單因子模型模擬結果

這節我們將討論在單因子模型下，蒙地卡羅法、GIS、MIS 重要性取樣法所 得出的結果比較。

1. 投資組合 A

在單因子模組合下我們針對投資組合 A 來進行模擬，此投資組合的債務人 個數 m = 1000，系統風險因子個數 d = 1，系統風險因子的因子負荷𝑎₁ = (0.8、0.5、0.3) ，個別債務人的違約機率𝑝_𝑘 = 𝑝 = (0.01、0.05、0.1)，債務人違 約時所產生的損失𝑐_𝑘 = 𝑐 = 1。

下面表 4-1 為𝑝 = 0.01 、𝑎₁ = (0.8、0.5、0.3)所得出三種方法的模擬值，這 邊我們以蒙地卡羅法的模擬結果為標準，選取當蒙地卡羅法尾端機率接近 (0.05、0.01、0.005)三個值時的風險值，這裡以表格 1 為例說明，我們依據 (0.05、0.01、0.005)的順序，根據模擬結果找出當尾端機率接近 0.05 時，在𝑎₁ = (0.3、0.5、0.8)下的風險值依序為(30、40、50)，以此類推，而接下來的投資組 合取法皆與此相同。接著列出該風險值在三種方法模擬下的估計值及變異數，最 後計算在該風險值上的 VR 值，檢驗 GIS、MIS 重要性取樣法是否達到變異數縮 減的效果。

投資組合 A--違約機率: 0.01

圖 4-1 違約機率 0.01、因素負荷 0.3 之三種方法比較

圖 4-2 違約機率 0.01、因素負荷 0.5 之三種方法比較

圖 4-3 違約機率 0.01、因素負荷 0.8 之三種方法比較

下面表 4-2 為𝑝 = 0.05 、𝑎₁ = (0.8、0.5、0.3)所得出三種方法的模擬值，這 邊 我 們 以 蒙 地 卡 羅 法 的 值 為 標 準 ， 選 取 當 蒙 地 卡 羅 法 尾 端 機 率 接 近 (0.05、0.01、0.005)三個值時的風險值，同時也列出該風險值在三種方法模擬下 的估計值及變異數，最後計算在該風險值上的 VR 值，檢驗 GIS、MIS 重要性取 樣法是否達到變異數縮減的效果。

投資組合 A--違約機率: 0.05

ρ 風險值 (x)

MC MIS GIS

估計值 變異數 估計值 變異數

VR

VR

110 0.058336 0.054933 0.058360 0.000358 154 0.064604 0.009253 6 0.5 𝑥 =

170 0.051176 0.048557 0.050482 6.99E-05 694 0.049419 0.005260 9 0.8 𝑥 =

290 0.050601 0.048041 0.050372 1.08E-05 4,458 0.050301 0.006468 7

0.3 𝑥 =

160 0.010831 0.010714 0.010666 1.89E-05 567 0.012859 0.000414 26 0.5 𝑥 =

290 0.010066 0.009965 0.010070 3.68E-06 2,710 0.011781 0.000592 17 0.8 𝑥 =

640 0.01011 0.010008 0.010065 6.31E-07 15,872 0.009125 0.000638 16

0.3 𝑥 =

180 0.005459 0.005429 0.005439 5.97E-06 910 0.005633 0.000112 49 0.5 𝑥 =

340 0.005098 0.005072 0.005052 1.22E-06 4,168 0.005046 0.000182 28 0.8 𝑥 =

760 0.004893 0.004869 0.004838 2.09E-07 23,292 0.004938 0.000265 18 表 4-2

下圖 4-4、圖 4-5、圖 4-6 則為𝑝 = 0.05 、𝑎₁ = (0.8、0.5、0.3)交叉作用後所 畫出來的尾端機率與損失水準的折線圖， 在圖中，X 軸代表我們的損失水準，

Y 軸代表當損失水準在特定的值時，所產生的尾端機率。

圖 4-4 違約機率 0.05、因素負荷 0.3 之三種方法比較

圖 4-5 違約機率 0.05、因素負荷 0.5 之三種方法比較

圖 4-6 違約機率 0.05、因素負荷 0.8 之三種方法比較

下面表 4-3 為𝑝 = 0.1 、𝑎₁ = (0.8、0.5、0.3)所得出三種方法的模擬值，這 邊 我 們 以 蒙 地 卡 羅 法 的 值 為 標 準 ， 選 取 當 蒙 地 卡 羅 法 尾 端 機 率 接 近 (0.05、0.01、0.005)三個值時的風險值，同時也列出該風險值在三種方法模擬下 的估計值及變異數，最後計算在該風險值上的 VR 值，檢驗 GIS、MIS 重要性取 樣法是否達到變異數縮減的效果。

投資組合 A--違約機率: 0.1

𝝆

風險 值 (𝒙)

MC MIS GIS

估計值 變異數 估計值 變異數

VR

VR

210 0.04451 0.042524 0.044731 0.000178 239 0.049849 0.004829 9 0.5 𝑥 =

300 0.04873 0.046354 0.049196 5.70E-05 813 0.054454 0.006285 7 0.8 𝑥 =

520 0.05076 0.048179 0.050503 9.71E-06 4,963 0.053745 0.008377 6

0.3 𝑥 =

270 0.01044 0.010331 0.010368 1.44E-05 719 0.010811 0.000366 28 0.5 𝑥 =

450 0.00945 0.009364 0.009514 3.15E-06 2,975 0.008911 0.000524 18 0.8 𝑥 =

830 0.01031 0.010207 0.010230 9.45E-07 10,801 0.010301 0.000986 10

0.3 𝑥 =

300 0.00487 0.004846 0.004895 3.63E-06 1,335 0.005333 0.000107 45 0.5 𝑥 =

500 0.00517 0.005140 0.005272 1.18E-06 4,373 0.005600 0.000265 19 0.8 𝑥 =

900 0.00522 0.005193 0.005201 3.71E-07 14,008 0.004907 0.000358 14 表 4-3

下圖 4-7、圖 4-8、圖 4-9 則為𝑝 = 0.1 、𝑎₁ = (0.8、0.5、0.3)交叉作用後所 畫出來的尾端機率與損失水準的折線圖， 在圖中，X 軸代表我們的損失水準，

Y 軸代表當損失水準在特定的值時，所產生的尾端機率。

圖 4-7 違約機率 0.1、因素負荷 0.3 之三種方法比較

圖 4-8 違約機率 0.1、因素負荷 0.5 之三種方法比較

圖 4-9 違約機率 0.1、因素負荷 0.8 之三種方法比較

綜 合 上 面 表 格 我 們 可 以 發 現 當 我 們 固 定 邊 際 違 約 機 率 時 ， 根 據 𝑝 = (0.01、0.05、0.1)的三個表格來看，隨著系統風險因子的因子負荷增加，MIS 與 GIS 重要性取樣法的 VR 值也隨之提升，這也表示當因子負荷越大時，變異數縮 減的效果越好。

而從三張固定違約機率、因子負荷不同所繪製出來的圖來看，我們也可以清 楚發現，隨著因子負荷的增加，MIS 與 GIS 重要性取樣法所繪製出來的圖也越 來越貼近使用蒙地卡羅法所繪製出來的圖，表示，當因子負荷越大，此兩種方法 模擬結果也越準確。除此之外，這三張圖也告訴了我們一些訊息，從圖中我們可 以發現，當因子負荷較小的時候，蒙地卡羅法所能模擬出來的值也較少，而隨著 因子負荷增加，蒙地卡羅法模擬出來的結果範圍也隨之增加。還有一點，從圖來 看，我們可以發現到 GIS 法所模擬出來的線較不穩定，容易產生斷點或著是上下 跳動的情況，反觀 MIS 法較為穩定，線也就為平緩。

接著下來，我們固定因子負荷來觀察邊際違約機率改變時的結果，一樣根據 三個不同的邊際違約機率所得出的表格來看，我們可以發現，當因子負荷固定時，

示當邊際違約機率越大時，變異數縮減的效果越好。

而我們再從不同邊際違約機率與因子負荷所繪製出來的圖可以發現，隨著因 子負荷的值越大，MIS 與 GIS 重要性取樣法所繪製出來的圖形也與蒙地卡羅法 所繪製出來的圖形越接近，代表當邊際違約機率越大時，此兩種方法模擬結果也 越好。此外，一樣根據圖我們可以發現，當邊際違約機率越大時，蒙地卡羅法所 能模擬出來的結果範圍也隨之增加。

因此，綜合以上的觀察結果，我們可以推得出下面的結論：

整體而言，MIS 與 GIS 重要性取樣法兩種方法皆能達到有效的變異數縮減 效果，不僅如此，這兩種方法也改善了蒙地卡羅法需要大量次數的模擬以及極端 值不易模擬的缺點，也大幅縮減了完成一次完整模擬所需的時間，尤其又以 MIS 重要性取樣法效果更為傑出。

此外，我們也發現，當邊際違約機率與因子負荷越大時，MIS 與 GIS 重要性 取樣法的模擬效果也越來越好。