單元三 單元三： ： ：圓心角 ： 圓心角 圓心角 圓心角、 、 、 、圓周角與弦切角 圓周角與弦切角 圓周角與弦切角 圓周角與弦切角
（ （
（ （三 三 三 三） ） ） ）課文 課文 課文 A： 課文 ： ：圓心角與弧 ： 圓心角與弧 圓心角與弧 圓心角與弧的度數 的度數 的度數 的度數
之前在二下的時候就提過弧，當圓上有任意兩點 A、B，會將一個圓分 成兩個弧，其中較大的一個叫做「優弧」，較小的一個叫做「劣弧」。
例如，下圖的圓 上有 A、B 兩點，就將圓 分成兩個弧，比較小的 劣弧我們記作
AB
，比較大的優弧我們會在弧的中間再找一點，如 C 點，然後記作ACB
，以便和AB
區隔。
劣弧
優弧
以前就學過弧長的計算方式，現在來複習一下！
弧的度數
在剛剛計算弧長的過程當中發現，
當我們要計算弧長時，會需要用到所對應的圓心角，
所以我們就利用圓心角來定義弧的度數！
如圖下中，
AB
就是圓心角 ∠AOB 所對應的弧，而 弧的度數 所對應圓心角的度數，即
AB
∠1 133°。劣弧
優弧 1
11 1
O
那如果兩個弧的度數相同時，弧的長度一定會相同嗎？
還是不太懂，
請看下面影片
https://youtu.be/-paMnRWkgd0
重點提問 重點提問 重點提問 重點提問
1. 根據上面的課文，請用自己的話解釋什麼是「圓心角」並利用 下面的圓舉例加以說明。
2. 根據上面的課文，如何計算弧的度數及長度？
並請利用下面的量角器舉例說明。
A AA
A. .. .隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習： ： ： ：
1. 如圖，兩同心圓圓心為 O ，半徑分別為 10 和 20，若 、
為大圓的半徑，且交小圓於 C、D 兩點，若 ∠1 150°，
求
AB
與CD
的度數與長度。單元三 單元三
單元三 單元三： ： ：圓心角 ： 圓心角 圓心角 圓心角、 、 、 、圓周角與弦切角 圓周角與弦切角 圓周角與弦切角 圓周角與弦切角
（ （
（ （三 三 三 三） ） ） ）課文 課文 課文 B： 課文 ： ：圓周角 ： 圓周角 圓周角 圓周角
圓周⻆及所對的弧
課文 A 介紹了頂點在圓心的角，稱為「圓心角」，
而這一篇課文 B 要介紹頂點在圓周上的角，如下圖的 ∠APB，它應 該稱為什麼角呢？
像這種頂點在圓周上、兩邊由兩弦所夾而成的角就稱為「圓周角圓周角圓周角圓周角」。
圓心角的角度會等於所對弧的角度，
那麼圓周角的角度與所對弧的角度有什麼關係呢？
我們分為三種情況討論：
1.圓周角的一邊通過圓心 2.圓心在圓周角內 3.圓心不在圓周角內
討論 1.圓周角的一邊通過圓心
如下圖，A、B、P 皆為圓上的點，6 通過圓心：
連接 ：
6 與 都是圓 O 的半徑，所以 6 。 故 △OBP 是等腰三角形，也表示 ∠APB ∠B。
∠AOB 是 △OBP 中 ∠POB 的外角，
根據外角定理：三角形任一外角等於另外兩個內角之和，
∠AOB ∠APB ∠B 2∠APB。
圓心角 ∠AOB 所對的弧為
AB ，
討論 2.圓心在圓周角內
如下圖，A、B、P 皆為圓上的點，圓心 O 在 ∠APB 內：
我們利用 1 結果來幫助討論，作直徑 6 ：
藉由 1 的討論，我們可以知道：
∠APC
AC 、∠
CPBCB
∠APB ∠APC ∠CPB
AC
CB
&AC
CB
'AB
C
討論 3.圓心不在圓周角內
如下圖，A、B、P 皆為圓上的點，圓心 O 在 ∠APB 外：
這方法與 2 類似，下面試著根據 2 的想法完成以下討論！
我們利用 1 結果來幫助討論，作直徑 6 ：
藉由 1 的討論，我們可以知道：
∠CPB 、∠CPA
∠APB ∠CPB ! ∠CPA
AB
C
從上面的 1,2,3 討論發現：圓周角的度數 所對弧度數的一半，即
圓周⻆的應用 一圓中一圓中
一圓中一圓中，，，平行的兩弦所截的弧度數相同，平行的兩弦所截的弧度數相同平行的兩弦所截的弧度數相同。平行的兩弦所截的弧度數相同。。 。
如圖，若 4 // ，4 和 在圓上截出兩弧
AB 、 CD
， 則AB
=CD
。以下證明這個性質！
先連接 ：
因為 4 // ，而且 ∠1 和 ∠2 為內錯角，所以 ∠1 ∠2。
而圓周角 ∠1 所對的弧為
AB
，所以 ∠1AB
； 圓周角 ∠2 所對的弧為CD
，所以 ∠2CD
。 因此AB
=CD
。1
2
Ex1.如圖， 為圓 O 之直徑，且
AC
100°，Ex3.如圖，圓 O 上三點 A、B、P，
若 ∠APB ∠AOB 180°，
求
AB
度數為何？解：
∠APB 是
AB
所對的圓周角，∠APBAB
；∠AOB 是
AB
所對的圓心角，∠AOBAB
。∠APB ∠AOB 180°
AB
AB
180°
AB
180°
AB
180° 2 120°Ex4. 如圖，弦 AB 與弦 CD 相交於 P 點，且
AC
36°、BD
54°，求：∠ADC ？∠BAD ？∠APC ？
解：
圓周角 ∠ADC 所對的弧為
AC
， 所以 ∠ADC 1 36 12 8
AC
= ×=
。 圓周角 ∠BAD 所對的弧為
BD
， 所以 ∠BAD 1 54 22 7
BD
= ×=
。 在 △APD 中，∠APC 為 ∠APD 的外角，
∠APC ∠ADC ∠BAD 18° 27° 45°。
Ex5. 如圖，弦 AB 與弦 CD 相交於 P 點，且
AD
100°、BC
60°，Ex6.如圖 89999:、489999: 為兩割線相交於圓外一點 P，
DA
98°，BC
42°，圓內接四邊形
在前面切線的課文中，有提到一種四邊形，就是四邊形的內部有一圓，
且此圓和四邊形的四邊都相切，這種四邊形稱為「圓外切四邊形」。
那反過來，如果四邊形在圓內，而且此四邊形的四個頂點都落在圓 上，就稱這個四邊形為「圓內接四邊形圓內接四邊形圓內接四邊形圓內接四邊形」，而且稱此圓為四邊形的外 接圓。如下圖， A、B、C、D 四點都在圓 上，四邊形 ABCD 就稱 為圓 的圓內接四邊形，而且稱圓 為四邊形 ABCD 的外接圓。
想想看，圓內接四邊形有什麼特別的性質呢？
我們會發現圓內接四邊形的四個內角都是其外接圓的圓周角，利用 這個想法就可以證明：圓內接四邊形的對角互補。
如下圖，四邊形ABCD 為圓 的圓內接四邊形，