問題定義與假設

本研究假設卡車容量、收貨與送貨的地理位置、收貨量及送貨量均為已 知，應用數學規劃方法，參考 PDVRP 為基本架構，PDVRP 的部分需求點接受 收貨服務，部分需求點接受送貨服務，且車輛具容量限制都與自行車系統配置 問題相似。藉由表 1 說明兩者之間的關係，並由圖 1 舉例公共自行車靜態配置 中卡車路線配置情況，卡車從發車地出發，分別行駛路線 1-2-3-4 及路線 5-7-9-10，其中缺位站需將站上的自行車放入卡車，而缺車站需將卡車上的自行車放 入站內，以路線 1-2-3-4 為例，卡車由發車地抵達第 1 站取走 10 台自行車，前 往第 2 站放入 7 台自行車，再前往第 3 站取走 5 台自行車，最後到第 4 站放入 8 台自行車，此路線成本不包含卡車從發車地出發前往第 1 站及第 4 站回到卡 車出發地的成本。

表 1 PDVRP 與公共自行車靜態配置比較

PDVRP 公共自行車靜態配置

收貨站 缺車站

送貨站 缺位站

轉運中心 卡車發車地

路線 路線

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圖 1 公共自行車靜態配置路線示意圖

定義

卡車於夜間（公共自行車系統的流動量趨近於零的時段）由發車地點 出發到各站點取自行車或放置自行車，將各站點的自行車數調整為該站的 最佳數量。

基本假設

1. 每台卡車只能到各個站一次。

2. 卡車載的自行車總數不得超過其可載運的數量。

18 3.2 收送貨車輛途程問題之數學模型

參數

N

車站；i=1,...,|N|。

𝑁₀ 點，包含車站和倉庫(i=0)；i=0,...,|N|。

𝑆_𝑖⁰

i 站在配置前的自行車數量。

𝐶_𝑖

i 站可放置的自行車數量。

𝑘_𝑣 卡車可載的自行車數量；v ∈V。

𝑆_𝑖^𝑙

i 站上最佳的自行車數量。

𝑡_𝑖𝑗 卡車由 i 站到 j 站所花費的時間。

α 卡車行駛的時間成本相對於懲罰成本的權重。

T

每台卡車行駛的限制時間。

𝑓𝑖(𝑆𝑖) 懲罰成本，其計算為：𝑓𝑖(𝑆𝑖) = 𝑎_𝑖(𝑆_𝑖 − 𝑆_𝑖^𝑙)²。

代表各站未達到最佳數量產生的成本；𝑎𝑖是每相差一台車之成本。

決策變數

𝑥_𝑖𝑗𝑣 卡車 v 由 i 站到 j 站有行駛等於 1，否則為 0 的二元整數。

𝑦_𝑖𝑗𝑣 卡車 v 從 i 站到 j 站運輸的自行車數量。

若為零則表示卡車 v 未於 i 站到 j 站間行駛。

𝑦_𝑖𝑣^𝐿 卡車 v 從 i 站取走的自行車數量。

𝑦_𝑖𝑣^𝑈 卡車 v 放入 i 站的自行車數量。

𝑞_𝑖𝑣 用於消除 sub-tour 制約的輔助變量。

𝑆_𝑖 完成公共自行車系統配送後 i 點的自行車數量。

M

在限定時間內，卡車配送至各站（最多一次）的路線數量的上限。

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數學模型 目標式：

Min ∑_𝑖∈𝑁𝑓_𝑖(𝑆_𝑖)+ α ∑_𝑖∈𝑁0∑_{𝑗𝜖𝑁0}∑_𝑣𝜖𝑉𝑡_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑗𝑣 (1)

限制式：

𝑆_𝑖 = 𝑆_𝑖⁰ − ∑_𝑣∈𝑉(𝑦_𝑖𝑣^𝐿 − 𝑦_𝑖𝑣^𝑈) ∀𝑖 ∈ 𝑁₀ (2)

𝑦_𝑖𝑣^𝐿 − 𝑦_𝑖𝑣^𝑈 = ∑_{𝑗∈𝑁0 𝑗≠𝑖}𝑦_𝑖𝑗𝑣− ∑_{𝑗∈𝑁0 𝑗≠𝑖}𝑦_𝑗𝑖𝑣 ∀𝑖 ∈ 𝑁₀, ∀𝑣 ∈ 𝑉 (3)

𝑦_𝑖𝑗𝑣≤ 𝑘_𝑣𝑥_𝑖𝑗𝑣 ∀i ∈ 𝑁₀, 𝑖 ≠ 𝑗, ∀𝑣 ∈ 𝑉 (4)

∑_{𝑗∈𝑁0 𝑗≠𝑖}𝑥_𝑖𝑗𝑣 = ∑_{𝑗∈𝑁0 𝑗≠𝑖}𝑥_𝑗𝑖𝑣 ∀𝑖 ∈ 𝑁₀ , ∀𝑣 ∈ 𝑉 (5)

∑_{𝑗∈𝑁0 𝑗≠𝑖}𝑥_𝑖𝑗𝑣 ≤ 1 ∀𝑖 ∈ 𝑁 , ∀𝑣 ∈ 𝑉 (6)

∑_𝑣∈𝑉𝑦_𝑖𝑣^𝐿 ≤𝑆_𝑖⁰ ∀𝑖 ∈ 𝑁₀ (7)

∑_𝑣∈𝑉𝑦_𝑖𝑣^𝑈 ≤𝐶_𝑖− 𝑆_𝑖⁰ ∀𝑖 ∈ 𝑁₀ (8)

∑_𝑖∈𝑁0(𝑦_𝑖𝑣^𝐿 − 𝑦_𝑖𝑣^𝑈) = 0 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (9)

∑_{𝑖𝑗∈𝑁0;𝑖≠𝑗}𝑡_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑗𝑣 ≤ 𝑇 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (10)

𝑞_𝑗𝑣 ≥ 𝑞_𝑖𝑣+ 1-M(1-𝑥_𝑖𝑗𝑣) ∀𝑖 ∈ 𝑁₀, 𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ≠ 𝑗, ∀𝑣 ∈ 𝑉 (11)

𝑥_𝑖𝑗𝑣 ∈ {0,1} ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁₀; 𝑖 ≠ 𝑗, ∀𝑣 ∈ 𝑉 (12)

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𝑦_𝑖𝑣^𝐿 ≥ 0, 𝑦_𝑖𝑣^𝑈 ≥ 0 ∀𝑖 ∈ 𝑁₀, ∀𝑣 ∈ 𝑉 (13)

𝑦_𝑖𝑗𝑣≥ 0 ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁₀; 𝑖 ≠ 𝑗, ∀𝑣 ∈ 𝑉 (14)

𝑆_𝑖 ≥ 0 ∀𝑖 ∈ 𝑁₀ (15)

𝑞_𝑖𝑣 ≥ 0 ∀𝑖 ∈ 𝑁₀, ∀𝑣 ∈ 𝑉 (16)

(1)表示最小化成本，成本包含懲罰成本及卡車運輸時間。

(2)表示系統配送後的數量等於配送前數量加減運輸數量。

(3)、(4)、(5)、(7)、(8)及(9)表示卡車在各站間運輸的數量要合理，接收數量 要在可容量範圍內，而卡車最多只能載走各站上原有自行車數量。

(6)表示每台卡車，最多只能到各站一次。

(10)表示限制每台卡車行駛時間。

(11)表示消除 sub-tour 的式子。

(12)表示站到站是否行駛的變數要為二元整數。

(13)(14)(15)(16)表示各項變數均為正整數。

此模型參考 Tal Raviv (2013)的模型架構，並將其中總配置時間限制改為 每台卡車行駛時間限制，懲罰成本計算由原本的函數改為單位成本。

3.3 CPLEX 建構

以 CPLEX 計算 3.2 節數學模型，求解小題組，以驗證數學模型是否正確，

題組資訊與最佳解如表 2，以 20160816-20 題組為例，將配置結果的卡車行駛路 線標示於地圖上，如圖 2 所示。

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表 2 CPLEX 求解之題組資訊及最佳解

題組 總站數 卡車數量 總需求 未滿足數

量 總成本

20160812-10 10 1 66 1 16.954421 20160816-20 20 2 157 31 44.992 20160816-28 28 2 205 9 43.8622

圖 2 20160816-20 題組配置結果之行駛路線 -8

+8

-12 -2

+14

-6

+6

-15

+14 -6 -3

+10

-11

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第四章 演算法設計

本章將說明以模擬退火法為基礎的演算法流程，並額外說明如何產生鄰近解 之部分，將提出數種卡車路線選擇範圍及搬運量求得方式，並代入題組運算後相 互比較，選擇最適當的演算方式，增加解題效率。

4.1 演算法架構

本研究使用模擬退火法為基礎，並因題目特性再作改良。模擬退火演算法 在產生一組鄰近解時，運用的是行駛順序交換，此部分將於 4.2 節說明，而本 研究靜態配置最佳化問題為收送貨車輛途程問題，當行駛順序不同時，將連帶 影響各站可搬運量，在兩項變數皆會受影響的情況下，若鄰近解為較佳的行駛 路線，卻有可能因隨機搬運量的不同而產生不同的成本，因此，本研究將改善 鄰近解只能運算其行駛路線中可行的一組搬運數量，增加同一行駛路線下不同 搬運量之可行解，使其更為有效的找出最佳解。

本研究所使用演算法流程如圖 3 所示。第一步設定各項參數，所使用的參 數：I 為嘗試次數，其初始值為 0，最大嘗試次數為 Iiteration；N 為未改善次數，

其初始值為 0，Nnon-improving為最大未改善次數；T 為溫度，T0為最初溫度，

Tfinal 為最終結束溫度；α為冷卻率；X

best為目前最佳解、Fbest為最終最佳解、

K 值為 Boltzmann 常數。完成參數設定後，產生初始解，嘗試次數 I=I+1，累計

未改善次數 N=N+1，其後抽取一 0 到 1 之間的隨機數 r1，以累計未改良次數 N 作為判斷，判斷目前是否已許久未找到新的最佳解，若 r1<N/Nnon-improving則取得 目前 Fbest的行駛路線計算新一組鄰近解，當越久未出現新的最佳解時，N 數值 越大，再次使用 Fbest的行駛路線機率越高，進而有更多機會找到較佳行駛路線 下的不同搬運量之可行解；否則重新產生新路線，並計算總成本後，判斷是否 小於目前的解，即判斷 Obj(Y) - Obj(X)≦0，是則使 X=Xbest以 Y 取代 X；否則產

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生一個在 0 到 1 之間的隨機數 r2，判定 r2是否小於𝑒^{(−𝐾𝑇∆)}，是則以 Y 取代 X；否 則重新產生新解，由嘗試次數 I=I+1 開始。以 Y 取代 X 後得到新的目標解

Obj(X)，檢查 Obj(X)是否小於目前的最佳解 F

best，是則更新目前的最佳解 Fbest

以及將未改善次數 N 歸零，並檢視嘗試次數 I 是否達到最大嘗試次數 Iiteration； 否則直接檢視嘗試次數 I 是否達到最大嘗試次數 Iiteration，是則改變溫度；否則 重新產生新解，最後判斷溫度 T 是否小於等於最終溫度 Tfinal或未改善次數 N 是 否等於最大未改善次數 NNon-improving，是則結束；否則重新產生新解。

為了得知增加同一行駛路線下不同搬運量之可行解，是否能更為有效的找 出最佳解，因此比較加入𝑟₁<N/NNon-improving此步驟前後的差異。表 3 為 2016 年 8 月 16 日題組加入𝑟₁<N/NNon-improving此步驟前後的差異，經過比較，得出加入這 個步驟能有效找出更低成本之解。

表 3 改良前後之模擬退火法比較 參數設定值

原始成本 改良後成本 改良百分比

T

0

T

final α

I

iteration

N

Non-improving

100 0.01 0.965 10000 80 1876.11 1536.68 18.09%

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開始

T =T0, I =0, α, Fbest=Obj(X), N=0 隨機產生初始解X；Xbest=X

Δ=Obj(Y)–Obj(X)≦0 Generate of r2 ~ U(0,1)

r2 < e^(-Δ/KT) Xbest=X ; Let X=Y

Obj(X)<Fbest Fbest=Obj(X) ; N=0

I=Iiteration

T=αT

T≦Tfinal or N=NNon-improving

Y

r1<N/NNon-improving

產生新路線

25 4.2 路線順序規劃型態

一個好的路徑可以有效降低成本，因此，有關路線規劃問題中，常見的做 法多為在上一組路徑中選出兩站進行交換、插入或反轉得到新路線。以下為交 換、插入和反轉的規則說明：

1.

交換(Swap)：

由卡車的配送路線中隨機選出兩站，將這兩站的順序位置互換，得到一 條新的路線。如圖 4，若原路線為：1-2-3-4-5-6-7-8-9-10，隨機選出第 4 站與 第 9 站，將兩站互換，得到新的路線為：1-2-3-9-5-6-7-8-4-10。

圖 4 交換型態圖示

2.

插入(Insert)：

由卡車的配送路線中隨機選出兩站，將順序較後的站插入順序較前的另 一站之前，得到一條新的路線。如圖 5，若原路線為：1-2-3-4-5-6-7-8-9-10，

隨機選出第 5 站和第 7 站後，將第 7 站插入原路線中第 5 站之前，得到新路 線為：1-2-3-4-7-5-6-8-9-10。

圖 5 插入型態圖示

3.

反轉(Reverse)：

由卡車的配送路線中隨機選出兩站，將這兩站之間的所有站之順序倒置，

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在放置回該路線上的同一位置，得到一條新的路線。如圖 6，若原路線為：

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10，隨機選出第 2 站與第 7 站，將兩站之間的所有站(2-3-4-5-6-7) 順序倒置，得到新路線為：1-7-6-5-4-3-2-8-9-10。

圖 6 反轉型態圖示

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徑，將無法有效的解決問題，因此本研究只保留選擇選取兩站的方法，從路線中 選出兩站後，同初始解各區內考慮前站需求情況進行排列的方式，於選出的這兩 站之間進行排列。

4.2.1 搬運量演算方式

本節分別說明全部隨機、全部滿足、有限制之隨機、部分隨機不搬運及部

分不搬運五種搬運量演算方式之定義，下列敘述中，「此站」定義為卡車欲前

往搬運的站，其他相關要件如圖 8 所示。

前站

^此站距離

此站

^下站距離

下一站

圖 8 搬運量相關要件說明圖 1. 全部隨機

各站搬運時，若行駛至缺車站，決定此站需求上限為

min (卡車上自行車數量, 此站缺車數量)；

若行駛至缺位站時，需求上限則為

min (卡車可放容量, 此站缺位數量)，

再隨機抽取 0 至需求上限之數量做為此站搬運量。另外，若為該台卡車的最 後一站，搬運量則是取能使卡車上自行車為零的搬運數量。

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2. 全部滿足

各站搬運時，直接滿足需求上限（同全部隨機方式之計算）之數量做為 各站搬運量。另外，若為該台卡車的最後一站，搬運量則是取能使卡車上自 行車為零的搬運數量。

3. 有限制之隨機

各站搬運時，先判斷此站與下一將行駛站需求狀況，若兩站需求狀況相 同，皆為缺車站或皆為缺位站，且此站需求上限（同全部隨機方式之計算）

大於設定數量，即為目前卡車上自行車數量（或可放容量）有較佳之能力可 連續滿足兩站需求，則此站搬運量隨機範圍將因下站需求量多寡按機率減少，

意指若下一站需求量越大，則此站減少能滿足之上限，使需求量較大的下一 站更為滿足；反之，若此站需求量大於下一站，則提高此站搬運下限。另外 一情況為此站與下一站需求情況相反，一為缺車站一為缺位站時，相加此兩 站需求量，加總需求量越高則此站將有越高機率提高搬運下限，使此站完成 更多需求量，便能同時讓下站滿足更多所需數量。再於調整後搬運下限至搬 運上限隨機抽取做為此站搬運量。其餘不需調整搬運限制狀況時，做法與全 部隨機相同。同樣，若為該台卡車的最後一站，搬運量則是取能使卡車上自 行車為零的搬運數量。完整流程圖如圖 9 所示。

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30

31

32

33

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稱 a 站）周邊的 2 倍平均區域大小，即周邊 30 站的範圍。a 站及 b 站選擇 規則，首先判斷 a 站是否為路線中的起始站或終點站，若是，則 b 站由路線 中隨機選擇（b 站不等於 a 站），否則判斷 a 站的位置。根據 a 站的位子，b 站有一半的機率從全部站點中隨機選取，另一半的機率是從 a 站往前 30 站 或往後 30 站的範圍中選取，例如：隨機取出的 a 站是第 20 站，位於起始站 到 30 站之間，所以 b 站有 1/2 的機率由路線中隨機選擇（但 b 站不等於 a

稱 a 站）周邊的 2 倍平均區域大小，即周邊 30 站的範圍。a 站及 b 站選擇 規則，首先判斷 a 站是否為路線中的起始站或終點站，若是，則 b 站由路線 中隨機選擇（b 站不等於 a 站），否則判斷 a 站的位置。根據 a 站的位子，b 站有一半的機率從全部站點中隨機選取，另一半的機率是從 a 站往前 30 站 或往後 30 站的範圍中選取，例如：隨機取出的 a 站是第 20 站，位於起始站 到 30 站之間，所以 b 站有 1/2 的機率由路線中隨機選擇（但 b 站不等於 a

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