第四章 近似結果分析及分析
第二節 多因子模型模擬結果
這節我們將推廣到多因子模型下，蒙地卡羅法、GIS、MIS 重要性取樣法所 得出的結果比較。在多因子模型組合下我們針對投資組合 B、C 來進行模擬，在 這邊我們先將投資組合 B 分為兩種情況來討論。
1. 投資組合 B-1
此投資組合的債務人個數 m = 1000，系統風險因子個數 d = 10，系統風險因 子的因子負荷𝑎1, … , 𝑎10~𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚 (0, 1
√𝑑)，個別債務人的違約機率𝑝𝑘 = 0.01 ∙ (1 + 𝑠𝑖𝑛 (16𝜋k
𝑚 )) , 𝑘 = 1, … , 𝑚，債務人違約時所產生的損失𝑐𝑘 = 𝑐 = 2。
下面表 4-4 為債務人違約時所產生的損失 c=2 時所得出三種方法的模擬值，
這 邊 我 們 以 蒙 地 卡 羅 法 的 值 為 標 準 ， 選 取 當 蒙 地 卡 羅 法 尾 端 機 率 接 近 (0.05、0.01、0.005)三個值時的風險值，同時也列出該風險值在三種方法模擬下 的估計值及變異數，最後計算在該風險值上的 VR 值，檢驗 GIS、MIS 重要性取 樣法是否達到變異數縮減的效果。
投資組合 B (c=2) 風險值
(𝒙)
MC
(模擬：104,時間: 0: 05)
MIS
(模擬：103,時間: 0: 57)
GIS
(模擬：103,時間: 0: 22) 估計值 變異數 估計值 變異數
VR
估計值 變異數VR
𝑥 = 80 0.0599 0.056317 0.056731 0.000177 318 0.056601 0.006113 9 𝑥 = 200 0.0103 0.010194 0.009411 4.94E-06 2,065 0.009611 0.000378 27𝑥 = 60 0.0050 0.004975 0.004631 1.26E-06 3,935 0.005818 0.000157 32 表 4-4
圖 4-10 則是根據模擬資料所畫出來的尾端機率與損失水準的折線圖， 在圖 中，X 軸代表我們的損失水準，Y 軸代表當損失水準在特定的值時，所產生的尾 端機率。
圖 4-10 投資組合 B 損失程度 c=2 之三種方法比較 2. 投資組合 B-2
此投資組合的債務人個數 m = 1000，系統風險因子個數 d = 10，系統風險因 子的因子負荷𝑎1, … , 𝑎10~𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚 (0, 1
√𝑑)，個別債務人的違約機率𝑝𝑘 = 0.01 ∙
1, … , 𝑚。
下面表 4-5 為債務人違約時所產生的損失非固定時所得出蒙地卡羅法及 GIS 重要性取樣法的模擬值，其中因為 MIS 重要性取樣法在損失程度𝑐𝑘為非固定值 時，模擬過程繁複且困難，因此在這裡我們將此方法排除，不建議使用。這邊我 們 以 蒙 地 卡 羅 法 的 值 為 標 準 ， 選 取 當 蒙 地 卡 羅 法 尾 端 機 率 接 近 (0.05、0.01、0.005)三個值時的風險值，同時也列出該風險值在兩種方法模擬下 的估計值及變異數，最後計算在該風險值上的 VR 值，檢驗 GIS 重要性取樣法是 否達到變異數縮減的效果。
投資組合 B 風險值
(𝒙)
MC
(模擬：104,時間: 0: 04)
GIS
(模擬：103,時間: 0: 38)
估計值 變異數 估計值 變異數
VR
𝑥 = 450 0.0538 0.050911 0.060483 0.007299 7 𝑥 = 1050 0.0106 0.010488 0.010809 0.000302 35 𝑥 = 1350 0.0054 0.005371 0.005051 8.70E-05 62
表 4-5
圖 4-11 為此做合下所畫出來的尾端機率與損失水準的折線圖， 在圖中，X 軸代表我們的損失水準，Y 軸代表當損失水準在特定的值時，所產生的尾端機率。
圖 4-11 投資組合 B 損失程度不固定之兩種方法比較
3. 投資組合 C
在多因子模型組合下我們針對另一個較多系統風險因子的投資組合 C 來進 行模擬。
此投資組合的債務人個數 m = 1000，系統風險因子個數 d = 21，個債務人的 違約機率𝑝𝑘= 0.01 ∙ (1 + 𝑠𝑖𝑛 (16𝜋𝑘
𝑚 )) , 𝑘 = 1, … , 𝑚，債務人違約時所產生的損失 𝑐𝑘隨著 k 從 1 遞增到 1000 而從 1 遞增到 100，而這個投資組合的系統風險因子 我們下列矩陣模式來表達：
𝐴＝ [ 𝑅
𝐹 ⋯ 𝐹
⋮ ⋱ ⋮ 𝐹 ⋯ 𝐹
𝐺
⋮ 𝐺
] , 𝐺＝ [
g ⋯ g
⋮ ⋱ ⋮ g ⋯ g
]
其中 R 是一個 1000x1 的行向量，每一個值皆為 0.8；F 則為 100x1 的行向 量，每個值皆為 0.4；而 G 則是 100x10 的矩陣，且 g 是 10x1 的行向量，每一個 值皆為 0.4；這邊我們可將 R 視為市場的系統風險因子，F 則是視為工業的系統 風險因子，G 則是是為區域的系統風險因子。市場風險因子的因子負荷皆為 0.8，
工業及區域風險因子的因子負荷則皆為 0.4。
由於在投資組合 B 時已知道當損失程度為不固定時，MIS 不建議使用，因此這 邊我們一樣將此方法排除。我們以蒙地卡羅法的模擬值做為標準，選取當蒙地卡 羅法尾端機率接近(0.05、0.01、0.005)三個值時的風險值，同時也列出該風險值 在種方法模擬下的估計值及變異數，最後計算在該風險值上的 VR 值，檢驗 GIS 重要性取樣法是否達到變異數縮減的效果。
投資組合 C
風險值 (𝒙)
MC
(模擬：105, 時間：
1:04)
GIS
(模擬：103, 時間：1:23)
估計值 變異數 估計值 變異數
VR
𝑥 =2500 0.0495 0.002168 0.051767 0.002854 6
𝑥 =10500 0.0104 0.000997 0.008979 0.000510 38
𝑥 =15500 0.0049 0.000697 0.004984 0.000302 53 表 4-6
而為了驗證我們上面 GIS 重要性取樣法無誤，我們也以 Glasserman and Li (2005) 所發表出的模擬結果作為比照對象，並根據上面所選擇的風險值，從我們 所模擬的數據當中挑選出同樣的位置進行比對，下面表 4-7 為我們模擬出來蒙地 卡羅法與 GIS 重要性取樣法的模擬值，比對 Glasserman 所發表出來的結果，可 以發現結果近乎相同，因此，這也證明了我們所使用的 GIS 重要性取樣法是沒 有問題的。
投資組合 C 風險值
(𝒙)
Glasserman MC GIS
估計值
VR
估計值 標準誤 估計值 標準誤VR
10000 0.0114 33 0.0109 0.001039 0.010342 0.000588 31 14000 0.0065 53 0.0061 0.000778 0.005922 0.000352 49 18000 0.0037 83 0.0034 0.000581 0.003319 0.000217 72 22000 0.0021 125 0.0019 0.000430 0.001928 0.000139 96 30000 0.0006 278 0.0006 0.000251 0.000594 5.21E-05 232 40000 0.0001 977 0.0001 0.000100 7.64E-05 1.06E-05 889表 4-7
首先，我們先來探討𝑐𝑘= c的情況，由於投資組合 B 的債務人邊際違約機率 與 10 個系統風險因子的因子負荷皆不同，因此，在這邊我們透過表格 4 觀察到 當我們的風險值越高時，也就是我們的尾端機率越低時的影響情況，這裡我們可 以發現，隨著風險值的提高，MIS 與 GIS 重要性取樣法的 VR 值也跟著提升，表 示隨著我們的風險值越大尾端機率越小時，我們變異數縮減的效果越好。
而根據圖 4-10 我們也可以發現，相較於 GIS 重要性取樣法，MIS 重要性取 樣法的可模擬範圍更廣，且時間也更快。
接著，我們來探討當𝑐𝑘不固定時的情況，由於 MIS 重要性取樣法在此情況 下會有模擬上的困難，因此，這邊我們只討論 GIS 重要性取樣法與蒙地卡羅法的 比較，從投資組合 B-2 的表格 5 中我們可以看得出來，隨著風險值的提升，GIS 重要性取樣法的 VR 值也跟著提升，表示 GIS 重要性取樣法確實有達到變異數 縮減的效果，再來，我們觀察投資組合 C 的表格 6，一樣可以發現到，隨著風險 值增加，VR 值也跟著提升。
在多因子模型的情況下，GIS、MIS 重要性取樣法皆能有效達到變異數縮減 的效果，且皆能夠縮減模擬時間以及彌補蒙地卡羅法模擬範圍較短的不足，但 MIS 重要性取樣法相較於 GIS 重要性取樣法有使用限制，針對損失程度𝑐𝑘為不 固定的情況，MIS 重要性取樣法會導致模擬過程困難，因此並不是適用於此情況。