 模型可以允許變數來自不同的邊際分配，同時以最大概似估計法 (Maximum Likelihood Estimation, MLE) 估計所有變數的邊際分配與 Copula 函數是最初的估計方法，但礙於整個模型的待估參數可能隨著模型複雜度上升而大幅膨脹，有可能導致最終無法順利收斂在正確的值，於是 Joe and Xu (1996) 提出了兩階段估計法 (Inference Functions for Margins, IFM)，將邊際分配與 Copula 函數拆開來估計，該研究並證明在大樣本下 IFM 法對 MLE 法的相對有效性 (relative. 政治大 IFM 法估計以下的模型，首先是邊際分配使用的 GJR-GARCH 模型，再來是靜態立 efficiency) 比值趨近於 1，故使用 IFM 法亦可得到有效的估計。本研究也將以. 以及動態的 Copula 模型。. Nat. y. ‧. ‧ 國. 學第一節邊際分配模型. er. io. sit. 避險組合當中，投資標的與避險工具兩者的報酬之間經常存在共整合關係，為了確保在建構模型的時候可以維持兩個資產的共同趨勢，本研究參考 Kroner. al. n. v i n and Sultan (1993) 與 Hsu et al. C h(2008)，在條件平均數方程式中加入誤差修正項 engchi U. (error correction term)，但若兩者的共整合關係較不顯著，則改以 MA(1).項代替。條件變異數方程式則使用 Glosten, Jagannathan, and Runkle (1993) 提出的 GJRGARCH 模型，主要是為了可以捕捉到市場當中普遍存在的槓桿效果 (Leverage Effect)，也就是價格負向衝擊造成的報酬變異大過價格正向衝擊的現象。另外，金融資產報酬的實證分配往往有不對稱、高峰且厚尾的現象，因此傳統的常態分配或是 t 分配都無法完整包含這些特性，不過我們可以利用 Hansen (1994) 提出的偏斜 t 分配 (skewed-t distribution) 作為標準化殘差的邊際分配，因為它具有偏態與峰態參數，所以能夠讓分配的形狀更加彈性自由。. 7. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(15) 故本研究將邊際分配模型設定為具有偏斜 t 分配的 GJR-GARCH(1, 1) 模型，令. 分別代表避險組合內 SPY 第 t 期的報酬率，以及避險工具第 t 期的. 與. 報酬率，則. 與. 的條件平均數方程式與條件變異數方程式可表示如下： (2.1). (2.2). (2.3). , for 其中，. 代表殘差項，. 立時. function)，即當. 時. 表示為 i 的. ；. ‧ 國. 、、、. ，當. 學. 標準化殘差，. 政治則為指標函數 (indicator 大. 代表條件變異數；. 則表示 t - 1 期以前所有的資訊集合；其餘. 、、、、. 均為待估參數。. ‧. Nat. n. al. er. io. sit. y. 以下則是偏斜 t 分配的機率密度函數：. Ch. engchi. i n U. v. (2.4). a、b、c 則定義為：. (2.5). 其中，為峰態參數，而配；當. 且. 為偏態參數。當. 時，則偏斜 t 分配轉變為 t 分. 趨近於無窮大，則偏斜 t 分配將轉變為標準常態分配。. 8. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(16) 第二節 Copula 理論與模型一、Copula 理論與估計流程根據 Nelsen (1999) 在書中的定義，Copula 是指串接多個邊際分配服從均勻分配的聯合累積分配函數。歸功於 Sklar’s theorem，我們可以利用機率積分轉換，將任意邊際分配轉換為均勻分配，藉此建構出 Copula 模型。因此，對隨機變數服從邊際分配函數. ,. ，且. for. j = 1, 2, …, n 為連續，則存在唯一的 Copula 如下： (2.6) 政治大然而，觀察圖 1-1 至立 1-3 不難發現，在 SPY-SH 避險組合與 SPY-VIXY 避險. ‧ 國. 學. 組合中，兩檔 ETF 的報酬長期而言呈現反向的趨勢，為了讓 Copula 可以順利捕捉其逆向尾端相依特性，我們可將避險工具的標準化殘差反轉。故令. ‧. 即可推知：. n. er. io. sit. y. Nat. al. 反轉後得到的累積機率. C 其實就相當於 hengchi U. v ni. (2.7). 的簡單線性轉換，因此我. 們根據 (2.6)、(2.7) 式，以及 Patton (2006) 提出的條件 Copula，將動態條件加入後可得到推導如下：. (2.8) 其中，、. 、. 分別定義如下：。. 9. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(17) 所以經過轉換之後，聯合分配函數表述為兩個隨機均勻變數. 以及. 就可以被. 的 Copula。若我們再對其微分，便可得到. 聯合條件機率密度函數如下：. 立. 政治大. 故由 (2.9) 式可以得知，. ‧ 國. 的聯合條件機率密度函數可以拆分為. 的 Copula 條件機率密度函數、以及. 學. 以及. 與. (2.9). 與. 的邊際條件機率密. y. sit er. io. 分別代表. al. n. 其中，. Nat. 對數概似函數：. ‧. 度函數這三者的乘積。將等式兩邊取自然對數之後，於是我們就可以得到下方的. Ch. n U engchi. iv. (2.10) 這. 三個函數的參數。為了避免一次估計參數過多，因此我們參考 Joe and Xu (1996) 的兩階段估計法，先估計. 與. 的邊際分配參數，最後再將得到的估計值. 用來估計 Copula 的參數： (2.11) (2.12). (2.13). 10. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(18) 二、Copula 模型與避險方法有很多種方法可以在條件 Copula 下捕捉關聯結構隨時間經過而發生的變異，像是 Rodriguez (2007) 使用狀態轉換的 Copula 模型研究市場蔓延效果，又或者是像 Rob, Genest, and Werker (2005) 將 Copula 運用在二元選擇權評價模型，而以其自定義之γ函數取代一般金融實證研究使用的 ARMA 過程。因此視目的之不同，所使用的動態條件可能也有所不同。由於本研究需要了解避險組合內兩資產的動態相關過程以進行動態避險，與 Patton (2006) 討論不同時期下匯率的關聯結構之變動，在研究性質上較為相仿，. 政治大評估避險績效的候選模型，分別是 Gaussian copula、Student-t copula、Gumbel 立. 故依循 Patton (2006) 的做法來設定 AR(1) 的動態條件，並使用四種 Copula 作為. ‧. ‧ 國. 動態過程：. 學. copula 以及 Clayton copula，下面依序介紹它們的累積機率分配函數以及對應的. 1. Gaussian copula. sit. y. Nat. 經常在金融實證中用來建模的其中一種 Copula，分布型態對稱，且左尾. n. al. 。其累積機率分配函數定義如下：. er. io. 與右尾相依參數皆為 0，即. Ch. engchi. i n U. v. (2.14) 其中，. 為標準常態分配的分位函數 (quantile function) ；. 分配的聯合分配函數，其相關參數為其作為起始值加入. 且. 為標準常態. 。估計出. 之後，將. 的動態過程如下：. (2.15) 其中，. ，使用此轉換函數的目的在於確保. 落在. (-1, 1) 的值域中。 11. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(19) 2. Student-t copula 具有相關參數. 與自由度. 兩個參數，分布型態對稱，且存在相同的. 左尾與右尾相依。其累積機率分配函數定義如下：. (2.16) 其中，. 為 Student-t 分配的分位函數。當. ；. 政治大. 趨近於無窮大的時候，Student-t copula 將會近似於 Gaussian copula。估計出. 立作為起始值加入. 之後，將. 的動態過程如下：. 學. (2.17). ‧. ‧ 國. 與. 轉換函數則與 Gaussian Copula 相同，以確保. 落在 (-1, 1) 的值域中。. sit. y. Nat. 3. Gumbel copula. io. al. er. 最早是由 Gumbel (1960) 提出，分布型態不對稱，反映右尾相依結構。. n. 其累積機率分配函數定義如下：. Ch. engchi. i n U. (2.18). 其中，. 為控制相依強度的參數，且. 0，當. 趨近於無窮大時，右尾相依參數為 1。估計出. 轉換為 Kendall’s tau，即. 。當. v. 時，右尾相依參數為. ，再作為起始值加入. 之後，須將其先的動態過程如. 下：. (2.19) 其中，須確保. ，這是因為 Gumble copula 只能描述正相依性，故落在 (0, 1) 的值域中。. 12. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(20) 4. Clayton copula 最早是由 Clayton (1978) 提出，分布型態不對稱，反映左尾相依結構。其累積機率分配函數定義如下： (2.20) 其中，為控制相依強度的參數，且參數趨近於 0，當. 趨近於 0 時，則左尾相依. 。當. 趨近於無窮大時，左尾相依參數為 1。估計出. 須將其先轉換為 Kendall’s tau，即. 之後，. ，再作為起始值加入. 的. 動態過程，如 (2.19) 式。而且 Clayton copula 同樣也只能描述正相依性，因. 政治大. 此轉換函數亦與 Gumbel Copula 相同。. 立. 或. 之後，我們同時也可以得到. 學. Copula 參數. ‧ 國. 估計完動態 Copula 的參數. 的動態過程。但是為了要估算出動態避險比率，除了要從. ‧. (2.2) 式獲得兩 2 檔 ETF 的條件波動度外，還需要有條件相關係數，因此 Gumble. sit. n. a l為： Ch. (2.21). er. io 故樣本內動態避險比率. y. Nat. 與 Clayton 的參數可以根據 Spearman’s rho 的定義，並利用下式推得：. engchi. i n U. v. (2.22). 為了探討 Copula 模型的避險績效，因此本研究將樣本內動態避險比率 ∆t 對次一交易日進行避險，並將 OLS 法配適出的靜態最適避險比率納入比較，得到樣本內避險組合報酬. 也一同. 如下：. 13. for Copulas. (2.23). for OLS. (2.24). DOI:10.6814/NCCU201900817.

(21) 樣本外動態避險比率. 則是根據模型配適結果再往前預測一期，故： (2.25). 其中，. 為根據為根據. 根據. 或. 的配適值得到的 t + 1 期 Spearman’s rho 預測值，. 的配適值得到的 t + 1 期 SPY 條件波動度預測值，. 為. 的配適值得到的 t + 1 期避險工具條件波動度預測值。. 樣本外避險採滾動窗口 (rolling windows) 的方式進行，故每次均以樣本外對次一交易日進行避險，至於 OLS 法的樣本外避險比率則. 動態避險比率. 由第 t 期所採計之樣本配適出靜態最適避險比率險組合報酬. 如下：. 立. 。因此可以得到樣本外避. 政治大 for Copulas. ‧. ‧ 國. (2.27). 學. for OLS. (2.26). 第三節避險績效衡量. n. er. io. al. sit. y. Nat. 一、避險效率法（Hedge Effectiveness, HE）. i n U. v. 在過去的文獻中，避險績效經常以避險報酬的高低來衡量，但 Johnson (1960). Ch. engchi. 一改以往的方式，提出了將避險組合與未避險組合報酬之間的變異當作避險效率的新指標，其方法如下： (2.28) 其中，HE(%)為避險效率，σ2H 為避險組合報酬的變異數，σ2U 為未避險組合報酬的變異數。若該避險策略對於避險組合風險的降低越有效，則 HE(%)將越趨近於 100%。反之，若避險後對避險組合的風險降低得越少，HE(%)則會越趨近於 0%。但若 HE(%)為負，則表示該避險策略反而助長了避險組合的風險。. 14. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(22) 雖然避險效率法簡單易懂，許多關於避險的研究也多將其作為衡量的指標之一，但是避險效率的高低僅關乎變異數減少的幅度，即便避險效率較高，也不見得有較佳的避險報酬。. 二、確定等值法（Certainty Equivalent, CE）由於避險者所關心的風險不只有報酬的變異，左偏的分配會增加下方風險，過高的峰度也會導致尾端風險增加，若不將這些三、四階的動差風險納入考量，當市場急遽下跌時，很可能造成巨大的損失。因此，單純使用傳統的避險效率法. 政治大 (Lien, 2005)，所以 Alexander 立and Barbosa (2008) 站在避險效用的角度來衡量避險. 不一定能夠合理評估避險績效，而且可能導致實證結果一味傾向 OLS 避險較佳. ‧. ‧ 國. 學. 績效，並假設避險者有相同的指數效用函數如下：. 其中，H 為避險組合報酬，λ 代表風險容忍係數。當，其近似於：. sit. n. al. er. io. 其中，. 時，可以. y. Nat. 找到. (2.29). i n U. (2.30). v. 為 H 的平均數。當 CE 越高時，避險效用也會越高，因此 (2.30) 式之. 涵義為，當. Ch. engchi. 時，代表報酬的變異數增加、偏態系數降低、峰態係數上升都. 會使避險者的避險效用降低。但為避免各階動差遭到高估或低估，本研究依循 Alexander and Barbosa (2008) 的建議，將. 設定為 10%1。. 確定等值法不僅將避險報酬與波動度納入避險績效衡量，也同時考慮了避險者對於左偏以及超額峰度的風險趨避，所以當 CE 越高時，避險者也會越偏好以該避險策略進行避險。. 當遠高於 10%，會使二階以上動差的風險權重過低，有低估風險的可能；反之，當遠低於 10%，會使二階以上動差的風險權重過高，有高估風險的可能。根據本研究之樣本進行敏感度分析的結果，均落在 CE 函數的反曲點後，斜率變化較小、計算結果相較穩健。 1. 15. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(23) 第參章實證結果分析第一節資料敘述統計本研究使用之 SPY、SH 以及 VIXY 原始數據皆取自 Datastream 資料庫，並以紐約證券交易所群島交易所 (NYSE Arca) 市場交易價格為準。由於 VIXY 至 2011 年 1 月始發行上市，故前兩年當中成交量逾 1 萬之交易日僅占約 13%， 2013 年後交易才較為活絡，成交量逾 1 萬之交易日占約 99%，且日均量達到 74. 政治大蒐集之樣本期間為 2013 年 1 月 2 日至 2019 年 5 月 30 日，並將每日收盤價格以立萬左右。因此，為了避免 VIXY 前期流動性較低而導致市場價格失真，本研究. 下列公式轉換成連續日報酬率：. ‧. ‧ 國. 學. (3.1). 其中，Pt 代表第 t 日的收盤價，Pt-1 代表第 t - 1 日的收盤價。由於本研究擷取. sit. y. Nat. 之價格資料皆來自相同交易所，且樣本期間內交易日均正常交易，故經過對數. al. er. io. 轉換之後，各得到 1614 筆觀察值。. v. n. 表 3-1 詳列了 SPY、SH 以及 VIXY 三者連續日報酬率在全樣本期間的敘述. Ch. engchi. i n U. 統計量。經由表 3-1 可以發現在本研究的樣本期間內，追蹤 S&P500 指數表現的 SPY 平均報酬率為正，而模擬 S&P500 單日反向一倍表現的 SH，以及模擬 VIX 短期期貨指數的 VIXY 平均報酬率皆為負。標準差顯示 SPY 與 SH 報酬率的波動程度相近，而且相比 VIXY 較為平穩。偏態係數顯示 SPY 為左偏分配， SH 與 VIXY 則為右偏分配，隱含著報酬率受到了槓桿效果 (leverage effect) 的影響。峰態係數與 Jarque-Bera 檢定統計量則顯示 SPY、SH 以及 VIXY 皆屬於不服從常態且高峰厚尾的分配。而 Ljung-Box 檢定之 Q²統計量以及 ARCH-LM 檢定統計量皆在 1%的顯著水準下顯著，表示三者報酬率的時間序列可能存在異質變異的現象。. 16. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(24) 表 3-1：連續日報酬率之全樣本敘述統計量表 SPY. SH. VIXY. 平均數. 0.0408. -0.0538. -0.2613. 標準差. 0.8163. 0.8116. 3.9087. 偏態係數. -0.4945. 0.3458. 1.0775. 峰態係數. 6.7162. 6.7161. 8.1624. 998.82***. 965.08***. 2112.20***. 26.13. 29.07*. 18.55. Jarque-Bera Q(20). 588.41*** 政治大 195.85*** 193.70*** 立. Q²(20). 575.38***. ARCH(5). -. 23.77***. -. -0.9942. -12.46***. Nat. -0.8415. sit. 2. Jarque-Bera 代表 Jarque-Bera 常態分配檢定統計量。. 12.22. y. 註： 1. ***，**，*分別表示在 1%，5%，10%的顯著水準下顯著。. ‧. 相關係數. -12.51***. 126.58***. 學. Trace. -12.31***. ‧ 國. ADF. 194.02***. 3. Q(20)、Q²(20)在此分別代表落遲 20 期之報酬率與其平方的 Ljung-Box 檢定統計量。. io. er. 4. ARCH(5)代表落遲 5 期之報酬率的 ARCH-LM 檢定統計量。. al. n. v i n Ch 6. Trace 為虛無假設「與 SPY 無共整合關係(r i U Johansen trace test 統計量。 e n g c =h0)」下的 5. ADF 代表 Augmented Dickey–Fuller 單根檢定統計量。. 7..相關係數一欄代表該檔 ETF 與 SPY 之間的 Pearson correlation coefficient。. 17. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(25) 根據 Engle and Ng (1993) 的實證結果，GJR-GARCH 是所有 GARCH 家族當中能夠以最精簡的參數優秀地捕捉到槓桿效果的 GARCH 模型，即使在時間序列不為常態分配的情形下，也通常有較佳的配適度。因此綜合考量上述統計特徵，本研究將以具有偏斜 t 分配的 GJR-GARCH (1, 1).模型為這三檔 ETF 之日報酬進行配適。另外，以原始的價格時間序列做 Johansen 共整合檢定後發現，SPY 與 SH 兩者價格存在的共整合關係較強，SPY 與 VIXY 的共整合關係則不顯著，因此本研究依照 Hsu et al. (2008) 的建議，只在具共整合關係的 SPY - SH 避險組合. 政治大整合關係的 SPY - VIXY 避險組合，則忽略誤差修正項並以 MA(1)代替。立. 之 GARCH 模型中，分別於條件平均數方程式內加入誤差修正項，而不具有共. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 18. i n U. v. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(26) 第二節參數估計結果一、邊際分配模型的估計結果 SPY - SH 避險組合與 SPY - VIXY 避險組合各別的邊際 GJR-GARCH 模型參數之估計結果，如表 3-2 所示。其中，參數 βi 衡量時間序列的 GARCH 效果，而在這兩個避險組合下，該參數的估計值皆在 5%顯著水準下顯著，表示變異數有明顯隨時間而起伏的趨勢。 γi 則是衡量槓桿效果，SPY 的估計值在兩個避險組合下皆顯著大於 0，表示負向衝擊對 SPY 報酬率的條件變異數造成的. 政治大. 波動大過正向衝擊，而 SH 與 VIXY 則顯著小於 0，表示正向衝擊造成的影響比. 立. 負向衝擊更大。. ‧ 國. 學. 估計完邊際的 GJR-GARCH 模型之後，本研究也針對標準化殘差依序進行 Q 檢定、Q²檢定以及 ARCH-LM 檢定，檢查一階與二階動差是否仍然. ‧. 存在自我相關的現象。故由表 3-2 可知，每一個檢定統計量皆在 10%顯著水準. sit. y. Nat. 下皆呈現不顯著，表示經過 GJR-GARCH 模型的配適之後，將原本報酬率序列. al. er. io. 的一階與二階自我相關現象消除了，因此所有的標準化殘差的序列皆為白噪音. n. 過程，這也代表模型的設定良好。. Ch. engchi. i n U. v. 模型配適完畢之後，再將避險組合內兩個 ETF 的標準化殘差分別轉換為偏斜 t 分配的累積機率. 與. ，並以 Kolmogorov-Smirnov test 檢定實證分配. 是否服從理論的均勻分配，而所有序列的統計量皆為不顯著，即不拒絕. 與. 服從均勻分配。. 19. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(27) 表 3-2：GJR-GARCH 模型之參數估計結果. ωi βi. ARMA(0,1) - GJR-GARCH(1,1). SPY( i = s ). SH( i = f ). SPY( i = s ). VIXY( i = f ). 0.1143** (0.0524) -0.0463 (0.0289) 0.0332***. -0.1328*** (0.0493) 0.0529** (0.0270) 0.0333***. 0.0407*** (0.0140) -0.0805*** (0.0258) 0.0304***. -0.2668*** (0.0739) -0.0375 (0.0260) 1.1341***. (0.0060) 0.7919*** (0.0254) 0.0000 (0.0248) 0.3317*** (0.0514) 6.1792*** (0.9696) 0.8559***. (0.0056) 0.7950*** (0.0230) 0.3599*** (0.0533) -0.3853*** (0.0553) 6.1624*** (0.9576) 1.1515***. (0.0055) 0.8054*** (0.0241) 0.0000 (0.0233) 0.3024*** (0.0474) 6.3960*** (1.0242) 0.8486***. (0.2126) 0.7905*** (0.0290) 0.2987*** (0.0534) -0.3289*** (0.0547) 1.2655*** (0.0450) 4.5814***. (0.0299). (0.0402). (0.0305). (0.5516). 21.75. 24.04. 21.81. 16.48. 12.37. 14.95. io. Q(20). Nat. φi (偏度). 14.83. ARCH(5). 3.74. K-S. al. n. Q²(20). 0.0209. Ch. ‧. ηi (峰度). 學. γi. ‧ 國. 立. αi. 政治大. y. a1i. ARMA(0,0) - GJR-GARCH(1,1). sit. a0i. SPY - VIXY 避險組合. er. 參數. SPY - SH 避險組合. iv n3.06. 18.03. 0.0202. 0.0168. 4.81 engchi U 0.0176. 1.14. 註： 1. ***，**，*分別表示在 1%，5%，10%的顯著水準下顯著；括號內為標準誤。 2. Q(20)、Q²(20)在此分別代表落遲 20 期之標準化殘差與其平方的 Ljung-Box 統計量。 3. ARCH(5)代表落遲 5 期之標準化殘差的 ARCH-LM 檢定統計量。 4. K-S 指 Kolmogorov-Smirnov 檢定統計量，在此用以檢定標準化殘差經轉換為偏斜 t 1 分配的累積機率後是否服從均勻分配。 5..邊際分配模型設定如下：. 20. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(28) 故經過模型配適、殘差標準化、殘差檢定、累積機率轉換等一連串處理後，可以確定模型並沒有被錯誤設定，而且. 與. 也符合均勻分配的性質，這使. 我們可以藉由 Copula 模型正確地掌握避險組合內兩檔 ETF 之間的關聯結構。惟已知的 Copula 僅能衡量變數之間往同一方向的尾部相依，例如：Gumbel copula 捕捉右尾相依的特性，Clayton copula 捕捉左尾相依的特性，而 Student-t copula、 SJC copula 與 Mixture copula 則同時捕捉左尾及右尾的相依。由表 3-1 可知，本研究之避險組合內兩檔 ETF 報酬之相關係數皆為負，為了能夠良好配適 Copula 模型，以捕捉極端衝擊之下兩檔 ETF 的關聯結構，故將避險資產的累積機率序. 政治大. 列進行簡單的線性轉換：. 立. (3.2). 由圖 3-1 不難發現，負相關的避險組合變成了正相關的. 與. 學. ‧ 國. ，尤其原本. 相關係數十分趨近於 -1 的 SPY-SH 避險組合，經由 (3.2) 式轉換之後，使. 與. ‧. 的分布因此呈現出貼近 45 度線的高度正相關。但如果仔細觀察，在該散佈圖. y. Nat. 以 45 度線為界的上三角區塊中，有二十幾處樣本之累積機率明顯較不對稱，這. er. io. sit. 顯示 SH 的報酬可能會因為市場過度反應而與 SPY 脫鉤，然而靜態 Copula 模型只能估計長期均衡的關聯結構，當類似事件發生時，就比較難以捕捉到關聯結構. al. n. v i n 隨時間不同發生的變化。因此，本研究依循 Patton(2006) 的實證方法，利用靜態 Ch engchi U. Copula 模型的估計參數作為起始值，進行動態 Copula 模型的估計，以捕捉關聯結構的動態過程。圖 3-2 與圖 3-3 則是將圖 3-1 依照分布的密度，分別繪製成 3D 立體圖與等高線圖。從這兩種圖形來看，不論是 SPY - SH 避險組合或是 SPY - VIXY 避險組合，都可以發現轉換後的. 與. 在左尾及右尾似乎皆呈現高度的尾部相依，. 而且相依程度也相當對稱，故基於參數精簡的原則，本研究便以 Student-t copula 作為捕捉左右尾相依的候選模型，並加入 Gaussian copula、Gumbel copula、Clayton copula 一同進行比較。. 21. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(29) 圖 3-1：累積機率聯合散佈圖. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. al. n. v i n Ch 圖 3-2：累積機率聯合 i U立體圖 e n g c hPDF. 圖 3-3：累積機率聯合 PDF 高等線圖 22. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(30) 二、Copula 模型的估計結果本研究針對 SPY - SH 避險組合以及 SPY - VIXY 避險組合，分別估計了四種 Copula 模型：Gaussian copula、Student-t copula、Gumbel copula、Clayton copula，動態模型的估計結果臚列於表 3-3，靜態模型的估計結果詳見附錄 A。從表 3-3 的結果可以發現，多數模型參數的估計值都呈現顯著，表示當期的 ρt 或 τt 常常會受到上一期的 ρt-1 或 τt-1 影響，而且近 10 期內報酬率所含的資訊也會對當期的 ρt 或 τt 產生持續的作用。因此相較靜態 Copula 與動態 Copula 這兩類模型估計出來的結果會發現，在相同避險組合下，這四種 Copula. 政治大靜態 Copula 更低，代表在模型的配適度上以及對於資料的解釋程度上，動態立. 模型的對數概似值都是動態 Copula 比靜態 Copula 更高，且 AIC 值也幾乎都比. ‧ 國. 學. Copula 比靜態 Copula 較為優勢。. 而在這四種動態 Copula 之中，又以動態 Student-t copula 為最佳，在兩個避. ‧. 險組合下都有最大的對數概似值以及最低的 AIC 值，意味著 SPY 與 SH，以及. sit. y. Nat. SPY 與 VIXY 這兩對資產在全樣本期間內，都比較傾向有對稱的關聯結構，而. al. er. io. 且左右雙尾都有尾部相依。正如同 Hsu et al. (2008) 的實證結果指出，交叉避險. v. n. 不存在綁住期貨與現貨價格的套利條件，報酬間的線性相關也會比較低，因此. Ch. engchi. i n U. Gaussian copula 可能無法完整地捕捉資產間的關聯結構。故本研究認為，動態 Student-t copula 模型既能將關聯結構隨時間的變化納入考量，對於 SPY - SH 避險組合以及 SPY - VIXY 避險組合之左右雙尾皆呈現高度相依的現象，也有較佳的解釋力。. 23. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(31) 表 3-3：動態 Copula 模型之參數估計結果 Gaussian. Student-t. Gumbel. Clayton. 10.6396*** (0.5260) -5.4032*** (0.5380). 2.9458*** (1.0525) 2.8807*** (1.0585). 14.9179*** (1.8841) -13.2273*** (2.0271). 1.2000 (0.9791) 1.2719 (1.0984). 0.0980 (0.0772) 3154.31 -6302.62. 0.0394*** (0.0135) 3607.73 -7209.46. -7.8229*** (1.3518) 3412.00 -6817.99. -10.4176*** (1.4470) 2936.29 -5866.58. 6.0599***. -1.1749. 3.4704***. 2.9000***. Log-L. (0.2817) -5.2293*** (0.2459) 0.5346*** (0.0839) 867.95. (0.8488) 4.1405*** (1.0964) 0.0737** (0.0366) 895.34. (0.1950) -3.9798*** (0.1164) -6.8984*** (1.2308) 777.19. (0.3225) -3.4171*** (0.5288) -6.2868*** (1.0101) 851.33. AIC. -1729.90. -1548.39. -1696.66. Nat. ψ2. io. -1784.69. n. al. ‧. 24. ψ1. 學. ψ0. SPY - VIXY. 立. y. Log-L AIC. 政治大. sit. ψ2. er. ψ1. ‧ 國. ψ0. SPY - SH. Ch. n engchi U. 註： 1. ***，**，*分別表示在 1%，5%，10%的顯著水準下顯著。 2..括號內為估計參數之標準誤。 3..各動態 Copula 之動態方程式設定如下： Gaussian:. where. Student-t:. where. Gumbel & Clayton:. iv. where. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(32) 三、樣本內避險績效分析估計完四個動態 Copula 的參數之後，我們可以直接得到 ρt 的動態過程，或是將 τt 經由轉換導出 ρt 的動態過程，再根據 (2.22) 式計算出每個 t 時點的避險比率 ∆t ，圖 3-4 與圖 3-5 即為 SPY - SH 避險組合及 SPY - VIXY 避險組合樣本內動態避險比率的時間序列圖。儘管避險比率有一部分取決於兩個資產間條件波動度的比值，不過也有很重要的一部分則取決於關聯結構的估計方式。如果利用不同特性的 Copula 模型配適，最後得到的 ρt 往往會有截然不同的動態過程，這也導致動態避險比率. 政治大由 Clayton copula 估算出的避險比率通常比較低，而 Student-t copula 則往往高立. 可能隨著選擇的模型改變而產生些許差異。從圖 3-4 與圖 3-5 中就可以發現，. ‧ 國. 學. 出一些。. 但若是以兩個避險組合的避險比率拿來比較，SPY - VIXY 避險組合的避險. ‧. 比率大約介於 0.05 至 0.40 之間，而 SPY - SH 避險組合則介於 0.90 至 1.30 之. sit. y. Nat. 間，因此平均而言，SPY - VIXY 避險組合所使用的避險比率都小於 SPY - SH. al. n. 將以避險效率法與確定等值法進行分析。. Ch. engchi. 25. er. io. 避險組合。至於哪一種避險組合、哪一種 Copula 模型的避險績效較佳，本研究. i n U. v. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(33) 立. 政治大. ‧ 國. 學. 圖 3-4：SPY - SH 避險組合之樣本內動態避險比率. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 3-5：SPY - VIXY 避險組合之樣本內動態避險比率. 26. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(34) 表 3-4 為 SPY - SH 與 SPY - VIXY 兩個避險組合在樣本內避險的結果。在 SPY - SH 的避險組合中，四種動態 Copula 避險的平均報酬均高於 OLS 避險，左偏以及高峰厚尾的程度也比 OLS 避險小一些，然而 SPY 與 SH 這兩個 ETF 因為相當趨近於完全負相關，因此 OLS 可以解釋兩者報酬間絕大部分的變異，相較動態 Copula 的避險效率更提升了 0.29%～0.30%。但若以確定等值法來評估避險績效的話，動態 Copula 可以獲得較佳的平均報酬，並有助於減低左偏與高狹峰等風險，若以避險者的立場而言，仍應傾向使用動態 Copula 進行避險，其中又以 Clayton copula 的避險效用為最佳，而 Gaussian copula 為其次。. 政治大不僅平均報酬較高，報酬的分布也改而傾向右偏，而且峰度也大幅降低，這也立. 至於 SPY - VIXY 避險組合的部分可以發現，相較於 SPY - SH 避險組合，. 證實了 Alexander and Korovilas (2012) 的看法，將 VIX 商品加入投資組合之中. ‧ 國. 學. 的確發揮了降低其他動差風險的效果；只不過，在本研究中發現，SPY - VIXY. ‧. 避險組合的標準差還是比 SPY - SH 避險組合高出了 3～4 倍。而這些數據可能. y. Nat. 顯示 VIXY 在市場下挫時雖然可以保護 SPY 的下檔風險甚至帶來避險利益，但. er. io. sit. 是因為對市場波動相當敏感，因此造成避險組合的波動度連帶受到影響。關於避險績效的部分，以避險效率而言，不論用 OLS 避險或是動態 Copula 避險，. al. n. v i n 大約都介於 70%至 74%左右，明顯比 C h SH 更低；但若以避險效用來看，以 engchi U. VIXY 進行避險的效果普遍都勝過用 SH 避險的績效，而其中避險效用最佳的前兩名則分別是 Gumbel copula 與 Clayton copula。. 27. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(35) 表 3-4：動態 Copula 模型之樣本內避險比較避險組合報酬各階動差. 避險績效 HE(%). CE. 0.0077. 98.84. -927.23. 18.2373. 0.0097. 98.55. -806.62. -2.7855. 18.3121. 0.0096. 98.55. -809.79. 0.0982. -2.8015. 18.2739. 0.0096. 98.55. -808.16. 0.0986. -2.8522. 17.9547 0.0097 治政大. 98.54. -795.71. 平均數. 標準差. 偏度. 峰度. OLS. -0.0130. 0.0880. -3.1897. 20.9765. Gaussian. -0.0116. 0.0983. -2.8004. Student-t. -0.0118. 0.0982. Gumbel. -0.0117. Clayton. -0.0114. SPY—SH. SPY—VIXY. 立. 0.4410. 0.7293. 9.7137. 0.1945. 70.81. -393.56. Gaussian. -0.0029. 0.4175. 0.5794. 8.1617. 0.1743. 73.84. -331.29. Student-t. -0.0035. 0.4161. 0.5591. 7.9909. 0.1732. 74.01. -324.50. Gumbel. -0.0004. 0.4253. 0.4710. 7.8552. 0.1809. 72.85. -320.35. Clayton. 0.0008. 0.4299. 0.4296. 7.8452. 0.1848. 72.26. -320.65. er. io. sit. y. ‧. Nat. 註： 1.. ‧ 國. -0.0053. 學. OLS. 指避險組合報酬之變異數，衡量避險後報酬的變異程度。. al. n. v i n Ch 3..CE 為 Alexander and Barbosa(2008)提出的確定等值法，額外考量了投資人對左偏與 engchi U 1 高狹峰的風險趨避程度 λ，在此將 λ 設定為 10%。 2. HE(%)為 Johnson(1960)提出的避險效率法，衡量避險後變異數降低的幅度。. 4..粗體字代表在該避險組合的所有模型中避險績效最佳。. 綜合這兩個避險組合得到的樣本內避險結果，可以發現 OLS 在兩個資產的相關性較高的時候，能夠發揮的避險效率可能勝過動態 Copula，但是當兩個資產之間的相關性較低時，動態 Copula 模型可以更有效地掌握報酬的邊際分配與關聯結構，所以避險效率就會明顯優於 OLS。至於避險效用的部分，因為將各階動差同時納入了考量，所以儘管 OLS 避險可以讓避險組合的標準差降低，但報酬的平均值、偏度與峰度皆劣於動態 Copula。因此，動態 Copula 整體而言仍獲得較佳的避險效用。 28. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(36) 四、樣本外避險績效分析由於樣本內的避險比率預測與避險績效分析，可能會因為模型被過度配適 (over-fitting)，導致模擬表現與真實情況產生嚴重差異，因此我們必須再進一步檢驗樣本外的避險績效。故本研究以滾動窗口 (rolling windows) 的方式，以 2013 年 1 月 2 日至 2017 年 12 月 18 日 (共 1250 筆觀察值) 作為起點，根據這些資料估計出動態 Copula 或是 OLS 的參數，並用以預測出次一交易日的避險比率，然後再向前滾動一筆資料，每次均採計約 5 年的交易日數共 1250 筆的樣本，最終兩個避險組合都可以得到 364 筆樣本外的避險報酬。. 政治大避險比率的時間序列圖。從這兩張圖中可以看到，由 Clayton Copula 估計出來立圖 3-6 與圖 3-7 為 SPY - SH 避險組合及 SPY - VIXY 避險組合樣本外動態. ‧ 國. 學. 的避險比率，一樣比其他三種動態 Copula 都要更低，雖然在 SPY - SH 避險組合中，差距似乎較不明顯，但是在 SPY - VIXY 避險組合中，卻可以清楚地發. ‧. 現四種動態 Copula 之間存在較大的分歧，只有 Gasussian copula 與 Student-t. sit. y. Nat. copula 的趨勢較為接近。. al. er. io. 再以兩個避險組合的避險比率互相比較，SPY - VIXY 避險組合的避險比率. v. n. 大約介於 0.05 至 0.40 之間，而 SPY - SH 避險組合則介於 0.85 至 1.25 之間，因. Ch. engchi. i n U. 此在樣本外也可以發現，SPY - VIXY 避險組合所使用的避險比率都小於 SPY SH 避險組合。以下將分析哪一種避險組合、哪一種 Copula 模型的避險績效較佳，以及樣本內與樣本外的結果有何異同。. 29. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(37) 立. 政治大. 圖 3-6：SPY - SH 避險組合之樣本外動態避險比率. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 3-7：SPY - VIXY 避險組合之樣本外動態避險比率. 30. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(38) 表 3-5 為 SPY - SH 與 SPY - VIXY 兩個避險組合在樣本外避險的結果。在 SPY - SH 的避險組合中，如同樣本內的結果，動態 Copula 避險的平均報酬、偏度與峰度都比 OLS 避險表現得更好一點，不過避險報酬的波動仍比 OLS 避險的幅度更大一些，考量各階動差的表現，避險效用仍屬動態 Copula 避險更佳。再觀察 SPY - VIXY 的避險組合，這次 OLS 避險的平均報酬表現則大幅超越所有的動態 Copula 避險，然而變異數與峰度均較為落後，而導致避險效用上未能勝過動態 Copula 避險，因此變異數、峰度最低而且避險報酬為正的 Student-t copula 既是避險效率最佳也是避險效用最高的模型，而避險比率相仿的. 政治大綜合這兩個避險組合得到的樣本外避險結果，仍然可以發現 OLS 法同樣在立. Gaussian copula 則居於其次。. 報酬相關性較高的 SPY - SH 避險組合中有較好的避險效率，而在相關性較低的. ‧ 國. 學. SPY - VIXY 避險組合，則是動態 Copula 優於 OLS 法。至於避險效用的部分，. y. Nat. OLS。. ‧. 使用 VIXY 避險也普遍高於使用 SH 避險，且整體而言動態 Copula 也同樣優於. er. io. sit. 再來比較樣本內與樣本外的避險效果，在 SPY - SH 的避險組合之中，OLS 都是在避險效率上大幅勝出的模型，但是就整體避險效用而言，表現並沒有比. al. n. v i n 動態 Copula 避險來得突出，而每個動態 Copula 模型的避險效率都相當接近， Ch engchi U. 各階動差的差距也僅在咫尺之間，所以避險效用的評比難分軒輊，可能並沒有特定的動態 Copula 比較適合用來建立 SPY 與 SH 之間的避險模型。至於 SPY VIXY 的避險組合的部分，不論在樣本內或是樣本外，動態 Copula 的避險效率與避險效用都明顯優於 OLS 避險，其中 Student-t copula 表現明顯比較出色，兩次都是避險效率最佳，而且在樣本外同時也是避險效用較高的，顯示 Student-t copula 可能是最適合用來建立 SPY 與 VIXY 避險的模型。. 31. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(39) 表 3-5：動態 Copula 模型之樣本外避險比較避險組合報酬各階動差. 避險績效 HE(%). CE. 0.0078. 99.22. -862.02. 18.6192. 0.0102. 98.98. -826.88. -3.1003. 18.9035. 0.0101. 98.99. -839.37. 0.1006. -3.0621. 18.7342. 0.0101. 98.99. -831.68. 0.1014. -3.0969. 18.7895 0.0103 治政大. 98.97. -834.57. 平均數. 標準差. 偏度. 峰度. OLS. -0.0068. 0.0882. -3.2287. 19.3960. Gaussian. -0.0051. 0.1010. -3.0612. Student-t. -0.0050. 0.1003. Gumbel. -0.0052. Clayton. -0.0051. SPY—SH. SPY—VIXY. 立. 0.5373. 1.0087. 11.9816. 0.2887. 71.11. -483.85. Gaussian. 0.0017. 0.4867. 0.7173. 7.8354. 0.2369. 76.29. -315.70. Student-t. 0.0013. 0.4858. 0.7164. 7.8166. 0.2360. 76.38. -314.93. Gumbel. -0.0008. 0.4906. 0.6963. 7.8948. 0.2407. 75.91. -318.55. Clayton. -0.0001. 0.5081. 0.6098. 7.8155. 0.2582. 74.15. -316.77. er. io. sit. y. ‧. Nat. 註： 1.. ‧ 國. 0.0115. 學. OLS. 指避險組合報酬之變異數，衡量避險後報酬的變異程度。. al. n. v i n Ch 3..CE 為 Alexander and Barbosa(2008)提出的確定等值法，額外考量了投資人對左偏與 engchi U 1 高狹峰的風險趨避程度 λ，在此將 λ 設定為 10%。 2. HE(%)為 Johnson(1960)提出的避險效率法，衡量避險後變異數降低的幅度。. 4..粗體字代表在該避險組合的所有模型中避險績效最佳。. 最後，比較 SH 以及 VIXY 這兩種截然不同的避險工具，可以發現不論是在樣本內或是樣本外，在所有的避險模型下 VIXY 的避險效用都比 SH 更高，同時需要的避險比率卻比較低，也就是說 VIXY 可以用更低的避險成本達到更好的避險效果。其主要的原因是，VIXY 提供避險組合良好的下方風險保護，讓整體報酬比較傾向於右偏，而峰度也比 SH 少一半以上，使損失出現的機率較低。然而缺點是，避險組合報酬的波動度會隨 VIXY 的加入而上升。. 32. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(40) 第肆章結論本研究將 SPY 這一檔 ETF 當作投資人持有的市場投資組合，並從相關的反向型 ETF 與波動型 ETF 中，各選出 SH 以及 VIXY 這兩個較具代表性之標的作為避險工具，再分別以 Gaussian、Student-t、Gumbel、Clayton 等 4 種 Copula 組成動態 Copula-GJR-GARCH 避險模型，逐一地計算出最適避險比率，據此來分析這些避險模型是否有優於傳統 OLS 避險模型的避險績效，以及反向型 ETF 與波動型 ETF 這兩種避險工具之優勢與劣勢。目的是提供一般投資人以及無法. 政治大經由樣本內與樣本外的實證結果，本研究發現動態 Copula 模型在避險效用立. 操作衍生性金融商品的機構投資人，一些關於建構避險策略的參考。. 上皆明顯勝過 OLS，顯示動態 Copula 模型更有助於捕捉關聯結構的變化，從而. ‧ 國. 學. 估算出較為準確的避險比率。不過配適得最好的 Student-t copula 並非總是避險. ‧. 效用最佳的模型，只有在樣本外的 SPY - VIXY 避險組合有突出的表現，箇中. y. Nat. 原因是否與動態過程設定的參數有關，仍待後續研究進一步釐清。. er. io. sit. 另外，針對 SH 與 VIXY 這兩種避險工具的避險績效，本研究發現利用 SH 避險相較於利用 VIXY 避險的確有提升避險效率的優點，但是考量到其他動差. al. n. v i n 風險之後，VIXY 的避險效用就大幅勝過 SH，再加上 SPY - VIXY 避險組合的 Ch engchi U. 動態避險比率一直都遠低於 SPY - SH 避險組合，換言之，VIXY 可以讓避險者用更低的避險成本達到更好的避險效果。回顧過往研究避險的文獻，甚少關注反向型或是波動型 ETF 的避險績效， Copula 模型之於動態避險的研究也僅止於現貨與期貨的避險，因此本研究主要的貢獻在於，建構 4 種動態 Copula 模型來比較反向型 ETF 與波動型 ETF 作為避險工具的差異，並將確定等值法加入避險績效的評比中。經實證結果顯示，雖然波動型 ETF 與市場投資組合的共整合關係較弱，但利用動態 Copula 模型進行避險，不僅有助於減少下方風險，而且避險報酬的一、三、四階動差表現甚至優於反向型 ETF。故避險者應審慎考慮使用反向型 ETF 降低避險組合變異 33. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(41) 的同時，是否有導致增加其他動差風險的可能，此時利用波動型 ETF 避險並以動態 Student-t copula 作為避險模型可能會是更好的替代方案。然而本研究尚有些許未盡之處，建議未來可以參考 Rodriguez (2007).的狀態轉換 Copula 模型，或是 Bartram and Wang (2007) 提出的 AR(2) Copula 動態過程，嘗試以不同的方式配適動態 Copula，比較同一種 Copula 是否可以得到相近的避險比率，以及配適最佳的模型是否也有最理想的避險績效。也期待未來能夠取得的樣本增加之後，可以考量不同避險時機進出、不同避險期間長短對於避險績效的影響，特別是對於反向型、波動型以及槓桿型這幾類會有價值減損. 政治大. 而不宜長抱的 ETF，若要妥善發揮這些避險工具的避險功能，就需要有更全面更完善的避險策略。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 34. i n U. v. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(42) 參考文獻 Alexander, C., & Barbosa, A. (2008). Hedging index exchange traded funds. Journal of Banking & Finance, 32(2), 326-337. Alexander, C., & Korovilas, D. (2012). Diversification of equity with vix futures: Personal views and skewness preference. Available at SSRN 2027580. Baillie, R. T., & Myers, R. J. (1991). Bivariate Garch Estimation of the Optimal Commodity Futures Hedge. Journal of Applied Econometrics, 6(2), 109-124. Bartram, S. M., Taylor, S. J., & Wang, Y.-H. (2007). The Euro and European financial. 政治大 Bollerslev, T. (1990). Modelling 立 the Coherence in Short-Run Nominal Exchange market dependence. Journal of Banking & Finance, 31(5), 1461-1481.. ‧ 國. 學. Rates: A Multivariate Generalized Arch Model. The Review of Economics and Statistics, 72(3), 498.. ‧. Chakraborty, A., & Barkoulas, J. T. (1999). Dynamic futures hedging in currency. sit. y. Nat. markets. The European Journal of Finance, 5(4), 299-314.. al. er. io. Chang, K.-L. (2012). The time-varying and asymmetric dependence between crude oil. v. n. spot and futures markets: Evidence from the Mixture copula-based ARJI–. Ch. engchi. i n U. GARCH model. Economic Modelling, 29(6), 2298-2309. Clayton, D. G. (1978). A Model for Association in Bivariate Life Tables and Its Application in Epidemiological Studies of Familial Tendency in Chronic Disease Incidence. Biometrika, 65(1), 141-151. Curcio, R. J., Anderson, R. I., & Guirguis, H. (2015). On the Use of LeveragedInverse ETFs to Hedge Risk in Publicly Traded Mortgage Portfolios. The Journal of Index Investing, 6(3), 40-57. Ederington, L. H. (1979). The Hedging Performance of the New Futures Markets. The Journal of Finance, 34(1), 157-170.. 35. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(43) Engle, R. (2002). Dynamic conditional correlation: A simple class of multivariate generalized autoregressive conditional heteroskedasticity models. Journal of Business & Economic Statistics, 20(3), 339-350. Engle, R. F., & Ng, V. K. (1993). Measuring and Testing the Impact of News on Volatility. The Journal of Finance, 48(5), 1749-1778. Fantazzini, D. (2008). Dynamic Copula Modelling for Value at Risk. Frontiers in Finance & Economics, 5(2), 1-38. Figlewski, S. (1984). Hedging Performance and Basis Risk in Stock Index Futures.. 政治大 Ghorbel, A., & Trabelsi, A. (2009). Measure of financial risk using conditional 立 The Journal of Finance, 39(3), 657-669.. extreme value copulas with EVT margins. Journal of Risk, 11(4), 51-85.. ‧ 國. 學. Glosten, L. R., Jagannathan, R., & Runkle, D. E. (1993). On the Relation between the. y. Nat. The Journal of Finance, 48(5), 1779-1801.. ‧. Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks.. Statistical Association, 55(292), 698-707.. al. er. io. sit. Gumbel, E. J. (1960). Bivariate Exponential Distributions. Journal of the American. n. v i n C h Conditional Density Hansen, B. E. (1994). Autoregressive Estimation. International engchi U Economic Review, 35(3), 705-730.. Hautsch, N., & Inkmann, J. (2003). Optimal hedging of the currency exchange risk exposure of dynamically balanced strategic asset allocations. Journal of Asset Management, 4(3), 173-198. Hsu, C. C., Tseng, C. P., & Wang, Y. H. (2008). Dynamic hedging with futures: A copula‐based GARCH model. Journal of Futures Markets: Futures, Options, Other Derivative Products, 28(11), 1095-1116. Joe, H., & Xu, J. J. (1996). The Estimation Method of Inference Functions for Margins for Multivariate Models. Technical Report 166, Department of 36. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(44) Statistics, University of British Columbia. Johnson, L. L. (1960). The Theory of Hedging and Speculation in Commodity Futures. The Review of Economic Studies, 27(3), 139-151. Kroner, K. F., & Sultan, J. (1993). Time-Varying Distributions and Dynamic Hedging with Foreign Currency Futures. The Journal of Financial and Quantitative Analysis, 28(4), 535-551. Lai, Y.-S. (2018). Dynamic hedging with futures: a copula-based GARCH model with high-frequency data. Review of Derivatives Research, 21(3), 307-329.. 政治大 markets: A safe haven or a hedge? International Review of Economics & 立. Lai, Y., & Tseng, J.-C. (2010). The role of Chinese stock market in global stock. Finance, 19(2), 211-218.. ‧ 國. 學. Li, D. X. (2000). On default correlation: A copula function approach. The Journal of. ‧. Fixed Income, 9(4), 43-54.. y. Nat. Lien, D. (2005). The use and abuse of the hedging effectiveness measure.. er. io. sit. International Review of Financial Analysis, 14(2), 277-282.. Lien, D., & Li, Y. (2006). Spot-futures spread, time-varying correlation, and hedging. al. n. v i n C h of Futures Markets, with currency futures. Journal 26(10), 1019-1038. engchi U. Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection. The Journal of Finance, 7(1), 77-91. Nelsen, R. B. (1999). An introduction to copulas: Springer-Verlag. Pan, Z., & Sun, X. (2014). Hedging Strategy Using Copula and Nonparametric Methods: Evidence from China Securities Index Futures. International Journal of Economics and Financial Issues, 4(1), 107-121. Park, T. H., & Switzer, L. N. (1995). Time-varying distributions and the optimal hedge ratios for stock index futures. Applied Financial Economics, 5(3), 131. Patton, A. J. (2006). Modelling Asymmetric Exchange Rate Dependence. International Economic Review, 47(2), 527-556. 37. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(45) Reboredo, J. C. (2013). Is gold a hedge or safe haven against oil price movements? Resources Policy, 38(2), 130-137. Rob, W. J. v. d. G., Genest, C., & Werker, B. J. M. (2005). Bivariate option pricing using dynamic copula models. Insurance, Mathematics & Economics, 37(1), 101-114. Rodriguez, J. C. (2007). Measuring financial contagion: A Copula approach. Journal of Empirical Finance, 14(3), 401-423. Sklar, A. (1959). Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges. Publications. 政治大 Stein, J. L. (1961). The Simultaneous Determination of Spot and Futures Prices. The 立 de I’ Institut deStatistique de l’University de Paris(8), 229-231.. American Economic Review, 51(5), 1012-1025.. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 38. i n U. v. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(46) 附錄附錄 A 表 A - 1：靜態 Copula 模型之參數估計結果 SPY - SH 避險組合. SPY - VIXY 避險組合. Log-L. 0.9899*** (0.0003) 3153.53. 0.8074*** (0.0067) 851.18. AIC. -6305.07. -1700.35. Constant Gaussian Copula ρ. Constant Student-t Copula ρ. 立. n. al. Ch. Constant Clayton Copula. engchi. y. 2.2949*** (0.0470) 756.43 -1510.85. sit. 13.1535*** (0.2707) 3407.57 -6813.14. er. io. Log-L AIC. Nat. Constant Gumbel Copula δ. (0.0079) 5.4962*** (0.3974) 889.26 -1774.52. ‧. Log-L AIC. 0.8126***. 學. 2.4241*** (0.2588) 3600.86 -7197.72. ‧ 國. υ. 治政0.9938*** 大 (0.0003). i n U. v. Log-L. 15.6804*** (0.3963) 2917.27. 2.3635*** (0.0773) 831.99. AIC. -5832.54. -1661.97. δ. 註： 1. ***，**，*分別表示在 1%，5%，10%的顯著水準下顯著。 2..括號內為估計參數之標準誤。 3..各靜態 Copula 模型設定如下：. 39. DOI:10.6814/NCCU201900817.

(47)