第五章 變分方程式之處理
6.1 動態估計
6.1.2 實驗流程
在本實驗中，使用 GPS 衛星預估星曆及精密星曆，CHAMP 衛 星之軌道成果則是以無電離層載波三次差分觀測量所估計出各個時 刻的 CHAMP 衛星位置。圖 6-2 顯示本研究以動態法計算 CHAMP 短弧軌道之實驗流程。
CHAMP觀測資料 IGS追蹤站觀測 資料
GPS預估星曆 /精密星曆
單點定位
CHAMP近似位置
組三次差分觀測量 (加入載波相位中心改正, 對流層改正及地球自轉改正)
最小二乘法 (加入固體潮改正) CHAMP姿態
角參數
轉換姿態角至地 心地固坐標系
成果比較 CMAHP精密星 曆(PSO) 相位中心改正至質量
中心 CAHMP姿態角
改正量
CHAMP短弧 軌道 輸入觀測資料及星
曆至暫存資料庫
圖 6-2 以動態法計算 CHAMP 短弧軌道之實驗流程圖
實驗中對 GPS 雙頻觀測量組合成無電離層線性組合，並加入時 錶誤差改正，估計出 CHAMP 衛星在各個時段之位置作為起始值。
在計算過程中，先假設在 時刻的 CHAMP 衛星 位置為已知，利用 載波三次差分觀測量對在 時刻的 CHAMP 衛星 位置進行解算。
t
1l
1t
2l
2在組成三次差分之過程中，將相鄰兩時刻的二次差分觀測量相 減，以消除大量誤差，且避免二次差分需求解週波未定值之問題。
將雙頻觀測量組合成無電離層的線性組合，以消除差分觀測量中的 殘餘的電離層效應，過程中並加入對流層改正、天線相位中心改正 與地球旋轉改正等。
在最小二乘法中，由 CHAMP 衛星軌道的起始值，與無電離層 載波三次差分觀測量組成法方程式（normal equation），並修正固體 潮 所 造 成 測 站 坐 標 的 影 響 。 在 解 算 法 方 程 時 ， 使 用 巧 列 斯 基
（cholesky）法約化法方程式，以節省法方程矩陣在求逆所耗損之時 間及避免出現奇異解的狀況，再經由迭代收歛後得到 CHAMP 衛星 的短弧軌道。由於此短弧軌道為參考於 CHAMP 衛星相位中心，須 經由坐標轉換後之 CHAMP 姿態角參數，將此 CHAMP 軌道轉換到 參考於質量中心上，最後與德國 GFZ 提供之精密星曆（PSO）作比 較分析。一般而言，衛星軌道之差異均以徑向（radial）、沿軌道方 向（along-track）與橫向（cross-track）三軸表示較能適切地顯現其 在空間中的相對關係，因此本研究最後成果的展現亦轉換至此一坐 標系，以說明研究中估計之軌道與 PSO 之差異情況。
6.1.3 實驗設計
本研究之實驗分別使用 GPS 預估星曆與精密星曆兩種不同精度 之星曆，並分別估計 240 分鐘（即 480 筆觀測資料）與 100 分鐘（即 200 筆觀測資料）不同弧長之軌道。目前 IGS 提供之精密星曆雖被 公認為最精確之 GPS 軌道，軌道精度優於 5 公分之等級，但由於獲 得的時間需於三週後並不符合近即時的需求；而預估星曆之精度雖
僅為約 50 公分，但由於在事前即可獲得其預估之軌道資訊，符合即 時之任務需求。故本研究中以採用 GPS 精密星曆之成果作為對照 組，目的在於比較使用精度較差之 GPS 預估星曆與精度較佳之 GPS 精密星曆所估計獲得之低軌衛星軌道成果差異是否顯著。此外，
CHAMP 衛星繞地一週約 93 分鐘，因此實驗中估計 100 分鐘短弧軌 道，約為 1 個繞地週期，另外也估計較長時間段的短弧軌道為 240 分鐘，約為 2.5 倍繞地週期，以比較估計不同長度之短弧軌道精度 差異性。軌道精度之評定首先檢核研究中各軌道弧段之內在精度，
每個相鄰時間段之短弧軌道均有重疊部分，100 分鐘短弧軌道重疊 約 10 分鐘，240 分鐘短弧軌道則重疊約 20 分鐘。而外在精度檢核 則是將軌道估計成果與德國 GFZ 資料計算與處理中心所提供之 CHAMP 衛星精密星曆 PSO 進行比較分析，藉此了解以動態法估計 CHAMP 低軌衛星與 PSO 間之差異變化情形。
為了更清楚地表示實驗中各弧段所代表的時間段，表 6-1 表示 軌道弧長為 240 分鐘之各弧段所涵蓋的時間，表 6-2 則表示軌道弧 長為 100 分鐘之各弧段所涵蓋的時間。
表 6-1 弧長 240 分鐘軌道涵蓋時間
Arc number Time Arc number Time
Arc2-1 2001/06/15 00:00—04:00 Arc2-9 2001/12/20 10:40—13:40 Arc2-2 2001/06/15 03:20—07:20 Arc2-10 2001/12/20 14:10—16:10 Arc2-3 2001/06/15 06:40—10:40 Arc2-11 2001/12/20 15:30—19:30 Arc2-4 2001/06/15 11:40—15:40 Arc2-12 2001/12/23 00:00—04:00 Arc2-5 2001/06/15 15:00—19:00 Arc2-13 2001/12/23 03:20—07:20 Arc2-6 2001/12/20 00:00—04:00 Arc2-14 2001/12/23 08:20—12:20 Arc2-7 2001/12/20 03:20—07:20 Arc2-15 2001/12/23 18:20—22:20 Arc2-8 2001/12/20 06:40—10:40
表 6-2 弧長 100 分鐘軌道涵蓋時間
Arc number Time Arc number Time
Arc1-1 2001/06/15 01:30—03:10 Arc1-18 2001/12/20 14:10—15:50 Arc1-2 2001/06/15 03:00—04:40 Arc1-19 2001/12/20 15:40—17:20 Arc1-3 2001/06/15 04:30—06:10 Arc1-20 2001/12/20 17:10—18:50 Arc1-4 2001/06/15 06:10—07:40 Arc1-21 2001/12/20 18:40—20:20 Arc1-5 2001/06/15 07:30—09:10 Arc1-22 2001/12/23 00:00—01:40 Arc1-6 2001/06/15 09:00—10:40 Arc1-23 2001/12/23 01:30—03:10 Arc1-7 2001/06/15 11:20—13:00 Arc1-24 2001/12/23 03:00—04:40 Arc1-8 2001/06/15 12:50—14:30 Arc1-25 2001/12/23 04:30—06:10 Arc1-9 2001/12/20 00:00—01:40 Arc1-26 2001/12/23 06:00—07:40 Arc1-10 2001/12/20 01:30—03:10 Arc1-27 2001/12/23 08:10—09:50 Arc1-11 2001/12/20 03:00—04:40 Arc1-28 2001/12/23 09:40—11:20 Arc1-12 2001/12/20 04:30—06:10 Arc1-29 2001/12/23 11:10—12:50 Arc1-13 2001/12/20 06:00—07:40 Arc1-30 2001/12/23 14:10—15:50 Arc1-14 2001/12/20 07:30—09:10 Arc1-30 2001/12/23 15:40—17:20 Arc1-15 2001/12/20 09:00—10:40 Arc1-32 2001/12/23 17:40—19:20 Arc1-16 2001/12/20 10:30—12:10 Arc1-33 2001/12/23 19:10—20:50 Arc1-17 2001/12/20 12:00—13:40 Arc1-34 2001/12/23 20:40—22:20
6.1.4 研究成果與分析
6.1.4.1 內在精度檢核
表 6-3 表示使用 GPS 預估星曆估計 100 分鐘短弧軌道之重疊軌 道於徑向、沿軌道方向與橫向三分量之 RMS 值與 3D RMS 值，表 6-4 則為使用 GPS 精密星曆，除了日期不同以及觀測資料中斷無法形成 重疊軌道之外，其餘所有軌道弧段均與相鄰時段軌道重疊，三天 100 分鐘短弧軌道共有 26 組重疊軌道。表 6-3 中有三組資料之 3D RMS 值高達±60 公分以上（Arc1-11/1-12 與 Arc1-14/1-15）甚至到達±1 公 尺（Arc1-16/1-17），明顯大於其餘各組。全部資料於徑向、沿軌道向 與橫向之 RMS 值分別為±32、±21 與±13 公分，3D RMS 值則為±40
公分。當改使用 GPS 精密星曆後，即表 6-4 所示，表 6-3 中 RMS 值 超過±60 公分之三組 RMS 值已明顯改善，其中以 Arc1-16/1-17 該組 精度提升 3 倍之多最為顯著。探究發生此一現象之原因，在於預估星 曆中經常發生部分衛星軌道資訊遺漏的情形，此一疏漏將對低軌衛星 軌道估計造成影響，當改使用資料頗齊全之精密星曆後可顯見其改善 成效。使用精密星曆後，全部資料於徑向、沿軌道向與橫向之 RMS 值分別為±19、±17 與±13 公分，3D RMS 值則為±28 公分。很明顯地，
在徑向與沿軌道方向顯示出明顯地改善特別是於徑向方向，橫向方向 則顯示較為一致的精度。
表 6-5 與表 6-6 則分別表示使用 GPS 預估星曆和精密星曆估計 240 分鐘短弧重疊軌道於徑向、沿軌道方向與橫向三分量之 RMS 值 與 3D RMS 值，由於軌道重疊時間較長，因此重疊軌道部分受資料中 斷影響頗大，故三天 240 分鐘短弧軌道之重疊軌道部分僅有 8 組。由 於表 6-6 所表示的是使用 GPS 預估星曆估計時間段較長之 240 分鐘 短弧軌道，因此並未出現如同表 6-3 般部分弧段之 RMS 值高於±60 公分，且全部資料於徑向、沿軌道方向和橫向方向之 RMS 值分別為
±20、±18 與±15 公分，3D RMS 值則為±32 公分。當改使用 GPS 精密 星曆後，如表 6-7 所示，全部資料於三分量之 RMS 值各為±12、±10 與±16 公分，3D RMS 值則為±23 公分。其三分量 RMS 值改善情形與 100 分鐘短弧軌道重疊部分表現一致，即徑向與沿軌道方向較為顯 著，且無論估計 240 分鐘或 100 分鐘短弧重疊軌道，使用精密星曆後 可提升使用預估星曆之 3D RMS 值均約為 30%，可見使用精密星曆 相對於使用預估星曆對重疊軌道之改善並不會因軌道弧段之長短而 有所不同。若同為使用 GPS 預估星曆或精密星曆，則 240 分鐘短弧 軌道重疊部分之 3D RMS 值均略優於 100 分鐘短弧軌道重疊部分 20%
左右。
表 6-3 100 分鐘軌道弧段重疊軌道比較表（使用 GPS 預估星曆）
Arc No.
徑向差值之 RMS 值
（±cm）
沿軌道向差值 之 RMS 值
（±cm）
橫向差值之 RMS 值
（±cm）
3D RMS 值（ cm）± 1-1/1-2 20 21 31 43
1-2/1-3 45 14 6 47
1-3/1-4 47 19 11 52 1-4/1-5 46 16 13 51 1-5/c1-6 16 8 10 21
1-7/1-8 3 2 9 10
1-9/1-10 19 4 3 20
1-10/1-11 19 12 4 23 1-11/1-12* 22 60 3 64 1-12/1-13 20 27 13 36 1-13/1-14 10 5 16 20 1-14/1-15* 58 26 6 64 1-15/1-16 22 31 10 40 1-16/1-17* 100 37 13 107 1-18/1-19 44 16 17 50 1-19/1-20 6 2 21 22 1-20/1-21 6 20 2 22 1-22/1-23 10 4 15 19
1-23/1-24 5 3 7 9
1-24/1-25 10 13 3 17 1-25/1-26 32 24 14 43 1-27/1-28 19 11 12 25 1-28/1-29 12 11 4 17 1-29/1-30 21 4 9 23 1-32/1-33 45 18 8 49 1-33/1-34 26 41 22 54
全部資料 32 21 13 40
表 6-4 100 分鐘軌道弧段重疊軌道比較表（使用 GPS 精密星曆）
Arc No. 徑向差值之 RMS 值（±cm）
沿軌道向差值 之 RMS 值
（±cm）
橫向差值之 RMS 值（±cm）
3D RMS 值（ cm）±
1-1/1-2 22 16 29 40
1-2/1-3 29 11 6 31
1-3/1-4 31 13 21 40
1-4/1-5 28 17 21 39
1-5/c1-6 30 22 8 39
1-7/1-8 26 8 22 35
1-9/1-10 22 9 6 25
1-10/1-11 17 19 7 27 1-11/1-12 15 46 5 49
1-12/1-13 19 6 3 20
1-13/1-14 7 21 17 28 1-14/1-15 29 10 14 34 1-15/1-16 13 40 2 42 1-16/1-17 18 10 28 35
1-18/1-19 8 1 5 10
1-19/1-20 6 4 15 17
1-20/1-21 19 23 11 32
1-22/1-23 3 5 7 9
1-23/1-24 3 4 6 8
1-24/1-25 14 9 1 17
1-25/1-26 23 16 14 32
1-27/1-28 9 7 8 14
1-28/1-29 5 14 15 21 1-29/1-30 15 17 4 24 1-32/1-33 22 17 1 28 1-33/1-34 22 44 7 50
全部資料 19 17 13 28
表 6-5 240 分鐘軌道弧段重疊軌道比較表（使用 GPS 預估星曆）
Arc No. 徑向差值之 RMS 值（ cm）±
沿軌道向差值 之 RMS 值
（±cm）
橫向差值之 RMS 值（±cm）
3D RMS 值（ cm）± 2-1/2-2 30 16 15 38 2-2/2-3 17 20 22 34 2-4/2-5 13 14 26 33 2-6/2-7 16 18 10 28
2-7/2-8 27 25 4 37
2-8/2-9 8 9 13 18
2-10/2-11 31 27 15 43 2-12/2-13 5 6 11 13
全部資料 20 18 15 32
表 6-6 240 分鐘軌道弧段重疊軌道比較表（使用 GPS 精密星曆）
Arc No. 徑向差值之 RMS 值（ cm）±
沿軌道向差值 之 RMS 值
（±cm）
橫向差值之 RMS 值（±cm）
3D RMS 值（ cm）±
2-1/2-2 26 7 20 34
2-2/2-3 8 16 12 22
2-4/2-5 6 8 32 33
2-6/2-7 16 16 3 23
2-7/2-8 6 6 9 13
2-8/2-9 2 6 2 7
2-10/2-11 9 10 18 22
2-12/2-13 5 6 9 12
全部資料 12 10 16 23
6.1.4.2 外在精度檢核
圖 6-3 與圖 6-4 分別為使用 GPS 預估星曆與精密星曆估計之 100 分鐘短弧軌道 Arc1-2，圖 6-3 中徑向方向接近第 60 分鐘有一明顯震 盪約 1 公尺，使該分量之 RMS 值達到約±31 公分，在使用精密星曆 之圖 6-4 中則獲得顯著地改善，不但震盪起伏之差異性不再出現且 RMS 值亦降至±23 公分，沿軌道方向與橫向兩分量亦顯得較為平滑。
圖 6-5 與圖 6-6 為 Arc1-4、圖 6-7 與圖 6-8 為 Arc1-13、圖 6-9 與圖 6-10
為 Arc1-19、圖 6-11 與圖 6-12 為 Arc1-23 分別使用 GPS 預估星曆與 精密星曆估計之 100 分鐘短弧軌道。
從左右兩圖之比較可見，使用 GPS 精密星曆的確有助於改善軌 道估計成果與 PSO 之差異。表 6-7 與表 6-8 則分別表示使用 GPS 預 估星曆與精密星曆估計 100 分鐘短弧軌道與 PSO 差值之 RMS 值，三 天 100 分鐘軌道弧段共計有 34 組成果。表 6-7 中則有兩組成果之 3D RMS 值超過±50 公分（Arc1-14 與 1-16），全部資料於徑向、沿軌道 向與橫向之 RMS 值分別為±22、±22 與±15 公分，3D RMS 值則為±33 公分。使用精密星曆後，即表 6-8 所示，前述兩組短弧軌道之 RMS 值已明顯下降，且全部資料於徑向、沿軌道向與橫向之 RMS 值分別 為±16、±18 與±14 公分，3D RMS 值則為±27 公分。使用預估星曆估 計 100 分鐘短弧軌道時，橫向分量精度略優於徑向與沿軌道方向，改 使用精密星曆後，三分量精度趨於一致，且 3D RMS 值於使用 GPS 精密星曆後較使用 GPS 預估星曆提升 16%。
0 20 40 60 80 100
-1 0 1
radial(m)
0 20 40 60 80 100
-1 0 1
along-track(m)
0 20 40 60 80
minutes
100
0 20 40 60 80 100
-1 0 1
radial(m)
0 20 40 60 80 100
-1 0 1
along-track(m)
0 20 40 60 80
minutes -1
0 1
cross-track(m)
mean = 0.01m r.m.s. = ± 0.23m
mean = 0.01m r.m.s. = ± 0.18m
mean = 0.05m r.m.s. = ± 0.09m
3D r.m.s. = ± 0.31m
100 -1
0 1
cross-track(m)
mean = 0.01m r.m.s. = ± 0.31m
mean = 0.10m r.m.s. = ± 0.24m
mean = 0.00m r.m.s. = ± 0.11m
3D r.m.s. = ± 0.41m
圖 6-3 Arc1-2 動態法軌道與 PSO 較 圖 6-4 Arc1-2 動態法軌道與 PSO 差圖(使用 GPS 預估星曆) 較差圖(使用 GPS 精密星曆)
6-5 Arc1-4 動態法軌道與 PSO 較 圖 6-6 Arc1-4 動態法軌道與 PSO
)
表 6-7 100 分鐘軌道弧段與 PSO 較差之 RMS 值（使用 GPS 預估星曆）
Arc No. 之 RMS 值 之 RMS 值
徑向差值 沿軌道向差值 橫向差值之 RMS 值
（±cm） （±cm） （±cm）
3D RMS 值（ cm）±
1-1 17 14 14 27
1-2 3 2 1 41
10
1
16 15
1 1
1 16
1 4 1
1-3 26 26 15 40
1-4 39 22 12 47
1-5 17 10 20 28
1-6 18 20 18 33
1-7 21 16 18 33
1-8 25 24 13 37
1-9 13 12 2 19
1-10 27 25 11 39
1-11 21 29 37
1-12 18 20 9 29
1-13 11 21 11 26
1-14* 37 36 13 54
1-15 32 28 6 44
1-16* 44 41 23 65
1-17 14 10 32 37
1-18 27 22 27 45
1-19 15 16 22 31
1-20 25 32 18 45
1-21 26 22 17 39
1-22 8 13 5 17
1-23 12 20 3 24
1-24 2 23 7 27
1-25 17 19 30
1-26 17 12 26
1-27 9 12 14 21
1-28 5 8 11 15
1-29 0 9 14 20
1-30 2 26 8 30
1-31 14 14 18 27
1-32 8 8 6 13
1-33 28 23 16 40
1-34 8 33 41
全部資料 22 22 15 33
表 6-8 100 分鐘軌道弧段與 PSO 較差之 RMS 值（使用 GPS 精密星曆）
圖 6-13 與圖 4 分別為使用 GPS 預估星 精密星曆 之 240 分
道與 PSO 差 值之
，使用 GPS 預估星歷時，100 分鐘 短弧
6-1 曆與 估計
鐘短弧軌道 Arc2-4，圖 6-13 中三分量均於第 50 至 75 分鐘與 第 150 至 200 分鐘之間有較明顯之震盪，在使用精密星曆之圖 6-14 中則獲得非常顯著地改善，不但該時間段之震盪起伏不再出現而顯的 較為平滑且各分量 RMS 值均明顯下降。圖 6-15 與圖 6-16 為 Arc2-7、
圖 6-17 與圖 6-18 為 Arc2-10、圖 6-19 與圖 6-20 為 Arc2-12 分別使用 GPS 預估星曆與精密星曆估計之 240 分鐘短弧軌道。
表 6-9 表示使用 GPS 預估星曆估計 240 分鐘短弧軌
RMS 值，表 6-10 則為使用 GPS 精密星曆，三天 240 分鐘軌道 弧段共計有 15 組成果。全部資料於徑向、沿軌道向與橫向之 RMS 值分別為±22、±22 與±21 公分，3D RMS 值則為±38 公分。使用精密 星曆後，即表 6-10 所示，全部資料於徑向、沿軌道向與橫向之 RMS 值分別為±16、±16 與±17 公分，3D RMS 值則為±28 公分。估計 240 分鐘短弧軌道時，無論使用預估星曆亦或精密星曆，徑向、沿軌道方
RMS 值，表 6-10 則為使用 GPS 精密星曆，三天 240 分鐘軌道 弧段共計有 15 組成果。全部資料於徑向、沿軌道向與橫向之 RMS 值分別為±22、±22 與±21 公分，3D RMS 值則為±38 公分。使用精密 星曆後，即表 6-10 所示，全部資料於徑向、沿軌道向與橫向之 RMS 值分別為±16、±16 與±17 公分，3D RMS 值則為±28 公分。估計 240 分鐘短弧軌道時，無論使用預估星曆亦或精密星曆，徑向、沿軌道方