因素分析模式架構

因素分析是討論如何將 p 個變數

X X

₁

,

₂

, , L X

_p^{中的每一個變數X 分成少數幾個i} 共同因素（Common Factor）

F F

₁

, , ,

₂

L F

_m（m<p，且通常比 p 小很多），與獨特因素

（Specific Factor）

ε

_i的線性組合。即

1

- =

1 11 1 12 2 1_{m m} 1

X μ l F + l F + L + l F + ε

2

- =

2 21 1 22 2 2_{m m} 2

X μ l F + l F + L + l F + ε

25

M

1 1 2 2

p

- =

p p p pm m p

X μ l F + l F + L + l F + ε

其中

F F

₁

, , ,

₂

L F

_m是共同因素（簡稱因素），包含在變數

X

_i中，而

ε

_i是獨特因素，只 在第 i 個變數

X

_i才有。

l

_ij（

i = 1, , L p ^， j = 1, , L m

^{）為第 i 個變數}

X

i在第 j 個共同 因素

F

_j的權重或因素負荷（或簡稱為負荷，Factor Loading）。

1.

因素分析模式基本假設

因素分析的基本假設有下列三項：

(1) 獨特因素

ε

₁

,..., ε

_p是互相獨立且具常態分配，且

ε

_i的平均數為0，而變異數

為

ψ

_i，即

1

p

ε ε

ε

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

% M ～

1 2

0 0

0

0 0

0 , =

0 0

0

_p

N

ψ ψ ψ

ψ

⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎞

⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟

⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟

⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟

⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟

⎜ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎟

⎝ ⎠

L L

M M O M

M

L

其中

ψ

是對角矩陣，表示獨特因素

ε

_i之間是獨立的。

(2) 共同因素F₁, ,L F_m間的共變量矩陣為Φ ，即

令

1

m

F F

F

⎡ ⎤ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

% M

^,則

11 12 1

21 22 2

1 2

( ) ( ')

m

m

m m mm

Cov F E FF

Φ Φ Φ

⎡ ⎤

⎢ Φ Φ Φ ⎥

⎢ ⎥

= = Φ =

⎢ ⎥

⎢ Φ Φ Φ ⎥

⎣ ⎦

L L

% % % M M O M

L

一般要求Φ 對角線上的元素Φ = ，而當時 i_ii 1 ≠ (即對角線外)時則j Φ = ，_ij 0

26

也就是Φ 為單位矩陣，表示共同因素間是獨立的，且變異數皆為 1，此為最常遇 到的要求。

(3) 共同因素與獨特因素間也是獨立的，即

( , ) 0

_{j i}

Cov F ε =

^{，對所有 i, j}

因素分析模式也可寫成矩陣表示法

X − = μ LF + ε

% % % %

其中

11 1 1

1 1 1

21 2 2

1

X

, , , ,

X

m m

p p m

p pm p

l l

l l F

X L F

l l F

μ ε

μ ε ε

μ ε

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

L

M M M

M M M

% % % %

L

而

E F ( ) 0, =

% % Cov F ( ) = Φ ,

% E ( ) 0, ε =

% % Cov ( ) ε = ψ ,

% Cov ( , ) 0 ε F =

%

%

2.

因素模式中因素之決定

因素分析要達到簡化的目標，選取因素愈少愈好，但選取的因素少表示其解釋能 力相對較低，代表性相對不足。因此如何在簡化與代表性之間取得平衡乃是一個兩難 的問題，看法亦見仁見智，以下提出一些常用來決定選取因素個數的參考標準。

(i) 凱莎(Kaiser)準則

保留特徵值大於1(或大於所有變數的平均變異數)的因素，亦即除非選取的因素 解釋度多於原始變數平均，否則不選取，由凱莎在1960 年所提出的，選取因素個數 時，最常使用的準則之一。

(ii) 陡坡圖(Scree plot)檢驗

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陡坡圖是Cattell(1966)所提出的一種圖形判斷方法，原理與主成分分析相同，根 據因素之解釋比例作成一個折線圖，當折線開始不陡時，表示接下來的特徵值差異不 多，其後之因素可不需選取。

(iii) 累積解釋能力

由研究者所設定一個累積解釋之比例(如60%以上)，再從所有因素中由解釋能力 較大者開始選取，直至所選取的因素累積能力總和達到要求之門檻為止。

(iv) 特徵值

所選取的特徵值其值要大於所有特徵值的平均，即若以相關矩陣來做分析，則選 出特徵值大於1 之因素，針對因素個數選取的問題，通常還需符合下列幾項原則：

I. 一般而言，凱莎法偏向選取較多的因素，而相對的陡坡圖則會選取較少的因 素。

II. 實務上，選取的因素需以「解釋」或「說明意義」的程度為主要考量。

III. 一般由 p 個變數選取 m 個因素時常需滿足1

( 1) ( 1) 0

2 p p+ −p m+ ≥ 及p>2m (v) KMO 值

在因素項目的挑選，除參考凱莎(Kaiser)準則、陡坡圖(Scree plot)檢驗兩大 主要判斷標準外，還需考量樣本數、題項數、變項共同性的大小等。除此之外，

題項間是否適合進行因素分析，依據Kaiser(1974)的觀點，可從取樣適切性量數 值(Kaiser-Meyer-Olkin measure of sampling adequacy；KMO)的大小來判別，其判 斷的準則如下表3-2：

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表 3-2 KMO 統計量值

KMO 統計量值 因素分析適合性

0.9 以上 極適合進行因素分析

0.8 以上 適合進行因素分析

0.7 以上 尚可進行因素分析

0.6 以上 勉強可進行因素分析

0.5 以上 不適合進行因素分析

0.5 以下 非常不適合進行因素分析

進行因素分析前，需先檢查變項間的相關矩陣，因為在因素分析時變項間需具有 一定的相關程度，相關性太高或太低的變項，皆會造成因素分析的困難。相關性太低 則很難篩選出穩定的共同因素，也不適於進行因素分析，通常相關係數絕對值低於 0.3 時，題項間便不適合進行因素分析；而題項間的相關性太高，便會發生如迴歸分 析之多重共線性(multicollinearity)問題、區別效度有待檢驗或獲得的因素價值性不高 (邱皓政，2000)……等問題，可透過 KMO 來檢驗。

在社會科學領域中，常用李克特式之多選項量表(multiple-item scale)，嚴格說起 來，量表之變項特性是一種次序(ordinal)變項，但次序變項與名義(nominal)變項均屬

「間斷變項」(discrete variable) 。間斷變項無法求其平均數、或進行相關、迴歸等統 計分析，因而無法驗證相關的研究假設。所以多數研究者在編制多選項量表時，會把 量表視為等距的連續變項來設計，如此才能進行有意義的資料統計分析與歸納出合理 的結論(Bryman & Cramer ,1997)。

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在文檔中 中 華 大 學 (頁 35-40)