單元二 單元二: : :弦與切線 : 弦與切線 弦與切線 弦與切線
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( (二 二 二 二) ) ) )課文 課文 課文 A: 課文 : :弦的意義與弦心距 : 弦的意義與弦心距 弦的意義與弦心距 弦的意義與弦心距
在二下介紹圓的時候,就有介紹過弦,還記得什麼是弦嗎?
請試著依照你的印象在下面的圖中畫出一弦!
在上面的活動中,你的弦是如何畫出來的呢?
弦畫出來之後,試著畫出圓心到弦的距離,再想想看,這段距離比 圓的半徑還要長還是比圓的半徑還要短?
弦與弦心距
弦是由圓上的兩點連線而形成,如下圖中,圓 上有兩點 A、B,
即是圓的弦。
而如果 , ⫠ 於 M 點,, 就代表圓心 到 的距離,
稱為弦 AB 的「弦心距」。
, ⫠ ,所以 ∠MA 90°,故 △MA 會是一個直角三角形,
, 是直角三角形 MA 的一股, 是直角三角形 MA 的斜邊,
所以 , ,也就是弦心距會小於半徑!
除此之外,還有什麼特別的性質呢?
弦的性質一
第一個性質性質就是弦心距會垂直平分弦,
如下圖中,, 是弦 的弦心距,, 會垂直平分 , 也就是 , ⫠ 而且 , ,,下面就來證明這件事情!
證明:
連接 及 , 與 都是圓 的半徑:
觀察一下 △MB 與 △MA,想想這兩個三角形有什麼關係?
因為 , 是 的弦心距,所以 , ⫠ ,即∠MB ∠MA 90°;
又因為 與 都是圓 的半徑,所以 ;
而 , 是 △MB 與 △MA 這兩個三角形的共同邊,所以 , ,。 根據 RHS 全等性質,△MB ≅△MA。
, 與 , 是對應邊,故 , ,。
弦的性質二
第二個性質性質就是弦的垂直平分線會通過圓心,如下圖,
直線 L 是弦 的垂直平分線,而直線 L 恰好會通過圓心 。
想想看,為什麼呢?
令直線 L 是 弦 的垂直平分線,根據垂直平分線的判別性質:
「如果某一點到 兩端點等距,那麼該點一定落在 的中垂線上」,
而 、 都是圓的半徑,所以 , 也就是圓心 到 的兩端點等距,
因此圓心 當然會在直線 L 上!
Ex1.有一個半徑為 25 的圓 , 為圓 上之一弦,
Ex2. 為圓 上之一弦,M 為其弦心距,若 AB 24、M 5,
Ex3.如圖,圓 的半徑為 25,、4 皆為圓 上的弦,
解題反思:
藉由 Ex3 來看看在同一個圓當中,關於弦與其弦心距的關係。
, 5,而,所對應的弦 AB 比 5 所對應的弦 CD 還要長。
也就是:「如果弦心距越長,弦越短;而弦心距越短,則弦越長。」
Ex4.如圖,,、5 分別為弦 AB 、弦 CD 的弦心距,且 、M、N 三點共線,已知 M 7、AB 48、CD 40,求 MN ?
解題思維:
因為 、M、N 三點在同一條線上,所以要求的 ,5 5 ! ,, 而且已經知道 , 了,如果再知道 5 的話就可以求出 ,5。 題目已知 M 以及 AB ,可以利用 Ex2 的想法求出圓 的半徑。
因為 、4 都一樣是在圓 上的弦,所以求出圓 的半徑後,
再加上題目所給的 4 的條件,就可以利用畢氏定理求出 5 。
解:
因為 , 是 的弦心距,
所以 , 會垂直平分 , , 12 12 2 48 24 連接 ,根據畢氏定理:
0, , 024 7 √576 49 √625 25
C A 25,
又因為 5 是 4 的弦心距,所以 5 會垂直平分 4,
5 12 4 12 2 40 20 連接 ,根據畢氏定理:
5 0! 5 025! 20 √625 ! 400 √225 15 ,5 5 ! , 15 ! 7 8
還是不太懂,
請看下面影片(1)
https://youtu.be/sGoUC7klGw8
還是不太懂,
請看下面影片(2)
https://youtu.be/cwg6stX0k8w
重點提問 重點提問 重點提問 重點提問
1. 根據上面的課文,圓上的弦有什麼性質?
請說明並利用下面的圓舉出例子加以解釋。
2. 如下圖,圓 有兩相異且不平行的弦
、
4 ,請利用尺規作 圖找出圓 的圓心,並解釋原因。D
A B
C
3. 根據弦的定義,圓的直徑也會是圓上的弦,而且事實上會是圓 上最長的弦。為什麼呢?
請試著依據下面的提示證明:圓的直徑會是圓上最長的弦。
如右圖,弦 不是圓 的直徑:
連接 、,形成三角形 △AB,
根據三角形的三邊關係,
可以列式: + >, 其中 和 都是圓 半徑,
半徑 半徑 直徑,所以 圓直徑>。
A AA
A. .. .隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習: : : :
1. 有一個半徑為 13 的圓 , 為圓 上之一弦,
若 的弦心距, 為12,求 AB ?
2. 為圓 上之一弦,M 為其弦心距,若 AB 16、M 15,
求圓 面積為何?
3. 如圖,圓 的半徑為 25,、4 皆為圓 上的弦,
,、5 分別為弦 AB、弦 CD 的弦心距,若 M 7、N 20,
求 ?4 ?
4. 如圖,,、5 分別為弦 AB、弦 CD 的弦心距,且 MN 垂直平分 , 已知 M 5、AB 24、CD 10,求 MN ?
單元二 單元二
切線的性質二
過圓 上一點 P,且與 6 垂直的直線,必為切線。
如下圖,P 點為圓 上的一點,有一條直線 L 通過 P 點而且垂直 6, 則直線 L 為圓 的切線。
為什麼呢?
要證明直線 L 為圓 的切線,就是要確定直線 L 與圓 只有一個交點。
隨便在直線 L 上找與 P 點相異的點 Q,△PQ 是什麼特殊三角形?
在 △PQ 中,誰是斜邊呢?
所以 P 與 Q 相比,誰比較短呢?
Q 會在圓外、圓上還是圓內呢?
直線 L 除了 P 點之外,其餘的點都在圓外,
也就是說直線 L 與圓 只有一個交點 P,故直線 L 為圓 的切線。
Ex1.圓外一點 P,距離圓心 長度為 13,過 P 作 PA8999: 切圓 於 A 點,
在面對幾何相關的問題時,看懂題目將圖形畫出來是非常重要的事 情,請試著在下面畫出題目條件所敘述的圖形吧!
有一個半徑為 5 的圓 ,以及與圓心距離 13 的 P 點,
做通過 P 點而且與圓 相切的直線。
在上面畫圖時,會發現過圓外 P 點所做出來的圓 切線不只有一條,
實際上會有兩條,這兩條會有什麼特別的地方呢?
過圓外一點的兩切線性質
2. 6 平分 ∠APB、∠AB
Ex2.如右圖 P 為圓 外一點,且 6
、
6 切圓 於 A、B 兩點,(3) 承(2),△PA 為30° ! 60° ! 90° 的直角三角形,
(2)
圓外切四邊形
Ex3.如圖,已知圓外切四邊形ABCD 為一梯形,其中 下底 13、
上底4 5,求梯形ABCD 的周長。
解:
因為四邊形ABCD 為圓外切四邊形,
所以兩組對邊長之和相等: 4 4 。 故 4 4 13 5 18,
梯形ABCD 周長 4 4 18 18 36。
還是不太懂,
請看下面影片(1)
https://youtu.be/oQm6728O9JU
還是不太懂,
請看下面影片(2)
https://youtu.be/e0DZ1gDnNFw
還是不太懂,
請看下面影片(3)
https://youtu.be/yDDPY2qWNn8
重點提問 重點提問
3. 如下圖, 圓 的一弦,直線 切圓 於 C 點,請利用尺規 作圖找出圓 的圓心,並解釋原因。
4. 根據上面的課文,請用自己的話說明「圓外切四邊形」的意義 及性質,並利用下面的圓舉出一個例子加以解釋。
A B
C
L
B BB
B. .. .隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習: : : :
1. 圓外一點 P,距離圓心 長度為 25,過 P 作 PA8999: 切圓 於A 點,
若圓 半徑為 7,求線段長 6 為多少?
2. 如圖 P 為圓 外一點,且 6
、
6 切圓 於 A、B 兩點,若∠APB 120° 且圓 半徑為 7√3 公分,求 (1) ∠A0B 的度數
(2) 四邊形APB 周長與面積 (3) 6 及 的長度
3. 如下圖,已知圓外切四邊形ABCD 為一等腰梯形,
其中 4//而且 14,求梯形ABCD 的周長。
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( (二 二 二 二) ) ) )課文 課文 課文 C: 課文 : :公切線 : 公切線 公切線 公切線
前面介紹了切線的性質,這邊要討論「公切線」,所謂的公切線指的 就是多個圓的共同切線,如下圖中,有兩個不同的圓,試著畫出同 時與這兩個圓相切的直線:
外公切線與內公切線
上面在畫的時候有沒有發現,這兩個圓的公切線不只有一條,有很多條!
在這麼多條公切線當中,又分成兩類:
一類就是兩圓在公切線的同側同側同側同側,此直線就稱為這兩圓的「「「「外公切線外公切線外公切線外公切線」」」」。
如下圖,直線 L 是這兩圓的外公切線。
想想看,還有沒有其他直線也是這兩圓的外公切線?
另外一類就是兩圓在公切線的異異異異側側側側,則此直線就稱為這兩圓的「「「「內內內內公切線公切線公切線公切線」」」」。 如下圖,直線 M 是這兩圓的內公切線。
想想看,還有沒有其他直線也是這兩圓的內公切線?
而在課文 A 時,我們知道兩圓之間有五種的位置關係,下面就試著