31172#"10!
即10#
-" 1172$
" &#
是不是根据图"$ " " 5
这一特殊情形得出的结论就能肯定地得出一般性的结 论了呢*
为了使结论更可靠!
还要考虑哪些情形呢*
对于图"$ " " 1
和图"$ " " 0!
湖南教育出版社
!&!!!*
" "#
中的结论还成立吗*
图"$" " 1 图"$" " 0
如图
"$ " " 1!
过点0
作/7
的直径05!
将问题转化为图"$ " " 5
的情形!
可以 证明1102#
-" 1172$
如图
"$ " " 0!
同样地!
过点0
作/7
的直径05!
将问题转化为图"$ " " 5
的情 形!
也可以证明1102#
-" 1172$
由此
!
我们便可以得出圆周角定理&
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半$
在此基础上
!
就不难得出&
在同圆或等圆中!
同弧或等弧所对的圆周角相等'
相等的 圆周角所对的弧也相等$
!$
如图"$ " " - %! 25
是/7
的直径! 0! 1
是/7
上的点!
若1015# ) / ;!
则1012
的度数为
!!!!!$
图"$" " -%
"$
如图"$ " " - -! 0! 1! 2
是/7
上的点!1012
的平分线交/7
于点5!
若1012#
- " % ;!
求证& -025
是等边三角形$
图"$" " -
-湖南教育出版社
!'!!!!
-$
本节课我们学习了几个重要的知识&
" -#
顶点在圆上!
两边与圆相交的角叫圆周角'
" "#
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半'
在同圆或等圆中!
同弧或等 弧所对的圆周角相等!
相等的圆周角所对的弧也相等$
"$
本节课的学习中我们用到了两个重要的方法&
" -#
我们通过类比圆心角的定义得出了什么是圆周角!
通过类比(
等弧所对的圆心角 相等)
提出了猜想(
同弧或等弧所对的圆周角相等) $
" "#
为了证明(
同弧所对的圆周角相等) !
我们将问题转化为探究(
同弧所对的圆周角与 圆心角的关系) '
随后!
我们通过如图"$ " " 5
所示的特殊情形证明了(
同弧所对的圆周角 的度数等于圆心角度数的一半) !
然后我们再次用到了转化&
将图"$ " " 1$
图"$ " " 0
两种更一般的情形转化为图
"$ " " 5
的特殊情形!
进而得出了(
同弧所对的圆周角等于 圆心角的一半)
的结论$
将遇到的新问题转化为已经解决的问题!
是数学学习中非常重要 的方法$
&$
通过(
圆周角)
和(
圆心角)
的学习!
我们建立了同圆或等圆中的弦$
弧$
圆心角$
圆 周角之间的联系!
如下图所示$
.$
弧与它所对的圆周角$
圆心角的关系!
为今后引入角的大小用弧度制表示提供了 可能$
!$
如图"$ " " - "! 02
是/7
的直径! 1
是/7
上的点! 5
是/7
外的点! 02
与15
相交于点
8$
下列结论正确的是" !!#
图"$" " -"
'( 1015! 1501! 1012! 1082
是圆周角*$
圆周角1201
所对的弦是18 +$
圆周角1051
所对的弧是01 1 ,$
圆周角1012
所对的弦是02
湖南教育出版社
!'!!!"
"$
如图"$ " " - &! 0! 1! 2! 5
是/7
上的四个点!
下列说法错误的是" !!#
'( 1502#1512 *( 1015#1025
+$ -0854-182 ,( -0254-125
图"$" " -& 图"$" " -. 图"$" " -/
#$
如图"$ " " - .! 0! 2! 1
是/7
上三点! 07512!1072#.% ;!
则1701
的度数 为$
$$
如图"$ " " - /! 70
是/7
的半径! 1
是/7
外一点! 07217! 01! 71
分别交/7
于 点2! 5$
若1017#" 1 ;!
则1052
的度数为!!!!!$
%$
如图"$ " " - )! -012
的三个顶点在/7
上! 01#02!
过点0
的弦08
交12
于点5$
求证& -0154-081$
图"$" " -)
&$
如图"$ " " - 5! 01
是/7
的直径! 25
是弦! 01225$
" -# .
是优弧205 1
上一点"
不与2! 5
重合# !
求证& 12.5#1271$
" "#
点. >
在劣弧25 1
上"
不与2! 5
重合#
时!12.>5
与1271
有什么数量关系*
请证 明你的结论$
图"$" " -5
湖南教育出版社
!'!!!#
"$ " !
圆心角#
圆周角!#"
!
前置诊断"
检测你的基础#
助力新课学习$
!$
如图"$ " & -!
已知01
是/7
的直径! 2
是/7
上一点!
若1072#. / ;!
则1172
的度数为
" !!#
'( . / ; *( 0 % ; +( - % % ; ,( - & / ;
图"$" & - 图"$" & " 图"$" & &
"$
如图"$ & & "!
已知圆心角1172#5 1 ;!
则圆周角1102
的度数是" !!#
'( - / ) ; *( 5 1 ; +( & 0 ; ,( - " ;
#$
如图"$ & & &! 0! 1! 2! 5
是圆上的点! 1-#) 1 ;! 10#. % ;!
则15
的度数是" !!#
'( ) 1 ; *( " 1 ; +( . % ; ,( & 1 ;
!
前置巩固"
如果你没有全部正确#
务必回顾复习$
圆周角定理
&
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半'
在同圆或等圆中!
同弧或等弧所对的圆周角相等$
!!
前面我们已学习了圆心角%
圆周角及其性质#
那么圆中有哪些特殊的圆心角和圆周 角呢&
不同的圆心角或圆周角之间又有哪些特殊的关系呢&
!$
圆周角定理的推论我们已经知道
&
在圆中!
直径是一条特殊的弦!
半圆是一条特殊的弧$
直径所对的弧湖南教育出版社
!'!!!$
图"$& & .
是半圆
!
半圆所对的弦是直径$
那么它们所对的圆心角和圆周角又有哪 些特殊性呢*
如图
"$ " & .! 01
是/7
的直径! 12! 15!18
都是01 1
所对的 圆周角! 01 1
所对的圆心角是1071!
因为0! 7! 1
三点在一条直线上!
所以圆心角1071
是一个平角!
即1071#- 1 % ;$
根据圆周角定理!
圆 周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半!
所以12#15#18#
-" 8- 1 % ;#
0 % ;$
由此可以得到!
直径"
或半圆#
所对的圆周角是直角$
反之
!
如果一条弧所对的圆周角是0 % ;!
这条弧所对的圆心角为- 1 % ;!
那么所对的弦 就是直径!
所对的弧就是半圆$
这一推论是圆的一个重要的性质!
为在圆中确定直角和垂 直关系创造了条件$
"$
圆内接四边形图"$" & /
如图
"$ " & /! 0! 1! 2! 5
是/7
上的四点!
顺次连接0! 1! 2! 5
四 点!
得到四边形0125!
我们把四边形0125
称为圆内接四边形!/7
叫 作四边形0125
的外接圆$
那么!
圆内接四边形的四个内角之间有什么 特殊的关系呢*
如图
"$ " & /!
连接71! 75!
因为10
所对的弧是125!12 1
所对 的弧是105! 1
且这两段弧所对的圆心角之和为& ) % ;!
所以10$12#
-" 8& ) % ;#- 1 % ;$
再由四边形的内角和为
& ) % ;
可知! 1012$1052#- 1 % ;$
由此我们可以得到圆内接四边形的性质
&
圆内接四边形的对角互补$
!$
如图"$ " & )! 01
是圆7
的直径!
四边形0125
内接于圆7! 05! 12
的延长线交于 点8!
且05#52! 18#/ % ;!
则10
的度数为" !!#
'( . % ; *( / % ;
+( ) % ; ,( 5 % ;
图"$" & ) 图"$" & 5
"$
如图"$ " & 5!
在半径为/
的/7
中!
弦01#)!
点2
是优弧01 1
上一点"
不与0! 1
重 合# !
则: = 7 2
的值为!!!!!$
湖南教育出版社
!'!!!%
图"$" & 1
#$
如图"$ " & 1!
四边形0125
内接于/7!1508
是四边形0125
的一个外角!
且05
平分1208$
求证& 51#52$
-$
本节课我们学习了两个重要的知识&
" -#
直径"
或半圆#
所对的圆周角是直角! 0 % ;
的圆周角所对的弦是直径'
" "#
圆内接四边形的对角互补$
"$
本节课的学习中用到转化的方法!
为了得到圆内接四边形对角的关系!
我们将问 题转化为探究(
这两个对角所对弧上的圆心角的关系) '
再利用(
同弧所对的圆周角等于 圆心角的一半) !
进而得出了(
圆内接四边形的对角互补)
的结论$
&$
圆周角定理的这一条推论是在圆中利用直径找直角!
或由直角得到直径的重要方 法'
圆内接四边形的性质是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据$
!$
平行四边形的四个顶点在同一圆上!
则该平行四边形一定是" !!#
'(
正方形*(
菱形+(
矩形,(
等腰梯形"$
如图"$ " & 0! 01
是/7
的直径! 12
是/7
的弦$
若1712#) % ;!
则1102
的度数是
" !!#
'( 5 / ; *( ) % ; +( . / ; ,( & % ;
图"$" & 0 图"$" & -% 图"$" & -
-#$
如图"$ " & - %!
四边形0125
为/7
的内接四边形!1125#-"%;!
则1175
的度 数为!!!!!$
$$
如图"$ " & - -! 01
是/7
的直径! 1105#5 % ;!
则1025
的度数是!!!!!$
湖南教育出版社
!'!!!&
%$
如图"$ " & - "!
已知0! 1! 2! 5
是/7
上的四点!
延长52! 01
相交于点8!
若12#
18$
求证& -058
是等腰三角形$
图"$" & -"
&$
已知>?-012
的直角顶点2!
另一顶点0
及斜边01
的中点5
都在/7
上! 12
交/7
于点8$
" -#
如图"$ " & - &" @# !
若02#28!
求11
的度数'
" "#
如图"$ " & - &" A# !
若02#)! 12#1!
求/7
的半径$
"@# "A#
图"$" & -&
湖南教育出版社
!'!!!'
"$ # !
垂径定理!
前置诊断"
检测你的基础#
助力新课学习$
!$
如图"$ & - -!
在/7
中!
若点2
是弧01
的中点! 10#/ % ;!
则1172
等于" !!#
'( / % ; *( . / ; +( . % ; ,( & / ;
图"$& - - 图"$& - " 图"$& - &
"$
如图"$ & - "! 0! 1! 2! 5
均为/7
上的点!
且01#25!
则下列说法不正确的是" !!#
'( 1071#1275 *( 1072#1175
+( 1 02# 1
15 ,$ 72#25
#$
如图"$ & - &!
在-012
中! 01#02! 5
为12
的中点! 02#- %! 12#- )!
则05
的长度为
" !!#
'( ) *( 1 +( - % ,( - )
!
前置巩固"
如果你没有全部正确#
务必回顾复习$
-$
等腰三角形的性质&
等边对等角'
等腰三角形底边上的高!
底边上的中线和顶角的 平分线互相重合$
"$
在同圆或等圆中!
两个圆心角!
两条弧!
两条弦!
其中有一组量相等!
那么其余两组 量也相等$
&$
在>?-012
中! 12#0 % ;!
则02
"$ 12
"#01
"!
已知直角三角形的任意两边!
根 据勾股定理我们都可以求出第三边的长$
!!
由前面的学习我们知道圆是轴对称图形#
任意一条直径所在的直线都是它的对称 轴#
将圆的轴对称性和圆中的弦%
弧%
圆心角%
圆周角结合起来#
又会有哪些新的结论呢&
湖南教育出版社
!'!!!(
!$
垂径定理的发现如图
"$ & - .! 01
是/7
的一条弦!
作直径25!
使25201!
垂足为-$
根据圆的 轴对称性!
你能找到图中有哪些等量关系*
我们沿着直径
25
对折!
可以得到0-#1-! 1 02# 1
12! 1 05# 1
15$
图"$& - . 图"$& - /
"$
垂径定理的证明类比等腰三角形的轴对称性
!
我们不难证明这个结论&
如图
"$ & - /!
连接70! 71!
则70#71$
3-701
是等腰三角形$
2 7-201!30-#1-!107-#117-$
31075#1175!3 1 02# 1
12! 1 05# 1
由此我们可以得到垂径定理
&
垂直于弦的15$
直径平分这条弦!
并且平分弦所对的两条弧$
#$
垂径定理的推论的探索在垂径定理涉及的五个条件
!25
是直径!"25201!#0-#1-!$ 1 02# 1
12!&
05# 1 1
15
中!
当我们将!"
作为条件时!
能证明#$&
是正确的!
即垂径定理$
那能不能 交换条件和结论呢*
由圆的对称性可知!
只要具备五个条件中的任何两个!
那么其他三 个也成立$
对于
(
平分弦"
不是直径#
的直径垂直于弦!
并且平分弦所对的两条弧)
这一结论!
一 定要注意(
弦不是直径)
这一条件$
因为圆的任意两条直径互相平分!
但它们不一定是互 相垂直的$
垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在 关系
!
其本质是圆的轴对称性的具体化$
垂径定理是证明线段相等$
角相等$
弧相等$
垂直 关系以及进行圆的有关计算和作图的重要依据$
例
!
如图"$ & - )!
你能找到01 1
所在圆的圆心吗*
图"$& - ) 图"$& - 5
湖南教育出版社
!'!!!)
解
"
如图"$ & - 5!
作弦01! 02
及它们的垂直平分线)! 3!
交于点7!
点7
即为01 1
所 在圆的圆心!
因为弦01
和弦02
的垂直平分线都经过圆心!
那么两条垂直平分线的交点即 为圆心$
!$
如图"$ & - 1! /7
的弦01#1! -
是01
的中点!
且7-#&!
则/7
的直径等于" !!#
'( 1 *( " +( - % ,( /
图"$& - 1 图"$& - 0
"$
如图"$ & - 0!
将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上!
使其一边经过圆心7!
另一边所在直线与半圆相交于点5! 8!
量出半径72#/:6!
弦58#1:6!
则直尺 的宽度为!!!!!$
#$
如图"$ & - - %!
圆7
的直径25#):6! 01
是圆7
的弦! 01225!
垂足为-! 7-<
75#&</!
求01
的长$
图"$& - -%
-$
本节课我们利用圆的轴对称性得到了垂径定理及其推论!
可以综合叙述为!
对于 一个圆和一条直线来说!
如果具备下列五个条件中的任何两个!
那么其他三个也成立&
!
垂直于弦' "
过圆心' #
平分弦"
不是直径# '$
平分弦所对的优弧'&
平分弦所对的劣 弧$
也可以理解为!"#$&(
知二推三) $
"$
本节课用到了类比的学习方法!
类比等腰三角形的轴对称性!
由圆的轴对称性得 到了垂径定理!
并将垂径定理推广到了更一般的结论!
即五个条件知二推三$
&$
垂径定理为我们证明线段相等$
角相等$
弧相等$
垂直关系以及进行圆的有关计算 和作图提供了重要依据!
并且在计算中经常将垂径定理和勾股定理有机地结合在一起!
为后面学习计算扇形的弧长和面积奠定了基础$
湖南教育出版社
!'!!!*
!$
下列说法正确的是" !!#
'(
垂直于弦的直线必经过圆心*(
平分弦的直径必平分弦所对的弧+$
平分弦的直径垂直于弦,(
弦的垂直平分线必经过圆心"$
如图"$ & - - -! 01
是/7
的弦! 72201
于点5!
交/7
于点2!
若01#1! 25#"!
那么
/7
的直径为" !!#
'( / *( ) +( 1 ,( - %
图"$& - -- 图"$& - -" 图"$& - -&
#$
如图"$ & - - "! 01
是/7
的直径! 1102#& / ;!
点5
是弦02
的中点!
则1572
的 度数是!!!!!
度$
$$
如图"$ & - - &!
已知01
是/7
的弦!
半径70#" %:6!1071#-"% ;!
则-071
的 面积为!!!!!:6
"$
%$
一根横截面为圆形的下水管道的直径为-6!
管内有少量的污水"
如图"$ & - - .# !
此 时的水面宽01
为%$ )6$
图"$& - -.
" -#
求此时的水深"
即阴影部分的弓形高# '
" "#
当水位上升到水面宽为%$ 16
时!
求水面上升的高度$
&$
如图"$ & - - /! -
是01 1
的中点!
过点-
的弦-=
交01
于点2!
设/7
的半径为.:6! -= #. &:6$
槡图"$& - -/
" -#
求圆心7
到弦-=
的距离'
" "#
求102-
的度数$
湖南教育出版社
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(頁 63-81)