2-1 數值高程模型介紹
數值地形模型（Digital Terrain Model, DTM）是在一個任意座標系統中選擇大 量已知的 X,Y,Z 的座標點位對連續地面的一個簡單的統計表示（Miller and Laflamme, 1958）。自從 DTM 的概念提出後，相繼出現許多相近的概念，如：英國 使用的 DGM（Digital Ground Model）、德國使用的 DHM（Digital Height Model）
與美國使用的 DEM 等。數值高程模型（Digital Elevation Model，DEM）一詞源自 於美國地質調查署（U.S. Geological Survey，USGS）所生產的一種規則網格式的 高程資料，Burrough and McDonell(1998)提出 DEM 為僅包含高度資料的資料陣 列，為表示某部分地球地形的量化模型。狹義的來說，數值高程模型是以 X,Y,Z 三維座標來表現地形特性；廣義而言則是指任何以數值或數位方式來表示地表特 性的資料模式。
DEM 數據包含平面位置和高程數據，其資料來源一般可分為三種：數化現有 地形圖資料、地面實測、航照影像測量，獲取初步資料後再以內插加密的方式獲 得計算區域之地形模型。DEM 內插就是根據鄰近參考點的高程推求待定點位上的 高程值，其內插加密之目的在於推估未直接觀測之地表位置的高程值（Clarke, 1982），但由於地表的連續性並不完整，因此目前尚無一種內插加密方式可提供完 全的解決方法。內插的演算方法有很多種，按內插點的分佈範圍，可以將內插分 為整體內插、分塊內插和逐點內插三種（李和朱，1999）。
目前常見的數值地形模型是以有限的樣本點之高度來表現地形起伏，可區分 為點的模式和線的模式。其中點的模式依其高程取樣點的分佈，可分為不規則三
角網及規則網格；線的資料亦有縱剖面與橫剖面之分，前者並不普遍，後者為數 值等高線，為傳統地形圖常採用的模式。這三種模式事實上也代表著不同的抽樣 方式，分別介紹如下：
（1）不規則三角網（Triangulated Irregular Network, TIN）：在 1978 年由 Peuker et al.(1978)提出，是以鄰近點所圍成的三角形來表示地形起伏，所以是利用面的形 式來表現地形。一個 TIN 包含了節點（node）、線段（segment）和面（facet），節 點是 TIN 的基本元素，線段則由相鄰兩節點連接而成，三條相鄰線段組成一個面，
每個節點都需要實際量測。此法可避免產生如同規則網格般產生多餘的資料儲存 以及數值等高線法的低效率，對於地形劇烈變化處有容易表現的優點，在取樣時 相對於其他兩法較具彈性，地形變化緩和的地區可以減少觀測三角形，變化複雜 的地區則需要密集取樣。
（2）規則網格（Regular Grid）：是在一組正交的網格上量取每個網格的高度 值，產生一個規則的矩陣高程結構，點和點之間的距離即代表資料解析度的高低。
由於規則網格的演算法容易設計且容易跟遙測影像資料結合，故為現今最為常用 的資料格式。但此法取樣時並未考慮地形的複雜度，在平坦和地形變化劇烈的地 方都以同樣的距離取樣，造成平坦地區取樣資料累贅或地形變化劇烈處取樣疏 漏，為此法最大缺點。
（3）數值等高線（Digital Contour）：一般是由傳統紙製地形圖數化而來，將 地形上相同高度的點位依等高線間距以線段連接起來，與傳統紙製地圖不同的 是，在電腦中儲存的等高線是由一連串點位所組成，而非連續曲線，因此此種資 料模式是以一連串的 X、Y 座標值加上對應的高程值來表現地形。等高線具有每
2-2 台灣地區數值地形資料與 DEM 網格之組成
本文使用的台灣地區數值地形資料屬於規則網格資料，資料來源是由農林航 空測量所經由航照圖實測之 40 公尺平面解析度 DEM 萃取出平面解析度為 80 公尺 的點位資料，原始座標系統為 TWD67 座標系統。本文利用 GMT 軟體之內插程式
（Wessel and Smith, 1999）進行內插加密製成網格檔以及繪出台灣數值地形模型。
先將點位座標由 TWD67 轉為 TWD97 後，讀入座標轉換後之成果以 GMT 軟體
當T = 0 時，(2-1)式提供了最小曲率解(minimum curvature solution)；T = 1 時，(2-1) 式提供一諧和面解(harmonic surface solution)，將無區域極值出現，詳細內容見林
（2002）。
本文採用網格大小為 3 秒(相當於 90 公尺平面解析度)，根據黃（2003）之結 論，利用最小曲率法製作之 DEM 成果優於諧和面法所製作之 DEM，因此本文採 用最小曲率法來進行內插建立網格。製作 DEM 之詳細內容見黃（2003）。圖 2-1 即為最小曲率法產生之 DEM 圖(3 秒網格)。
圖 2-1 以最小曲率法產生之 DEM 圖(3 秒網格)，單位：km
2-3 DEM 精度評估與修正
2-3-1 精度評估資料
本文以台灣地區一、二等衛星控制點（僅使用本島點位而剔除位於外島的點 位，篩選後共有 675 點）及一等一級水準點（共 1010 點）與一等二級水準點（剔 除與一等一級重複之點位，篩選後共 1092 點）之高程評估 DEM 之精度。按 DEM 高程之定義，評估時所用之高程應為正高。但衛星控制點只有橢球高而無正高。
因此本文利用黃（2003）所發展之程式，可求得衛星控制點之正高，轉換精度之 標準偏差小於 30cm，詳細方法與橢球高轉正高之精度統計見黃（2003）。
2-3-2 DEM 精度評估結果
接下來以兩組資料評估 DEM 精度，兩組資料內容如下：
第一組：一等一、二級水準點的實測正高值。
第二組：一、二等衛星控制點的實測橢球高值（已推估其正高值）
第一組實測正高與 DEM 正高之差異如圖 2-2，差異值的統計如表 2-1。由圖 2-2 及表 2-1 可看出，差值平均約 0.684 公尺，高程差值最大約正負 50 公尺。第二 組估計正高與 DEM 正高之差異如圖 2-3，差異值的統計如表 2-2，其高程差值約 13.7 公尺，最大差值超過 80 公尺。圖 2-4、圖 2-5 分別為第一組資料之差值與第二 組資料之差值與高程關係圖，由此二圖可看出，在水準點上實測正高與 DEM 正高 之差值與高程的相關性較高（相關係數 0.40），而在衛星控制點上差值與點位所 在位置的高程相關性較低（相關係數僅 0.28）。綜合上述的各高程差異圖表可知，
在衛星控制點上的差異值較水準點上之差異值大。部分原因可能是當初以航測方 法產生高程時，在高程控制部分，水準點位的高程可提供精度較佳之控制，而在
沒有水準點之處，高程控制只能仰賴高程精度較差的三角點，故造成非水準點附 近的 DEM 資料精度明顯較差。位於山區之點位亦可能因為 DEM 控制精度不佳產 生偏差。由圖 2-5 亦可看出正差值偏多，可能存有系統性誤差。
表 2-1 一等一、二級水準點上實測高程與 DEM 高程之差異統計值（單位：公尺）
最小曲率法 DEM 最大 46.784
最小 -49.456 平均 0.684 標準差 7.447
表 2-2 一、二等衛星控制點上估計正高與 DEM 正高值的差異統計值（單位：公尺）
最小曲率法 DEM 最大 81.707
最小 -7.648 平均 13.737 標準差 13.243
圖 2-2 一等一、二級水準點上實測正高與 DEM 正高之差異分佈圖，其中灰色為正 值，白色為負值。圖底為高程等高線（間隔 500 公尺）
圖 2-3 一、二等衛星控制點上估計正高值與 DEM 正高之差異分佈圖，其中灰色為 正值，白色為負值。圖底為高程等高線(間隔 500 公尺)
-60 -40 -20 0 20 40 60
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
height(m)
difference(m)
圖 2-4 一等一二級水準點上 DEM 誤差值與高程關係圖 (相關係數 0.40)
-20 0 20 40 60 80 100
0 1000 2000 3000 4000
height(m)
difference(m)
圖 2-5 衛星控制點上 DEM 誤差值與高程關係圖 (相關係數 0.28)
2-3-3 修正後之 DEM
由以上的分析可知原始的 DEM 含有大小不同的誤差。因為水準點及衛星控制 點以面狀均勻地分佈於台灣全區，故本文利用此面狀的誤差修正原始的 DEM。首 先，將水準及衛星控制點上的實測高程與 DEM 高程的差異值利用 GMT 軟體 之”surface”指令以（2-1）式之諧和面法，即T =1，組成一平滑的 DEM 修正面（此 面含修正值），再將此修正面加到原始的 DEM 而產生一修正過的 DEM，修正面之 等值圖見圖 2-6，由圖中可看出修正量較大之區域大多位於山區。使用諧和面法的 原因乃為獲取長波長面狀的高程修正量，而非含細部變化高頻的修正量。表 2-3 為在水準點及衛星控制點上原始高程與修正後 DEM 高程之差異統計，由此表可 知，不論在水準點或衛星控制點上，差異均變小，且在水準點及衛星控制點的差 異之標準偏差已一致（約 4 公尺），表示全區的 DEM 高程誤差接近一致。圖 2-7 顯示水準點上修正後 DEM 高程誤差分佈，大致而言，誤差約與高程成正比，因此 在中橫，南橫公路處，高程誤差較大，在西部平原高程誤差較小。圖 2-8 顯示衛星 控制點上修正後 DEM 高程誤差，其誤差分佈的形式約與水準點者相似。圖 2-7 與 2-8 均顯示在花東地區仍有若干點的差異較大，原先在蘇花公路上較大的差異已大 幅降低。
將 此 一 修 正 後 的 台 灣 本 島 陸 地 DEM ， 配 合 國 家 海 洋 科 學 研 究 中 心
（http://www.ncor.ntu.edu.tw/）提供的海底地形網格資料（解析度為2′×2′），組成 一個台灣本島及周邊海域之海陸 DEM，範圍為北緯 21.5°∼25.5°，東經 119.5°∼
122.5°（見圖 2-9）。
圖 2-6 DEM 修正面之等值圖，等值線間隔為 5m
圖 2-7 水準點上實測正高與修正後 DEM 正高差值圖，其中灰色為正值，白色為負 值。圖底為高程等高線（間隔 500 公尺）
圖 2-8 衛星控制點估計正高與修正後 DEM 正高差值圖，其中灰色為正值，白色為 負值。圖底為高程等高線(間隔 500 公尺)
圖 2-9 台灣本島及周圍海域地形圖，單位：km
表 2-3 水準點與衛星控制點上原始高程與修正後 DEM 高程之差值統計 (單位：公 尺)
一等一級、一等二級水準點 一、二等衛星控制點
最大值 22.814 34.27
最小值 -46.989 -12.11
平均值 -1.148 1.356
標準差 4.074 4.328