第三章 理論模型與研究方法
第二節 單根檢定
一數列具有單根，表示此時間數列為非定態，必頇經差分過後才能為一恆定 數列。若某序列頇經 d 次差分後才成為定態序列，則稱此序列變數其整合級次為 d，
可記為 I(d)。
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任何具有時間特性的資料，平均數及變異數不隨時間移動而改變，理論模型 的估計與預測分析才具意義，此時序列變數必頇為定態（stationary）。一數列為定 態時，當有外生衝擊發生，隨機過程的機率分配不會隨時間移動而改變，此外生 衝擊將僅具有短暫的影響，隨時間經過其效果會遞減，最終將回復至原始水準，
即可稱此數列具有均數回歸（mean reversion）之特性。反之，若機率分配會隨時 間而變，則當有外生衝擊發生時，此效果將不會隨時間經過而遞減，資料也會有 長期記憶的特性，產生長期性的影響，進而使數列偏離平均值，即可稱此數列具 有非定態之特性。
若時間序列資料未經單根檢定確認其是否已呈現定態，冒然對資料進行傳統 迴歸分析。若當資料確屬非定態時，將可能出現 Granger 及 Newbold（1974）所提 出之假性迴歸（spurious regression）現象，造成實證結果的誤判，導致錯誤的實質 經濟意義推論。以下將介紹文獻研究上較常被採用的單根檢定方法，並說明最適 落後期之選擇方式。
一、常用單根檢定方法
1. Dickey-Fuller（DF）單根檢定
Dickey 及 Fuller（1979）首先提出 Dickey-Fuller（DF）單根檢定法，其考慮一 期的自我迴歸模型（auto-regression，AR(1)）
（3.4）
經差分後，可得下列式子
（3.5）
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上述（3.2）式不含截距項及時間趨勢項，為最簡單之 DF 單根檢定方程式。
Dickey 及 Fuller（1981）將 DF 檢定方程式分別考慮截距項及時間趨勢項，成為以 下兩式
（1） 有截距項，但不包含時間趨勢項
（3.6）
（2） 有截距項與時間趨勢項
（3.7）
其中α0為截距項 t 為時間趨勢項 ε為殘差項
進行 DF 檢定之虛無假設和對立假設分別如下所示，
H0：α1 ＝ 0 H1：α1 ≠ 0
若檢定結果拒絕虛無假設，表示α1顯著異於零，則可確定此時間序列不具有 單根，為一定態之序列；若無法拒絕虛無假設，表示α1為零，則該時間序列具有 單根，表示此序列為非定態之序列，存有單根。
但在 DF 單根檢定中，並未考慮應變數之落後項，因此可能使迴歸式的殘差項 存在自我相關之現象，導致殘差項無法為一白噪音（white noise）。
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2. Augmented Dickey-Fuller（ADF）單根檢定
因此 Said 及 Dickey（1984）在原本的 DF 單根檢定中加入應變數的落後項，
提出 Augmented Dickey-Fuller（ADF）單根檢定，以期使殘差項符合白噪音。
ADF 單根檢定可運用於高階自我迴歸模型（AR(p)），藉由迴歸式中加入應變 數落後項的方法，消除殘差項的自我相關問題，使其為白噪音。如同 DF 單根檢定，
ADF 單根檢定亦可依是否考慮截距項及時間趨勢項，分為三種型態的迴歸式，如 下所示
（1）不包含截距項與時間趨勢項
（3.8）
（2）有截距項，但不包含時間趨勢項
（3.9）
（3）有截距項與時間趨勢項
（3.10）
其中α0為截距項 t 為時間趨勢項
p 為所選取之最適落後期 ε為殘差項
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1. Akaike Information Criterion（AIC 信息準則）
AIC 信息準是由 Akaike（1974）所提出，選取標準為以 AIC 之最小估計值為 最適落後期。AIC 信息準則是藉考量落後期數對誤差平方和與自由度的影響後，
所求得的最適落後期數。其計算方式如下所示
（3.11）
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其中 p 為落後期數 n 為有效樣本數
為誤差平方和，代表落後期數為 p 時之
然而 Hurvich 及 Tsai（1989）研究發現，當樣本數過小或模型配適參數個數與 樣本數的比例偏大時，AIC 信息準則會產生嚴重的過度配適（overfitting）問題。
2. Schwarz’s Bayesian Information Criterion（SIC、SBC 信息準則）
Schwarz（1978）利用貝氏方法建立之 SBC 模型選取準則，選取標準與 AIC 信息準則相同，以 SBC 之最小估計值為最適落後期。其計算方式如下所示
（3.12）
其中 p 為落後期數 n 為有效樣本數
為誤差平方和，代表落後期數為 p 時之
然而經過去研究發現，SBC 信息準則在小樣本時同樣有過度配適的問題。
3. Schwert 方法
Schwert（1987）所採用之方法可用來決定模型的最適落後期數，其以不大於 所求得 p 值之整數為模型之最適落後期，此種方法主要運用在 KPSS
（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin）單根檢定。計算方式如下
（3.13）
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其中 p 為落後期數
〔〕為高斯符號，表示取至不大於該數之最大整數 T 為樣本數
4. 逐步迴歸
將兩個不同期數的模型利用 t 檢定或 F 檢定，來檢定落後期數之係數是否顯著，
以決定模型之最適落後期。
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（threshold autoregressive model，TAR），用以描述偏誤調整行為為一間斷的非線性 動態調整過程。晚近的學者為了使門檻自我迴歸模型更一般化，Granger 及
Terasvirta（1993）便提出平滑轉換自我迴歸模型（smooth transition autoregressive model，STAR），可將偏誤調整行為描繪成一平滑且連續的非線性動態過程。
STAR 模型可以簡單的用下列式子表示之
（3.14）
其中 Yt為一定態（stationary）且具遍歷性（ergodicity）的過程 ε為殘差項且滿足ε～iid（0 , σ2）
p 為落後期數
μ1、μ2、μij（i = 1 , 2、j = 1 , 2 … p）為模型待估參數 F（Yt-d ,γ, c）為轉換函數，為一連續函數且 F∈〔0,1〕
d 為延遲期數（delay）
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γ為調整速度 c 為門檻值
其中調整速度γ通常大於零，其表示從一形態轉換至另一形態的速度。當調 整速度γ越大，函數變動的幅度也相對越大，表示當變數受到外生衝擊影響時，
調整的速度較快，變數被影響的時間較短。反之，當調整速度γ越小時，其必頇 花費較長的時間來調整外生衝擊對變數所造成的影響。
此外臨界值 c 愈大，表示轉換函數對外在衝擊的容忍度愈大，較不易作出不同結 構之動態調整。
由於轉換函數 F 基本上可分為兩大類，對數型（logistic）函數及指數型
（exponential）函數，因此 STAR 模型可依轉換函數型態分為兩大類，即對數型平 滑轉換自我迴歸模型（logistic smooth transition autoregressive model，LSTAR）及 指數型平滑轉換自我迴歸模型（exponential smooth transition autoregressive model，
ESTAR）。以下將介紹兩種轉換函數的特性。
（1）對數型（logistic）函數
當 F 為對數型函數時，其可以下列式子表示之
（3.15）
A.當調整速度γ= ∞ 、Yt-d ＞ c 時，F（Yt-d ,γ, c）＝1 B.當調整速度γ= ∞ 、Yt-d ＜ c 時，F（Yt-d ,γ, c）＝0 C.當調整速度γ= 0 時，F（Yt-d ,γ, c）= 1 / 2
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Chen 及 Wu（2000）表示由以上條件假設可看出，當調整速度γ過大，門檻 值為 c 時，F（Yt-d ,γ, c）將等於 0 或 1，模型將退化為兩條件迴歸式，即模型退 化為門檻自我迴歸模型（threshold autoregressive model，TAR）（Tong（1978））。
若將對數型轉換函數繪於圖形，可由圖形看前述單調遞增函數（monotonically increasing function），且其轉換之過程呈平滑且連續的特性。如下圖所示
資料來源：李建強、張佩鈴、陳珮芬（2006）「台灣毛豬市場批發價格的非線性模型分析」
【圖 3-3】 對數型轉換函數圖形
（2）指數型（exponential）函數
當 F 為指數型函數時，其可以下列計算式表示之
（3.16）
A. 當調整速度γ= ∞ 時，F（Yt-d ,γ, c）= 1 B. 當調整速度γ= 0 時，F（Yt-d ,γ, c）= 0
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若將對數型轉換函數繪於圖形，可明顯看出其圖形呈現 U 字型，並且以臨界 值 c 為對稱點，且其轉換的過程呈現平滑且連續的特性。如下圖所示
資料來源：李建強、張佩鈴、陳珮芬（2006）「台灣毛豬市場批發價格的非線性模型分析」
【圖 3-4】 指數型轉換函數圖形
由以上兩種轉換函數圖形可看出，兩種模型（LSTAR、ESTAR）皆呈現平滑 且連續的轉換過程，但兩種模型的基本轉換方式卻大不相同。LSTAR 對於在兩形 態間呈現平滑轉換過程且不具有對稱性的序列資料，其解釋能力較強；而 ESTAR 對於在兩形態間具有對稱性轉換的序列資料，其解釋能力較強。
2. 建立自我迴歸（auto-regression，AR）模型
欲進行後續相關研究，必頇先建立一個自我迴歸模型，用以確定模型的落後 期數（p）。首先，必頇先估計一階自我迴歸模型（AR（1）），其可表示為
（3.17）
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並分別求算 AIC 及 SBC，待下步驟使用。接著估計二階自我迴歸模型（AR（2））， 其可表示為
（3.18）
同樣分別求算 AIC 及 SBC，待下步驟使用。持續進行上述步驟，求算更高階 次自我迴歸模型之 AIC 及 SBC。最後比較這些自我迴歸模型的 AIC 及 SBC，選擇 AIC 及 SBC 值最小之自我迴歸模型，以決定最適落後期 p。
然而本研究因後續採用 WinRATS Pro7.0 軟體進行實證過程，故將採取軟體內 建之最適落後期，做為該研究之最適落後期選擇方式。
3. 線性檢定
欲進行線性檢定，必頇先給予其一輔助迴歸方程式，Teräsvirta（1994）文中 提到利用三階泰勒展開式，可將標的變數 Yt表示為
（3.19）
其中 d 為延遲期數 ε為殘差項
進行線性檢定之虛無假設和對立假設分別如下所示 H0：β1j ＝β2j＝β3j＝ 0 ， j＝1,2…p H1：上列有一關係不成立
若檢定結果不拒絕虛無假設 H0，則表示該方程式為線性模型；反之，若檢定 結果拒絕虛無假設 H0，則表示該方程式拒絕線性的假設，為非線性模型。
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於套裝軟體 WinRATS Pro7.0 操作線性檢定時，軟體會依據給定之 d 值範圍，
由小而大逐一測詴非線性條件，我們選擇 p-value 最小之結果，做為線性檢定之參 考指標。則此時滿足該非線性條件下的 d 值，即為 STAR 模型中的最適延遲期數 d。
4. 選擇 STAR 模型（ESTAR 或 LSTAR）
經過線性檢定確定模型為非線性後，接著必頇決定此模型適合何種 STAR 模 型。Teräsvirta 及 Granger（1993）提出選擇最佳配適之非線性模型的方法，可用於 判別模型為 ESTAR 或 LSTAR。其所用之檢定虛無假設及對立假設如下
H01：β3j ＝ 0 ， j＝1,2…p
H02：β2j ＝ 0∣β3j＝ 0 ， j＝1,2…p H03：β1j ＝ 0∣β2j＝β3j＝ 0 ， j＝1,2…p
經過進行一系列的檢定過程，當檢定結果拒絕 H01：β3j ＝ 0，表示該時間序 列資料適合 LSTAR 模型；當檢定結果接受 H01：β3j ＝ 0，但拒絕 H02：β2j ＝ 0
∣β3j＝ 0 表示該時間序列資料適合 ESTAR 模型；當檢定結果接受 H01：β3j ＝ 0 及 H02：β2j ＝ 0∣β3j＝ 0，但拒絕 H03：β1j ＝ 0∣β2j＝β3j＝ 0，表示該時間序 列資料適合 LSTAR 模型。若檢定結果全部接受 H01：β3j ＝ 0、H02：β2j ＝ 0∣
β3j＝ 0 及 H03：β1j ＝ 0∣β2j＝β3j＝ 0，則模型應為線性模型。
理論的檢定方式如上所述，依序檢定 H01：β3j ＝ 0、H02：β2j ＝ 0∣β3j＝ 0 及 H03：β1j ＝ 0∣β2j＝β3j＝ 0，選擇出最佳配適之非線性模型。然而一般在設 定較低顯著水準或採用較長樣本期間之情況下，檢定結果極易拒絕 H01：β3j ＝ 0，
而誤判模型最佳配適類型為 LSTAR，造成模型建立上的偏誤。
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Teräsvirta 及 Granger（1993）、Teräsvirta（1994）針對此問題提出解決方法，
其建議應同時考慮 H01：β3j ＝ 0、H02：β2j ＝ 0∣β3j＝ 0 及 H03：β1j ＝ 0∣β
2j＝β3j＝0 三個虛無假設之 p-value，以最小者為其判別依據。即若 H01或 H03之
2j＝β3j＝0 三個虛無假設之 p-value，以最小者為其判別依據。即若 H01或 H03之