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第二章 文獻回顧
在定價合成型擔保債權憑證時，最重要的問題就是如何估計各信用資產間的 違約相關性。在估計違約相關性方面，目前以關聯結構模型最受大家歡迎，其後 也衍生出各種不同的關聯結構模型，如單因子關聯結構模型、隨機風險因子負荷 模型、隨機回復率模型等；此外，在結構模型下各因子的分配也有許多不同的假 設，較常見的為標準常態分配(Standard Normal Distribution)、t 分配(Student t Distribution)，或是 NIG 分配(Normal Inverse Gaussian Distribution)，而本文著重 在單因子模型與隨機風險因子負荷模型在常態分配與 NIG 下的比較，以下將介 紹各關聯結構及不同分配的特性。
第一節 單因子關聯結構
單因子關聯結構最初由 Li(2000)年提出，特色為給予投資組合中各信用資 產相同的市場因子，且個別信用資產違約率彼此獨立，其優點在於，大量簡化在 各時間點下估計資產組合損失所需的計算量。
在此結構模型假設下，假設個別信用資產的違約事件服從 Poisson Process(其 母體參數為𝜆)，且彼此間相互獨立，若是共有 N 個信用資產，第 i 個信用資產在 時間t 之前的違約機率就會如下，
𝑃(𝑡𝑖 ≤ 𝑇) = 1 − 𝑒𝑥𝑝(−𝜆𝑖∗ 𝑡) 𝑖 = 1,2, … , 𝑁
而在單因子關聯結構下，當時間t 時各資產的報酬函數𝐴𝑖如下
𝐴𝑖(𝑡) = 𝑎𝑖𝑀(𝑡) + √1 − 𝑎𝑖2 𝑋𝑖(𝑡) 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 其中𝑀(𝑡)為共同市場因子，𝑋𝑖(𝑡)為各信用資產的風險因子。
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O’Kane and Schloegl(2001)假設𝑀(𝑡)與𝑋𝑖(𝑡)皆為標準常態分配及相互獨立 之下，可以推導出𝐴𝑖(𝑡)也是服從標準常態分配之隨機變數，而𝐴𝑖(𝑡)與𝐴𝑗(𝑡)的相 關係數為𝑎𝑖𝑎𝑗;如果在給定共同市場因子𝑀(𝑡) = 𝑚下，則𝐴𝑖(𝑡)間將會彼此獨立，
給定市場因子的好處是可以大量簡化資產組合報酬的計算。此外，在信用資產數 量夠多的情況下，可以使用 Large Homogenous Portfolio(LHP)近似，對於每個信 用資產i,令𝐴𝑖(𝑡)中的𝑎𝑖 = 𝑎且 Poisson Process 的參數𝜆𝑖 = 𝜆，在這樣的假設條件 下，可以快速計算出違約機率，進而求得損失函數及 CDO 的期望損失。
由於單因子結構常態模型可以快速計算合成型擔保債權憑證的定價，所以有 大量相關研究，但此模型存在一個嚴重的缺點，就是在計算各分券的隱含相關 (Implied Correlations)時，會出現與整體結構的隱含相關不同之情形。所謂隱含相 關是指在定價擔保債權憑證時，若是各信用資產間的相關係數為a，且 a 使得模 型估計出來的特定分券定價與市場報價相同，則此相關係數就稱作此分券的隱含 相關。舉例來說，假設現在 3%-6%分券定價為 65bp，當使用常態結構模型求出的 價格等於 65bp 時，報酬函數A(t)中所含的市場因子係數 a 就是 3%-6%分券的隱 含相關係數。除了隱含相關還有另一種信用資產間的違約率相關稱作隱含基底相 關(Base Implied Correlations)，因為此兩種隱含相關都具有偏斜(Skew)及厚尾 (Fat-tails)的特性，所以在單因子常態關聯模型下，較高的分券層級定價通常會低 於市場定價。
為了解決上述問題，許多學者提不同的看法，主要分成兩個方向，
1. 加入隨機風險因子負荷或是隨機回復率(將在第二節介紹) 2. 改變單因子關聯結構的市場因子與個別因子的常態假設
Hull and White(2004)使用 t 分配取代常態分配，形成 double t-distribution coupla，利用 t 分配厚尾的特性得到較佳的定價結果，但由於 t 分配並不具有穩
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定摺積性(convolution)，所以造成計算投資組合損失分配時運算量大增，大量增 加計算時間。為了解決這個情況，Kalemanova, Schmid and Werner(2007)使用了 NIG 分配(Normal Inverse Gaussian Distribution)取代常態分配，由於 NIG 分配共 有四個參數，具有可以調整分配的偏斜及厚尾的特性，在定價上較為適合；另外，
與 t 分配比較，NIG 分配在特定條件下具有摺積性，可以大量減少計算時間。除 此之外，邱嬿燁(2007)提出利用 CSN 分配(Closed Skew Normal)進行定價且獲得 不錯的效果；而林聖航(2012)更將其分配改良，使用 CSN 分配與 NIG 分配之混 合分配，雖然在運算上變得耗時，但定價準確性更加上升，尤其是對於 2007 年 金融海嘯後的資料，定價準確度都優於傳統定價模型。
第二節 隨機風險因子負荷模型
Andersen and Sidenius(2005)提出了隨機回復率模型(Random Recovery model)以及隨機風險因子負荷模型(Random Factor Loading model, RFL model)，這 兩個隨機模型中，風險因子乘載模型不但效率較高，且此模型資產報酬間的相關 係數，會跟隨市場因子大小調整，可以有效解決單因子常態模型缺少分配偏斜的 缺點，在 RFL 模型下，t 時間時各資產的報酬函數𝐴𝑖將改變為
𝐴𝑖(𝑡) = 𝑎𝑖(𝑀)𝑀(𝑡) + 𝜈𝑋𝑖(𝑡) + 𝜂 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 𝑎𝑖(𝑀) = {𝑎 , 𝑖𝑓 𝑀 ≤ 𝜃
𝑏 , 𝑖𝑓 𝑀 > 𝜃
其中a,b 是正數而𝜃 ∈ 𝑅、𝑀(𝑡)為市場因子、𝑋𝑖(𝑡)為各信用資產的風險因子。
Wang and Huang(2009)為了解決單因子常態模型分配缺乏厚尾特性的問題，
將 RFL model 中的常態分配改變成 NIG 分配，利用 NIG 分配可以調整厚尾及偏 斜的特性，更加準確地定價合成型 CDO。
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第三節 Normal Inverse Gaussian Distribution
Barndorff-Nielsen(1987)提出 NIG 分配，NIG 分配為廣義雙曲分配的一種，
其為常態分配與反高斯分配(Inverse Gaussian Distribution)合成之混和分配，特性 是有四個母體參數可以調整，可依需求調整分配的平均數、變異數、偏態係數、
峰態係數，且在特定的參數條件下具有穩定摺積性(convolution)，與 t 分配相比，
可大量減少合成函數的計算量。
總結本章內容，單因子關聯結構模型是最早運用在合成型擔保債權憑證定價 問題上之方法，但此模型在較高層分券定價準確性偏低。為了改善此問題，多數 學者就常態分配缺乏厚尾與偏態的特性給予改進，主要分成因子隨機化或是改變 分配假設兩種方向，而在改變分配假設中較常使用的為 t 分配或是 NIG 分配，但 由於 t 分配缺乏穩定摺積性(convolution)，所以本文將不討論 t 分配相關的改善 方法，後面的章節中會詳細介紹在單因子結構模型下如何定價。
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