第三章 研究方法
第一節 合成型擔保債權憑證定價方式
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第三章 研究方法
本章將會介紹如何定價合成型擔保債權憑證，並介紹在 LHP 假設下，單因 子結構模型在常態分配與 NIG 分配下的定價公式推導，最後介紹在 NIG 分配之 下 RFL 模型的定價方法。
第一節 合成型擔保債權憑證定價方式
在考慮合成型擔保債權憑證定價時，假設資產組合中僅包含信用違約交換的 投資標的。若是在每次結算期限日時(通常是以一季為單位)，資產損失還未到達 分券的票面價值時，保護買方(Protect seller)會給予其分券持有人，也就是保護賣 方(Protect buyer)一筆固定信用價差(Credit spread)；相反地，要是在結算時，資產 組合損失超過分券票面價值(也稱作信用資產違約)，則保護賣方需支付分劵損失 給保護買方。
在定價第𝐾1~𝐾2分券(0 ≤ 𝐾1 ≤ 𝐾2 ≤ 1)價格時會使用與信用違約交換定價 相同的方式，首先假設𝑡0 < 𝑡1 < ⋯ < 𝑡𝑛 = 𝑇為信用價差支付的時間，其中𝑡0為合 成型 CDO 的定價日，而𝑇為合成型 CDO 的到期日，為了簡化計算過程，若是合 成型 COD 的違約時間在結算日𝑡𝑘−1, 𝑡𝑘期間，則執行支付分券損失的時間為𝑡𝑘。
接下來介紹推導定價公式時所需的符號：
s：每期的信用價差
𝑓𝑠 ：固定信用價差費用(fixed spread) P：與市場報價相等的預付費用
𝐿(𝑘1,𝑘2)(𝑡)：分券𝐾1~𝐾2在時間𝑡時的損失比例 𝑟(𝑡)：短期無風險利率
𝑄：風險中立測度
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𝑃𝐿：信用資產的名目本金
𝐸
𝑄[𝐿
(𝑘1,𝑘2)(𝑡)]：風險中立測度下合成型 CDO 第𝐾
1~𝐾
2分券期望損失(= 𝐸𝐿
(𝑘1,𝑘2)(𝑡))
𝐷(𝑡0, 𝑡𝑖)：將𝑡𝑖時資產價值折現回𝑡0時資產價值之折現因子，其中無風險利率複利方式為連續複利(Continuous compounding)
在定價合成型 CDO 時，最重要的概念就是無套利機會(Arbitrage-free)，所以 必 須 計 算 各 分 券 的 期 望 保 護 賣 方 收 入 (Premium leg) 與 期 望 違 約 給 付 金 額 (Protection leg)，為了簡化計算，所以在定價時均假設在風險中立測度之下。
首先先計算第𝐾1~𝐾2分券的保護賣方期望收入折現值為
(𝐾2− 𝐾1) × 𝑃𝐿 × 𝑠 × ∑𝑛 𝛥𝑡𝑖 × 𝐸𝑄[(1 − 𝐿(𝑘1−𝑘2)(𝑡𝑖)) × 𝑒− ∫ 𝑟(𝑢)𝑑𝑢𝑡0𝑡𝑖 )]
𝑖=1
= (𝐾2− 𝐾1) × 𝑃𝐿 × 𝑠 ∑𝑛 𝛥𝑡𝑖 × (1 − 𝐸𝐿(𝑘1−𝑘2)(𝑡𝑖)
𝑖=1 ) × 𝐷(𝑡0, 𝑡𝑖) (3.1) 其中Δ𝑡𝑖 = 𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1。
此外還有另一種形式的定義方式常用於較低順位分券層級，保護賣方固定支付𝑓𝑠 的信用價差，而市場報價為𝑃，則第𝐾1~𝐾2分券的保護賣方期望收入折現值為
(𝐾2− 𝐾1) × 𝑃𝐿 × {𝑃 + 𝑓𝑠 ∑𝑛 𝛥𝑡𝑖× 𝐸𝑄[(1 − 𝐿(𝑘1−𝑘2)(𝑡𝑖))] × 𝐷(𝑡0, 𝑡𝑖)
𝑖=1 } (3.2)
接下來計算第𝐾1~𝐾2分券的期望違約給付金額折現值為
(𝐾1~𝐾2) × 𝑃𝐿 × 𝐸𝑄[∫ 𝑒𝑡𝑖 − ∫ 𝑟(𝑢)𝑑𝑢𝑡𝑜𝑡𝑖 𝑑𝐿(𝐾1,𝐾2)(𝑠)
𝑡0
]
≈ (𝐾1~𝐾2) × 𝑃𝐿 × ∑𝑛 (𝐸𝐿(𝑘1,𝑘2)(𝑡𝑖) − 𝐸𝐿(𝑘1,𝑘2)(𝑡𝑖−1)) × 𝐷(𝑡0, 𝑡𝑖)
𝑖=1 (3.3)
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在計算上述兩個期望值時，求得𝐸𝐿(𝑘1,𝑘2)(𝑡𝑖)是最重要的部分，接下來就先介紹如 何計算𝐸𝐿(𝑘1,𝑘2)(𝑡𝑖)。
假設資產組合在時間點𝑡𝑖時損失為𝐿𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓𝑖𝑙𝑖𝑜(𝑡𝑖)，則第𝐾1~𝐾2分券的損失為
𝐿(𝑘1,𝑘2)(𝑡𝑖) =(𝑚𝑖𝑛(𝐿𝑝𝑜𝑟𝑓𝑜𝑙𝑖𝑜(𝑡𝑖), 𝑘2) − 𝑘1)+
𝑘2− 𝑘1 (3.4)
對其取期望值則可以得到期望損失為
𝐸𝐿(𝑘1,𝑘2)(𝑡𝑖) =∫ (min(𝑥, 𝑘𝑘1 2) − 𝑘1)𝑑𝐹(𝑡𝑖, 𝑥)
1
𝑘2− 𝑘1
=∫ (x − 𝑘𝑘1 1)𝑑𝐹(𝑡𝑖, 𝑥)
1 − ∫ (x − 𝑘𝑘1 2)𝑑𝐹(𝑡𝑖, 𝑥)
2
𝑘2− 𝑘1 (3.5)
在得到期望損失𝐸𝐿(𝑘1,𝑘2)(𝑡)後，將其帶入保護賣方期望收入與期望違約給付金額，
在無套利機會之下，此兩項期望金額應該相等。(3.1)式中的每期信用價差 s 即 為市場定價的理論價格；而在另一種保護賣方期望收入(3.2)式中，由於信用價 差為固定值，所以與市場報價相同的預付金額P 即為理論價格，兩者算式如下，
𝑠 =∑𝑛𝑖=1(𝐸𝐿(𝑘1,𝑘2)(𝑡𝑖) − 𝐸𝐿(𝑘1,𝑘2)(𝑡𝑖−1)) × 𝐷(𝑡0, 𝑡𝑖)
∑𝑛𝑖=1𝛥𝑡𝑖× (1 − 𝐸𝐿(𝑘1−𝑘2)(𝑡𝑖)) × 𝐷(𝑡0, 𝑡𝑖) (3.6)
𝑃 = ∑𝑛 (𝐸𝐿(𝑘1,𝑘2)(𝑡𝑖) − 𝐸𝐿(𝑘1,𝑘2)(𝑡𝑖−1)) × 𝐷(𝑡0, 𝑡𝑖) −
𝑖=1
𝑓𝑠 ∑𝑛 𝛥𝑡𝑖 × 𝐸𝑄[(1 − 𝐿(𝑘1−𝑘2)(𝑡𝑖)] × 𝐷(𝑡0, 𝑡𝑖)]
𝑖=1 (3.7)
但在計算資產組合期望值時還有一個問題待解決，就是資產組合的損失分配 應該為何種分配？為了解決此問題我們將在下節介紹單因子結構模型。
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