第四章 近似結果分析及分析
第三節 T 關聯結構模型模擬結果
這節我們將討論在單因子模型下，蒙地卡羅法、GIS、MIS 重要性取樣法所 得出的結果比較。在多因子模型組合下我們針對投資組合 D 來進行模擬，而在 這邊我們一樣要先將投資組合 D 分為兩種情況討論，分別為投資組合 D-1、投資 組合 D-2。
1. 投資組合 D-1(對 Z 做重要性取樣法)
這邊我們是以𝑍做重要性取樣法為模擬主要原則，此投資組合的債務人個數 m = 1000 ， 系 統 風 險 因 子 個 數 d = 1 ， 系 統 風 險 因 子 的 因 子 負 荷𝑎1 = (0.8、0.5、0.3) ， 自 由 度 𝑣 = 3.5 ， 個 別 債 務 人 的 違 約 機 率 𝑝𝑘= 𝑝 = (0.01、0.05、0.1)，債務人違約時所產生的損失𝑐𝑘 = 𝑐 = 1。
下面表 4-8 為𝑝 = 0.1 、𝑎1 = (0.8、0.5、0.3)所得出三種方法的模擬值，這 邊 我 們 以 蒙 地 卡 羅 法 的 值 為 標 準 ， 選 取 當 蒙 地 卡 羅 法 尾 端 機 率 接 近 (0.05、0.01、0.005)三個值時的風險值，同時也列出該風險值在三種方法模擬下 的估計值及變異數，最後計算在該風險值上的 VR 值，檢驗 GIS、MIS 重要性取 樣法是否達到變異數縮減的效果。
t 關聯結構--(針對風險因子) (p=0.1)
圖 4-12 違約機率 0.1、因素負荷 0.3 之三種方法比較
圖 4-13 違約機率 0.1、因素負荷 0.5 之三種方法比較
圖 4-14 違約機率 0.1、因素負荷 0.8 之三種方法比較
下面表 4-9 為𝑝 = 0.01 、𝑎1 = (0.8、0.5、0.3)所得出三種方法的模擬值，這 邊 我 們 以 蒙 地 卡 羅 法 的 值 為 標 準 ， 選 取 當 蒙 地 卡 羅 法 尾 端 機 率 接 近 (0.05、0.01、0.005)三個值時的風險值，同時也列出該風險值在三種方法模擬下 的估計值及變異數，最後計算在該風險值上的 VR 值，檢驗 GIS、MIS 重要性取 樣法是否達到變異數縮減的效果。
t 關聯結構--(針對風險因子) (p=0.01)
𝝆
風險 值 (𝒙)
MC MIS GIS
估計值 變異數 估計值 變異數
VR
估計值 變異數VR
0.3 𝑥 =10 0.03401 0.032854 0.035311 0.000946 35 0.033062 0.046333 1 0.5 𝑥 =
5 0.04074 0.039081 0.038750 0.000504 78 0.033176 0.018444 2 0.8 𝑥 =
1 0.06412 0.060009 0.062718 0.000548 110 0.066320 0.016930 4
0.3 𝑥 =
15 0.01093 0.010811 0.011464 0.000111 98 0.016190 0.004944 2 0.5 𝑥 =
15 0.00741 0.007355 0.007500 1.45E-05 507 0.008301 0.000393 19 0.8 𝑥 =
25 0.01061 0.010498 0.010852 3.23E-06 3,252 0.011470 0.000332 32
0.3 𝑥 =
20 0.0039 0.003885 0.004123 1.74E-05 223 0.005343 0.000376 10 0.5 𝑥 =
20 0.00414 0.004123 0.004253 4.60E-06 895 0.004100 7.58E-05 54 0.8 𝑥 =
60 0.00475 0.004727 0.004642 4.35E-07 10,880 0.004460 6.08E-05 78 表 4-9
圖 4-15、圖 4-16、圖 4-17 則為𝑝 = 0.01 、𝑎1 = (0.8、0.5、0.3)交叉作用後 所畫出來的尾端機率與損失水準的折線圖， 在圖中，X 軸代表我們的損失水準，
Y 軸代表當損失水準在特定的值時，所產生的尾端機率。
圖 4-15 違約機率 0.01、因素負荷 0.3 之三種方法比較
圖 4-16 違約機率 0.01、因素負荷 0.5 之三種方法比較
圖 4-17 違約機率 0.01、因素負荷 0.8 之三種方法比較
下面表 4-10 為𝑝 = 0.05 、𝑎1 = (0.8、0.5、0.3)所得出三種方法的模擬值，
這 邊 我 們 以 蒙 地 卡 羅 法 的 值 為 標 準 ， 選 取 當 蒙 地 卡 羅 法 尾 端 機 率 接 近 (0.05、0.01、0.005)三個值時的風險值，同時也列出該風險值在三種方法模擬下 的估計值及變異數，最後計算在該風險值上的 VR 值，檢驗 GIS、MIS 重要性取 樣法是否達到變異數縮減的效果。
t 關聯結構--(針對風險因子) (p=0.05)
𝝆 風險值 (𝒙)
MC MIS GIS
估計值 變異數 估計值 變異數
VR
估計值 變異數VR
0.3 𝑥 = 80 0.0394 0.037848 0.039042 0.000246 154 0.045685 0.009489 4 0.5 𝑥 = 60 0.04432 0.042356 0.043637 0.000106 401 0.047482 0.006262 7 0.8 𝑥 =210 0.0497 0.047230 0.048942 1.14E-05 4,145 0.046920 0.004699 10
0.3 𝑥 =
110 0.0104 0.010292 0.009731 1.88E-05 547 0.011488 0.000438 23 0.5 𝑥 =
120 0.0092 0.009115 0.009199 4.64E-06 1,964 0.010310 0.000268 34 0.8 𝑥 =
550 0.01001 0.009910 0.009255 5.55E-07 17,859 0.010130 0.000496 20
0.3 𝑥 =
130 0.00455 0.004529 0.004170 4.02E-06 1,127 0.004920 7.62E-05 59 0.5 𝑥 =
150 0.00478 0.004757 0.004619 1.25E-06 3,801 0.005442 7.96E-05 60 0.8 𝑥 =
680 0.00494 0.004916 0.004509 1.58E-07 31,116 0.004356 0.000155 32 表 10
圖 4-18、圖 4-19、圖 4-20 則為𝑝 = 0.05 、𝑎1 = (0.8、0.5、0.3)交叉作用後 所畫出來的尾端機率與損失水準的折線圖， 在圖中，X 軸代表我們的損失水準，
Y 軸代表當損失水準在特定的值時，所產生的尾端機率。
圖 4-18 違約機率 0.05、因素負荷 0.3 之三種方法比較
圖 4-19 違約機率 0.05、因素負荷 0.5 之三種方法比較
圖 4-20 違約機率 0.05、因素負荷 0.8 之三種方法比較
接下來，我們想探討違約機率為極端值時的情況，針對 t 關聯結構模型在違 約機率為很小時，觀察其模擬結果，下面表 4-11 為𝑝 = 10−6 、𝑎1 = 0.3、𝑣 = 12 時，所得出三種方法的模擬值，這邊我們以蒙地卡羅法的值為標準，選取當蒙地 卡羅法尾端機率接近(0.05、0.005)兩個值時的風險值，同時也列出該風險值在 三種方法模擬下的估計值及變異數，最後計算在該風險值上的 VR 值，檢驗 GIS、
MIS 重要性取樣法是否達到變異數縮減的效果。
t 關聯結構--(針對共同因子) small default(p=10^-6)
𝝆 風險值 (𝒙)
MC
(模擬：106,時間：8: 26)
MIS
(模擬：103,時間：0: 43)
GIS
(模擬：103,時間：0:23) 估計值 變異數 估計值 變異數
VR
估計值 變異數VR
0.3 𝑥 = 10 0.0317 0.030695 0.031836 0.000998 31 0.013104 0.001411 22 0.3 𝑥 = 20 0.003428 0.003416 0.003366 1.13E-05 302 0.001612 8.71E-06 392表 4-11
圖 4-21 則為𝑝 = 10−6 、𝑎1 = 0.3所繪製出來的尾端機率與損失水準的折線 圖， 在圖中，X 軸代表我們的損失水準，Y 軸代表當損失水準在特定的值時，
所產生的尾端損失機率。
圖 4-21 極端違約機率、因子負荷 0.3 之三種方法比較
這裡我們先針對Z做重要性取樣法的情形來討論，在這邊我們一樣先固定邊 際違約機率，根據𝑝 = (0.1、0.05、0.01)的表格來看，隨著系統風險因子的因子 負荷增加，MIS 與 GIS 重要性取樣法的 VR 值也隨之提升，這也表示當因子負荷 越大時，變異數縮減的效果越好。
而從三張固定違約機率而因子負荷不同所繪製出來的圖來看，我們也可以清 楚發現，隨著因子負荷的增加，MIS 與 GIS 重要性取樣法所繪製出來的圖也越 來越貼近使用蒙地卡羅法所繪製出來的圖，表示，當因子負荷越大，此兩種方法 模擬結果也越好。
除此之外，這三張圖也告訴了我們跟單因子模型一樣的訊息，當因子負荷較 小的時候，蒙地卡羅法所能模擬出來的值也較少，而隨著因子負荷增加，蒙地卡 羅法模擬出來的結果範圍也隨之增加。
而當固定因子負荷來看時，根據三張邊際違約機率不同的表格來看，我們可 以發現，當因子負荷固定時，隨著邊際違約機率增加，MIS 與 GIS 重要性取樣法 的 VR 值也隨之提升，表示當邊際違約機率越大時，變異數縮減的效果越好。
同樣，我們從不同邊際違約機率與因子負荷所繪製出來的圖一樣可以發現，
隨著因子負荷的值越大，MIS 與 GIS 重要性取樣法所繪製出來的圖形也與蒙地 卡羅法所繪製出來的圖形越接近，代表當邊因子負荷越大時，此兩種方法模擬結 果也越好。此外，一樣根據圖我們可以發現，當邊際違約機率越大時，蒙地卡羅 法所能模擬出來的結果範圍也隨之增加。
另外，這邊我們也針對當邊際違約機率很小進行了模擬，根據表 11 我們可 以發現到 MIS 與 GIS 重要性取樣法的 VR 值其實相差不遠，代表兩種方法的變 異數縮減的效果相當，相較起來 GIS 法所用的時間反而比 MIS 法來的少，這樣 比較起來看似是 GIS 法較好，不過，我們從估計值來看，可以發現到 GIS 法的 估計值並沒有落在蒙地卡羅法的兩倍標準差內，反而是 MIS 法的估計值有在裡 面，從圖 21 也可以清楚的看出這個結果，因此在這裡我們就可以看出 MIS 重要 性取樣法的準確性比 GIS 法來的佳。不過在針對極端值模擬時發現到，由於機率 太小了，導致當自由度選取過小時會造成個別債務人違約門檻過高，進而使得違 約發生的機率降低而不易模擬出結果，這也是針對極端值做模擬時所必須面對的 問題。
2. 投資組合 D-2(對衝擊變數 w 做重要性取樣法)
這邊我們則是以衝擊變數 w 做重要性取樣法為模擬主要目標，這裡我們又
這裡我們先來討論因子負荷固定時，自由度改變的情況，投資組合的債務人 個數 m = 250，系統風險因子個數 d = 1，系統風險因子的因子負荷𝜌 = 0.25 ，自 由度𝑣 = (4,8,12,16,20)，債務人違約時所產生的損失𝑐𝑘 = 𝑐 = 1。
下面表 4-12 為𝜌 = 0.25之下，自由度不同所得出蒙地卡羅法及 MIS 重要性 取樣法的模擬值，另外這邊我們也列出 Bassamboo et al. (2008) 所提出的結果作 為比較。隨著自由度的增加，我們列出蒙地卡羅法與 MIS 重要性取樣法模擬下 的估計值及標準誤，並且以蒙地卡羅法的值為標準，計算在不同自由度下的 VR 值，檢驗 MIS 重要性取樣法是否達到變異數縮減的效果。
t 關聯結構--(針對衝擊變數) 𝝆 = 𝟎. 𝟐𝟓
df
Bassamboo_A1
(模擬：5x104)MC
(模擬：106)MIS
(模擬：5x104) 估計值VR
估計值 標準誤 估計值 標準誤VR
4 0.00808 65 0.00821 0.000285 0.00813 2.44e-05 273 8 0.000239 878 0.00027 5.2e-05 0.000243 1.58e-06 2,168 12 0.0000106 7,331 1e-05 10e-06 1.07e-05 1.25e-07 12,736 16 6.08e-07 52,185 2e-06 1.41e-06 6.1e-07 1.18e-08 285,804 20 4.51e-08 301,000 --- --- 4.59e-08 1.6e-09 ∞表 4-12
接著下來，我們來討論當自由度固定時，因子負荷改變的情況，下面表 4-13 為自由度𝑣 = 12時，𝜌 = (0.1、0.2、0.3、0.4)所得的蒙地卡羅法及 MIS 重要性 取樣法之模擬值，這邊我們一樣也列出 Bassamboo et al. (2008) 所提出的結果作 為比較。一樣隨著因子負荷的增加，我們列出蒙地卡羅法與 MIS 重要性取樣法 模擬下的估計值及標準誤，並且以蒙地卡羅法的值為標準，計算在該不同自由度 下的 VR 值，檢驗 MIS 重要性取樣法是否達到變異數縮減的效果。
關聯結構--(針對衝擊變數) 𝒗 = 𝟏𝟐
𝝆
Bassamboo_A1
(模擬：5x104)MC
(模擬：106)MIS
(模擬：5x104)估計值
VR
估計值 變異數 估計值 標準誤VR
0.1 8.58e-06 26,013 9e-06 3e-06 8.49e-06 7.10e-08 35,732 0.2 9.74e-06 13,134 7e-06 2.65e-06 9.82e-06 9.9e-08 14,285 0.3 1.18e-05 5,158 1.3e-05 3.61e-06 1.19e-05 1.69e-07 9,094 0.4 1.39e-05 1,332 1.6e-05 4e-06 1.48e-05 2.64e-07 3,718表 4-13
針對衝擊變數做重要性取樣法的情況，這邊我們主要是探討自由度的不同以 及系統風險因子的因子負荷不同來做模擬，並且跟 Bassamboo eta al (2008) 中所 呈現的值做比較，這邊我們只要是以蒙地卡羅法以及 MIS 重要性取樣法來做比 較。
首先，我們固定因子負荷來看，從表格 12 中我們可以發現到隨著自由度不 斷的增加，MIS 重要性取樣法的 VR 值也越來越大，表示變異數縮減的效果也越 好。因此，我們可以發現到當因子負荷固定時，自由度越大，我們的 MIS 重要 性取樣法的模擬效果也越佳。但在這裡我們也可以發現到，蒙地卡羅對於自由度 太大的極端情況下，無法模擬出結果，反倒是 MIS 重要性取樣法可以得出結果，
這一來一往也驗證出蒙地卡羅法對於過於極端的狀況下是不易使用的。
接著下來當我們固定自由度的時候，從表格 13 中可以發現到，隨著因子負 荷減少，MIS 重要性取樣法的 VR 值也越來越小，表示變異數縮減的效果也越 差。因此，我們可以發現到當自由度固定時，因子負荷越小，我們的 MIS 重要 性取樣法的模擬效果也越差。