單元一 單元一
單元一 單元一： ： ：圓的意義與 ： 圓的意義與 圓的意義與 圓的意義與位置關係 位置關係 位置關係 位置關係
（ （
（ （一 一 一 一） ） ） ）課文 課文 課文 A： 課文 ： ：圓與點 ： 圓與點 圓與點 圓與點、 、 、 、線 線 線 線、 、 、 、圓的 圓的 圓的 圓的位置關係 位置關係 位置關係 位置關係
這章節要提到一些與圓相關的概念，讓我們先複習一下圓的定義。
圓的定義
在二下的時候就提過圓的定義：「在平面上，與一個固定點距離固定 距離的所有點，所形成的圖形就是圓」，而這個固定點就稱為圓心，
這一段固定距離就稱為半徑。我們畫圓的工具―圓規也是利用這個 定義來畫圓的。
在命名圓的時候通常會利用圓心來命名，例如某一圓的圓心是 點，
那麼我們就稱它為圓 。
圓與點的位置關係
一個圓將所在的平面分成圓內、圓上、圓外。
如下圖，A 點在圓內、B 點在圓上、C 點在圓外。
想想看，如何判斷點與圓的位置關係呢？
可以由圓的兩個要素(圓心、半徑)來協助判斷，因為圓上的點到圓心 的距離都會剛剛好等於半徑，所以如果離圓心的距離比半徑大就會跑 到圓外了，而離圓心的距離比半徑還要小就在圓內。
還不是很懂的話可以掃掃看右邊的 QR-Code！
r
r r
Ex1.已知圓 的半徑為 5，若平面上 A、B、C 三點，與圓心 的距離 分別為 4、5、6，則 A、B、C 三點與圓 之位置關係為何？
解法一：
可以試著將題目的圖畫出來。
下面有一個半徑為 5 的圓 ，請根據題目中的條件將 A、B、C 三點畫出來：
正確畫出來後就可以判斷它的位置了！
除此之外，也可以直接利用到圓心的距離與半徑做比較！
解法二：
A 與圓心 的距離為 4 ⇒ 4 半徑 5 ⇒ A 點在圓內。
B 與圓心 的距離為 5 ⇒ 5 半徑 5 ⇒ B 點在圓上。
C 與圓心 的距離為 6 ⇒ 6 半徑 5 ⇒ C 點在圓外。
看完點與圓的位置關係後，接下來再看直線與圓的位置關係。
圓與線的位置關係
下面有一個圓，請試著畫畫看不同的直線，並想想看直線與圓可能 會有幾個交點？
事實上，直線與圓有可能的交點數量只有三種，
分別是 0 個交點、1 個交點、2 個交點：
直線與圓 0 個交點，就是直線與 圓不相交，如右圖，會發現直線 L 上的點都在圓 外面。
直線與圓只有 1 個交點，就是直 線與圓剛好切到，如右圖，直線 M 上與圓 只交於一點 P，而直 線 M 稱為圓 的「切線切線切線」切線」」」，P 點 稱為切點。
直線與圓有 2 個交點，如右圖，
直線 N 上與圓 交於 A、B 兩 點，而 N 稱為圓 的「割線割線割線」。 割線
L
M P
N A
B
圓與線的位置關係判別
前面提到可以利用點到圓心的距離來判斷點與圓的位置關係，
而是否可以利用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關係呢？
試試看利用下表中的敘述畫出符合敘述的直線：
情形 1.
圓 是半徑為 3 的圓，請畫 出與圓心距離為 3 的直線 L 。
情形 2.
圓 是半徑為 3 的圓，請畫 出與圓心距離為 6 的直線 M 。
情形 3.
圓 是半徑為 3 的圓，請畫 出與圓心距離為 1 的直線 N 。
O
O
O
畫出來後會發現：
1.圓心到直線的距離剛好等於半徑的話，直線與圓就只會交於一點，
那條直線即是切線，相交的那點即是切點。
2.如果圓心到直線的距離比半徑還大的話，直線與圓就不會有交點。
3.如果圓心到直線的距離比半徑還小的話，則直線與圓會有兩個交點。
還不是很懂的話可以掃掃看右邊的 QR-Code！
Ex2.平面中有一圓 與三條相異直線 、、 ，已知圓 的半徑為 6，
依據圓心 到各相異直線的距離，回答下列問題：
(1)若圓心 到直線 的距離為 8，則直線 與圓 的交點數 為多少？
(2)若圓心 到直線 的距離為 4，則直線 與圓 的交點數 為多少？又稱直線 為 。
(3)若圓心 到直線 的距離為 6，則直線 與圓 的交點數 為多少？又稱直線 為 。
解法一：
試著將題目的圖形畫出來：
正確畫出來後就可以判斷它的位置了！
除此之外，也可以直接利用圓心到直線的距離與半徑做比較！
解法二：
圓心 到直線 的距離為 8 半徑 6
⇒ 與圓 沒有交點。
圓心 到直線 的距離為 4 半徑 6
⇒ 與圓 有 2 個交點， 也稱為圓 的割線。
圓心 到直線 的距離為 6 半徑 6
下一個要討論兩圓的位置關係！
圓與圓的位置關係
下面有一個圓 ，請再畫出另外一個與圓 不同大小的圓，並想想 看這兩個圓可能會有幾種位置關係？
事實上，兩個不同大小的圓之間位置關係可能會有 5 種：
1. 小圓在大圓內部分離：
我們稱這兩個圓「內內內離內離離」離」」。 」
4. 小圓在大圓外面相切一點：
我們稱這兩個圓「外切外切外切」外切」」。 」 2. 小圓在大圓內部相切一點：
我們稱這兩個圓「內切內切內切」內切」」。 」
5. 小圓在大圓外面分離：
我們稱這兩個圓「外離外離外離」外離」」」。
3. 兩個圓相交兩點：
那如何判斷兩圓的位置關係呢？
圓與圓的位置關係判別
下面當中有一些不同的情形，請根據這些敘述畫出圖形來：
1. 圓 與圓 半徑分別為 5 和 2， 7：
圓 與圓 的關係是 。 2. 圓 與圓 半徑分別為 5 和 2， 10：
圓 與圓 的關係是 。
3. 圓 與圓 半徑分別為 5 和 2， 4：
圓 與圓 的關係是 。 4. 圓 與圓 半徑分別為 5 和 2， 3：
5. 圓 與圓 半徑分別為 5 和 2， 1：
圓 與圓 的關係是 。
從上面畫圖的過程當中我們可以發現，
兩圓之間的位置關係與 、圓 半徑、圓 半徑有關，
其中兩個圓心的距離 我們稱為連心線段長！
1.如果連心線段長與兩圓的半徑和一樣( )時，
那麼這兩個圓就會外切。
2.如果連心線段長比兩圓的半徑和還大( )時，
那麼這兩個圓就會外離。
3.如果連心線段長比兩圓的半徑和還小、且比兩圓的半徑差還大 ( ! )時，那麼這兩個圓就會相交於兩點。
4.如果連心線段長與兩圓的半徑差一樣( ! )時，
那麼這兩個圓就會內切。
5.如果連心線段長比兩圓的半徑差還小( ! )時，
那麼這兩個圓就會內離。
特別的是，如果兩個圓的圓心重合時，我們就稱這兩個圓為同心圓！
還不是很懂的話可以掃掃看右邊的 QR-Code！
Ex3.圓 與圓 半徑分別為 2 和 5，請依照下面表格所給定的 連心線段 長度，完成表格：
長度 7 8 4 3 1 位置關係
兩圓的交點個數
解：圓 與圓 半徑分別為 2 和 5，
兩圓的半徑差為 5 ! 2 3、兩圓的半徑和為 2 5 7 (1) 7 7 (連心線段長 兩圓的半徑和)
⇒兩個圓的關係是外切，這兩個圓的交點數為 1 個。
(2) 8 7 (連心線段長 兩圓的半徑和)
⇒兩個圓的關係是外離，這兩個圓的交點數為 0 個。
(3) 3 4 7
(兩圓的半徑差 連心線段長 兩圓的半徑和)
⇒兩個圓的關係是相交於兩點，這兩個圓的交點數為 2 個。
(4) 3 3 (連心線段長 兩圓的半徑差)
⇒兩個圓的關係是內切，這兩個圓的交點數為 1 個。
(5) 1 3 (連心線段長 兩圓的半徑差)
Ex4.如下圖，圓 、、 三圓半徑分別為 4、2、7，
其中圓 與圓 外切、圓 與圓 內切、圓 與圓 內切，
求 △ 的周長？
解：
圓 與圓 外切，所以 4 2 6；
圓 與圓 內切，所以 7 ! 2 5；
圓 與圓 內切，所以 7 ! 4 3。
故 △ 周長 6 5 3 14。
4
2 2
7
7 4
4 2
7
Ex5.已知圓 半徑大於圓 O，當兩圓外切時， 長為 11，
當兩圓內切時， 長為 5，求兩圓半徑分別為何？
解：
令圓 半徑為 、圓 半徑為 ：
兩圓外切時 長為 11，列式成 11 兩圓內切時 長為 5，列式成 ! 5
# 11 ∙∙∙∙∙ ○1
! 5 ∙∙∙∙∙∙∙ ○2
○1 ○2 ⇒ 2 16
⇒ 8 代回○1 ： 8 11
⇒ 11 ! 8 3
Ex6.如圖，圓 與圓 內切、圓 與圓 外切、圓 與圓 內切，
而且圓 、、 三圓圓心共線，
其半徑分別為 、1、3，
求 、 、 及 長度。
解題思維：
圓 與圓 外切，而且圓 又要與圓 、圓 同時內切，
所以圓 的半徑必須比圓 、圓 還要大。
知道圓 與圓 內切，所以 r ! 1；
知道圓 與圓 外切，所以 1 3 4；
知道圓 與圓 內切，所以 r ! 3。
又圓 、、 三圓圓心共線，所以 。
解：
r! 1 、 1 3 4 、 r ! 3。
而且
&r! 1' &r! 3' 4 2r! 4 4
2r 4 4 8 r 8 ( 2 4
故 r ! 1 4 ! 1 3 、 r ! 3 4 ! 3 1
還是不太懂，
請看下面影片(1)
https://youtu.be/7lc4Cub067M
還是不太懂，
請看下面影片(2)
https://youtu.be/_hhS1kpfcQ4
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請看下面影片(3)
https://youtu.be/WfJm7hVKN8g
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https://youtu.be/9D-W-Rn62qg
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https://youtu.be/BTJjv62pb3w
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請看下面影片(6)
https://youtu.be/quRB9rxp6p4
重點提問 重點提問 重點提問 重點提問
1. 根據上面的課文，點與圓的位置關係有哪幾種？如何判斷？
請說明並利用下面的圓舉出例子加以解釋。
2. 根據上面的課文，直線與圓的位置關係有哪幾種？如何判斷？
請說明並利用下面的圓舉出例子加以解釋。
3. 根據上面的課文，兩個大小不同的圓位置關係有 5 種關係，請 在下面的表格中畫出這 5 種關係，並說明如何判斷。
1. 內離內離內離內離：
2. 內切內切內切內切：：：：
3. 交兩點交兩點交兩點交兩點：：： ：
4. 外切外切外切外切：：：：
5. 外離外離外離外離：：：：
4. 兩個大小相同的圓位置關係會有幾種關係呢？分別是哪幾種？
5. 如圖，如果兩個半徑分別為
、
的圓相交兩點 A、B，則 ! 。為什麼？
(可以利用三角形三邊關係解釋)
A
B
A AA
A. .. .隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習： ： ： ：
1. 已知圓 的半徑為 12，若平面上 A、B、C 三點，與圓心 的距離 分別為 5、12、13，則 A、B、C 三點與圓 之位置關係為何？
2. 如圖，圓 的半徑為 5 公分，觀察 A、B、C、D、E、各點。
哪些點與圓心距離小於 5 公分？
哪些點與圓心距離等於 5 公分？
哪些點與圓心距離大於 5 公分？
3.
如圖，小蘋在紙上畫了 2 個圓，並利用圓心與圓的一些交點作 出 4 條線段。若此 2 圓的半徑分別為 3、5，則這 4 條線段的總 長度為多少？4. 平面中有一圓 與三條相異直線 、、 ，已知圓 的半徑 為 15，依據圓心 到各相異直線的距離，回答下列問題：
(1)若圓心 到直線 的距離為 8，則直線 與圓 的交點數 有 個。
(2)若圓心 到直線 的距離為 15，則直線 與圓 的交點 數有 個，又稱直線 為 。
(3)若圓心 到直線 的距離為 17，則直線 與圓 的交點 數有 個，又稱直線 為 。
5. 若圓、圓 的半徑分別為 7、25。請填填看：
(1)當兩圓內切時， 。
(2)當兩圓外切時， 。
(3)當兩圓相交於兩點時， < < 。
(4)當兩圓內離時，連心線段長的範圍為 。 (5)當兩圓外離時，連心線段長的範圍為 。
6. 圓 與圓 半徑分別為 6 和 11，請依照下表格所給定的 連心線段 長度，完成表格：
長度 3 5 7 17 21 位置關係
兩圓的交點個數
7. 如下圖，圓 、、 三圓半徑分別為 3、4、7，其中
圓 與圓 外切、圓 與圓 內切、圓 與圓 內切，
求 △ 的周長？
8. 已知圓 半徑大於圓 O，當兩圓外切時， 長為 10， 當兩圓內切時， 長為 6，求兩圓半徑分別為何？
9. 如圖，圓 與圓 外切、圓 與圓 內切、圓 與圓 內切，
而且圓 、、 三圓圓心共線，其半徑分別為 3、 、9，
求 、 、 及 長度。
10. 圓 與圓 內切時， 7，若圓 半徑為 18，則 圓 半徑可能可能可能可能為何？
單元二 單元二
單元二 單元二： ： ：弦與切線 ： 弦與切線 弦與切線 弦與切線
（ （
（ （二 二 二 二） ） ） ）課文 課文 課文 A： 課文 ： ：弦的意義與弦心距 ： 弦的意義與弦心距 弦的意義與弦心距 弦的意義與弦心距
在二下介紹圓的時候，就有介紹過弦，還記得什麼是弦嗎？
請試著依照你的印象在下面的圖中畫出一弦！
在上面的活動中，你的弦是如何畫出來的呢？
弦畫出來之後，試著畫出圓心到弦的距離，再想想看，這段距離比 圓的半徑還要長還是比圓的半徑還要短？
弦與弦心距
弦是由圓上的兩點連線而形成，如下圖中，圓 上有兩點 A、B，
即是圓的弦。
而如果 , ⫠ 於 M 點，, 就代表圓心 到 的距離，
稱為弦 AB 的「弦心距」。
, ⫠ ，所以 ∠MA 90°，故 △MA 會是一個直角三角形，
, 是直角三角形 MA 的一股， 是直角三角形 MA 的斜邊，
所以 , ，也就是弦心距會小於半徑！
除此之外，還有什麼特別的性質呢？
弦的性質一
第一個性質性質就是弦心距會垂直平分弦，
如下圖中，, 是弦 的弦心距，, 會垂直平分 ， 也就是 , ⫠ 而且 , , ，下面就來證明這件事情！
證明：
連接 及 ， 與 都是圓 的半徑：
觀察一下 △MB 與 △MA，想想這兩個三角形有什麼關係？
因為 , 是 的弦心距，所以 , ⫠ ，即∠MB ∠MA 90°；
又因為 與 都是圓 的半徑，所以 ；
而 , 是 △MB 與 △MA 這兩個三角形的共同邊，所以 , , 。 根據 RHS 全等性質，△MB ≅△MA。
, 與 , 是對應邊，故 , , 。
弦的性質二
第二個性質性質就是弦的垂直平分線會通過圓心，如下圖，
直線 L 是弦 的垂直平分線，而直線 L 恰好會通過圓心 。
想想看，為什麼呢？
令直線 L 是 弦 的垂直平分線，根據垂直平分線的判別性質：
「如果某一點到 兩端點等距，那麼該點一定落在 的中垂線上」，
而 、 都是圓的半徑，所以 ， 也就是圓心 到 的兩端點等距，
因此圓心 當然會在直線 L 上！
Ex1.有一個半徑為 25 的圓 ， 為圓 上之一弦，
若 的弦心距 , 為 7，求 AB ？ 解題思維：
根據題目的敘述將圖形畫出來，有一圓 ， 為圓 上的一弦，
圓 的半徑為 25， 的弦心距 , 為 7：
因為 , 是 的弦心距，
所以 , 會垂直 ，故 △MA 會是一個直角三角形；
同時，, 會平分 ，即 , , ，因此 2, 。
解：
因為 , 是 的弦心距，所以 , 會垂直平分 ， 連接 ，根據畢氏定理：
, 0 ! , 025! 7 √625 ! 49 √576 24 而 2, 2 2 24 48
A
O 7 B 25 M
Ex2. 為圓 上之一弦，M 為其弦心距，若 AB 24、M 5，
求圓 面積為何？
解題思維：
圓面積的算法為：半徑2 3，所以要先想辦法求出半徑！
根據題目的敘述將圖形畫出來，有一圓 ， 為圓 上的一弦，
AB 24， 的弦心距 , 為 5：
因為 , 是 的弦心距，
所以 , 會平分 ，即 , , ，因此 , ；
同時可以知道 , 會垂直 ，故 △MA 會是一個直角三角形。
解：
因為 , 是 的弦心距，所以 , 會垂直平分 ， , 12 12 2 24 12
連接 ，根據畢氏定理：
0, , √12 5 √144 25 √169 13 半徑 故圓 面積 133 1693。
A
O 5 B M
Ex3.如圖，圓 的半徑為 25， 、4 皆為圓 上的弦，
, 、5 分別為弦 AB 、弦 CD 的弦心距，
若 M 7、N 15，求 ？4 ？
解：
因為 , 是 的弦心距，所以 , 會垂直平分 ， 連接 ，根據畢氏定理：
, 0 ! , 025! 7 √625 ! 49 √576 24 而 2, 2 2 24 48
而因為 5 是 4 的弦心距，所以 5 會垂直平分 4 ， 連接 ，根據畢氏定理：
5 0 ! 5 025! 15 √625 ! 225 √400 20 而 4 25 2 2 20 40
C
O D B A
N M
解題反思：
藉由 Ex3 來看看在同一個圓當中，關於弦與其弦心距的關係。
, 5 ，而, 所對應的弦 AB 比 5 所對應的弦 CD 還要長。
也就是：「如果弦心距越長，弦越短；而弦心距越短，則弦越長。」
Ex4.如圖，, 、5 分別為弦 AB 、弦 CD 的弦心距，且 、M、N 三點共線，已知 M 7、AB 48、CD 40，求 MN ？
解題思維：
因為 、M、N 三點在同一條線上，所以要求的 ,5 5 ! , ， 而且已經知道 , 了，如果再知道 5 的話就可以求出 ,5 。 題目已知 M 以及 AB ，可以利用 Ex2 的想法求出圓 的半徑。
因為 、4 都一樣是在圓 上的弦，所以求出圓 的半徑後，
再加上題目所給的 4 的條件，就可以利用畢氏定理求出 5 。
解：
因為 , 是 的弦心距，
所以 , 會垂直平分 ， , 12 12 2 48 24 連接 ，根據畢氏定理：
0, , 024 7 √576 49 √625 25
C A 25，
又因為 5 是 4 的弦心距，所以 5 會垂直平分 4 ，
5 12 4 12 2 40 20 連接 ，根據畢氏定理：
5 0 ! 5 025! 20 √625 ! 400 √225 15 ,5 5 ! , 15 ! 7 8
還是不太懂，
請看下面影片(1)
https://youtu.be/sGoUC7klGw8
還是不太懂，
請看下面影片(2)
https://youtu.be/cwg6stX0k8w
重點提問 重點提問 重點提問 重點提問
1. 根據上面的課文，圓上的弦有什麼性質？
請說明並利用下面的圓舉出例子加以解釋。
2. 如下圖，圓 有兩相異且不平行的弦
、
4 ，請利用尺規作 圖找出圓 的圓心，並解釋原因。D
A B
C
3. 根據弦的定義，圓的直徑也會是圓上的弦，而且事實上會是圓 上最長的弦。為什麼呢？
請試著依據下面的提示證明：圓的直徑會是圓上最長的弦。
如右圖，弦 不是圓 的直徑：
連接 、 ，形成三角形 △AB，
根據三角形的三邊關係，
可以列式： + ＞ ， 其中 和 都是圓 半徑，
半徑 半徑 直徑，所以 圓直徑＞ 。
A AA
A. .. .隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習： ： ： ：
1. 有一個半徑為 13 的圓 ， 為圓 上之一弦，
若 的弦心距, 為12，求 AB ？
2. 為圓 上之一弦，M 為其弦心距，若 AB 16、M 15，
求圓 面積為何？
3. 如圖，圓 的半徑為 25， 、4 皆為圓 上的弦，
, 、5 分別為弦 AB 、弦 CD 的弦心距，若 M 7、N 20，
求 ？4 ？
4. 如圖，, 、5 分別為弦 AB 、弦 CD 的弦心距，且 MN 垂直平分 ， 已知 M 5、AB 24、CD 10，求 MN ？
單元二 單元二
單元二 單元二： ： ：弦與切線 ： 弦與切線 弦與切線 弦與切線
（ （
（ （二 二 二 二） ） ） ）課文 課文 課文 B： 課文 ： ：切線 ： 切線 切線 切線
在單元一的時候有提到當直線與圓只交於一點的時候，我們就稱直線 為圓的切線。而判別的方式就是當圓心到直線的距離等於半徑時，
該直線就會是圓的切線。接下來要討論切線的相關性質！
切線的性質一
圓心到切點的連線一定垂直切線。
如下圖，直線 L 與圓 相切於 P 點，則 6 ⫠ 直線 。
為什麼呢？
要確定 6 ⫠直線 ，就是要確定 到直線 L 的距離就是 6 。
隨便在切線 L 上找與 P 點相異的點 Q ，Q 會在圓外、圓上還是圓內呢？
所以 P 與 Q 相比，誰比較短呢？
也就是說 6 是圓心 到直線 L 的最短距離，所以 6 ⫠ 直線 。
切線的性質二
過圓 上一點 P，且與 6 垂直的直線，必為切線。
如下圖，P 點為圓 上的一點，有一條直線 L 通過 P 點而且垂直 6 ， 則直線 L 為圓 的切線。
為什麼呢？
要證明直線 L 為圓 的切線，就是要確定直線 L 與圓 只有一個交點。
隨便在直線 L 上找與 P 點相異的點 Q，△PQ 是什麼特殊三角形？
在 △PQ 中，誰是斜邊呢？
所以 P 與 Q 相比，誰比較短呢？
Q 會在圓外、圓上還是圓內呢？
直線 L 除了 P 點之外，其餘的點都在圓外，
也就是說直線 L 與圓 只有一個交點 P，故直線 L 為圓 的切線。
Ex1.圓外一點 P，距離圓心 長度為 13，過 P 作 PA8999: 切圓 於 A 點，
若圓 半徑為 5，求線段長 6 為多少？
解題思維：
根據題目作圖，有一圓 半徑為 5 以及距離圓心 13 的 P 點，
過 P 作 PA8999: 切圓 於 A 點：
因為 PA8999: 是圓 的切線，所以 ⫠ PA8999:，
也就是 △AP 是一個直角三角形。
題目條件有給 6 13、 5，可以利用畢氏定理求出 6 ！
解：
因為 PA8999: 切圓 於 A 點，所以 ⫠ PA8999:，
故 △AP 是一個直角三角形。
根據畢氏定理：
6 06 ! 013! 5 √169 ! 25 √144 12
O P
A
在面對幾何相關的問題時，看懂題目將圖形畫出來是非常重要的事 情，請試著在下面畫出題目條件所敘述的圖形吧！
有一個半徑為 5 的圓 ，以及與圓心距離 13 的 P 點，
做通過 P 點而且與圓 相切的直線。
在上面畫圖時，會發現過圓外 P 點所做出來的圓 切線不只有一條，
實際上會有兩條，這兩條會有什麼特別的地方呢？
過圓外一點的兩切線性質
如右圖，P 點為圓 外一點，
、 皆為通過 P 點的直線，
而且分別與圓 相切於 A、B 兩點，則：
1.6 6 (圓外一點到兩切點等距)
2.∠PA ∠PB (6 平分 ∠APB、∠AB) 3.6 垂直平分
下面來看看這些性質的證明：
1.圓外一點到兩切點等距
如下圖，連接 6 ，觀察看看 △PA 與 △PB 有什麼關係？
、 皆為通過 P 點的直線，而且分別與圓 相切於 A、B 兩點，
所以 6 ⫠ 、6 ⫠ ，也就是 ∠PA ∠PB 90°。
又因為 、 都是圓 的半徑，所以 。
而 6 是 △PA 與 △PB 這兩個三角形的共同邊，所以 6 6 。 根據 RHS 全等性質，△PA ≅ △PB。
O P
A
B
L L
O P
A
B
L L
2. 6 平分 ∠APB、∠AB 承 1. △PA ≅ △PB ，
∠AP 與 ∠BP 是對應角，故 ∠AP ∠BP；
∠PA 與 ∠PB 是對應角，故 ∠PA ∠PB。
故 6 將 ∠APB 和 ∠AB 同時平分。
3. 6 垂直平分
因為 、6 6 ，所以四邊形APB 為一個箏形，
根據箏形的對角線性質，可以得知 6 垂直平分 。
O P
A
B
L L
; ; ○
○
Ex2.如右圖 P 為圓 外一點，且 6
、
6 切圓 於 A、B 兩點，若 ∠APB 60°且圓 半徑為 6 公分，求 (1) ∠A0B 的度數
(2) 對角線 6 的長度
(3) 四邊形APB 周長與面積
解題思維：
連接 6 ：
(1) 6 將 ∠APB 平分，所以 ∠AP
∠
62 60° 30°，
而 △PA 為直角三角形，所以 ∠PA 180° ! 30° ! 90° 60°。
又因為 6 也將 ∠AB 平分，所以 ∠A0B 2∠PA 120°。
(2)由(1)可以知道 △PA 為 30° ! 60° ! 90° 的直角三角形，
所以其三邊長的比為 ：6 ：6 1：√3：2。
為圓 的半徑，所以 6。
在 △PA 中， ：6 1：2。
O P
A
B
O P
A
B
(3) 承(2)，△PA 為30° ! 60° ! 90° 的直角三角形，
∠AP 30°、∠PA 60°，所以 ：6 1：√3。
利用比例就可以算出算出 6 了！
因為圓外一點到兩切點等距，所以 6 6 ； 而 與 都是半徑，所以 。 故四邊形APB 周長 6 6
6 6 2& 6 '
將四邊形APB 分成 △AP 與 △BP，這兩個直角三角形全等，
所以四邊形APB面積 2 2△AP面積。
解：
(1)
6 將 ∠APB 平分，所以 ∠AP
∠
62 60° 30°，
而 △PA 為三角形，所以 ∠PA 180° ! 30° ! 90° 60°。
又因為 6 也將 ∠AB 平分，
所以∠A0B 2∠PA 2 2 60° 120°。
O P
A
B 6 6
60°
(2)
由(1)可以知道 △PA 為30° ! 60° ! 90° 的直角三角形，
所以其三邊長的比為 ：6 ：6 1：√3：2。
為圓 的半徑，所以 6。
：6 1：2 6：6 1：2
6 6 2 2 12
(3)
：6 1：√3。
6：6 1：√3 6 6 2 √3 6√3
四邊形APB 周長 6 6
6 6
6 6 6√3 6√3 12 12√3
△BP面積 △AP面積 => 2?> @2@√ 18√3 四邊形APB面積 2 2 18√3 36√3
圓外切四邊形
接下來要介紹一個與圓的切線有關的四邊形―圓外切四邊形。
什麼是圓外切四邊形呢？
就是四邊形的內部有一圓，且此圓和四邊形的四邊都相切，則我們 稱此圓為四邊形的內切圓內切圓內切圓內切圓，而稱此四邊形為「圓外切四邊形圓外切四邊形圓外切四邊形圓外切四邊形」。
如下圖，四邊形ABCD 的四邊分別都與圓 相切，就稱四邊形ABCD 為圓 的圓外切四邊形，而且稱圓 為四邊形ABCD 的內切圓。
圓外切四邊形有一個厲害的性質：
圓外切四邊形的兩組對邊和相等，如上圖， 4 4 。
假設 P、Q、R、S 四點分別是
圓 與 、 、4 、4 的切點！
因為圓外一點到兩切點等距，所以
C 、6 、D 、4E
4 6 6 E 4E
4
Ex3.如圖，已知圓外切四邊形ABCD 為一梯形，其中 下底 13、
上底4 5，求梯形ABCD 的周長。
解：
因為四邊形ABCD 為圓外切四邊形，
所以兩組對邊長之和相等： 4 4 。 故 4 4 13 5 18，
梯形ABCD 周長 4 4 18 18 36。
還是不太懂，
請看下面影片(1)
https://youtu.be/oQm6728O9JU
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請看下面影片(2)
https://youtu.be/e0DZ1gDnNFw
還是不太懂，
請看下面影片(3)
https://youtu.be/yDDPY2qWNn8
重點提問 重點提問 重點提問 重點提問
1. 根據上面的課文，圓的切線有什麼性質？
請說明並利用下面的圓舉出例子加以解釋。
2. 根據上面的課文，過圓外一點的兩切線有什麼性質？
如下圖，P 點為圓 外一點，、 皆為通過 P 點的直線，
而且分別與圓 相切於 A、B 兩點，則：
(1) (2) (3)
O P
A
L L
3. 如下圖， 圓 的一弦，直線 切圓 於 C 點，請利用尺規 作圖找出圓 的圓心，並解釋原因。
4. 根據上面的課文，請用自己的話說明「圓外切四邊形」的意義 及性質，並利用下面的圓舉出一個例子加以解釋。
A B
C
L
B BB
B. .. .隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習： ： ： ：
1. 圓外一點 P，距離圓心 長度為 25，過 P 作 PA8999: 切圓 於A 點，
若圓 半徑為 7，求線段長 6 為多少？
2. 如圖 P 為圓 外一點，且 6
、
6 切圓 於 A、B 兩點，若∠APB 120° 且圓 半徑為 7√3 公分，求 (1) ∠A0B 的度數
(2) 四邊形APB 周長與面積 (3) 6 及 的長度
3. 如下圖，已知圓外切四邊形ABCD 為一等腰梯形，
其中 4 // 而且 14，求梯形ABCD 的周長。
單元二 單元二
單元二 單元二： ： ：弦與切線 ： 弦與切線 弦與切線 弦與切線
（ （
（ （二 二 二 二） ） ） ）課文 課文 課文 C： 課文 ： ：公切線 ： 公切線 公切線 公切線
前面介紹了切線的性質，這邊要討論「公切線」，所謂的公切線指的 就是多個圓的共同切線，如下圖中，有兩個不同的圓，試著畫出同 時與這兩個圓相切的直線：
外公切線與內公切線
上面在畫的時候有沒有發現，這兩個圓的公切線不只有一條，有很多條！
在這麼多條公切線當中，又分成兩類：
一類就是兩圓在公切線的同側同側同側同側，此直線就稱為這兩圓的「「「「外公切線外公切線外公切線外公切線」」」」。
如下圖，直線 L 是這兩圓的外公切線。
想想看，還有沒有其他直線也是這兩圓的外公切線？
另外一類就是兩圓在公切線的異異異異側側側側，則此直線就稱為這兩圓的「「「「內內內內公切線公切線公切線公切線」」」」。 如下圖，直線 M 是這兩圓的內公切線。
想想看，還有沒有其他直線也是這兩圓的內公切線？
而在課文 A 時，我們知道兩圓之間有五種的位置關係，下面就試著 把這五種位置關係分別畫出公切線並數出數量吧！
兩圓
位置關係 圖示 外公切線
數量
內公切線 數量
內離 內離內離 內離
內切 內切內切 內切
交兩點 交兩點 交兩點 交兩點
外切外切外切 外切
外離 外離外離 外離
EX1.如下圖，圓 半徑為 14，圓 半徑為 7 ， 25，
若 A、B 兩點分別為外公切線切圓 、圓 的切點，
求外公切線段長 ？
解題思維：
直線 AB 是圓 和圓 的公切線，
切線很重要的性質就是：圓心到切點的連線一定垂直切線，
也就是說 和 都會與直線 AB 垂直。
既然知道垂直這個條件，或許會跟直角三角形有關，
如果能做出直角三角形，就能夠利用畢氏定理去列式。
題目當中給了三個條件：圓 半徑、圓 半徑、 ，
想要求出 ，所以要做出與圓 半徑、圓 半徑、 、 有關的直角三角形。
要怎麼做呢？
作 ⫠ G 於 H 點：
此時就有一個直角三角形 G，這個三角形三邊與 圓 半徑、圓 半徑、 、 有什麼關係呢？
因為 ∠H ∠HAB ∠BA 90° ，
所以四邊形 G 為長方形，長方形兩對邊分別相等，
即 G 、G 。
所以直角三角形 G 的三邊分別為 G
、
25、
G
! G ! 14 ! 7 7 接下來就可以利用畢氏定理求出 了！
H
G
解：
如圖，作 ⫠ G 於 H 點： 所以 ∠H 90°
又因為 ∠HAB ∠BA 90° ， 所以四邊形 G 為長方形，
長方形兩對邊相等，即 G 、G 。
G
! G
! 14 ! 7 7
在 直角三角形G 中，根據畢氏定理：
G
I ! G
025! 7 √625 ! 49 √576 24
G 24
H
G
EX2.如圖，圓 與圓 半徑分別為 15、6，若 A、B 兩點分別為 外公切線切圓 、圓 的切點，且 12，
求連心線段長 ？
解：
如右圖，作 ⫠ G 8999999: 於 H 點： 所以 ∠H 90°
又因為 ∠HAB ∠BA 90° ， 所以四邊形 G 為長方形，
長方形兩對邊相等，即 G 、G 。
G
! G
! 15 ! 6 9
在 直角三角形 G 中，根據畢氏定理：
IG G 0 G
G
G
EX3.如圖，圓 與圓 半徑分別為 8、4，若 A、B 兩點分別為 內公切線切圓 、圓 的切點，且連心線段 13，
求內公切線段長 ？
解題思維：
與 Ex1 的想法一樣，我們要試著做出一個直角三角形，而這個 直角三角形的三邊長要與圓 半徑、圓 半徑、 、 有關！
作 與 G 8999999: 垂直於 H 點：
此時就有一個直角三角形 G，這個三角形三邊與 圓 半徑、圓 半徑、 、 有什麼關係呢？
G
因為 ∠H ∠HAB ∠BA 90° ，
所以四邊形 G 為長方形，長方形兩對邊相等，
即 G 、G 。
所以直角三角形 G 的三邊分別為 G
、 13、
G
G 8 4 12 接下來就可以利用畢氏定理求出 了！
解：
如圖，作 ⫠ G 於 H 點： 所以 ∠H 90°
因為 ∠HAB ∠BA 90° ，
所以四邊形 G 為長方形，故 G 、G 。
G
G 8 4 12 在 直角三角形 G 中，根據畢氏定理：
G
I ! G 013! 12 √169 ! 144 √25 5
G 5
G
G
G
EX4.如圖，圓 與圓 半徑分別為 8、4，若 A、B 兩點分別為 內公切線切圓 、圓 的切點，且 9，求連心線段長。
解：
如圖，作 ⫠ G 8999999: 於 H 點： 所以 ∠H 90°
因為 ∠HAB ∠BA 90° ，
所以四邊形 G 為長方形，故 G 、G 。
G
G 8 4 12 在 直角三角形G 中，根據畢氏定理：
IG G I G 09 12
√81 144 √225 15
還是不太懂，
請看下面影片(1)
https://youtu.be/IOiF5Y5p5_k
還是不太懂，
請看下面影片(2)
https://youtu.be/G5h3RUh72qE
還是不太懂，
請看下面影片(3)
https://youtu.be/fwy4szVAkmU
重點提問 重點提問 重點提問 重點提問
1.根據上面的課文，請用整理出五種兩圓位置關係的外公切線數量 及內公切線數量。
兩圓
位置關係 圖示 連心線與
兩圓半徑關係
外公切線 數量
內公切線 數量
2.根據上面課文中的 Ex1、Ex2，其實外公線段長度與連心線、
兩圓半徑有關係：外公線段長度 連心線! 兩圓半徑差。 如圖，圓 半徑為 R、圓 半徑為 r ，
A、B 兩點分別為外公切線切圓 、圓 的切點。
證明：AB ! &R ! r'
3.根據上面課文中的 Ex3、Ex4，其實內公線段長度與連心線、
兩圓半徑有關係：內公線段長度 連心線! 兩圓半徑和。 如圖，圓 半徑為 R、圓 半徑為 r，
A、B 兩點分別為內公切線切 、 兩圓的切點。
證明：AB ! &R r'
C CC
C. .. .隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習： ： ： ：
1. 如下圖，圓 半徑為 2，圓 半徑為 5 ， 5，若A、B 兩點分別為外公切線切圓 、圓 的切點，
求外公切線段長 ？
2. 如下圖，圓 與圓 半徑分別為 8、3，若 A、B 兩點分別為 外公切線切圓 、圓 的切點，且 12，
求連心線段長 ？
3.
如圖，圓 與圓 半徑分別為 10、5，若 A、B 兩點分別為 內公切線切圓 、圓 的切點，且連心線段 17，求內公切線段長 ？
4. 如圖，圓 與圓 半徑分別為 8、4，若 A、B 兩點分別為 內公切線切 、 兩圓的切點，且 5，求連心線段長。
單元三 單元三
單元三 單元三： ： ：圓心角 ： 圓心角 圓心角 圓心角、 、 、 、圓周角與弦切角 圓周角與弦切角 圓周角與弦切角 圓周角與弦切角
（ （
（ （三 三 三 三） ） ） ）課文 課文 課文 A： 課文 ： ：圓心角與弧 ： 圓心角與弧 圓心角與弧 圓心角與弧的度數 的度數 的度數 的度數
之前在二下的時候就提過弧，當圓上有任意兩點 A、B，會將一個圓分 成兩個弧，其中較大的一個叫做「優弧」，較小的一個叫做「劣弧」。
例如，下圖的圓 上有 A、B 兩點，就將圓 分成兩個弧，比較小的 劣弧我們記作 AB，比較大的優弧我們會在弧的中間再找一點，如 C 點，然後記作
ACB
，以便和AB
區隔。
劣弧
優弧
以前就學過弧長的計算方式，現在來複習一下！
弧的弧長
在計算弧長時會需要圓心角，所謂的圓心角就是「頂點在圓心的角」， 如下圖，∠AOB 的頂點在圓心的角，就是「圓心角圓心角圓心角圓心角」，
而
AB
就是 ∠AOB 所對的弧。上圖是一個半徑為 12 的圓，∠AOB 60°，圓的完整一圈是 360°，
所以這個圓心角 60° 所對的弧
AB
會佔了整個圓周長的 @J@J @ 。 要算出這個AB
的弧長，就是先將整個圓周長算出來後，再乘以 @ 。 圓周長是 2 2 12 2 3 243，所以AB
的弧長就會是 24π 2@ 43。如果圓心角是 L°，圓的完整一圈是 360°，
所以就是佔了 @JM 圈。
因此要算出這個弧長，將整個圓算出來後，
再乘以它所佔的 @JM 。
而圓周長是 2πr，所以弧長就會是 2πr 2 @JM 。
2πr 2 L 360
弧的度數
在剛剛計算弧長的過程當中發現，
當我們要計算弧長時，會需要用到所對應的圓心角，
所以我們就利用圓心角來定義弧的度數！
如圖下中，
AB
就是圓心角 ∠AOB 所對應的弧，而 弧的度數 所對應圓心角的度數，即
AB
∠1 133°。劣弧
優弧 1
11 1
O
那如果兩個弧的度數相同時，弧的長度一定會相同嗎？
Ex1.如圖，兩同心圓圓心為 O，半徑分別為 6 和 12，若 、 為 大圓的半徑，且交小圓於 C、D 兩點，若 ∠1 135°，
求
AB
與CD
的度數與長度。解：
在小圓上的
CD
所對的圓心角是 ∠1，所以 CD =120， 在大圓上的 AB 所對的圓心角也是 ∠1，所以 =120AB 。而弧長 圓周長2所佔的比例
135
2 12
AB
= × ×π
×9
36024 = 2 ×12 9 24
×
π
×9π
135
2 6
CD
= × ×π
×9
36024 = 2 × 6 9 24
×
π
×2 Oπ
從 Ex1 可以知道，兩個弧的度數一樣時兩個弧的度數一樣時兩個弧的度數一樣時兩個弧的度數一樣時，，，，弧長不一定會一樣弧長不一定會一樣弧長不一定會一樣！ 弧長不一定會一樣
還是不太懂，
請看下面影片
https://youtu.be/-paMnRWkgd0
重點提問 重點提問 重點提問 重點提問
1. 根據上面的課文，請用自己的話解釋什麼是「圓心角」並利用 下面的圓舉例加以說明。
2. 根據上面的課文，如何計算弧的度數及長度？
並請利用下面的量角器舉例說明。
A AA
A. .. .隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習 隨堂練習： ： ： ：
1. 如圖，兩同心圓圓心為 O ，半徑分別為 10 和 20，若 、
為大圓的半徑，且交小圓於 C、D 兩點，若 ∠1 150°，
求
AB
與CD
的度數與長度。單元三 單元三
單元三 單元三： ： ：圓心角 ： 圓心角 圓心角 圓心角、 、 、 、圓周角與弦切角 圓周角與弦切角 圓周角與弦切角 圓周角與弦切角
（ （
（ （三 三 三 三） ） ） ）課文 課文 課文 B： 課文 ： ：圓周角 ： 圓周角 圓周角 圓周角
圓周⻆及所對的弧
課文 A 介紹了頂點在圓心的角，稱為「圓心角」，
而這一篇課文 B 要介紹頂點在圓周上的角，如下圖的 ∠APB，它應 該稱為什麼角呢？
像這種頂點在圓周上、兩邊由兩弦所夾而成的角就稱為「圓周角圓周角圓周角圓周角」。
圓心角的角度會等於所對弧的角度，
那麼圓周角的角度與所對弧的角度有什麼關係呢？
我們分為三種情況討論：
1.圓周角的一邊通過圓心 2.圓心在圓周角內 3.圓心不在圓周角內
討論 1.圓周角的一邊通過圓心
如下圖，A、B、P 皆為圓上的點，6 通過圓心：
連接 ：
6 與 都是圓 O 的半徑，所以 6 。 故 △OBP 是等腰三角形，也表示 ∠APB ∠B。
∠AOB 是 △OBP 中 ∠POB 的外角，
根據外角定理：三角形任一外角等於另外兩個內角之和，
∠AOB ∠APB ∠B 2∠APB。
圓心角 ∠AOB 所對的弧為
AB ，
討論 2.圓心在圓周角內
如下圖，A、B、P 皆為圓上的點，圓心 O 在 ∠APB 內：
我們利用 1 結果來幫助討論，作直徑 6 ：
藉由 1 的討論，我們可以知道：
∠APC
AC 、∠
CPBCB
∠APB ∠APC ∠CPB
AC
CB
&AC
CB
'AB
C
討論 3.圓心不在圓周角內
如下圖，A、B、P 皆為圓上的點，圓心 O 在 ∠APB 外：
這方法與 2 類似，下面試著根據 2 的想法完成以下討論！
我們利用 1 結果來幫助討論，作直徑 6 ：
藉由 1 的討論，我們可以知道：
∠CPB 、∠CPA
∠APB ∠CPB ! ∠CPA
AB
C
從上面的 1,2,3 討論發現：圓周角的度數 所對弧度數的一半，即
∠APB
AB
藉由圓周角的角度與所對弧的角度有什麼關係，
我們可以推出三個相關的性質：
圓周⻆的性質一 同一圓中同一圓中
同一圓中同一圓中，，，對應到同一弧的所有圓周角，對應到同一弧的所有圓周角對應到同一弧的所有圓周角，對應到同一弧的所有圓周角，，度數均相同，度數均相同度數均相同。度數均相同。。 。 如右圖，∠P、∠Q、∠R、∠S 所對應到的弧都是
AB ，
∠P、∠Q、∠R、∠S 的都是
AB
度數的一半，故 ∠P ∠Q ∠R ∠S。
圓周⻆的性質二
一圓周角所對應的弧若是半圓 一圓周角所對應的弧若是半圓 一圓周角所對應的弧若是半圓
一圓周角所對應的弧若是半圓，，，則此圓周角為直角，則此圓周角為直角則此圓周角為直角。則此圓周角為直角。。。 如右圖，∠P 所對應到的弧是
AB ，
為圓 O 的直徑，AB
就是一個半圓，度數會是 180°，而 ∠P
