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第四章 實證分析
本章節將進行合成型 CDO 定價之實證分析，選用的資料為 DJ iTraxx Europe 信用交換指數，合約期長為五年，分別使用單因子常態結構模型、單因子 NIG 結構模型、常態分配下與 NIG 分配下的 RFL 單因子結構模型進行定價，並比較 各模型準確性及效率。
第一節 DJ iTraxx Europe 指數
DJ iTraxx Europe 指數為包含 125 家企業的信用違約交換之資產組合，而此 合成型 CDO 分券分成 0%~3%、3%~6%、6%~9%、9%~12%、12%~22%。各分券的獲利 方式分為兩種，第一種為在訂立契約時給予與市場報價相等的費用，之後每一期 給予固定信用價差(如(3.7)式表示)；第二種為僅給予信用價差(如(3.6)式表示)，
而給予的金額比例依照信用資產的名目本金之百分比或是 basis point(bp)為單位，
若是報價方式為百分比加上 bp，則屬於第一種分券獲利方式，若是只有 bp 則為 第二種分券獲利方式。
本文挑選的 DJ iTraxx Europe 指數共有兩組不同時間的市場報價，其報價日 期分別為 2009/03/31 與 2011/09/11，契約長度皆為五年，其報價如表 4.1。
表 4.1 DJ iTraxx Europe 市場報價
分券層級 2009/03/31 2011/09/11 0%~3% 66.83%+500bp 61.65%+500bp 3%~6% 31.23%+500bp 27.60%+500bp 6%~9% 11.53%+500bp 19.17%+300bp 9%~12% 418.8bp 4.915%+100bp 12%~22% 155bp 2.4317%+100bp
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第二節 合成型 CDO 各分券定價
本節將進行不同模型對各分券的定價，在定價之前需要給定一些外生變數數 值，在 2009 資料中，其平均 CDS 價差為 127.67bp、資產回復率為 40%、無風險 利率以發布分券市場報價當天的 Euro LIBOR 隔夜拆帳率 1.317%為準；2011 年 資料中平均 CDS 價差為 124.913bp、回復率為 40%、無風險利率為 1.275%。此 外，每個模型都有需要估計的參數，常態結構模型需要最佳化資產組合間相關係 數𝜌 = 𝑎2；而 NIG 結構模型需要估計相關係數𝜌 = 𝑎2與分配參數𝛼、𝛽；RFL 結 構模型需要估計市場因子係數可能帶入的兩個值𝑎2、𝑏2、市場因子分界𝜃、RFL NIG(1)則需要多估計分配參數𝛼。
表 4.2 為 2009 年資料的模型定價、表 4.3 為 2011 年資料的模型定價，兩表 中 Normal、NIG(1)、NIG(2)最佳化參數資料引用自林聖航(2012)之結果，各分 券層級相對各模型資料即為模型所預測的理論價格，其中 NIG(1)分配為參數 𝛽 = 0之 NIG 分配，NIG(2)為不假設任何參數值之 NIG 分配。平均定價一次耗時 為各模型在給定所需參數後，重複計算一組理論價格所需時間十次後的平均，也 就是計算 0%~3%分券至 12%~22%分券的理論價格所需要的時間平均，其單位為秒 (s)，由於本文在準確度外還需考慮計算效率，而 RFL NIG(2)的維度較高，在最 佳化的過程中會增加許多計算時間，所以此模型將不在本文考慮範圍之內。各列 資料中使用粗體字的數值表示其模型在該分券之理論定價最接近市場價格。
表 4.2 中可以判斷 Normal 分配與 NIG(1)分配的理論價格表現相差無幾，各 分券的理論價格都相當接近，絕對誤差加總兩者分別為 910bp 與 927bp，唯在 12%~22%分券定價為 139.44bp 較其他模型接近市場報價，但兩個模型都是在權益 分券高估定價，分別高出 60bp 與 40bp，其他分券為全部低估；NIG(2)分券整體 表現為單因子結構模型中最佳，其絕對誤差加總僅 307bp，並且在 9%~12%分券定 價為 391bp 為全模型中最佳，但全分券的理論定價皆低於市場報價；RFL 兩種模
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型中，RFL Normal 與 RFL NIG(1)在前三層分券比現都極佳，兩者幾乎完全與市 場報價相同，而在 9%~12%分券定價分別為 483bp 與 498bp 皆高於市場報價的 41bp，
但在 12%~22%分券時，兩個模型卻又低估了市場報價，分別為 88bp 與 77bp，這 現象與前面的三個模型大不相同。
表 4.2 的平均定價一次耗時上可以看出，Normal 分配的定價是最快的，僅 須 0.02s，也因此在最佳化的時候幾乎是不需等待即可最佳化參數數值；而 NIG(1) 與 NIG(2)其實幾乎都是 0.7s，在最佳化參數的過程中，由於 NIG(2)維度較 NIG(1) 高，所以會更加耗時，但兩者在定價時幾乎也不需等待；而 RFL 的模型中，因
9%~12% 418.8bp 380.49bp 379.41bp 390.90bp 482.50bp 497.87bp 12%~22% 155bp 139.12bp 139.44bp 116.91bp 87.59bp 77.11bp 各分券絕對
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上面兩張圖分別為 2009 年與 2011 年的損失函數累積分配圖，圖中實線為單 因子常態結構模型，虛線為 RFL Normal 模型，而垂直橫軸的虛線分別為分券上 界的 3%、6%、9%、12%，損失函數的最大值為 22%。
由圖 4.1 可以看出來 RFL Normal 相較於單因子 Normal，將更多機率分佈調 整至 4%損失以下，並且將較高損失比例的機率降低；而圖 4.2 更可以看出 RFL Normal 在分配上確實有做顯著的調整，在損失比例 3%之前與約 20%以後 RFL Normal 的機率分佈較 Normal 高，但在中間的部分卻較低，目的是為了使損失函 數的機率分佈更接近真實市場損失函數，以求得更正確的理論價格。
圖 4.2 2011 年損失函數累積機率 圖 4.1 2009 年損失函數累積機率
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