單元四單元四：：：圓與相似形的應用：圓與相似形的應用圓與相似形的應用圓與相似形的應用

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（（四四四四））））課文課文課文 A：課文：：圓的兩條割線性質：圓的兩條割線性質圓的兩條割線性質圓的兩條割線性質

在認識完圓與角的關係後，接下來要看關於圓與線段的關係！

首先先試著依據步驟將圖畫出來，下圖中有一圓 O，

畫出兩條不平行且相異的圓 O 割線 L、M，而且 L 和 M 相交於 P 點，

L 與圓相交於 A、B 兩點，M 與圓相交於 C、D 兩點：

想想看，在上面的作圖中，你可能會畫出幾種不同的圖形呢？

其實會有兩類，一類是兩條割線相交於圓內，如下圖：

另外一類是兩條割線相交於圓外，如下圖：

而這兩種圖形的線段都有特殊的關係，下面我們就來討論這種關係！

如下圖，圓兩弦和 4 相交於 P 點，則 6 2 6 6 2 64

連接 4 及：

∠DPA 與 ∠CPB 是對頂角，所以 ∠DPA ∠CPB，

圓周角 ∠D、∠B 所對的弧都是

CA

，所以 ∠D ∠B；

根據三角形 AA 相似性質，△ADP 和 △CBP 相似。

其中 6 和 6 是對應邊、64 和 6 是對應邊，所以可以列出式子：

6 ： 6 64 ： 6

可得 6 2 6 6 2 64 這個性質稱為「圓內冪性質」。

X O X

O

Ex1.如圖，圓兩弦和 4 相交於 P 點，若 6 6、6 12、

6 8，則 64 ？

解：

6 2 6 6 2 64 6 2 12 8 2 64 72 8 2 64 64 72 ( 8 9 64 9

Ex2.如圖，為圓的直徑，且 10，若垂直另一弦 4，並交 4 於 M 點，若 , 2，求 , ？

解題思維：

直徑垂直 4，所以是 4 的中垂線，也代表 , ,4。直徑也是圓O 中的一弦，所以可以根據圓內冪性質列式：

解：

, 2 , , 2 ,4 2 2 8 , 2 , 16 ,

, T4 (因為 , 是長度，所以負不合)

, 4

另解：

除了利用圓內冪性質以外，也可以利用弦的性質求出答案！

圓的直徑 10，所以半徑 5，

故 , ! , 5 ! 2 3。

而也是半徑，所以 5。

△OMC 為直角三角形，根據畢氏定理：

, 0! , √5! 3 √25 ! 9 √16 4。

下一個要討論的就是圓的兩條割線相交在圓外的狀況！

如下圖，延伸圓 O 兩弦和 4 相交於圓外一點 P ，則 6 2 6 6 2 64

連接及 4：

圓周角 ∠D、∠A 所對的弧都是

CB

，所以 ∠D ∠A，

兩個三角形中都有共同的 ∠P，所以 ∠P ∠P；

根據三角形 AA 相似性質，△ACP 和 △DBP 相似。

其中 6 和 64 是對應邊、6 和 6 是對應邊，所以可以列出式子：

6 ： 64 6 ： 6

可得 6 2 6 6 2 64 這個性質稱為「圓外冪性質」。

Ex3.如圖，延伸圓兩弦和 4 相交於圓外一點 P，若 6 12、

還是不太懂，

請看下面影片(1)

https://youtu.be/0i_AZWjv4j8

還是不太懂，

請看下面影片(2)

https://youtu.be/sPpbJaeU5XA

重點提問重點提問重點提問重點提問

1. 下圖中，圓 O 兩弦、 4 相交於 P 點，請問 6、6、6、64 有什麼關係？為什麼？

2. 下圖中，圓 O 兩割線 89999:、489999: 相交於 P 點，請問 6、6、6、64 有什麼關係？為什麼？

A AA

A. .. .隨堂練習隨堂練習隨堂練習隨堂練習：：：：

1. 如圖，圓兩弦和 4 相交於 P 點，若 6 3、6 4、

6 2，則 64 ？

2. 如圖，圓 O 兩弦和 4 相交於 P 點，若 6 3、6 12、

4 13，則 64 ？6 ？

3. 如圖，延伸圓 O 兩弦和 4 相交於圓外一點 P，若 6 6、

6、6 4，則 4 ？

4. 如圖，圓 O 兩割線 89999: 和 489999: 相交於圓外一點 P，若 6 6、

8、4 5，則 6 ？