!!设有一颗彗星!围绕地球沿一抛物线 轨 道 运 行!地 球 恰 好 位 于 这 条 抛 物 线 的 焦 点处!当此彗星离地球为"万千米时!经 过 地 球 和 彗 星 的 直 线 与 抛 物 线 的 轴 的 夹角为#$%!求这颗彗星与地球的最短距离!
#!一种卫星接收天线的轴截面如图! !&所 示!卫 星 波 束 呈 近 似 平 行 状 态 射 入 轴 截面为抛物 线 的 接 收 天 线!经 反 射 聚 集 到 焦 点 处!已 知 接 收 天 线 的 口 径 "直 径#为'(")!深度为$(*)!
"+#试建立适当的坐标系!求抛物线的标准方程和焦点坐标!
"!#为了增强卫星波束的接收!拟 将 接 收 天 线 的 口 径 增 大 为*(! )!求 此 时 卫 星波束反射聚集点的坐标!
图
! !&'!某大桥在涨水时有最大跨度的 中 央 桥 孔!它 的 跨 度 为!$ )!拱 顶 呈 抛 物 线 形! 拱顶距水面,)!桥墩高 出 水 面' )-现 有 一 货 轮 欲 通 过 此 孔!该 货 轮 水 下 宽 度 不超过+")-目前吃水线上部分中央船体高*)!宽+,)-若不考虑水下深 度!该货轮在此状况下能否通过桥孔!请说明理由
-*!有一条光线沿直线#$'射到抛物 线#!$'%上 的 一 点&!经 抛 物 线 反 射 后!反 射光线与抛物线的 另 一 个 交 点 是'!(是 抛 物 线 的 顶 点!)是 抛 物 线 的 焦 点! 求弦&'的斜率和!(&)的面积*!
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!!实际作图的时候可 能有误差!得到的结 果 只能是近似的!为了 减 小 误 差!作 图 时 力 求 精确!
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!!!! 数学实验
圆锥曲线的光学性质
实验!!圆锥曲线的光学性质!
实验目的!将圆锥曲线绕轴旋转得到的曲面作为反射镜面!研 究从焦点发出的光线经过反射之后发出的光束的性质!
实验内 容 和 方 法!任 选""!!画 出 抛 物 线#"$""%!标 出 它 的焦点& "
"!
! "
!的位置!它的对称轴是%轴!从焦点&向抛物线上任意一点'作入射光线&'!根据光的反 射定律按照如下几何作图法作出反射光线'( "如图" #!#!
图" #!
过点'作抛物线的切线)!过'作
'*#)!则'* 是 抛 物 线 在 点' 处 的 法线!从'作射线'( 与入射光线&' 分别位于法线'*的两侧!且$&'*$
$*'(!则'( 是反射光线!
从&向 抛 物 线 上 不 同 的 点 作 入 射 光线和反射光线!观察所有的反射光线 的相互位置关系!你发现了什么规律$
试对椭圆和双曲线做同样的实验!你发现了什么规律$ 实验"!探照灯的反射镜面!
实验目的!寻找一种平面曲线!将它绕某条轴旋转所成的曲面 作为探照灯的反 射 镜 面!可 以 将 轴 上 适 当 的 位 置&安 置 的 光 源 发 出的光线经反射后平行射出!
实验内容和方 法!在 平 面 上 建 立 直 角 坐 标 系!以%轴 为 镜 面 的旋转轴!原 点+为 所 求 曲 线 的 出 发 点!取,"!!在%轴 上 取
&",!!#作为光源的位置!
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我们的目 的 是 寻 找 从!出 发!处 于 第 一 象 限 内 的 一 条 曲 线!
使得从"点发出的光线经过曲线反射之后沿#轴的正方向射出$
如图! "#!首先让光线从"射到点!!经反射之后沿#轴的 正半轴!#射出$为此!曲线在点!的法线方向应当沿#轴!切线 方向应当垂直于法线方向!沿%轴向上$取定一个很小的长度&作 为曲线每一步前 进 的 距 离!称 为 步 长$从!出 发 沿%轴 正 方 向 画 一条长度等于&的有向线段!'#!作为镜面曲线的第一段$
图! "#
连 接"'# 作 为 入 射 光 线!过'# 作射线'#(# 平 行 于#轴 向 右 作 为 反 射 光 线$作 !"'#(# 的 角 平 分 线
'#)#$根 据 光 的 反 射 定 律!'#)# 应 是镜面曲线的法线方 向$从'# 出发向 右上方 作 长 度 等 于 步 长&的 有 向 线 段
'#'!"'#)#!作为镜面曲线的第二段$
照此方法可以 一 段 一 段 地 作 出 折 线!'#'!'""作 为 镜 面 曲 线 的近似形 状$假 如 已 经 前 进 了*步 作 出 了 折 线 的!'#'!'""'*! 则下一步作图应当如下进行#
连接"'*!作'*(* 平 行 于#轴 向 右!作!"'*(* 的 角 平 分 线'*)*作为镜面曲 线 的 法 线!从'* 出 发 向 右 上 方 作 长 度 等 于&
的有向线段'*'*+#"'*)*!作为镜面曲线的下一段$
照此方法进行下去!画出的折线越来越长!直到经过若干步之 后你认为长度已经足够!就停止作图$
可以先用手工作图!观察所得到的折线!'#'!'""',的 大 致 形状!猜测它接近于什么曲线$
但是!手工作图时&不可能取得很小!,不能很大!这样作出 来的折线!离 准 确 的 镜 面 曲 线 误 差 太 大$因 此!最 好 利 用 计 算 机 作图$
预先取很小的&#$作 为 步 长$ $取 怎 样 的&恰 当!需 要 走 多 少步才停止!需要通过实验 结 果 来 检 验$%利 用 解 析 几 何 知 识 依 次
算出'#!'!!'"!"!',的坐标$然后让计算机将这些点依次连
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接成光滑曲线!作为镜面曲线的近似形状!
我们得出的实验结果如图! "!!通过观察!猜测它是什么曲线!
图! "!
曲线好像是抛物线!
为 了 验 证 它 是 否 为 抛 物 线! 可以作一 条 抛 物 线 与 它 比 较!为 此!只需 以"为 顶 点"#轴 为 对 称轴!作一 条 抛 物 线$!%!&#在 第一象限 内 的 部 分!并 适 当 选 择
&!#使这条抛物线经过实验曲线
的终点'(!观察所作的抛 物 线 与 实验得到的镜面曲线是否吻合!
如果有兴趣!你可以将实验!中对镜面曲线的要求按如下方案 之一修改#
$$%在#轴的正半轴上取两点)$$*$!#%!)!$*!!#%使#"*$"
*!!要求从)$发出的光线经镜面反射之后会聚到)!!
$!%在#轴的正半轴和负半轴上各取一点)$$*$!#%!)!$+*!!
#%使*$!#!%*!!要 求 从)$ 发 出 的 光 线 经 过 反 射 之 后 看 起 来 是 从)!射出的!
然后利用实 验!所 说 方 法!分 别 找 出 满 足 上 述 要 求 的 镜 面 曲 线!观察并猜测曲线的形状!画图验证你的猜测!
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!!
! "# ! 曲线与方程
!!解析几何 与 欧 氏 几 何 的 区 别 在 于!它 是 用 代 数 方 法 研 究 几 何 图 形!解决有关几何图形的问题!其基本思路是先将几何图形及其性质 用代数语言来描述!利用代数运算的方法加以解决!再将所得的结果 翻译回几何语言!
反过来!对一些代数问题!也可以用几何模型加以解释!用几何 方法加以解决!
前面我们已经用解析几何的方法研究了直线"圆锥曲线等简单的 平面曲线!回顾一下!我们研究的基本方法是#
在平面上建 立 适 当 的 直 角 坐 标 系!用$"!#%表 示 曲 线 上 任 意 一 点的坐标!
由于曲线通常可以看成是满足一定条件的点的轨迹 $即曲线上任 意一点都满足此条件!而所有满足此条件的 点 都 在 曲 线 上%!所 以 下 面要做的就 是 把 曲 线 上 的 点 满 足 的 几 何 条 件 转 换 成 该 点 的 坐 标$"!
#%满足的代数等式!也就得到了曲线的方程!
一般地!在平面直角坐标系中!如果某曲线$ $看作满足某种条 件的点的集合或轨迹%上的点与一个二元方程%$"!#%&$的实数解 建立了如下关系#
点在曲线上"点的坐标满足方程! 即#
!%"曲线上的点的坐标都是这个方程的解#
!!"以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点!
此时!方程叫曲线的方程!曲线叫方程的曲线!
例!!已知两定点'$(&!$%!)$&!$%!动点*使直线*'!*) 的斜率的乘积为(!
'!证明点*的轨迹方程是"!
%(+'#'!!&%$##$%!
证明!设*$"$!#$%$#$#$%是曲线上任意一点!则
,*'& #"$+&$ !,*)& #"$(&!$
２． ５ 曲线与方程
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根据题设!有 !!
"!#"" !!
"!$"%$#
$!
化简得 "#!
%&#$!#!
$#%%&
所以#"!!!!$是方程"#
%&#$!#
$#%%的一个解&
另一方面!设'#"!!!!$#!!!!$是方程"#
%&#$!$##%%的解!
那么 "#!
%&#$!#!
$#%%&
即 !#!%#
$#%&'"#!$&
所以
(')"('*% !"!#"! " !!
"!$"% !#!
"#!$%&%
#
$#%&'"#!$
"#!$%& %$#$&
即'#"!!!!$与点)!*所 确 定 直 线 的 斜 率 积 为$#
$!所 以 点'是 这 条曲线上的点&
由上可知!符合给定条件的点'的曲线方程是
"#
%&#$!$##%%#!!!$&
回顾求椭圆%双曲线%抛物线的标准方程的过程可以看出!求曲 线的方程!一般有下面几个步骤&
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!!一般情况下!如 果 化简前后方程的解集是 相同的!第五步可以 省 略 不 写!如 有 特 殊 情 况!可 适 当 予 以 说 明! 另外!根据情况!第 二 步也可以省略!即根 据 条 件 直 接 列 出 曲 线 方 程!
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例!!在 边 长 为!!的 正""#$内 有 一 动 点%!已 知#%"#!&
#%##!'#%$#!!求点%的轨迹方程(
分析!在建立平面直角坐标系时!一般应当充分利用已知条件中 的定 点"定 直 线 等!这 样 可 使 问 题 中 的 几 何 特 征 得 到 更 好 的 表 示!从 而使曲线方程的形式简单一些(
图! ""
解!以#$的中 点 为 坐 标 原 点!#$所 在 直 线为)轴建立平面直角坐标系#如图! ""$!这 时点#!$!"的坐标分别为#*!!#$!#!!#$!
##!槡"!$(设点%的坐标为#)!+$(
在不考虑点%在""#$内的情况下!它的 轨迹就是集合
,&%%##%"#!&#%##!'#%$#!&(
所以 )!'#+*槡"!$!&#)'!$!'+!'#)*!$!'+!!
化简得
)!'+!'! "槡!+*!!&#(
注意到点%在三角形内!所以+$#(
因此所求点%的轨迹方程是
)!'+!'! "槡!+*!!&##+$#$(
圆锥曲线的统一定义
前面我们已经分别给出了椭圆!双曲线!抛物线三者的定义"那 么我们能否给这三种圆锥曲线下一个统一的定义呢#
下面我们先来研究抛物线(
抛物线是到一定点-和定直线. $-%.%距离相等的点的轨迹( 建立直角坐标系使-的坐标为 /
!"
#
# "$
.的方程为)&*/!(则78
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!!在研究三角函数的 图 象时!将!"!"##的 图 象 往 右 平 移!
$个 单 位! 就 得 到 ! "
!"# #$ !
"
$#
的 图 象%这 里 也 是 采 取 同 样 的 方 法%书 书 书
点!!""##在抛物线上!"!$"等于!到%的距离 !几何描述#
! "&'
槡 !
!"
!(#!)"('! !代数等式#!#!)!'" !方程#*
显然"抛物线的 定 义 还 可 以 改 写 为$抛 物 线 是 到 一 定 点$和 到 定直线%的距离之比为+)"的点的轨迹*
这一改写"使人不禁想到$对于一般的比值+"动点的轨迹将是 怎样的曲线呢% 让我们试一试*
例!#任意给定常数+ !+$##&定点$和定直线% !$%%#*动点
!到$的距离,"与!到%的距离,!之比等于+*选择适当的直角坐
标系"求点!的轨迹的方程*
图! $%
解#设 点$到%的 距 离 为' $#*
不妨以$为原点建立直角坐标系"使"
轴垂直于% !如 图! $%#"则%的 方 程 为")&'*
,")"!$") "
槡
!(#!",!)""('"*点!满足条件,"
,!)+"则,")+,!"即
"!(#
槡
!)+""('"* !两边平方"并整理得
!"&+!#"!(#!&!'+!"&+!'!)#* "
这就是点!的轨迹的方程*
我们 得 出 了 轨 迹 的 方 程""但 是 并 不 知 道 它 是 什 么 曲 线 的 方程*##
当+)"时"方程"为#!&!'"&'!)#"可写为
#!)!' "('
!
!"
* #将它的 图 象 向 右 移 动'
!"将 原 来 每 个 点!!""##移 动 到 新 的 位 置
!-!"-"#-#"其中"-)"('
!"#-)#"则移动后图象上所有的点!-的 坐标!"-"#-#满足的方程为 #-!)!'"-* $
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这是抛物线的标准方程!
这说明!经过平移!当"#!时方程!恰好变为我们熟悉的抛物线 的标准方程!那么当"!"!!或""!时!方程!的图象又是什么曲线"
我们可以取"为一些符合条件的特殊值!代入方程!!得到一些 方程!然后分别把它们的图象画出来!
图# $%
经过 观 察 这 些 图 象!我 们 可 以 得 出如下结 论#当"!"!!时 画 出 的 图 象可能是椭圆!当""!时 可 能 是 双 曲 线!椭 圆 和 双 曲 线 的 焦 点 都 在 原 点! 也就是 定 点$!椭 圆 的 长 轴 和 双 曲 线 的实轴都在%轴上 $如图# $%%!
为了 验 证 这 一 结 论!我 们 先 看 看 下面的例题!或许能对我们有所启发!
例!#在椭圆%#
&#'()###!中!已知点*的横坐标%!求点*到焦 点$!$+,!"%的距离-!并将所得的结果化简!
解#设点*的坐标为$%!(%!则
-#$*$!$# $
槡
%',%#'(#! "由%#
&#'()###!得(##)#+)#
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#,& ! #
观察发现!例#最后 得 到 的 表 达 式!中 的 %'&#
, 就 是 点*$%!(%
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