單元二 單元二： ： ：弦與切線 ： 弦與切線 弦與切線 弦與切線
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（ （二 二 二 二） ） ） ）課文 課文 課文 A： 課文 ： ：弦的意義與弦心距 ： 弦的意義與弦心距 弦的意義與弦心距 弦的意義與弦心距
在二下介紹圓的時候，就有介紹過弦，還記得什麼是弦嗎？
請試著依照你的印象在下面的圖中畫出一弦！
在上面的活動中，你的弦是如何畫出來的呢？
弦畫出來之後，試著畫出圓心到弦的距離，再想想看，這段距離比 圓的半徑還要長還是比圓的半徑還要短？
弦與弦心距
弦是由圓上的兩點連線而形成，如下圖中，圓 上有兩點 A、B，
即是圓的弦。
而如果 , ⫠ 於 M 點，, 就代表圓心 到 的距離，
稱為弦 AB 的「弦心距」。
, ⫠ ，所以 ∠MA 90°，故 △MA 會是一個直角三角形，
, 是直角三角形 MA 的一股， 是直角三角形 MA 的斜邊，
所以 , ，也就是弦心距會小於半徑！
除此之外，還有什麼特別的性質呢？
弦的性質一
第一個性質性質就是弦心距會垂直平分弦，
如下圖中，, 是弦 的弦心距，, 會垂直平分 ， 也就是 , ⫠ 而且 , , ，下面就來證明這件事情！
證明：
連接 及 ， 與 都是圓 的半徑：
觀察一下 △MB 與 △MA，想想這兩個三角形有什麼關係？
因為 , 是 的弦心距，所以 , ⫠ ，即∠MB ∠MA 90°；
又因為 與 都是圓 的半徑，所以 ；
而 , 是 △MB 與 △MA 這兩個三角形的共同邊，所以 , , 。 根據 RHS 全等性質，△MB ≅△MA。
, 與 , 是對應邊，故 , , 。
弦的性質二
第二個性質性質就是弦的垂直平分線會通過圓心，如下圖，
直線 L 是弦 的垂直平分線，而直線 L 恰好會通過圓心 。
想想看，為什麼呢？
令直線 L 是 弦 的垂直平分線，根據垂直平分線的判別性質：
「如果某一點到 兩端點等距，那麼該點一定落在 的中垂線上」，
而 、 都是圓的半徑，所以 ， 也就是圓心 到 的兩端點等距，
因此圓心 當然會在直線 L 上！
Ex1.有一個半徑為 25 的圓 ， 為圓 上之一弦，
Ex2. 為圓 上之一弦，M 為其弦心距，若 AB 24、M 5，
Ex3.如圖，圓 的半徑為 25， 、4 皆為圓 上的弦，
解題反思：
藉由 Ex3 來看看在同一個圓當中，關於弦與其弦心距的關係。
, 5 ，而, 所對應的弦 AB 比 5 所對應的弦 CD 還要長。
也就是：「如果弦心距越長，弦越短；而弦心距越短，則弦越長。」
Ex4.如圖，, 、5 分別為弦 AB 、弦 CD 的弦心距，且 、M、N 三點共線，已知 M 7、AB 48、CD 40，求 MN ？
解題思維：
因為 、M、N 三點在同一條線上，所以要求的 ,5 5 ! , ， 而且已經知道 , 了，如果再知道 5 的話就可以求出 ,5 。 題目已知 M 以及 AB ，可以利用 Ex2 的想法求出圓 的半徑。
因為 、4 都一樣是在圓 上的弦，所以求出圓 的半徑後，
再加上題目所給的 4 的條件，就可以利用畢氏定理求出 5 。
解：
因為 , 是 的弦心距，
所以 , 會垂直平分 ， , 12 12 2 48 24 連接 ，根據畢氏定理：
0, , 024 7 √576 49 √625 25
C A 25，
又因為 5 是 4 的弦心距，所以 5 會垂直平分 4 ，
5 12 4 12 2 40 20 連接 ，根據畢氏定理：
5 0 ! 5 025! 20 √625 ! 400 √225 15 ,5 5 ! , 15 ! 7 8
還是不太懂，
請看下面影片(1)
https://youtu.be/sGoUC7klGw8
還是不太懂，
請看下面影片(2)
https://youtu.be/cwg6stX0k8w
重點提問 重點提問 重點提問 重點提問
1. 根據上面的課文，圓上的弦有什麼性質？
請說明並利用下面的圓舉出例子加以解釋。
2. 如下圖，圓 有兩相異且不平行的弦
、
4 ，請利用尺規作 圖找出圓 的圓心，並解釋原因。D
A B
C
3. 根據弦的定義，圓的直徑也會是圓上的弦，而且事實上會是圓 上最長的弦。為什麼呢？
請試著依據下面的提示證明：圓的直徑會是圓上最長的弦。
如右圖，弦 不是圓 的直徑：
連接 、 ，形成三角形 △AB，
根據三角形的三邊關係，
可以列式： + ＞ ， 其中 和 都是圓 半徑，
半徑 半徑 直徑，所以 圓直徑＞ 。
A AA
A. .. .隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習： ： ： ：
1. 有一個半徑為 13 的圓 ， 為圓 上之一弦，
若 的弦心距, 為12，求 AB ？
2. 為圓 上之一弦，M 為其弦心距，若 AB 16、M 15，
求圓 面積為何？
3. 如圖，圓 的半徑為 25， 、4 皆為圓 上的弦，
, 、5 分別為弦 AB 、弦 CD 的弦心距，若 M 7、N 20，
求 ？4 ？
4. 如圖，, 、5 分別為弦 AB 、弦 CD 的弦心距，且 MN 垂直平分 ， 已知 M 5、AB 24、CD 10，求 MN ？
單元二 單元二
切線的性質二
過圓 上一點 P，且與 6 垂直的直線，必為切線。
如下圖，P 點為圓 上的一點，有一條直線 L 通過 P 點而且垂直 6 ， 則直線 L 為圓 的切線。
為什麼呢？
要證明直線 L 為圓 的切線，就是要確定直線 L 與圓 只有一個交點。
隨便在直線 L 上找與 P 點相異的點 Q，△PQ 是什麼特殊三角形？
在 △PQ 中，誰是斜邊呢？
所以 P 與 Q 相比，誰比較短呢？
Q 會在圓外、圓上還是圓內呢？
直線 L 除了 P 點之外，其餘的點都在圓外，
也就是說直線 L 與圓 只有一個交點 P，故直線 L 為圓 的切線。
Ex1.圓外一點 P，距離圓心 長度為 13，過 P 作 PA8999: 切圓 於 A 點，
在面對幾何相關的問題時，看懂題目將圖形畫出來是非常重要的事 情，請試著在下面畫出題目條件所敘述的圖形吧！
有一個半徑為 5 的圓 ，以及與圓心距離 13 的 P 點，
做通過 P 點而且與圓 相切的直線。
在上面畫圖時，會發現過圓外 P 點所做出來的圓 切線不只有一條，
實際上會有兩條，這兩條會有什麼特別的地方呢？
過圓外一點的兩切線性質
2. 6 平分 ∠APB、∠AB
Ex2.如右圖 P 為圓 外一點，且 6
、
6 切圓 於 A、B 兩點，(3) 承(2)，△PA 為30° ! 60° ! 90° 的直角三角形，
(2)
圓外切四邊形
Ex3.如圖，已知圓外切四邊形ABCD 為一梯形，其中 下底 13、
上底4 5，求梯形ABCD 的周長。
解：
因為四邊形ABCD 為圓外切四邊形，
所以兩組對邊長之和相等： 4 4 。 故 4 4 13 5 18，
梯形ABCD 周長 4 4 18 18 36。
還是不太懂，
請看下面影片(1)
https://youtu.be/oQm6728O9JU
還是不太懂，
請看下面影片(2)
https://youtu.be/e0DZ1gDnNFw
還是不太懂，
請看下面影片(3)
https://youtu.be/yDDPY2qWNn8
重點提問 重點提問
3. 如下圖， 圓 的一弦，直線 切圓 於 C 點，請利用尺規 作圖找出圓 的圓心，並解釋原因。
4. 根據上面的課文，請用自己的話說明「圓外切四邊形」的意義 及性質，並利用下面的圓舉出一個例子加以解釋。
A B
C
L
B BB
B. .. .隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習： ： ： ：
1. 圓外一點 P，距離圓心 長度為 25，過 P 作 PA8999: 切圓 於A 點，
若圓 半徑為 7，求線段長 6 為多少？
2. 如圖 P 為圓 外一點，且 6
、
6 切圓 於 A、B 兩點，若∠APB 120° 且圓 半徑為 7√3 公分，求 (1) ∠A0B 的度數
(2) 四邊形APB 周長與面積 (3) 6 及 的長度
3. 如下圖，已知圓外切四邊形ABCD 為一等腰梯形，
其中 4 // 而且 14，求梯形ABCD 的周長。
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前面介紹了切線的性質，這邊要討論「公切線」，所謂的公切線指的 就是多個圓的共同切線，如下圖中，有兩個不同的圓，試著畫出同 時與這兩個圓相切的直線：
外公切線與內公切線
上面在畫的時候有沒有發現，這兩個圓的公切線不只有一條，有很多條！
在這麼多條公切線當中，又分成兩類：
一類就是兩圓在公切線的同側同側同側同側，此直線就稱為這兩圓的「「「「外公切線外公切線外公切線外公切線」」」」。
如下圖，直線 L 是這兩圓的外公切線。
想想看，還有沒有其他直線也是這兩圓的外公切線？
另外一類就是兩圓在公切線的異異異異側側側側，則此直線就稱為這兩圓的「「「「內內內內公切線公切線公切線公切線」」」」。 如下圖，直線 M 是這兩圓的內公切線。
想想看，還有沒有其他直線也是這兩圓的內公切線？
而在課文 A 時，我們知道兩圓之間有五種的位置關係，下面就試著