極值相依模型下投資組合之重要性取樣法 - 政大學術集成
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(2) 誌謝 從碩二上開始一直到碩二下的努力，即將要告一段落了，隨著論文的完成品 出爐，也象徵著碩士班的學生生涯將要結束。能有本篇論文的出產，首先最重要 要感謝的人物就是我的指導教授劉惠美教授，感謝教授細心的指導，與我一起討 論以及給予我許多實用的意見，並且讓我有許多機會去嘗試不同的問題及組合， 進而發掘出新的論點，也要感謝口委們給我的寶貴建議，讓我可以將論文修改得 更加完美。而我也要感謝與我一起研究此專題的許文銘同學，雖然我們研究方向 略有不同，但透過互相的意見交換以及討論，得到了許多寶貴的經驗，也才能夠 讓我們順利將此專題達到一定的成果。 除此之外，也要感謝同是碩二的其他同學們，因為有他們的互相鼓勵、支持， 我才能堅持走到現在，還有在成長路上的好朋友們，不斷地鼓勵我。 當然還要感謝一直默默支持著我的家人，若沒有家人的支持，我也沒辦法在 學業上如此順利，一路讀上碩士班，在此我要感謝我的爸爸、媽媽、妹妹、奶奶 還有其他支持我的親戚，謝謝你們。 很高興我終於完成了我從高中時期一直以來的夢想，進入政治大學讀書，也 希望未來能將我所學到的知識應用的社會當中。. I.
(3) 摘要 在針對投資組合之信用風險模擬時，如何選取適當的模型來解釋資產間的相 依程度是非常重要的。最常用來解釋投資組合的模型為常態關聯結構模型，但近 年來發現 t 關聯結構模型更適合用在解釋投資組合間的相依程度。蒙地卡羅法在 針對信用風險模擬上是一個很實用的工具，但是其缺點是模擬時間久且對於發生 極端情況時，將不易得到結果，導致其效率過低。而此時，重要性取樣法則是一 個很適合用來針對信用風險模擬所使用的工具，其優點在於模擬時間短，且針對 極端值也能夠模擬出結果。 本篇文章將蒙地卡羅法作為比較的基準，以 Glasserman, and Li (Management Science, 51(11), 1643-1656, 2005) 所提出的二階段重要性取樣法，我們稱為 GIS， 以及將 Chiang et al. (Journal of Derivatives, 15(2), 8-19, 2007) 所提出的重要性取 樣法加以改良，我們稱為 MIS，針對 bassamboo et al. (Operations Research, 56(3), 593-606, 2008) 所提出的極值相依模型，也就是 t 關聯結構模型進行模擬研究， 並根據模擬出來的數值結果判斷重要性取樣法的估計效益，此外，我們也會對常 態關聯結構模型進行模擬。依據模擬結果我們發現到，整體而言，在模擬時間上， MIS 法所花費的時間較 GIS 法來得少，在準確率方面，MIS 法一樣是比 GIS 法 來的準確，也較為穩定，且 MIS 法所達到的變異數縮減效果更佳。. 關鍵字：蒙地卡羅法、投資組合、信用風險、極值相依、重要性取樣法、常態關 聯結構、t 關聯結構、變異數縮減。. II.
(4) Abstract In the simulation for the credit risk of the portfolio, how to select the appropriate model to explain the degree of dependence between assets is very important. Normalcopula is the most commonly model for explaining the portfolio, however, in recent years found that t-copula is more suitable for explaining the degree of dependence between the portfolio. Monte Carlo method is a very useful tool for simulating credit risk, but its drawback is that the simulation time is too long and would not be easy to obtain results for extreme circumstances, leading to inefficiency. By this time, the importance sampling law is a very suitable tool for simulating credit risk, the advantage that the simulation time is short, and it is possible to simulate extreme values for the results. This article will build under by Monte Carlo method, using two-stage sampling method proposed by Glasserman and Li (Management Science, 51(11), 16431656,2005), which we called GIS, and improving the importance sampling method proposed by Chiang et al. (Journal of Derivatives, 15(2), 8-19, 2007), which we called MIS, to simulate extreme dependence model proposed by bassamboo et al. (Operations Research, 56(3), 593-606, 2008). In addition, we also simulate with Normal-copula model. Accroding to result, MIS method not only uses less time than GIS method, but also has more accuracy than GIS method. MIS method also achieve better result of variance reduction.. Keywords ：Monte Carlo method, portfolio, credit risk, extreme dependence, importance sampling, normal-copula, t-copula, variance reduction.. III.
(5) 目錄 誌謝 ........................................................................................................................ I 摘要 ....................................................................................................................... II Abstract .................................................................................................................III 目錄 ........................................................................................................................1 表目錄 ....................................................................................................................3 圖目錄 ....................................................................................................................4 第一章 緒論 ...........................................................................................................5 第二章 文獻探討 ...................................................................................................7 第三章 研究方法 ...................................................................................................8 第一節 基本假設 .............................................................................................. 8 第二節 模型介紹 .............................................................................................. 9 1.. 單因子模型 ...........................................................................................9. 2.. 多因子模型 ...........................................................................................9. 3.. 含衝擊變數之極值相依模型 ............................................................... 9. 第三節 Glasserman Importance Sampling Method (GIS) .............................. 11 第三節 改良式重要性取樣法(MIS) .............................................................. 15 第四節 各模型模擬流程建立 ........................................................................17 1.. 2.. 單因子模型 .........................................................................................17 A.. 蒙地卡羅法 .................................................................................17. B.. GIS 重要性取樣法 ......................................................................18. C.. MIS 重要性取樣法 .....................................................................19. 多因子模型 .........................................................................................20 A.. 蒙地卡羅法 .................................................................................20. B.. GIS 重要性取樣法 ......................................................................20. C.. MIS 重要性取樣法 .....................................................................21 1.
(6) T 關聯結構模型 ................................................................................... 22. 3.. I. 對𝑍做重要性取樣法(有做標準化) ....................................................22 A.. 蒙地卡羅法 .................................................................................22. B.. GIS 重要性取樣法 ......................................................................23. C.. MIS 重要性取樣法 .....................................................................24 對𝑤做重要性取樣法 ......................................................................25. II. A.. 蒙地卡羅法 .................................................................................25. B.. MIS 重要性取樣法 .....................................................................26. 第五節 變異數縮減(Variance Reduction) ......................................................27 第四章 近似結果分析及分析 .............................................................................29 第一節 單因子模型模擬結果 ........................................................................29 第二節 多因子模型模擬結果 ........................................................................39 第三節. T 關聯結構模型模擬結果 ................................................................. 45. 第五章 結論 .........................................................................................................59 附錄 ......................................................................................................................60 附錄一：機率密度函數𝑓𝑤 ............................................................................60 附錄二：尾端機率特性 .................................................................................60 附錄三：直尋牛頓法 .....................................................................................61 附錄四：分配轉換之 likelihood ratio ............................................................ 63 參考文獻 ..............................................................................................................64. 2.
(7) 表目錄 表 4-1 .......................................................................................................................... 30 表 4-2 .......................................................................................................................... 33 表 4-3 .......................................................................................................................... 36 表 4-4 .......................................................................................................................... 40 表 4-5 .......................................................................................................................... 41 表 4-6 .......................................................................................................................... 43 表 4-7 .......................................................................................................................... 44 表 4-8 .......................................................................................................................... 46 表 4-9 .......................................................................................................................... 49 表 4-10 ........................................................................................................................52 表 4-11 ........................................................................................................................55 表 4-12 ........................................................................................................................57 表 4-13 ........................................................................................................................58. 3.
(8) 圖目錄 圖 4-1 違約機率 0.01、因素負荷 0.3 之三種方法比較 .........................................31 圖 4-2 違約機率 0.01、因素負荷 0.5 之三種方法比較 ..........................................31 圖 4-3 違約機率 0.01、因素負荷 0.8 之三種方法比較 .........................................32 圖 4-4 違約機率 0.05、因素負荷 0.3 之三種方法比較 ..........................................34 圖 4-5 違約機率 0.05、因素負荷 0.5 之三種方法比較 ..........................................34 圖 4-6 違約機率 0.05、因素負荷 0.8 之三種方法比較 ..........................................35 圖 4-7 違約機率 0.1、因素負荷 0.3 之三種方法比較 ............................................37 圖 4-8 違約機率 0.1、因素負荷 0.5 之三種方法比較 ............................................37 圖 4-9 違約機率 0.1、因素負荷 0.8 之三種方法比較 ............................................38 圖 4-10 投資組合 B 損失程度 c=2 之三種方法比較 ..............................................40 圖 4-11 投資組合 B 損失程度不固定之兩種方法比較 ...........................................42 圖 4-12 違約機率 0.1、因素負荷 0.3 之三種方法比較 ..........................................47 圖 4-13 違約機率 0.1、因素負荷 0.5 之三種方法比較 ..........................................47 圖 4-14 違約機率 0.1、因素負荷 0.8 之三種方法比較 ..........................................48 圖 4-15 違約機率 0.01、因素負荷 0.3 之三種方法比較 ........................................50 圖 4-16 違約機率 0.01、因素負荷 0.5 之三種方法比較 ........................................50 圖 4-17 違約機率 0.01、因素負荷 0.8 之三種方法比較 ........................................51 圖 4-18 違約機率 0.05、因素負荷 0.3 之三種方法比較 ........................................53 圖 4-19 違約機率 0.05、因素負荷 0.5 之三種方法比較 ........................................53 圖 4-20 違約機率 0.05、因素負荷 0.8 之三種方法比較 ........................................54 圖 4-21 極端違約機率、因子負荷 0.3 之三種方法比較 ........................................55. 4.
(9) 第一章 緒論 隨著金融市場的日趨進步，以及越來越多人對於理財觀念的重視，市場上的 金融投資商品也越來越多樣化，相對的，風險管理的重要性也相對提昇，而市場 上相對應的風險管理法則也隨之產生，從最早期較為陽春的巴塞爾協議，到 2004 年的新巴塞爾協議，又稱巴塞爾協議 II，這些協議不外乎就是為了減少各國之間 因為資本需求不同而造成的不公平競爭，以降低國際銀的信用風險，增加各國金 融市場對於風險管理的能力。 在這邊簡單的介紹一下，所謂的投資組合，即為由一種或是一種以上的資產， 例如股票、債券、期貨等等所組合而成。而一個好的投資組合具備了能夠為我們 帶來較高的獲利且投資風險也相對較低。而講到投資組合，當然不能忘記美國經 濟學家 Markowitz，他在 1952 年首次提出了投資組合理論，這個理論包含了兩 個最重要的主題就是平均數-變異數組合模型以及投資組合有效邊界模型。這個 理論簡單來說就是希望在投資組合當中，找出在一定的風險水平時，期望報酬率 最大，或著是一定的收益水平時，投資風險最小。Markowitz 所提的投資組合理 論對之後的投資、金融市場而言，無疑是奠定了相當程度的基礎，但也由於 Markowitz 是以數學模型下為基礎去建構理論，導致實際應用上的計算頗為複雜， 較不推薦應用在實際情況中。 而為了能更省時且簡單的計算投資風險，新的方法也隨之產生。目前市面上 主流的風險管理的測量工具為風險價值(Value-at-Risk;VaR)，此名詞的出現最早 是在 1993 年 G30 集團所發表的《衍生產品的實踐和規則》報告中。風險價值最 主要的定義就是，當在持有投資組合時，給定特定信賴區間之下，依據市場價格 變動而所產生的最大可能損失。 風險價值的優勢就在於其計算方式簡潔明瞭，使管理者和投資者都能夠快速 理解，並且它可以事前做計算，這點相較於其他只能在事後做計算的傳統風險管 理方法而言，能夠降低市場風險。然而，雖然說 VaR 已是現今主流的風險管理 工具，但他仍然存在著一些缺點，例如數據問題以及極端值的問題，皆會造成風 險價值的可信度或是測量成功率降低。 至於信用風險，簡單來說就是借貸者在投資債券或是銀行貸款中途發生違約 的風險，而傳統上針對投資組合信用違約風險的模擬方法為蒙地卡羅法，由於蒙 5.
(10) 地卡羅法較不容易受到限制，可以適應不同種的模型，且模擬結果大部分皆可採 用的，但其缺點就是，需要較多的模擬次數來達到準確的結果，而也因為這樣， 導致模擬過程中所需花的時間也相對提昇，對現今講求效率的金融市場而言，是 一大缺點。 因此，許多專家針對這個問題提出許多新的模擬方法，例如 Glasserman and Li 在 2005 年所提出的二階段重要性取樣法 (Importance Sampling)，即是針對模 擬時間及次數去做修正，雖然模擬過程叫蒙地卡羅複雜，但所需的模擬次數以及 時間卻有了大幅的減少。而 Chiang et al. (2007) 年所提出的重要性取樣法更是將 Glasserman 的二階段重要性取樣法模擬過程之複雜程度大幅降低，且所需時間同 樣也達到縮減的效果。 此外，另一個重要的數學觀點就是投資組合之間的相依程度，透過何種結構 模型去解釋投資組合間相依程度相當重要。過去最常用來解釋的模型是常態關聯 結構模型，但近年來發現到，常態關聯結構模型並無法正確解釋投資組合間的相 依程度，也因為如此，相繼有了許多不同的關聯結構模型出現，如 t 關聯結構 (Lindskog and Risk Lab, 2000) 、double-t 關 聯結構 (Hull and White, 2004) 、 Archimedean 關聯結構、Clayton 關聯結構與 Marshall-Olkin 關聯結構等等。本文 將以 t 關聯結構作為我們主要探討的模型，Glasserman et al. (2002) 曾提出建立 t 關聯結構模型的方法，但其過程相當複雜，而 Bassamboo et al. (2008) 提出了使 用極值相依模型建立 t 關聯結構模型的方法，此方法過程較為簡單易懂，因此， 接下來的 t 關聯結構模型，我們皆使用 Bassamboo 所提出的建立方法。 根據模擬結果比較可以發現，整體而言，Chiang 所提出的方法較蒙地卡羅法 以及二階段重要性取樣法來得優異，雖然在某些特定條件下 Chiang 的方法無法 使用，但在其他可使用的情況下，皆可得出此方法較為有效率。 本文主要的探討流程如下，第三章為研究方法，在這裡我們將介紹我們的基 本架設定義、模擬使用模型、模擬方法、以及模擬流程建構，第四章為模擬結果 及討論，這裡我們將以蒙地卡羅法所模擬出來之值為比較基礎來討論，第五章則 為結論。. 6.
(11) 第二章 文獻探討 Glasserman and Li (2005) 主要是探討組合信用風險的尾端機率，也就是發生 違約損失的機率，特別是近似重大損失的微小機率，這篇討論的組合信用風險主 要是在 Normal Copula 的結構下進行。文中提出了以指數轉換法來對對違約機率 分配進行轉換，前面先以債務人間獨立情況下進行探討，接著再加入當債務人間 有相依關係時的情況，此情況也較符合現實生活，在這裡為了做後續的模擬，我 們必須給定系統風險因子，給定後債務人間便會成為獨立關係，進而推導出此篇 所提及的重要性取樣法，此重要性取樣法又分為一階段重要性取樣法以及二階段 重要性取樣法，第一個是只針對違約機率配作轉換，而二不重要性取樣法則是先 針對系統風險因子的分配進行指數轉換，再對違約機率進行轉換，而根據結果也 得到証明此方法模擬結果符合變異數縮減的效果。 Chiang et al. (2007) 主要是以較為直接的方法來針對一籃子信用違約交換公 平利差進行重要性取樣法，相較於前面 Glasserman 的方法，Chiang 所提出的方 法大幅減少了計算時的複雜程度。這裡提出裡三個主要的理論，全文圍繞著這三 個理論在執行，理論一談到變數轉換後事件相等的情況；理論二則是針對理論一 進行延伸，透過轉換後得到的事件等價後，進而對模擬過程中的重要性取樣法函 數重新定義，其中透過排序法來達到事件必定發生得結果，最後理論三則證明了 此重要性取樣法確實達到變異數縮減效果。 Bassamboo et al. (2008) 主要是探討在極值相依模型下，其尾端機率的近似。 Bassamboo 認為在投資市場上，除了原有的市場系統風險因子外，應該還有其他 外在的因子會影響到我們的債務人共同違約的結果，因此他提出了極值相依模型， 此模型是從常態關聯結構衍生而來，透過將常態關聯結構除以衝擊變數 w (Shock Variable)，在這邊衝擊變數的定義為卡方除以自由度開根號，這兩項相除符合了 t 分配的定義，因此又稱為 t 關聯結構模型。而透過衝擊變數，我們可以來觀察 除了系統風險因子以外的外在因子對債務人之間關係的影響。文中以指數扭轉法 以及 Haszard-Rate Twisting 對衝擊變數做重點抽樣，並且與蒙地卡羅法進行比較， 從結果可發現其兩種方法皆有達到變異數縮減的效果。. 7.
(12) 第三章 研究方法 本章節將針對單因子模型、多因子模型以及 Bassamboo et al. (2008) 所提出 含有衝擊變數之極值相依模型下，信用損失風險的尾端機率估計。我們將此章節 分成數小節來進階討論，首先我們先提出基本假設，接下來針對不同模型來做解 說，接著是介紹 Glasserman and Li (2005) 所提出之 Importance Sampling 及 Chiang et al. (2007) 所提出之重要性取樣法加並且加以改良成新的方法，最後，針對單 因子模型、多因子模型以及含有衝擊變數之極值相依模型三個模型，透過上述所 提出的兩種方法加上蒙地卡羅法建立模擬流程。. 第一節 基本假設 本文所提及的信用損失為期限一年之內之投資資組合分配，其基本假設為： m ：投資組合下債務人的個數， Yk ：第 k 個在債務人違約的指標；Y = 1 表示違約，Y = 0 表示沒有違約， Xk ：第 k 個債務人違約的損失(latent variable)， xk ：第 k 個債務人的違約門檻， pk ：第 k 個在債務人違約的邊際機率， ck ：第 k 個在債務人違約所產生的損失， L ：L = 𝑐1 𝑌1 + ⋯ + 𝑐𝑚 𝑌𝑚 代表違約的整體總損失， x ：整體總損失的違約門檻， 𝑣：自由度， 𝑥2. w ： 衝 擊 變 數 (shock variable) ， 𝑤 = √ 𝑣 ， 其 中 𝑥 2 ~𝑐ℎ𝑖𝑠𝑞(𝑣) ， 也 就 是 1 𝑣. Gamma(2 , 2)。 接下來是違約的定義： 當𝑋𝑘 > 𝑥𝑘 即為違約 ⇒ 𝑃(𝑌𝑘 = 1) = 𝑃(𝑋𝑘 > 𝑥𝑘 ) ≡ 𝑝𝑘 ，則𝑥𝑘 = 𝛷−1 (1 − 𝑝𝑘 ) 。 假設第 k 個債務人違約的損失是由𝑑個系統風險因子與 1 個非系統風險因子 組成，意即 𝑋𝑘 = 𝑎𝑘1 𝑍1 + ⋯ + 𝑎𝑘𝑑 𝑍𝑑 + 𝑏𝑘 𝜀𝑘 ， 8.
(13) 其中： 𝑍1 , … , 𝑍𝑑 ~𝑁(0,1)為系統性風險因子， 𝑎𝑘1 , … , 𝑎𝑘𝑑 為系統性風險因子的因子負荷， 𝜀1 , … , 𝜀𝑘 ~𝑁(0,1)為非系統風險因子， 𝑏𝑘 = √1 − (𝑎12 + ⋯ + 𝑎𝑑2 )為非系統性風險因子的因子負荷。 在本文中，我們主要想要探討的是發生巨大損失時的機率，這邊我們定義為 𝛲(𝐿 > 𝑥)。. 第二節 模型介紹 在這節裡面，我們將先介紹我們皆下來進行模擬實驗時所需用到的三種模型， 分別是單因子模型、多因子模型以及含有衝擊變數之極值相依模型。. 1. 單因子模型 所謂的單因子模型指的就是系統風險因子只有一個，其模型如下： 𝑋𝑘 = 𝑎k1 𝑍 + √1 − 𝑎𝑘1 2 𝜀𝑘 ，𝑘 = 1,2, … , 𝑚， 其中，這裡的𝜀1 , … , 𝜀𝑘 是同分配且與 𝑍獨立的隨機變數，在這邊我們假設這 兩個變數皆服從標準常態分配，因此我們又可以稱之為常態關聯結構模型。 在因子模型裡我們最主要的目的是探討系統風險因子對於我們債務人違約 的共同影響，而系統風險因子對於個別債務人的影響程度取決於𝑎𝑘𝑑 的大小。. 2. 多因子模型 多因子模型是從單因子模型推廣出來的，顧名思義就是系統風險因子從原本 的一個推廣到有多個系統風險因子，模型表示如下： 𝑋𝑘 = 𝑎𝑘1 𝑍1 + ⋯ + 𝑎𝑘𝑑 𝑍𝑑 + 𝑏𝑘 𝜀𝑘 ，𝑘 = 1,2, … , 𝑚。 這裡的𝜀1 , … , 𝜀𝑘 的假設與單因子模型一樣，皆為同分配且獨立於𝑍1 , … , 𝑍𝑑 的 隨機變數。. 3. 含衝擊變數之極值相依模型 此模型是 Bassamboo et al. (2008) 中所提到的，模型結構如下：. 9.
(14) 𝑋𝑘 =. 𝜌𝑍 + √1 − 𝜌2 𝜀𝑘 , 𝑘 = 1, … 𝑚， 𝑤. 𝑥2 1 𝑣 𝑤=√ , 其中𝑥 2 ~𝑐ℎ𝑖𝑠𝑞(𝑣)，也就是 Gamma( , )。 𝑣 2 2 極值相依模型也是從因子模型衍生出來的，因此𝜀1 , … , 𝜀𝑘 跟𝑍的假設皆與單 因子模型一樣。這邊的𝑤就是我們所提到的衝擊變數(shock variable)，是一個與 𝜀1 , … , 𝜀𝑘 以及𝑍獨立且大於零的隨機變數，其機率密度函數𝑓𝑤 (𝑤)必須滿足下面條 件： 𝑓𝑤 (𝑥)＝𝛼𝑤 𝑣−1 + 𝜊(𝑤 𝑣−1 ) 𝑎𝑠 𝑤 → 0 , 𝛼 > 0 , 𝑣 > 0 在本文當中我們假設𝑤為√𝑥 2 /𝑣，𝑥 2 為自由度𝑣的卡方分配，透過變數變換我 們可以得到𝑤的機率密度函數 𝑣. −𝑣 2 2𝑣 2 𝑓𝑤 (𝑤)＝ 𝑣 𝑤 𝑣−1 𝑒 2 𝑤 , 𝑤 ≥ 0 𝑣 22 Γ(2). (1). 𝑣. 2𝑣 2. 我們假設𝛼＝. 𝑣. 𝑣 2. ，則經過簡單的證明之後可以發現此密度函數會滿足上面. 22 Γ( ). 所提到的條件，因此我們所使用的衝擊變數假設成立，(1)式證明詳見附錄。而由 於此假設成立，我們可以發現因為𝜀1 , … , 𝜀𝑘 跟𝑍皆為標準常態分配，所以𝜌𝑍 + √1 − 𝜌2 𝜀𝑘 仍舊會服從標準常態分配，而因為𝑤與𝜀1 , … , 𝜀𝑘 跟𝑍獨立，所以可以知 道𝑤與𝜌𝑍 + √1 − 𝜌2 𝜀𝑘 獨立，進而達到 𝑋𝑘 滿足 student’s t 分配的結構，所以我們 也可以稱此模型為 t 關聯結構模型。 當在討論因子模型時，我們所探討的只有系統風險因子對個別債務人的共同 影響情勢，但我們認爲除了系統風險因子外，還存在著一個足以影響個別債務人 共同違約的變數。 因此，為了觀察這些狀況，我們加入了𝑤變數，也就是我們的衝擊變數，透 過這個模型改變，我們可以來觀察當𝑋𝑘 受到衝擊變數的值不同時，會產生什麼變 化。當衝擊變數趨近於零的時候，我們可以發現𝑋𝑘 會趨近於無窮大，此時，所有 的債務人要同時發生違約的機率也相對提升，相反的，當衝擊變數趨近於無窮大 的時候，𝑋𝑘 相對就會下降，應此債務人要同時違約的機率也就降低了，所以從這 裡我們可以發現，衝擊變數對於債務人的影響佔了很大的比例。. 10.
(15) 第三節 Glasserman Importance Sampling Method (GIS) 這節我們要介紹的是應用 Glasserman and Li (2005)所提出的 Importance Sampling 方法來針對我們所提出的模型近似其𝛲(𝐿 > 𝑥)。由於蒙地卡羅法所需的 模擬次數較多且模擬時間也較長，因此， Glasserman 針對這個問題提出了 Importance Sampling 法來達到降低模擬次數以及時間並且能同時達到更要效益 的結果。之後我們皆以 GIS 縮寫來代表此方法。 GIS 法主要分成兩個部分，第一個部分是先針對我們的系統風險因子做 Exponential Twisting ， 使 其 平 均 數 平 移 ， 至 於 第 二 部 分 則 是 在 給 定 已 做 過 Exponential Twisting 的系統 風險因 子下 之 條件邊 際違約 機率 做 Exponential Twisting。 在開始前解說前，我們先來定義 Exponential Twisting，根據 Han and Wu (2010) 裡面所提及的，Exponential Twisting 的公式為： 𝑓𝜇 (𝑥) =. 𝑒 𝜇𝑧 𝑓(𝑧) 𝑀𝑧 (𝜇). 我們為了要去改善對於𝛲(𝐿 > 𝑥)的估計，必須去增加邊際違約機率，但又為 了避免我們漫無目定的增加，因此我們使用 Exponential Twisting 使轉換後的函 數在特定的條件之下為一個遞增的函數。 接著開始介紹 GIS 法，這裡我們先提到，當我們要計算我們的𝛲(𝐿 > 𝑥)時， 直觀的透過邊際違約機率我們可以得到下列這個式子： 𝑃(𝐿 > 𝑥) = 𝐸[1{𝐿 > 𝑥}] 而為計算方便，我們將對上面式子做基底轉換，推導過程如下： 𝑃(𝐿 > 𝑥) = 𝐸[1{𝐿 > 𝑥}] 𝑌𝑘 1−𝑌𝑘 = ∏𝑚 𝑘=1 𝑝𝑘 (1 − 𝑝𝑘 ) 𝑝. 𝑌𝑘. 𝑘 = ∏𝑚 𝑘=1 (𝑞 ) 𝑘. 1−𝑝. 1−𝑌𝑘. (1−𝑞𝑘) 𝑘. 𝑞𝑘 𝑌𝑘 (1 − 𝑞𝑘 )1−𝑌𝑘. 𝑌𝑘. 𝑝𝑘 = 𝐸̃ [ 1{𝐿 > 𝑥} ∏𝑚 𝑘=1 (𝑞 ) 𝑘. 1−𝑌𝑘. 1−𝑝. (1−𝑞𝑘) 𝑘. ]。. 上面最後的式子便是針對邊際違約機率做轉換的結果，其中指標函數後面的 部分，我們表示為 likelihood ratio。因此，Glasserman 針對邊際違約機率進行 Exponential Twisting，轉換過後的邊際違約機率如下：. 11.
(16) 𝑝𝑘,𝜃 =. 𝑝𝑘 𝑒 𝜃𝑐𝑘 1 + 𝑝𝑘 (𝑒 𝜃𝑐𝑘 − 1). 透過轉換而得的邊際違約機率式子，在𝜃 > 0時，為一個遞增函數，因此滿 足我們的需求，其中損失程度𝑐𝑘 越大，越容易使邊際違約機率增加越多，至於上 式的推導請詳見附錄。 而根據轉換後的結果，我們可以重信定義我們的 likelihood ratio： 𝑚. 𝑚. 𝑘=1. 𝑘=1. 𝑌𝑘. 𝑝𝑘 𝑌𝑘 1 − 𝑝𝑘 1−𝑌𝑘 𝑝𝑘 ∏( ) ( ) ＝∏( ) 𝑞𝑘 1 − 𝑞𝑘 𝑝𝑘,𝜃. 1−𝑌𝑘. 1 − 𝑝𝑘 ( ) 1 − 𝑝𝑘,𝜃. ＝ exp(−𝜃𝐿 + 𝜓(𝜃)) ， where 𝜓(𝜃) = log 𝐸 [𝑒 𝜃𝐿 ] = ∑. 𝑚 𝑘=1. log (1 + 𝑝𝑘 (𝑒 𝜃𝑐𝑘 − 1)) ，. 𝜓(𝜃)為Ｌ的累積生成函數(cumulative generating function)。 以上介紹，我們皆是在系統風險因子的系統負荷皆為 0 的情況下去討論，也 就是各債務人之間為獨立關係，但是由於我們此次所研究的模型中，債務人之間 是有相依關係存在，因此接下來的推導與討論，我們將是在債務人為相依關係下 進行，首先，條件邊際違約機率之推導如下： 𝑝𝑘 (𝑍) = 𝑃(𝑌𝑘 = 1 |𝑍) = 𝑃(𝑋𝑘 > 𝑥𝑘 |𝑍) = 𝑃(𝑎𝑘 𝑍 + 𝑏𝑘 𝜀𝑘 > 𝛷−1 (1 − 𝑝𝑘 ) | 𝑍) = 𝛷(. 𝑎𝑘 𝑍+𝛷−1 (𝑝𝑘 ) 𝑏𝑘. )。. 而上述獨立情況公式改至相依情況則如下： 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍) =. 𝑝𝑘 (𝑧)(𝑒 𝜃𝑥 (𝑍)𝑐𝑘 ) ， 1 + 𝑝𝑘 (𝑧)(𝑒 𝜃𝑥 (𝑍)𝑐𝑘 − 1). likelihood ratio＝ 𝑒𝑥𝑝(−𝜃𝑥 (𝑍)𝐿 + 𝜓(𝜃𝑥 (𝑍), 𝑍)) ， 𝑚. 𝜓𝑚 (𝜃𝑥 (𝑍), 𝑍) = ∑. 𝑘=1. log (1 + 𝑝𝑘 (𝑧)(𝑒 𝜃𝑥 (𝑍)𝑐𝑘 − 1)) 。. 接著下來，我們要找出我們的𝜃𝑥 (𝑍)，使其達到變異數最小的結果，而這就 等價於對二階動差取最小值，二階動差式子如下： 𝑀2 (𝑥) = 𝑀2 (𝑥, 𝜃𝑥 (𝑍)) = 𝐸𝜃𝑥 (𝑍) [1{𝐿 > 𝑥}𝑒 −2𝜃𝑥 (𝑍)𝐿+2𝜓(𝜃𝜃𝑥 (𝑍),Z) ] ≤ 𝑒 −2𝜃𝑥 (𝑍)𝑥+2𝜓(𝜃𝑥 (𝑍),𝑍) 但 是 由 於 直 接 對 𝑀2 (𝑥, 𝜃𝑥 (𝑍)) 取 最 小 值 太 困 難 了 ， 所 以 我 們 改 成 對 𝑀2 (𝑥, 𝜃𝑥 (𝑍))的上界取最小值，而又這裡對𝑒 −2𝜃𝑥 (𝑍)𝑥+2𝜓(𝜃𝑥 (𝑍),𝑍) 取最小值等同於當 12.
(17) 𝜃 > 0時，對𝜃𝑥 (𝑍)𝑥 − 𝜓(𝜃𝑥 (𝑍), 𝑍)，且由於𝜓是一個嚴格凸函數且會經過原點，代 表只會有一點使得𝜃𝑥 (𝑍)𝑥 − 𝜓(𝜃𝑥 (𝑍), 𝑍)可以達到最大值，因此我們可以建立出 下面𝜃𝑥 (𝑍)的相關式子： 𝜃𝑥 (𝑍) = {. 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜 𝜓′ (𝜃, 𝑧) = 𝑥 , 𝑥 > 𝐸[𝐿|𝑍 = 𝑧] 0 , 𝑥 ≤ 𝐸[𝐿|𝑍 = 𝑧]. 其中𝐸[𝐿|𝑍 = 𝑧] = ∑𝑚 𝑘=1 𝑝𝑘 (𝑍)𝑐𝑘，表示為在給定𝑧之下，總損失的條件期望值， 而因為𝜓′ (0, 𝑧) = 𝐸[𝐿|𝑍 = 𝑧]，因此可以知道說若𝜓(. , 𝑧)在原點對𝜃的微分大於𝑥 時，則𝜃𝑥 (𝑍)＝0；若𝜓(. , 𝑧)在原點對𝜃的微分小於𝑥時，則𝜃𝑥 (𝑍)就會是 𝜓′ (𝜃, 𝑧) = 𝑥的唯一解。 而接下來我們要來說明如何對系統風險因子做 Exponential Twisting，這裡主 要的目的是為了將系統風險因子的選取從原本的標準常態分配N(0, I)轉換至新 的常態分配N(μ, I)，使其達到變異數縮減的結果，而根據 Glasserman 所提出的方 法為求得max 𝑃(𝐿 > 𝑥|Z = z)𝑒 −𝑧 𝑧. 𝑇 𝑧/2. 的最佳解，解出來的z則為新的常態分配的期. 望值。 而這裡我們將用到尾端近似法來求解，首先，我們先在給定 z 的情況下，對 任意的𝑥 ∈ (0, 𝑙𝑚𝑎𝑥 )，定義 𝐹𝑥 (𝑧) = −𝜃𝑥 (𝑧)𝑥 + 𝜓(𝜃𝑥 (𝑧), 𝑧). (2). 其中𝑙𝑚𝑎𝑥 表示總損失的最大值。 關於(2)會有以下特性： 1.. 對於0 < 𝑥 < 𝑙𝑚𝑎𝑥 ，𝑃(𝐿 > 𝑥) ≤ 𝐸[𝑒 𝐹𝑥 (𝑧) ] ，. 2.. 𝑃(𝐿 > 𝑥) ≤ 𝑒 𝐽(𝑥) 其中𝐽(𝑥) max {𝐹𝑥 (𝑧) −. 𝑧𝑇𝑧 2. }。. 上述特性證明請詳見附錄，接著，我們將此上界帶回去max 𝑃(𝐿 > 𝑥|Z = 𝑧. z)𝑒. −𝑧 𝑇 𝑧/2. ，並對此式取對數可得到下列式子： 1 𝐽(𝑥) = 𝑚𝑎𝑥{𝐹𝑥 (𝑧) − 𝑧 𝑇 𝑧} 𝑧 2. (3). 所以我們的目標就是求出使𝐽(𝑥)達到最佳解的𝑧，而這邊我們所使用的方法 是 Noceal and Wright (1999) 的直尋牛頓法搭配 Armijo 返回法 (line search Newton method with Armijo backtracking)，解出來的𝑧即為我們系統風險因子所服從的新 常態分配之期望值𝜇。 根據以上流程介紹後，我們可以開始建立 GIS 重要性取樣法的模擬過程，第 13.
(18) 一步即是對系統風險因子做 Exponential Twisting，求出滿足(3)之最佳解的 z，並 令其為新常態分配的期望值𝜇，且求出𝜃𝑥 (𝑍)，並從新分配中取出我們的系統風險 因子𝑍，接著在給定Z的情況下，求出𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)，並且根據𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)生成我們的 違約指標函數𝛾 𝑘 ，也就是生成𝑈𝑘 ~𝑈(0,1)，如果𝑈𝑘 < 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)，則𝛾 𝑘 = 1；如 果𝑈𝑘 > 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)，則𝛾 𝑘 = 0，最後計算我們𝑃(𝐿 > 𝑥)的估計式，根據上面我們 可 以 知 道 ， 在 𝑍 沒 有 做 Exponential Twisting 的 情 況 下 ， 𝑃(𝐿 > 𝑥)＝ 1{𝐿 > 𝑥} 𝑒𝑥𝑝(−𝜃𝑥 (𝑍)𝐿 + 𝜓(𝜃𝑥 (𝑍), 𝑍))，但由於我們這裡所使用的 GIS 重要性取樣法有 對𝑍做 Exponential Twisting，所以在這邊我們必須在乘分配轉換的 likelihood ratio= f(z)/f(z ∗ )，其中f(z)為標準常態分配的 pdf，f(z ∗ )為轉換後的常態分配 pdf， 其結果為𝑒 −𝜇. 𝑇 𝑧+𝜇 𝑇 𝜇/2. ，推導詳見附錄。. 以上就是我們 GIS 重要性取樣法的模擬流程，而在模擬之前，我們要先定義 債務人人數 𝑚、違約所產生的損失𝑐𝑘、系統風險因子 1 個、違約的邊際機率𝑝𝑘、 因子負荷𝑎1 、整體違約損失門檻𝑥以及模擬次數 N，接著我們將上面敘述整理成 下面流程： 1.. 1. 根據直尋牛頓法搭配 Armijo 返回法求出𝐽(𝑥) = 𝑚𝑎𝑥{𝐹𝑥 (𝑧) − 2 𝑧 𝑇 𝑧}之解 𝑧. 1. 𝑧，並令𝜇 = arg 𝑚𝑎𝑥{−𝜃𝑥 (𝑧)𝑥 + 𝜓(𝜃𝑥 (𝑧), 𝑧) − 2 𝑧 𝑇 𝑧}且計算𝜃𝑥 (𝑍)， 𝑧. 對於每次模擬(i=1,…,N)： 2.. 生成一個多元常態分配Z，Z~𝑁(𝜇, 𝐼)，. 3.. 計算𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑧) (𝑍) =. 4.. 生成 m 個服從均勻分配𝑈𝑘 ~𝑈(0,1) , k = 1, … , m，. 5.. 設𝑌𝑘 = {. 6.. −𝜃𝑥 (𝑧)𝐿+𝜓( 𝜃𝑥 (𝑧),𝑧) −μ 計算L = ∑𝑚 𝑒 𝑘=1 𝑐𝑘 𝑌𝑘 求估計式Q 𝑖 ＝1{𝐿>𝑥} 𝑒. 7.. 重複上述 1~6 步驟 N 次，. 8.. 1 計算𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 𝑁 ∑𝑁 𝑖=1 𝑄𝑖 。. 𝑝𝑘 (𝑍)𝑒 𝜃𝑥 (𝑍)𝑐𝑘 1+𝑝𝑘 (𝑍)(𝑒 𝜃𝑥 (𝑍)𝑐𝑘 −1). 1, 𝑈𝑘 < 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑧) (𝑍) 0, 𝑈𝑘 ≥ 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑧) (𝑍). , k = 1, … , m，. , k = 1, … , m， 𝑇 𝑧+1𝑧 𝑇 𝑧 2. 以上就是 GIS 重要性取樣法模擬流程。. 14. ，.
(19) 第三節 改良式重要性取樣法(MIS) 接下來我們要介紹的是根據 Chiang et al. (2007) 所提出的方法加以改良後， 重新命名為新的的重要性取樣法，我們稱之為 MIS，用來模擬近似我們的𝛲(𝐿 > 𝑥)。 首先，根據 Chiang et al. (2007) 所提出之重要性取樣法，我們以單因子模型 進行以下的推導： {𝑌𝑘 = 1} ⟺ {𝑋𝑘 > 𝑥𝑘 } ⟺ {𝑎1 𝑍1 + 𝑏𝑘 𝜀𝑘 > 𝑥𝑘 } ⟺ {𝑍1 >. 𝑥𝑘 −𝑏𝑘 𝜀𝑘 𝑎1. }. ⟺ {𝑍1 > 𝑞𝑘 }，其中𝑞𝑘 ＝. 𝑥𝑘 −𝑏𝑘 𝜀𝑘 𝑎1. 。. (個別違約事件等價於共同因子大於某常數) 𝑚. {𝐿 > 𝑥} ⟺ {∑. 𝑐𝑘 𝑌𝑘 > 𝑥}. 𝑘=1 𝑚. ⟺ {∑. 𝑥 𝑌𝑘 > } , 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑐𝑘 = 𝑐 ∀𝑘。 𝑐 𝑘=1. (總損失違約等價於個別違約事件加總大於違約門檻除以個別損失) 𝛪{𝐿>𝑥} = 1 ⟺ 𝛪{∑𝑚. 𝑥. 𝑘=1 𝑌𝑘 > 𝑐 }. =1. ⟺ ∑𝑚 𝑘=1 𝛪{𝑍1 >𝑞𝑘 } > ⟺ 𝛪{𝑍1 >𝑞. 𝑥 } (⌈ ⌉) 𝑐. 𝑥 𝑐. = 1。. (總損失違約事件等價於共同因子大於排序後某常數事件) 由上面的等價關係推導可以知道，發生總損失(L)大過違約門檻(x)之事件等 𝑥. 價於系統風險因子大於(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑚 )排序過後的第(⌈ 𝑐 ⌉)個之事件，其中𝑥為整體 總損失的違約門檻。 這邊我們舉個簡單的例子解釋，假設(m = 10，x = 5，c = 2)，要滿足 5. ∑10 𝑘=1 𝛪{𝑍1 >𝑞𝑘 } > 2 = 2.5 時，代表必須有至少 3 個{𝑍1 > 𝑞𝑘 }事件發生才行，而這件 事也就等同於把(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑚 )排序之後，當𝑍1 > 𝑞(⌈2.5⌉) = 𝑞(3) 時，𝑍1 也會大於 𝑞(1) 、𝑞(2) ，因此可以保證會有 3 個{𝑍1 > 𝑞𝑘 }的事件發生。 𝑥. 但在( 𝑐 )為整除的情況時此推論會遇到問題，我們一樣舉個例子解釋，假設. 15.
(20) 5. (m = 10，x = 5，c = 1)，若是要滿足∑10 𝑘=1 𝛪{𝑍1 >𝑞𝑘 } > 1 =5，代表必須有至少 6 個 {𝑍1 > 𝑞𝑘 }事件發生才行，而當排序後𝑍1 > 𝑞(⌈5⌉) = 𝑞(5) 時，根據這個條件我們只 能確定至少有 5 個{𝑍1 > 𝑞𝑘 }事件發生，但無法保證會有 6 個{𝑍1 > 𝑞𝑘 }的事件發 𝑥. 生；因此我們將江彌修所提出的方法加以改良後，分為( 𝑐 )是整除或不整除的兩 𝑥. 𝑥. 種情況， 當( 𝑐 )整除時，則選取(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑚 )排序過後的第(⌈ 𝑐 ⌉ + 1)個位置。 接著下來我們要來推導如何透過上面所推得出來的結果去計算我們最終所 要的𝑃(𝐿 > 𝑥)的估計式，推倒如下： 𝑃(𝐿 > 𝑥)＝𝑃 (𝑧1 > 𝑞(⌈𝑥⌉) ) , 𝑙𝑒𝑡 𝑞(⌈𝑥⌉) ＝𝑢 𝑐. 𝑐. = 𝑃(𝑧1 > 𝑢) = 1 − 𝑃(𝑧1 < 𝑢) , 𝑧1 ~𝑁(0,1) = 1 − Φ(𝑢)。 由上面推導我們可以得到𝑃(𝐿 > 𝑥) = 1 − Φ(u)，因此當進行Ｎ次模擬時，我 1 ̂ 們的𝑃(𝐿 > 𝑥)＝ 𝑁 ∑𝑁 𝑖=1 1 − Φ(𝑢𝑖 )。. 下面我們將上面的推導整理出一個完整的模擬規則，而在模擬之前，我們要 先定義債務人人數 𝑚、違約所產生的損失𝑐𝑘、違約的邊際機率𝑝𝑘、因子負荷𝑎1、 整體違約損失門檻𝑥以及模擬次數 N，而為了計算方便，我們令 𝑐𝑘 = c , 𝑝𝑘 = 𝑝。 模擬的規則如下： 對於每次模擬(i=1,…,N)： 1.. 生成獨立𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 ∼ 𝑁(0,1)，. 2.. 設𝑥𝑘 = 𝛷−1 (1 − 𝑝𝑘 ) , 𝑞𝑘 =. 3.. 當c不整除時令 𝑢i = 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉) ,當c整除時令 𝑢i = 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉ + 1)，. 4.. 設Qi = 1 − Φ(𝑢i )，. 5.. 重複上述 1~4 步驟 N 次，. 6.. 1 計算𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 𝑁 ∑𝑁 𝑖=1 𝑄𝑖 。. x. 𝑥𝑘 −√1−𝑎1 2 𝜀𝑘 𝑎1. 𝑥. , 𝑘 = 1, … , 𝑚，. x. 𝑥. 以上就是根據江彌修重要性取樣法改量過後的 MIS 重要性取樣法單因子模 擬流程。. 16.
(21) 第四節 各模型模擬流程建立 這節我們將根據上面所提到的 GIS、MIS 重要性取樣法以及蒙地卡羅法來針 對三種不同的模型進行模擬流程建立。. 1. 單因子模型 A. 蒙地卡羅法 首先我們先來探討在蒙地卡羅法之下的單因子模型模擬流程該如何建立，雖 然在緒論部分有大概提到，但在這邊我們重新正式介紹蒙地卡羅法。 蒙地卡羅法是廣泛運用在資產投資組合風險管理的計算工具，其優點在於適 用範圍廣、彈性大，且限制條件少，可以很容易就達到模擬計算的效果，但其缺 點就是，在計算方面的收斂速度過於緩慢，特別是當模擬次數過大時，所需耗費 的時間也相對增加許多。 此為，當蒙地卡羅法在針對某些稀有事件進行模擬時，不容易得到有效的結 果，且容易產生較大的震盪。因此，為了改善蒙地卡羅的缺點，才會有後續許多 新的模擬法出現。 在介紹完蒙地卡羅法後，我們現在開始進行我們的單因子模型推導，我們先 定義債務人人數 𝑚、系統風險因子個數 1、違約所產生的損失𝑐𝑘、違約的邊際機 率𝑝𝑘、因子負荷𝑎1、整體違約損失門檻𝑥以及模擬次106 次，而為了計算方便，我 們令 𝑐𝑘 = c , 𝑝𝑘 = 𝑝。 接著下來是模擬流程，根據這章節一開始所提到的違約定義可以得知當 {𝑋𝑘 > 𝑥𝑘 }這件事情發生時，就代表第𝑘個債務人違約，因此我們要模擬出𝑋𝑘，而 因為𝑋𝑘 = 𝑎1 𝑍 + √1 − 𝑎1 2 𝜀𝑘 ，所以我們第一步是先生成Z以及與之獨立且同分配 的𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚，這兩個隨機變數皆服從標準常態分配，接著第二步就是透過第一 步所生成的隨機變數來計算出我們的𝑋𝑘 ，第三步是計算個別債務人違約門檻𝑥𝑘. ＝Φ−1 (1 − 𝑝)，再來就是要計算整體總損失𝐿＝ ∑𝑚 𝑘=1 𝐼{𝑋𝑘 >𝑥𝑘 } 𝑐，最後一步便是看 我們的總體總損失是否有大過違約門檻𝐼{𝐿>𝑥} 這個事件發生，這樣就完成了一次 106. ∑ 𝐼{𝐿>𝑥} 的模擬，而我們總共會進行10 次模擬，最後的估計值𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 𝑗=1𝑁 。 6. 以上就是我們的蒙地卡羅單因子模型模擬法，而根據上面整理出以下模擬規 則： 17.
(22) 6. 對於每次模擬(i=1,…, 10 )： 1.. 生成Z ∼ 𝑁(0,1)，. 2.. 生成獨立𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 ∼ 𝑁(0,1)，. 3.. 設𝑥𝑘 = 𝛷 −1 (1 − 𝑝) , 𝑘 = 1, … , 𝑚 ，. 4.. 計算𝑋𝑘 = 𝑎1 𝑍 + √1 − 𝑎1 2 𝜀𝑘 , 𝑘 = 1, … , 𝑚，. 5.. 計算𝐿𝑖 = ∑𝑚 𝑘=1 𝐼{𝑋𝑘 >𝑥𝑘 } 𝑐 ，. 6.. 計算𝐿𝑖 違約與否 𝑄𝑖 = 𝐼{𝐿𝑖 >𝑥} ，. 7.. 重複上述 1-6 步驟106 次，. 8.. 6 1 計算𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 106 ∑10 𝑖=1 𝑄𝑖 。. 以上就是蒙地卡羅法的模擬流程。. B. GIS 重要性取樣法 我們先定義債務人人數𝑚 、系統風險因子個數 1、違約所產生的損失𝑐𝑘、違 約的邊際機率𝑝𝑘、因子負荷𝑎1、整體違約損失門檻𝑥以及模擬次數103 次，而為了 計算方便，我們一樣令 𝑐𝑘 = c , 𝑝𝑘 = 𝑝。 第一步便是如第三節所說到的，對系統風險因子做 Exponential Twisting，求 出新常態分配的期望值以及求出𝜃𝑥 (𝑍)，並從新分配中取出我們的系統風險因子 Z，接著在給定 Z 的情況下，求出𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)，並且根據𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)生成我們的違 約指標函數𝛾 𝑘 ，也就是生成𝑈𝑘 ~𝑈(0,1)，如果𝑈𝑘 < 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)，則𝛾 𝑘 = 1；如果 𝑈𝑘 > 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)，則𝛾 𝑘 = 0，最後計算我們的𝑃(𝐿 > 𝑥)。 以上就是我們 GIS 重要性取樣法的模擬流程推導，接著我們將上面敘述整 理成下面流程步驟： 1.. 1. 根據直尋牛頓法搭配 Armijo 返回法求出𝐽(𝑥) = 𝑚𝑎𝑥{𝐹𝑥 (𝑧) − 2 𝑧 𝑇 𝑧}之解 𝑧. 1. 𝑧(有 d 個解)，並令𝜇 = arg 𝑚𝑎𝑥 {−𝜃𝑥 (𝑧)𝑥 + 𝜓(𝜃𝑥 (𝑧), 𝑧) − 2 𝑧 𝑇 𝑧}且計算 𝑧. 𝜃𝑥 (𝑍)， 對於每次模擬(i=1,…, 103 )： 2.. 生成一個多元常態分配Z，Z~𝑁(𝜇, 𝐼)，. 18.
(23) 𝑝𝑘 (𝑍)𝑒 𝜃𝑥 (𝑍)𝑐𝑘. 3.. 計算𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑧) (𝑍) =. 4.. 生成 m 個服從均勻分配𝑈𝑘 ~𝑈(0,1) , k = 1, … , m，. 5.. 設𝑌𝑘 = {. 6.. 計算L = ∑𝑚 𝑘=1 𝑐𝑘 𝑌𝑘 ，求估計式Q 𝑖 =. 1+𝑝𝑘 (𝑍)(𝑒 𝜃𝑥 (𝑍)𝑐𝑘 −1). 1, 𝑈𝑘 < 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑧) (𝑍) 0, 𝑈𝑘 ≥ 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑧) (𝑍). , k = 1, … , m，. , k = 1, … , m，. 𝑇 𝑧+1𝑧 𝑇 𝑧 2. 1{𝐿>𝑥} 𝑒 −𝜃𝑥 (𝑧)𝐿+𝜓( 𝜃𝑥 (𝑧),𝑧) 𝑒 −μ. ，. 7.. 重複上述 1~6 步驟103 次，. 8.. 3 1 計算𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 103 ∑10 𝑖=1 𝑄𝑖 。. 以上就是 GIS 重要性取樣法的模擬流程。. C. MIS 重要性取樣法 MIS 單因子模型重要性取樣法在上節推導的時候就有舉例了，但在這邊我們 還是重新講解一次。 與上面兩種方法一樣，我們先定義債務人人數 𝑚、違約所產生的損失𝑐𝑘、違 約的邊際機率𝑝𝑘 、系統風險因子個數 1、因子負荷𝑎1 、整體違約損失門檻𝑥以及 模擬次數103 次，而為了計算方便，我們令 𝑐𝑘 = c , 𝑝𝑘 = 𝑝。 接著下來，第一步我們一樣先生成獨立且同分配的𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚，接著計算個 別債務人違約門檻𝑥𝑘 ＝Φ−1 (1 − 𝑝)，並且令𝑞𝑘 = 𝑥. 𝑥𝑘 −√1−𝑎1 2 𝜀𝑘 𝑎1. ，然後對𝑞𝑘 重新排序，. 𝑥. 𝑥. x. 接著就是判斷違約門檻( 𝑐 )是否整除，當( 𝑐 )不整除時令 𝑢𝑖 = 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉) ,當c整除時令 x. 𝑢𝑖 = q(⌈c⌉ + 1)，再來令Qi = 1 − Φ(𝑢i )，到這裡就是我們一次模擬裡面所需執行 的 步 驟 ， 這 邊 我 們 一 樣 重 複 執 行 以 上 步 驟 103 次 ， 最 後 計 算 出 3 1 𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 103 ∑10 𝑖=1 𝑄𝑖 。. 根據以上敘述，我們整理出下面模擬規則： 對於每次模擬(i=1,…, 103 )： 1.. 生成獨立𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 ∼ 𝑁(0,1)，. 2.. 設𝑥𝑘 = 𝛷 −1 (1 − 𝑝𝑘 ) , 𝑞𝑘 =. 3.. 當c不整除時令 𝑢i = 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉) ,當c整除時令 𝑢i = 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉ + 1)，. 4.. 設Qi = 1 − Φ(𝑢i )，. x. 𝑥. 𝑥𝑘 −√1−𝑎1 2 𝜀𝑘 𝑎1 x. , 𝑘 = 1, … , 𝑚 ， 𝑥. 19.
(24) 5.. 重複上述 1~4 步驟103 次，. 6.. 3 1 計算𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 103 ∑10 𝑖=1 𝑄𝑖 。. 以上就是 MIS 重要性取樣法的模擬流程。. 2. 多因子模型 A. 蒙地卡羅法 我們先定義債務人人數 𝑚、違約所產生的損失𝑐𝑘、違約的邊際機率𝑝𝑘、系統 風險因子個數𝑑、因子負荷𝑎𝑘1 , … , 𝑎𝑘𝑑、整體違約損失門檻𝑥以及模擬次數104 次。 接 著 下 來 ， 我 們 第 一 步 是 先 生 成 𝑍1 , … , 𝑍𝑑 以 及 與 之 獨 立 且 同 分 配 的 𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚，這兩組隨機變數皆服從標準常態分配，接著第二步就是透過第一步 所生成的隨機變數來計算出我們的𝑋𝑘 ，第三步是計算個別債務人違約門檻𝑥𝑘 ＝ Φ−1 (1 − 𝑝𝑘 )，再來就是要計算整體總損失𝐿＝ ∑𝑚 𝑘=1 𝐼{𝑋𝑘 >𝑥𝑘 } 𝑐k ，最後一步便是看 我們的總體總損失是否有大過違約門檻𝐼{𝐿>𝑥} 這個事件發生，這樣就完成了一次 4. 的模擬，而我們總共會進行104 次模擬，最後的估計值𝑃(𝐿̂ > 𝑥) =. ∑10 𝑗=1 𝐼{𝐿>𝑥} 104. 。. 根據上面整理出以下模擬規則： 對於每次模擬(i=1,…, 104 )： 1.. 生成𝑍1 , … , 𝑍𝑑 ∼ 𝑁(0,1)，. 2.. 生成獨立𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 ∼ 𝑁(0,1)，. 3.. 設𝑥𝑘 = 𝛷 −1 (1 − 𝑝𝑘 ) , 𝑘 = 1, … , 𝑚，. 4.. 計算𝑋𝑘 = 𝑎𝑘1 𝑍1 + ⋯ + 𝑎𝑘𝑑 𝑍𝑑 + 𝑏𝑘 𝜀𝑘 , 𝑘 = 1, … , 𝑚，. 5.. 計算𝐿𝑖 = ∑𝑚 𝑘=1 𝐼{𝑋𝑘 >𝑥𝑘 } 𝑐𝑘 ，. 6.. 計算𝐿𝑖 違約與否 𝑄𝑖 = 𝐼{𝐿𝑖 >𝑥} ，. 7.. 重複上述 1-6 步驟104 次，. 8.. 4 1 計算𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 104 ∑10 𝑖=1 𝑄𝑖 。. 以上就是蒙地卡羅法的模擬流程。. B. GIS 重要性取樣法 我們先定義債務人人數 𝑚、系統風險因子個數𝑑、違約所產生的損失𝑐𝑘 、違 20.
(25) 約的邊際機率𝑝𝑘 、因子負荷𝑎1 、整體違約損失門檻𝑥以及模擬次數103 次。 第一步一樣先對系統風險因子做 Exponential Twisting，求出新常態分配的期 望值𝜇，並解出𝜃𝑥 (𝑍)，其中，這裡牛頓法在求值時，因為是多系統風險因子的關 係，所以得到的其望值也會是一個長度為 d 的相量，接著下來，從新分配中取出 我們 d 個系統風險因子Z = (𝑧1 、 ⋯ 、𝑧𝑑 )，接著在給定Z的情況下，求出𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)， 並且根據𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)生成我們的違約指標函數𝛾 𝑘 ，也就是生成𝑈𝑘 ~𝑈(0,1)，如果 𝑈𝑘 < 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)，則𝛾 𝑘 = 1；如果𝑈𝑘 > 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)，則𝛾 𝑘 = 0，最後計算我們的 𝑃(𝐿 > 𝑥)。 以上就是我們 GIS 重要性取樣法的模擬流程，接著我們將上面敘述整理成 下面流程： 1.. 1. 根據直尋牛頓法搭配 Armijo 返回法求出𝐽(𝑥) = 𝑚𝑎𝑥{𝐹𝑥 (𝑧) − 2 𝑧 𝑇 𝑧}之解 𝑧. 1. 𝑧(有 d 個解)，並令𝜇 = arg 𝑚𝑎𝑥 {−𝜃𝑥 (𝑧)𝑥 + 𝜓(𝜃𝑥 (𝑧), 𝑧) − 2 𝑧 𝑇 𝑧}且計算 𝑧. 𝜃𝑥 (𝑍)， 對於每次模擬(i=1,…, 103 )： 2.. 生成一個多元常態分配Z = (𝑧1 、 ⋯ 、𝑧𝑑 )，Z~𝑁(𝜇𝑑 , 𝐼d )，. 3.. 計算𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑧) (𝑍) =. 4.. 生成 m 個服從均勻分配𝑈𝑘 ~𝑈(0,1) , k = 1, … , m，. 5.. 設𝑌𝑘 = {. 6.. 計算L = ∑𝑚 𝑘=1 𝑐𝑘 𝑌𝑘 ，求估計式Q 𝑖 =. 𝑝𝑘 (𝑍)𝑒 𝜃𝑥 (𝑍)𝑐𝑘 1+𝑝𝑘 (𝑍)(𝑒 𝜃𝑥 (𝑍)𝑐𝑘 −1). 1, 𝑈𝑘 < 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑧) (𝑍) 0, 𝑈𝑘 ≥ 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑧) (𝑍). , k = 1, … , m，. 𝑇 𝑧+1𝑧 𝑇 𝑧 2. 1{𝐿>𝑥} 𝑒 −𝜃𝑥 (𝑧)𝐿+𝜓( 𝜃𝑥 (𝑧),𝑧) 𝑒 −μ. , k = 1, … , m，. ，. 7.. 重複上述 1~6 步驟103 次，. 8.. 3 1 計算𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 103 ∑10 𝑖=1 𝑄𝑖 。. 以上就是 GIS 重要性取樣法再多因子模型情況下的模擬流程。. C. MIS 重要性取樣法 我們先定義債務人人數 𝑚、違約所產生的損失𝑐𝑘、違約的邊際機率𝑝𝑘、系統 風險因子個數𝑑、因子負荷𝑎𝑘1 , … , 𝑎𝑘𝑑、整體違約損失門檻𝑥以及模擬次數103 次， 21.
(26) 為了計算方便，我們令 𝑐𝑘 = c 。 接著下來，第一步我們一樣先生成獨立且同分配的𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚，接著計算個 別債務人違約門檻𝑥𝑘 ＝Φ−1 (1 − 𝑝𝑘 )，並且令𝑞𝑘 = 𝑥𝑘 − √1 − 𝑎k1 2 − ⋯ − 𝑎𝑘𝑑 2 𝜀𝑘， 𝑥. 𝑥. 然後對𝑞𝑘 重新排序，接著就是判斷違約門檻( 𝑐 )是否整除，當( 𝑐 )不整除時令 𝑢𝑖 = 𝑥. x. x. 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉) ,當c整除時令 𝑢𝑖 = q(⌈c⌉ + 1)，再來令Qi = 1 − Φ(𝑢i , 0 , 𝑎𝑘1 2 + ⋯ + 𝑎𝑘𝑑 2 )， 到這裡就是我們一次模擬裡面所需執行的步驟，這邊我們一樣重複執行以上步驟 3 1 103 次，最後計算出 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 103 ∑10 𝑖=1 𝑄𝑖 。. 根據以上敘述，我們整理出下面模擬規則： 對於每次模擬(i=1,…, 103 )： 1.. 生成獨立𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 ∼ 𝑁(0,1)，. 2.. 設𝑥𝑘 = 𝛷 −1 (1 − 𝑝𝑘 ) , 𝑞𝑘 = 𝑥𝑘 − √1 − 𝑎𝑘1 2 − ⋯ − 𝑎𝑘𝑑 2 𝜀𝑘 , 𝑘 = 1, … , 𝑚 ， x. 𝑥. x. 𝑥. 3.. 當c不整除時令 𝑢i = 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉) ,當c整除時令 𝑢i = 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉ + 1)，. 4.. 設Qi = 1 − Φ(𝑢i , 0 , 𝑎𝑘1 2 + ⋯ + 𝑎𝑘𝑑 2 )，. 5.. 重複上述 1~4 步驟103 次，. 6.. 3 1 計算𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 103 ∑10 𝑖=1 𝑄𝑖 。. 以上就是 MIS 重要性取樣法的模擬流程。. 3. t 關聯結構模型 I. 對𝑍做重要性取樣法(有做標準化) A. 蒙地卡羅法 我們先定義債務人人數 𝑚、違約所產生的損失𝑐𝑘 、違約的邊際機率𝑝𝑘 、 系統風險因子個數 1、因子負荷𝑎1、整體違約損失門檻𝑥以及模擬次數106 次，而 為了計算方便，我們令 𝑐𝑘 = c , 𝑝𝑘 = 𝑝。 第一步先生成Z以及與之獨立且同分配的𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 ，這兩個隨機變數皆服 從常態分配，接著第二步就是透過第一步所生成的隨機變數來計算出我們的𝑋𝑘， 第三步是計算個別債務人違約門檻𝑥𝑘 ＝Φ−1 (1 − 𝑝)，再來就是要計算整體總損失 22.
(27) 𝐿＝ ∑𝑚 𝑘=1 𝐼{𝑋𝑘 >𝑥𝑘 } 𝑐，最後一步便是看我們的總體總損失是否有大過違約門檻𝐼{𝐿>𝑥} 這個事件發生，這樣就完成了一次的模擬，而我們總共會進行106 次模擬，最後 106. ∑ 𝐼{𝐿>𝑥} 的估計值𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 𝑗=1106 。. 根據上面整理出以下模擬規則： 1.. 1 𝑣. 𝐻. 生成H～Gamma(2 , 2)，令𝑤 = √ 𝑣 ，. 對於每次模擬(i=1,…, 106 )： 2.. 生成𝑍 ∼ 𝑁(0,1)，. 3.. 生成獨立𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 ∼ 𝑁(0,1)，. 4.. 設𝑥𝑘 = 𝛷 −1 (1 − 𝑝𝑘 ) , 𝑘 = 1, … , 𝑚 ，. 5.. 計算𝑋𝑘 =. 𝜌𝑍+√1−𝜌2 𝜀𝑖 𝑣 𝑣−2. , 𝑘 = 1, … , 𝑚 ，. 𝑊√. 6.. 計算𝐿𝑖 = ∑𝑚 𝑘=1 𝐼{𝑋𝑘 >𝑥𝑘 } 𝑐𝑘 ，. 7.. 計算𝐿𝑖 違約與否 𝑄𝑖 = 𝐼{𝐿𝑖 >𝑥} ，. 8.. 重複上述 1-6 步驟106 次，. 9.. 6 1 計算𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 106 ∑10 𝑖=1 𝑄𝑖 。. 以上就是蒙地卡羅法的模擬流程。. B. GIS 重要性取樣法 我們先定義債務人人數 𝑚、系統風險因子個數 1、違約所產生的損失𝑐𝑘、違 約的邊際機率𝑝𝑘、因子負荷𝑎1、整體違約損失門檻𝑥以及模擬次數103 次，而為了 計算方便，我們令 𝑐𝑘 = c , 𝑝𝑘 = 𝑝。 在開始設計模擬流程之前，由於不像先前兩個例子，我們還多了一個衝擊變 數，所以我們的條件違約機率將重新推導，推導結果如下： 𝑝𝑘 (𝑍) = 𝑃(𝑌𝑘 = 1 |𝑍) = 𝑃(𝑋𝑘 > 𝑥𝑘 |𝑍) = 𝑃(. 𝑎𝑘 𝑍+𝑏𝑘 𝜀𝑘 𝑤 𝑣 √ 𝑣−2. >𝛷. −1 (1. − 𝑝𝑘 )| 𝑍) = 1 − 𝛷(. 𝑣 ×𝛷−1 (1−𝑝𝑘 )−𝑎𝑘 𝑍 𝑣−2. 𝑤×√. 𝑏𝑘. )。. 因此第一步一樣先對系統風險因子做 Exponential Twisting，求出新常態分配 23.
(28) 的期望值𝜇，並解出𝜃𝑥 (𝑍)，接著下來，從新分配中取出我們的系統風險因子Z， 接著在給定Z的情況下，求出𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)，並且根據𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)生成我們的違約指 標函數𝛾 𝑘 ，也就是生成𝑈𝑘 ~𝑈(0,1)，如果𝑈𝑘 < 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)，則𝛾 𝑘 = 1；如果𝑈𝑘 > 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑍) (𝑍)，則𝛾 𝑘 = 0，最後計算我們的𝑃(𝐿 > 𝑥)。 以上就是我們 GIS 重要性取樣法的模擬流程，接著我們將上面敘述整理成 下面流程： 1 𝑣. 𝐻. 1.. 生成H～Gamma(2 , 2)，令𝑤 = √ 𝑣 ，. 2.. 根據直尋牛頓法搭配 Armijo 返回法求出𝐽(𝑥) = 𝑚𝑎𝑥{𝐹𝑥 (𝑧) − 2 𝑧 𝑇 𝑧}之解. 1. 𝑧. 𝑧，並令𝜇 = arg 𝑚𝑎𝑥{−𝜃𝑥 (𝑧)𝑥 + 𝜓(𝜃𝑥 (𝑧), 𝑧) − 𝑧. 1 𝑇 𝑧 𝑧}且計算𝜃𝑥 (𝑍)， 2. 對於每次模擬(i=1,…, 103 )： 3.. 生成一個多元常態分配Z = (𝑧1 、 ⋯ 、𝑧𝑑 )，Z~𝑁(𝜇𝑑 , 𝐼𝑑 )，. 4.. 計算𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑧) (𝑍) =. 5.. 生成 m 個服從均勻分配𝑈𝑘 ~𝑈(0,1) , k = 1, … , m，. 6.. 設𝑌𝑘 = {. 7.. 計算L = ∑𝑚 𝑘=1 𝑐𝑘 𝑌𝑘 ，求估計式Q 𝑖 =. 𝑝𝑘 (𝑍)𝑒 𝜃𝑥 (𝑍)𝑐𝑘 1+𝑝𝑘 (𝑍)(𝑒 𝜃𝑥 (𝑍)𝑐𝑘 −1). 1, 𝑈𝑘 < 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑧) (𝑍) 0, 𝑈𝑘 ≥ 𝑝𝑘,𝜃𝑥 (𝑧) (𝑍). , k = 1, … , m，. , k = 1, … , m，. 𝑇 𝑧+1𝑧 𝑇 𝑧 2. 1{𝐿>𝑥} 𝑒 −𝜃𝑥 (𝑧)𝐿+𝜓( 𝜃𝑥 (𝑧),𝑧) 𝑒 −μ 8.. 重複上述 1~6 步驟103 次，. 9.. 計算𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) =. ，. 1 103. 3. 10 ∑𝑖=1 𝑄𝑖 。. 以上就是 GIS 重要性取樣法在多因子模型情況下的模擬流程。 而後面我們投資組合會討論到違約機率為極端值的狀況，因此當違約機率過 小時，我們重新定義我們的違約門檻𝑥 = 𝑞 ∗ 𝑚, 0 < 𝑞 < 1，這裡我們取𝑞 = 0.009，至於其它的參數及模擬流程則不變。. C. MIS 重要性取樣法 我們先定義債務人人數 𝑚、違約所產生的損失𝑐𝑘 、違約的邊際機率𝑝𝑘 、 系統風險因子個數 1、因子負荷𝑎1、整體違約損失門檻𝑥以及模擬次數103 次，而 24.
(29) 為了計算方便，我們令 𝑐𝑘 = c , 𝑝𝑘 = 𝑝。 1 𝑣. 𝐻. 第一步我們先生成一個服從 Gamma(2 , 2)的隨機變數H，接著令𝑤 = √ 𝑣 ，再 來，生成獨立且同分配的𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚，這邊𝑤與𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 也會獨立，下一步計 算個別債務人違約門檻𝑥𝑘 ＝Φ. −1 (1. − 𝑝𝑘 )，並且令𝑞𝑘 = 𝑥. 𝑣 −√1−𝜌2 𝜀𝑖 𝑣−2. 𝑥𝑘 𝑊√. 𝜌. 𝑥. ，然後對𝑞𝑘 𝑥. 重新排序，接著就是判斷違約門檻( 𝑐 )是否整除，當( 𝑐 )不整除時令 𝑢𝑖 = 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉) , x. x. 當c整除時令 𝑢𝑖 = q(⌈c⌉ + 1)，再來令Qi = 1 − Φ(𝑢i , 0 , 𝑎𝑘1 2 + ⋯ + 𝑎𝑘𝑑 2 )，到這裡 就是我們一次模擬裡面所需執行的步驟，這邊我們一樣重複執行以上步驟103 次， 最後計算出 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) =. 1 103. 3. 10 ∑𝑖=1 𝑄𝑖 。. 根據以上敘述，我們整理出下面模擬規則： 1.. 1 𝑣. 𝐻. 生成H～Gamma(2 , 2)，令𝑤 = √ 𝑣 ，. 對於每次模擬(i=1,…, 103 )： 2.. 生成獨立𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 ∼ 𝑁(0,1)， −1 (1. − 𝑝𝑘 ) , 𝑞𝑘 =. 𝑣 −√1−𝜌2 𝜀k 𝑣−2. 𝑥𝑘 𝑊√. 3.. 設𝑥𝑘 = 𝛷. 4.. 當c不整除時令 𝑢i = 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉) ,當c整除時令 𝑢i = 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉ + 1)，. 5.. 設Qi = 1 − Φ(𝑢i )，. 6.. 重複上述 2~5 步驟103 次，. 7.. 計算𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) =. x. 𝑥. 𝜌. , 𝑘 = 1, … , 𝑚 ，. x. 𝑥. 1 103. 3. 10 ∑𝑖=1 𝑄𝑖 。. 以上就是 MIS 重要性取樣法的模擬流程。. II. 對𝑤做重要性取樣法 A. 蒙地卡羅法 我們先定義債務人人數 𝑚、違約所產生的損失𝑐𝑘 、違約的邊際機率𝑝𝑘 、 系統風險因子個數 1、因子負荷𝑎1、整體違約損失門檻𝑥＝𝑚 ∗ 𝑏以及模擬次數106 次，而為了計算方便，我們令 𝑐𝑘 = c , 𝑝𝑘 = 𝑝。 第一步先生成Z以及與之獨立且同分配的𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 ，這兩個隨機變數皆服 25.
(30) 1 𝑣. 從常態分配，接著第二步生成一個服從 Gamma(2 , 2)的隨機變數H，接著令𝑤 = 𝐻. √ ，第三步是計算個別債務人違約門檻𝑥𝑘 ＝0.5 ∗ √𝑚，再來透過前面步驟所生成 𝑣 的隨機變數來計算出我們的𝑋𝑘，接著就是要計算整體總損失𝐿＝ ∑𝑚 𝑘=1 𝐼{𝑋𝑘 >𝑥𝑘 } 𝑐， 最後一步便是看我們的總體總損失是否有大過違約門檻𝐼{𝐿>𝑚𝑏} 這個事件發生，這 樣 就 完 成 了 一 次 的 模 擬 ， 而 我 們 總 共 會 進 行 106 次 模 擬 ， 最 後 的 估 計 值 106. ∑ 𝐼{𝐿>𝑥} 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 𝑗=1 6 。 10. 根據上面整理出以下模擬規則：. 對於每次模擬(i=1,…, 106 )： 1.. 生成𝑍 ∼ 𝑁(0,1)，. 2.. 生成獨立𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 ∼ 𝑁(0,3)，. 3.. 生成H～Gamma(2 , 2)，令𝑤 = √ 𝑣 ，. 4.. 設𝑥𝑘 = 0.5 ∗ √𝑚, 𝑘 = 1, … , 𝑚 ，. 5.. 計算𝑋𝑘 =. 6.. 計算𝐿𝑖 = ∑𝑚 𝑘=1 𝐼{𝑋𝑘 >𝑥𝑘 } 𝑐 ，. 7.. 計算𝐿𝑖 違約與否 𝑄𝑖 = 𝐼{𝐿𝑖 >𝑚𝑏} ，. 8.. 重複上述 1-7 步驟106 次，. 9.. 計算𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) =. 𝑣 1. 𝜌𝑍+√1−𝜌2 𝜀𝑘 𝑊. 𝐻. , 𝑘 = 1, … , 𝑚，. 1 106. 6. ∑10 𝑖=1 𝑄𝑖 。. 以上就是蒙地卡羅法的模擬流程。. B. MIS 重要性取樣法 我們先定義債務人人數 𝑚、違約所產生的損失𝑐𝑘 、違約的邊際機率𝑝𝑘 、 系統風險因子個數 1、因子負荷𝑎1 、整體違約損失門檻𝑥＝𝑚 ∗ 𝑏以及模擬次數 50000，而為了計算方便，我們令 𝑐𝑘 = c , 𝑝𝑘 = 𝑝。 第一步我們先生成Z以及與之獨立且同分配的𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 ，再來生成一個服 1 𝑣. 𝐻. 從 Gamma(2 , 2)的隨機變數H，接著令𝑤 = √ 𝑣，這邊𝑤與Z, 𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 也會獨立， 26.
(31) 下一步計算個別債務人違約門檻𝑥𝑘 ＝0.5 ∗ √𝑚，並且令𝑞𝑘 = 𝑥. 𝜌𝑧+√1−𝜌2 𝜀𝑘 𝑥𝑘. 𝑥. ，然後對 𝑥. 𝑞𝑘 重新排序，接著就是判斷違約門檻( 𝑐 )是否整除，當( 𝑐 )不整除時令 𝑢𝑖 = 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉) , x. 2. x. 當c整除時令 𝑢𝑖 = q(⌈c⌉ + 1)，再來令𝑄𝑖 = 𝐹𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎(𝑣,1) (𝑣 ∗ 𝑢𝑖 )，到這裡就是我們 22. 一次模擬裡面所需執行的步驟，這邊我們一樣重複執行以上步驟 N 次，最後計 1 算出𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 𝑁 ∑𝑁 𝑖=1 𝑄𝑖 。. 根據以上敘述，我們整理出下面模擬規則： 對於每次模擬(i=1,…,50000)： 1.. 生成𝑍 ∼ 𝑁(0,1)，. 2.. 生成獨立𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑚 ∼ 𝑁(0,3)，. 3.. 生成H～Gamma(2 , 2)，令𝑤 = √ 𝑣 ，. 4.. 設𝑥𝑘 = 0.5 ∗ √𝑚 , 𝑘 = 1, … , 𝑚 ，. 5.. 計算並排序𝑞𝑘 =. 6.. 當c不整除時令 𝑢i = 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉) ,當c整除時令 𝑢i = 𝑞(⌈ 𝑐 ⌉ + 1)，. 7.. 設Qi = 𝐹𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎(𝑣,1) (𝑣 ∗ 𝑢𝑖 )，. 𝑣 1. 𝐻. 𝜌𝑧+√1−𝜌2 𝜀𝑘 𝑥𝑘. x. , 𝑘 = 1, … , 𝑚 ，. 𝑥. x. 𝑥. 2. 22. 8.. 重複上述 1~7 步驟 50000 次，. 1 計算𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑃(𝐿̂ > 𝑥) = 50000 ∑50000 𝑖=1 𝑄𝑖 。. 以上就是 MIS 重要性取樣法的模擬流程。. 第五節 變異數縮減(Variance Reduction) 在我們根據上面所建立的各模型模擬流程進行結果呈現後，我們將以蒙地卡 羅法的結果為基準值，透過變異數縮減(Variance Reduction)來判斷 GIS 與 MIS 兩 種重要性取樣法是否有達到改善的效果。 變異數縮減的計算公式如下： VR 𝐺𝐼𝑆 =. ̂ 𝑉𝐴𝑅𝑚𝑐 (𝑃(𝐿 > 𝑥)) ̂ 𝑉𝐴𝑅𝐺𝐼𝑆 (𝑃(𝐿 > 𝑥)). VR 𝑀𝐼𝑆 =. ̂ 𝑉𝐴𝑅𝑚𝑐 (𝑃(𝐿 > 𝑥)) ̂ 𝑉𝐴𝑅𝑀𝐼𝑆 (𝑃(𝐿 > 𝑥)) 27.
(32) 這邊只要當 VR 的值大過於 1 的時候及代表有達到變異數縮減的效果，而當 數值越大，其縮減效果越好。我們這裡所比較的 VR 值是建立在當尾端機率接近 (0.05、0.01、0.005)下的風險值。. 28.
(33) 第四章 近似結果分析及分析 本章節將呈現出透過第二章所提到的 GIS 以及 MIS 重要性取樣法所得到的 近似結果，並且將 GIS 以及 MIS 法與蒙地卡羅法做比較，觀察 VR 值來確認是 否有達到變異數縮減的效果。 下面我們將以三種不同的模型針對不同的投資組合進行研究，其中投資組合 分為投資組合 A、投資組合 B、投資組合 C 以及投資組合 D。. 第一節 單因子模型模擬結果 這節我們將討論在單因子模型下，蒙地卡羅法、GIS、MIS 重要性取樣法所 得出的結果比較。 1.. 投資組合 A. 在單因子模組合下我們針對投資組合 A 來進行模擬，此投資組合的債務人 個數 m = 1000，系統風險因子個數 d = 1，系統風險因子的因子負荷𝑎1 = (0.8、0.5、0.3) ，個別債務人的違約機率𝑝𝑘 = 𝑝 = (0.01、0.05、0.1)，債務人違 約時所產生的損失𝑐𝑘 = 𝑐 = 1。. 下面表 4-1 為𝑝 = 0.01 、𝑎1 = (0.8、0.5、0.3)所得出三種方法的模擬值，這 邊我們以蒙地卡羅法的模擬結果為標準，選取當蒙地卡羅法尾端機率接近 (0.05、0.01、0.005)三個值時的風險值，這裡以表格 1 為例說明，我們依據 (0.05、0.01、0.005)的順序，根據模擬結果找出當尾端機率接近 0.05 時，在𝑎1 = (0.3、0.5、0.8)下的風險值依序為(30、40、50)，以此類推，而接下來的投資組 合取法皆與此相同。接著列出該風險值在三種方法模擬下的估計值及變異數，最 後計算在該風險值上的 VR 值，檢驗 GIS、MIS 重要性取樣法是否達到變異數縮 減的效果。. 29.
(34) 投資組合 A--違約機率: 0.01 ρ. MC 風險值 6 (模擬：10 ,時間：7: 47) (𝑥 ) 估計值 變異數. MIS (模擬：103 ,時間：0: 26) 估計值. 變異數. GIS (模擬：10 ,時間：0: 25). VR. 3. 估計值. 變異數. VR. 0.3. 𝑥= 30. 0.04034. 0.038708. 0.040334 0.000480. 81. 0.047860 0.007112. 5. 0.5. 𝑥= 40. 0.05279. 0.050003. 0.052985 0.000203. 246. 0.053349 0.005278. 9. 0.8. 𝑥= 50. 0.04678. 0.044595. 0.047166 2.39E-05. 1,868. 0.047740 0.004438 10. 0.3. 𝑥= 40. 0.01551. 0.015268. 0.015865 9.30E-05. 164. 0.018741 0.000922 17. 0.5. 𝑥= 90. 0.01004. 0.009935. 0.010035 6.91E-06. 1,438. 0.010112 0.000359 28. 0.8. 𝑥= 220. 0.00994. 0.009838. 0.009897 7.75E-07 12,693 0.010633 0.000417 24. 0.3. 𝑥= 50. 0.00641. 0.006373. 0.006568 1.82E-05. 349. 0.008741 0.000211 30. 0.5. 𝑥= 120. 0.00454. 0.004515. 0.004503 1.35E-06. 3,335. 0.005539 0.000133 34. 0.8. 𝑥= 330. 0.00501. 0.004982. 0.004977 2.00E-07 24,917 0.005087 0.000143 35 表 4-1. 下圖 4-1、圖 4-2、圖 4-3 則為𝑝 = 0.01 、𝑎1 = (0.8、0.5、0.3)相互作用後所 分別畫出來的尾端機率與損失水準的折線圖， 在圖中，X 軸代表我們的損失水 準，Y 軸代表當損失水準在特定的值時，所產生的尾端機率。. 30.
(35) 圖 4-1 違約機率 0.01、因素負荷 0.3 之三種方法比較. 圖 4-2 違約機率 0.01、因素負荷 0.5 之三種方法比較. 31.
(36) 圖 4-3 違約機率 0.01、因素負荷 0.8 之三種方法比較. 下面表 4-2 為𝑝 = 0.05 、𝑎1 = (0.8、0.5、0.3)所得出三種方法的模擬值，這 邊我們以蒙地卡羅法的值為標準，選取當蒙地卡羅法尾端機率接近 (0.05、0.01、0.005)三個值時的風險值，同時也列出該風險值在三種方法模擬下 的估計值及變異數，最後計算在該風險值上的 VR 值，檢驗 GIS、MIS 重要性取 樣法是否達到變異數縮減的效果。. 32.
(37) 投資組合 A--違約機率: 0.05 ρ. 風險值 (x ). MC 估計值. MIS 變異數. 估計值. 變異數. GIS VR. 估計值. 變異數. VR. 0.3. 𝑥= 110. 0.058336 0.054933 0.058360 0.000358. 154. 0.064604 0.009253. 6. 0.5. 𝑥= 170. 0.051176 0.048557 0.050482 6.99E-05. 694. 0.049419 0.005260. 9. 0.8. 𝑥= 290. 0.050601 0.048041 0.050372 1.08E-05. 4,458. 0.050301 0.006468. 7. 0.3. 𝑥= 160. 0.010831 0.010714 0.010666 1.89E-05. 567. 0.012859 0.000414. 26. 0.5. 𝑥= 290. 0.010066 0.009965 0.010070 3.68E-06. 2,710. 0.011781 0.000592. 17. 0.8. 𝑥= 640. 0.01011. 0.010008 0.010065 6.31E-07 15,872 0.009125 0.000638. 16. 0.3. 𝑥= 180. 0.005459 0.005429 0.005439 5.97E-06. 910. 0.005633 0.000112. 49. 0.5. 𝑥= 340. 0.005098 0.005072 0.005052 1.22E-06. 4,168. 0.005046 0.000182. 28. 0.8. 𝑥= 760. 0.004893 0.004869 0.004838 2.09E-07 23,292 0.004938 0.000265. 18. 表 4-2. 下圖 4-4、圖 4-5、圖 4-6 則為𝑝 = 0.05 、𝑎1 = (0.8、0.5、0.3)交叉作用後所 畫出來的尾端機率與損失水準的折線圖， 在圖中，X 軸代表我們的損失水準， Y 軸代表當損失水準在特定的值時，所產生的尾端機率。. 33.
(38) 圖 4-4 違約機率 0.05、因素負荷 0.3 之三種方法比較. 圖 4-5 違約機率 0.05、因素負荷 0.5 之三種方法比較. 34.
(39) 圖 4-6 違約機率 0.05、因素負荷 0.8 之三種方法比較. 下面表 4-3 為𝑝 = 0.1 、𝑎1 = (0.8、0.5、0.3)所得出三種方法的模擬值，這 邊我們以蒙地卡羅法的值為標準，選取當蒙地卡羅法尾端機率接近 (0.05、0.01、0.005)三個值時的風險值，同時也列出該風險值在三種方法模擬下 的估計值及變異數，最後計算在該風險值上的 VR 值，檢驗 GIS、MIS 重要性取 樣法是否達到變異數縮減的效果。. 35.
(40) 投資組合 A--違約機率: 0.1 𝝆. 風險 值 (𝒙 ). MC 估計值. 變異數. MIS 估計值. 變異數. GIS VR. 估計值. 變異數. VR. 0.3. 𝑥= 210. 0.04451 0.042524 0.044731 0.000178. 239. 0.049849 0.004829. 9. 0.5. 𝑥= 300. 0.04873 0.046354 0.049196 5.70E-05. 813. 0.054454 0.006285. 7. 0.8. 𝑥= 520. 0.05076 0.048179 0.050503 9.71E-06. 4,963. 0.053745 0.008377. 6. 0.3. 𝑥= 270. 0.01044 0.010331 0.010368 1.44E-05. 719. 0.010811 0.000366. 28. 0.5. 𝑥= 450. 0.00945 0.009364 0.009514 3.15E-06. 2,975. 0.008911 0.000524. 18. 0.8. 𝑥= 830. 0.01031 0.010207 0.010230 9.45E-07 10,801 0.010301 0.000986. 10. 0.3. 𝑥= 300. 0.00487 0.004846 0.004895 3.63E-06. 1,335. 0.005333 0.000107. 45. 0.5. 𝑥= 500. 0.00517 0.005140 0.005272 1.18E-06. 4,373. 0.005600 0.000265. 19. 0.8. 𝑥= 900. 0.00522 0.005193 0.005201 3.71E-07 14,008 0.004907 0.000358. 14. 表 4-3. 下圖 4-7、圖 4-8、圖 4-9 則為𝑝 = 0.1 、𝑎1 = (0.8、0.5、0.3)交叉作用後所 畫出來的尾端機率與損失水準的折線圖， 在圖中，X 軸代表我們的損失水準， Y 軸代表當損失水準在特定的值時，所產生的尾端機率。. 36.
(41) 圖 4-7 違約機率 0.1、因素負荷 0.3 之三種方法比較. 圖 4-8 違約機率 0.1、因素負荷 0.5 之三種方法比較. 37.
(42) 圖 4-9 違約機率 0.1、因素負荷 0.8 之三種方法比較. 綜合上面表格我們可以發現當我們固定邊際違約機率時，根據𝑝 = (0.01、0.05、0.1)的三個表格來看，隨著系統風險因子的因子負荷增加，MIS 與 GIS 重要性取樣法的 VR 值也隨之提升，這也表示當因子負荷越大時，變異數縮 減的效果越好。 而從三張固定違約機率、因子負荷不同所繪製出來的圖來看，我們也可以清 楚發現，隨著因子負荷的增加，MIS 與 GIS 重要性取樣法所繪製出來的圖也越 來越貼近使用蒙地卡羅法所繪製出來的圖，表示，當因子負荷越大，此兩種方法 模擬結果也越準確。除此之外，這三張圖也告訴了我們一些訊息，從圖中我們可 以發現，當因子負荷較小的時候，蒙地卡羅法所能模擬出來的值也較少，而隨著 因子負荷增加，蒙地卡羅法模擬出來的結果範圍也隨之增加。還有一點，從圖來 看，我們可以發現到 GIS 法所模擬出來的線較不穩定，容易產生斷點或著是上下 跳動的情況，反觀 MIS 法較為穩定，線也就為平緩。 接著下來，我們固定因子負荷來觀察邊際違約機率改變時的結果，一樣根據 三個不同的邊際違約機率所得出的表格來看，我們可以發現，當因子負荷固定時， 隨著邊際違約機率增加，MIS 與 GIS 重要性取樣法的 VR 值也隨之提升，這也表 38.
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