又
2
点5
在直线71
上! ! 3
直线71
与/-
相切$
图"$/ - 0 图"$/ - -%
" "#
连接-8! -9!
如图"$ / - - %$
设直线
01
的解析式是##'"$%!
2 0"!1! %# ! 1" %! )# !
3 %#!1 '$%!
)# %
. $
解得'# & . !
%#) ' (
) !
即直线
01
的函数关系式是## &
. "$)$
2/-
与"
轴$ #
轴都相切!
3
点-
到"
轴$ #
轴的距离都相等!
即-8#-9!
于是设
-" !! ! !# " !1%!%%#$
把
"#!! ##!!
代入## &
. "$)!
得
! !# &
. !$)!
得!#! " . 5 ! 3
点-
的坐标为! " .
5 ! " .
" 5 # $
!$
直线6
上的一点到圆心的距离等于半径!
则直线与圆的位置关系一定是" !!#
'(
相离*(
相切+(
相交,(
相切或相交"$
如图"$ / - - -! -012
中! 01#&! 02#.! 12#/! 5! 8
分别是02! 01
的中点!
则 以58
为直径的圆与12
的位置关系是!!!!!$
图"$/ - -
-湖南教育出版社
!(!!!(
#$
如图"$ / - - "!
在>?-012
中!12#0%;! 02#- %! 12#" .!/7
的半径为)!
当圆 心7
与2
重合时!
试判断/7
与01
的位置关系$
图"$/ - -"
直线与圆的三种不同的位置关系
!
总结如下表&
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图形
公共点个数 "个 -个 没有
公共点名称 交点 切点 直线名称 割线 切线
圆心到直线的距离(与半径+的关系 (%+ (#+ ($+
!!
在探究这三种位置关系前!
我们先观察直线与圆位置关系的变化过程!
再通过思考得 出(
圆心到直线的距离(
和半径+
的数量关系)
与(
直线和圆的位置关系)
的对应与等价!
最 后!
实现位置关系与数量关系的结合!
这一过程体现了分类和数形结合的思想方法$
湖南教育出版社
!(!!!)
!$
已知/7
的半径为.:6!
如果圆心7
到直线6
的距离为&$ /:6!
那么直线6
与/7
的位置关系是
" !!#
'(
相交*(
相切+(
相离,(
不确定"$
在>?-012
中! 12#0 % ;! 02#/! 12#- "!/2
的半径为/ - 1 & !
则/2
与01
的位置关系是
" !!#
'(
相切*(
相交+(
相离,(
无法确定#$
已知圆的半径为&:6!
一条直线上有一点到圆心的距离为&:6!
则这条直线与圆的位 置关系为!!!!!$
$$
如图"$ / - - &!
在矩形0125
中! 01#.! 05#&!
以5
为圆心的圆!
与线段01
有公 共点!
则圆的半径+
的取值范围是!!!!!$
图"$/ - -&
!!!!!!
图"$/ - -.%$
如图"$ / - - .!
已知/7
与12
相切!
点2
不是切点! 07272!1702#1017!
且02#17!
判断直线01
与/7
的位置关系!
并说明理由$
湖南教育出版社
!(!!!*
"$ % !
直线与圆的位置关系!""
!
前置诊断"
检测你的基础#
助力新课学习$
!$
已知/7
的直径是- %!
圆心7
到直线6
的距离是/!
则直线6
和/7
的位置关系是" !!#
'(
相离*(
相交+(
相切,(
外切"$
设/7
的半径为&!
点7
到直线6
的距离为(!
若直线6
与/7
只有一个公共点!
则(
应满足的条件是
" !!#
'( (#& *( (.& +( (%& ,( ($&
#$
如图"$ / " -!
在-012
中! 01#02!
点5
为12
的中点!
则下列结论中错误的是" !!#
图"$/ "
-'( 1105#1205
*( 05212 +$ 11#12 ,( 1102#11
!
前置巩固"
如果你没有全部正确#
务必回顾复习$
-$
直线与圆的位置关系有三种!
可以利用直线与圆的公共点的个数!
或圆心到直线 的距离与圆的半径的大小关系来判定$
当(#+
时!
直线与圆相切!
直线与圆有一个公共 点'
当(%+
时!
直线与圆相交!
直线与圆有两个公共点'
当($+
时!
直线与圆相离!
直线 与圆没有公共点$
"$
等腰三角形的性质&
等腰三角形的两底角相等!
简称(
等边对等角) '
等腰三角形底 边上的高$
中线及顶角平分线重合!
简称(
三线合一) $
!!
上节课我们学习了直线和圆的三种位置关系#
知道了可以从公共点的个数和圆心到 直线的距离与半径作比较两种方法进行判断#
那判断直线和圆相切的方法是否仅此两种 呢&
本节课我们将继续探索切线的判定条件$
湖南教育出版社
!)!!!!
!$
切线的判定方法图"$/ " "
直线与圆的三种位置关系中
!
相切是最特殊的情形!
数学中通常将 这种特殊情形作为研究对象$
前面我们已经学习了判定直线6
与/7
相 切的两种方式&
直线6
和/7
只有一个公共点'
圆心7
到直线6
的距离 等于/7
的半径$
除这两种方式之外!
是否还有更便捷的判定方法呢*
如图
"$ / " "!
画/7
及半径70!
作一条直线6
过半径70
的外 端点0!
且垂直于70!
此时圆心7
到直线6
的距离等于/7
的半径!
所以直线6
与/7
相切$
由此我们可以得到圆的切线的判定定理
&
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线$
利用这一判定定理!
我们还能用三角尺过圆上一点画圆的切线$
"$
切线的性质图"$/ " &
由切线的定义
!
我们已经知道切线具有以下两条性质&" -#
切线 和圆只有一个公共点' " "#
圆心到切线的距离等于半径$
那圆的切线还有哪些性质呢
*
如图"$ / " &!
直线25
是/7
的切线
!
切点为0!
半径70
与直线25
是不是一定垂直呢*
我们知道圆是轴对称图形
!
此时直线25
与/7
只有一个公共点0!
我们将/7
沿着01
所在直线对折时!
直线25
在01
两边的部分 重合!
因此1102#1105#0 % ;!
所以70225$
所以我们得到切线的第三条性质
&
圆的切线垂直于过切点的半径$
由圆的轴对称性
!
我们也不难得出&
经过圆心垂直于切线的直线必过切点'
经过切点 垂直于切线的直线必过圆心$
上述性质可归纳为
&
已知直线满足!
过圆心!"
过切点!#
垂直于切线这三个条件中 的任意两个!
便可得到第三个结论$
例
!
如图"$ / " .!
已知三角形012
的边01
是/7
的切线!
切点为1$ 02
经过 圆心7
并与圆相交于点5! 2!
过2
作直线28201!
交01
的延长线于点8$
" -#
求证& 21
平分1028'
" "#
若18#&! 28#.!
求/7
的半径$
图"$/ " .
证明
" " -#
如图"$ / " .!
连接71$
2 01
是/7
的切线! 3 71201$
2 28201!371528!31"#1&$
又
2 71#72! 31-#1&!
31-#1"!
即21
平分1028$
" "#
如图"$ / " /!
连接15$
2 28201!318#0% ;!
3 12# 18
槡"$ 28
"# &
槡"$.
"#/!
2 25
是/7
的直径! 31512#0% ;! 31512#18$
湖南教育出版社
!)!!!"
图"$/ " /
又
1-#1"! 3-5124-182!3 25 12 # 12
28 !
3 12
"# 25+28! 3 25# /
". # " / . ! 3 72#
-" 25# " / 1 !
即
/7
的半径为" 1 / $
!$
如图"$ / " )! 01
是/7
的直径!
下列条件中不能判定直线0@
是/7
的切线的是" !!#
'( 01#.! 0@#&! 1@#/ *( 11#. / ;! 01#0@
+$ 11#/ / ;! 1@02#/ / ; ,( 10@2#11
图"$/ " ) 图"$/ " 5
"$
如图"$ / " 5!
已知.0! .1
是/7
的切线! 0! 1
为切点! 02
是/7
的直径!1.#
. % ;!
则1102
的大小是!!!!!$
#$
如图"$ / " 1! 01
是/7
的直径!
点5
在01
的延长线上!
点2
在/7
上! 20#25!
1250#& % ;$
图"$/ " 1
" -#
试判断直线25
与/7
的位置关系!
并说明理由'
" "#
若/7
的半径为.!
求点0
到25
所在直线的距离$
圆的切线的判定定理和性质定理可以总结如下
&
湖南教育出版社
!)!!!#
在利用圆的切线的判定和性质解决问题时
!
常见的辅助线有&!
判定切线时(
连圆心 和直线与圆的公共点)
或(
过圆心作这条直线的垂线) '"
有切线时!
常常(
遇到切点连圆 心得半径) $
圆的切线的判定和性质为圆的计算和证明提供了重要的依据
!
特别是出现了垂直关 系'
同时本节课内容也为后面学习切线长定理和三角形的内切圆奠定了基础$
!$
下列说法不正确的是" !!#
'(
与圆只有一个公共点的直线是圆的切线*$
经过半径的外端!
且垂直于这条半径的直线是圆的切线+$
与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线,$
垂直于半径的直线是圆的切线图"$/ " 0
"$
如图"$ / " 0!
点.
为/7
外一点! .0
为/7
的切线! 0
为切点!
.7
交/7
于点1! 1.#& % ;! 71#&!
则线段1.
的长为" !!#
'( &
槡
*( & &
+( ) ,( 0
#$
如图"$ / " - %! 01
是/7
的直径! .0
与/7
相切于点0!
线段.7
与/7
相交于点2!
连接12!
若1.#& ) ;!
则11
等于!!!!!$
图"$/ " -% 图"$/ " -
-$$
如图"$ / " - -!
已知01
是/7
的直径! 05! 15
是半圆的弦!1.50#1.15!
1158#) % ;!
若.5 # &!
槡则.0
的长为!!!!!$
%$
如图"$ / " - "! 01
是/7
的直径! 05
与/7
相切于点0! 58
与/7
相切于点8!
点2
为58
延长线上一点!
且28#21$
求证& 12
为/7
的切线$
图"$/ " -"
湖南教育出版社
!)!!!$
"$ % !
直线与圆的位置关系!#"
!
前置诊断"
检测你的基础#
助力新课学习$
!$
如图"$ / & -!
在/7
中!
若点2
是01 1
的中点! 10#. / ;!
则1172# " !!#
'( . % ; *( . / ; +( / % ; ,( ) % ;
图"$/ & - 图"$/ & " 图"$/ & &
"$
如图"$ / & "! > ?-012
中! 01#- %:6! 12#1:6!
若点2
在/0
上!
则/0
的半径是" !!#
'( .:6 *( ):6 +( 1:6 ,( - %:6
#$
如图"$ / & &! .0! .1
分别切/7
于0! 1
两点!
点2
在优弧021 1
上!1.#1%;!
则12
的度数为" !!#
'( / % ; *( ) % ; +( 5 % ; ,( 1 % ;
!
前置巩固"
如果你没有全部正确#
务必回顾复习$
-$
在同圆或等圆中!
两个圆心角$
两条弧$
两条弦!
其中有一组量相等!
那么其余两组 量也相等$
"$
切线的判定&
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线'
切线的性质&
圆的切线垂直于过切点的半径$
&$
圆周角定理&
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半$ .$
四边形的内角和为& ) % ;$
!!
前面我们学习了圆的切线的性质和判定#
知道过圆上一点只能作出圆的一条切线#
那么过圆外一点能作出圆的几条切线呢&
这些切线又会有哪些新的性质呢&
湖南教育出版社
!)!!!%
!$
切线长定理图"$/ & .
如图
"$ / & .!
在纸上画出/7!
并画出过点0
的切线!
在其上任取一点.!
连接.7!
沿直线.7
将纸对折!
设圆上与 点0
重合的点为1!
因为71
与70
重叠! 70
是半径! 71
也就 是半径$
又因为71
是半径!
根据对折后的角不变!
所以.1
是/7
的另一条切线!
根据轴对称性质!
我们很容易得到.0#
.1! 10.7#11.7$
我们把
.0
或.1
的长!
即经过圆外一点作圆的切线!
这点和切点之间的线段的长!
叫做这点到圆的切线长$
注意
&
切线和切线长是两个完全不同的概念!
切线是直线!
是不能度量的'
切线长是 一条线段的长!
这条线段的两个端点一个是圆外的点!
另一个是切点$
"$
切线长定理的证明由上面的操作我们可以得到
&
从圆外一点可以引圆的两条切线!
它们的切线长相等!
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角$
图"$/ & /
从圆外一点
.
向圆引的切线为什么是两条呢*
如图"$ / & /!
由切线的性质可知
! 1.07#1.17#0 % ;!
所以点0! 1
在以7.
为直 径的圆上!
而以7.
为直径的圆与/7
有且只有两个交点!
所以从圆 外一点可以引圆的两条切线$
下面我们给予切线长定理的严格证明
&
如图
"$ / & .!
已知.0! .1
是/7
的两条切线!
切点为0!
1!
求证& .0#.1! 10.7#11.7$
证明
& 2 .0! .1
是/7
的两条切线!
3 7020.! 7121.$
在文檔中
本 册 主 编
(頁 81-89)