*!+!'#!)&!!,!+!'&!
&)&!
''(#
"'"
,!离心率-'+
# '
槡
(#"'&!
槡
&'槡") ' "
我们知道!通过讨论直线与圆的方程所组成的方程组的解的情况 就可以确定它们是相交"相切还是相离!即它们的公共点情况"这种 研究方法!对讨论直线与椭圆的位置关系完全适用"
例!!对不同的实数值.!讨论直线%'!$.与椭圆!!
#$%!'"
的公共点的个数"
分析!直线与椭圆的公共点的个数就是由它们的方程组成的方程 组的解的个数"
解!由
%'!$.!
!!
#$%!'
"
#
$ "
!
"
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消去!并整理得
!""##$"#$$"%$%&& !
此方程的实数解的个数由它的判别式!决定!
!'"#$#"%$'!"$$"%$#'()"!*$"#&
当%槡!!$!槡!时!!"&!方程!有两个不同的实数根!代入方 程"可得到两个不同的公共点坐标&此时直线 与 椭 圆 有 两 个 公 共 点!
它们相交&
当$'%槡!或$'槡!时!!'&!方 程!有 两 个 相 等 的 实 数 根! 代入方程"得到一个公共点坐标&此时直线与椭圆有一个公共点&从 图象上观察到它们在这一点相切&
当$!%槡!或$"槡!时!!!&!方 程!没 有 实 数 根&此 时 直 线 与椭圆没有公共点&
练 习
(&指出下列各椭圆的中心$焦点坐标$顶点坐标$长半轴长$短半轴长和离心率&
"(#") +" !"
, %(%#########""# "(),+" !"
($$%(%
"-#$""#,!"'(&
"&试判断直线!'$"#(与椭圆""
$ +!"
- %(的公共点的个数!并说明理由&
# 习题 !
(&判断下列方程是否表示椭圆&若是!指出该椭圆的焦点坐标&
"(#"""#!"'(% ""#"" +" !"
- %$%
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!!想 一 想!算 一 算! 任意一条直线与椭圆的 位置关系是否也是这样 三种不同的情况!
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!!""!""!#"$## !$"!" %" #"
" &'%
"%求下列椭圆的焦点坐标$离心率%并画出草图%
!'"!$ %" #"
! &'# !""#( %" !"
'#&'#
!!"$!""#"$'%
!%已知椭圆的中心在原点%对称轴为坐标轴%并满足下列条件%求它们的方程%
!'"&$槡"%'$'#
!""&$!%($'#
!!"焦点为)'!*"%)"%长轴长为*#
!$"焦点为)'!)%*!"%短半轴长为*#
!+"经过两点+ '%
!
!""
%,!"%)"#!#"长轴长等于")%离心率等于!
+ %
$%已知直线-&#$"!".%椭圆/&!"
$%#"$'%当.为何值时%-与/没有交点'
+%已知椭圆方程为!"
'#%#"
( &'的 左$右 焦 点 分 别 为)'%)"%过 左 焦 点)'的 直 线
交椭圆于+%,两点%求三角形+,)"的周长%
#%!+,/的周长为'*%+%,两点的坐标分别为+!*$%)"%,!$%)"%求点/的 轨迹方程%
,%已知点 !$%""是直线-被 椭 圆!"
!#%#"
( &'所 截 得 的 线 段 的 中 点%求 直 线-的 方程%""
*%已知地球运行的轨道是椭圆%太阳在 这 个 椭 圆 的 一 个 焦 点 上%这 个 椭 圆 的 长 半 轴长&$'-+).')*/0%离心率0$)-)'("%求地球到太阳的最大和最小距离%
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!!
! "! ! 双曲线
!!
! "! "# !
双曲线的标准方程我们知道!平面上到两个定点!#!!! 的 距 离 之 和 为 定 值 "大 于
"!#!!"#的点的轨迹是 椭 圆"很 自 然 地 想 到!平 面 上 到 两 个 定 点!#!
!!的距离之差为定值的点的轨迹是什么曲线呢$
先通过实验将这样的曲线画出来!观察它们的形状"
实验!任 给 两 个 定 点!#!!! ""!#!!"#!$#以 及 固 定 的 长 度
!%#$"设计适当的方法或装置画出到!#和!!的距离之差等于& "&#
!%#的点的轨迹"观察轨迹的形状"
注意%我们希望点的 轨 迹 是 一 条 曲 线!至 少 应 有 直 线!#!!之外 的点'!在$'!#!!中有"'!#"("'!!"%"!#!!"!其中"!#!!"#!$#
$!因此!%%!$!即%%$"
方法!!描点作图%如图! %!先作满足条 件"'!#"("'!!"#
!%的点'的轨迹"
图! %
先在线段!#!!上 找 出 轨 迹 上 的 点)!由"!#)"*")!!"#!$及
"!#)"(")!!"#!%可 解 出")!!"#!$(!%! #$(%!由 此 可 在!#!! 上作出点)"
以!!为 圆 心&适 当 的 长 度+#$为 半 径 画 圆 弧!再 以!# 为 圆 心&!%*+为半径画圆弧"所谓 '适当的长度+(!就 是 要 使 上 述 两 弧相交!也就是!%*+*+#!$!即+#$(%"设交点为'#!'!!则
２． ２ 双曲线
２． ２． １ 双曲线的定义与标准方程
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!!!!"都是轨迹上的点"
选择不同的长度#!$%&!作出轨迹上一系列点"依次连成光滑 曲线!即得轨迹的一部分的近似形状"
以同样的方法可以画出满足条件"!'""%"!'!"("&的点的轨迹"
方法!#如图" #!取一条拉链!拉开一部分"在拉链的一边上 取定一点)!!设)*!是另一边 上 在 拉 链 拉 开 之 前 与)!重 合 的 点!在
)*!所在 那 一 边 上 取 点)"使)" 比)!更 接 近 拉 链 头!并 且")")*!"(
"&!用大头针将)!!)"分 别 固 定 在 画 图 纸 上 的 点'!!'" 处"将 铅 笔尖放在拉链张 开 处!点 将 拉 链 绷 紧!则"!'!"%"!'""("&"
随着拉链的拉开!铅笔尖画出的曲线就是所求轨迹的一部分"
图" #
同理可以画出满足条件"!'""%"!'!"("&的点的轨迹"
观察发现!以上画出 来 的 曲 线 形 状 像 是 初 中 学 过 的 反 比 例 函 数
+(,-的图象"""双曲线"
平面上到两个定点'!!'"的距离之差的绝对值为大于$的定值
#小于"'!'""$的点的 轨 迹 叫 作双 曲 线 #%&'()*+,-$"这 两 个 定 点
'!!'"叫作双曲线的焦点!两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距"
双曲线由两条曲线组成%其中一条是满足条件"!'!"%"!'""(
"&的点!的轨迹!另一条是满足条件"!'""%"!'!"("&的点! 的 轨迹"两条曲线互不相连!其中每一条叫作双曲线的一支"双曲线由 这两支共同组成"
例"#如图" .所示!建立适当的坐标系!求双曲线的方程"
解#以'!'"的中点.为 原 点&.'%%$"的 方 向 为-轴 正 方 向 建 立 直
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!!定值为!时的轨 迹 是 线 段!"!#的 垂 直 平 分线!不是双曲线"
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图! "
角坐标系!则两个焦点的坐标分别是!#""#!$#!!!"#!$#$
轨迹上的点%"&!'#满足的充要条件是
!%!#!"!%!!!()!*$
即""" "
槡
&+##!+'!" "槡
&"##!+'!()!*!"""" "
槡
&+##!+'!( "槡
&"##!+'!)!*$两边平方得"" "&+##!+'!( ""
槡
&"##!+'!)!*#!!整理得" #&"*!()* "
槡
&"##!+'!$两边再平方得"#!&!"!*!#&+*%(*!&!"!*!#&+*!#!+*!'!! 再整理得" "#!"*!#&!"*!'!(*!"#!"*!#$ !
这就是双曲线的方程$
例#中求出的方程!可以化为更简单的形式$
由双曲线的定义知!*(!!%!#!"!%!!!!#!!#!!!(!#!*##$
故可令,( #
槡
!"*!!则方程!变为,!&!"*!'!(*!,!$
还可以进一步写成容易记忆的形式$
&!
*!"',!!(# "
这称为双曲线 的 标 准 方 程!其 中*$$!,$$$它 表 示 的 双 曲 线 的焦点在&轴上!坐标分别为 ""#!$#!"#!$#!其中#( *
槡
!+,!!而双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于!*$
类似于椭圆!我们也可以得出焦点在'轴上的双曲线方程为
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!!
"!#$%!!&" !
这也称为双曲线的标准方程!其中"!#!%!#!如图! "#'
图! "#
例!"已知双曲线的两个焦点坐标为"#$!##!"$!##!且双曲 线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于%'求双曲线的方程' 解"由已 知 得 双 曲 线 的 焦 点 在$轴 上!坐 标 分 别 为"#$!##!
"$!##!即(&$'故双曲线方程具有标准形式
$!
"!#!%!!&"'
又"&%
!&&!%!&(!#"!&$!#&!&''故所求双曲线的方程为
$!
(#!'!&"'
例""已知双曲线的两个焦点坐标为"#$!##!"$!##!并且双曲线 经过点)"$!%#'求双曲线的方程'
解"点)"$!%#到两焦点*""#$!##!*!"$!##的距离之差为
#)*"###)*!#& $
槡
$)"#$#%!+"%)##!#%*"#)%*$'即!"&$!"&!'
又(&$!故%& (
槡
!#"!& $槡
!#!!&! &'槡因为焦点在$轴上!所以双曲线的标准方程具有标准形式$!
"!#!%!!&
"'将"&!!%&! &槡代入就得到所求双曲线方程为
$!
$#!!
"!&"'
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例!!已知方程 !!
"#"# $!
$#"%%&
!%"若方程表示双曲线#求"的取值范围$
!!"证明!%"中的双曲线有共同的焦点&
解! !%"要使方程表示双曲线#则
!!!! "#""&#
$#"#
$%
& &!或 "#"#&#
$#""
$%
& &成立&
解得!! ""'"#
"#'
$%
& $!或"#'"#
""'$
$%
& &
即'$#"# '"&因 此#当'$#"# '"时#方 程 表 示 双 曲 线# 且原方程可写为 $!
$#"' !!
'"'"%%&
!!"由!%"可知#双曲线的焦点在$轴上#且(!%$#"#!'"'
""%%&
所以#方程表示的双曲线的焦 点 坐 标 为 !&#%"# !&#'%"#显 然与方程中的"无关#因此!%"中的双曲线都有共同的焦点&
练 习
%&求适合下列条件的双曲线的标准方程%
!%"两焦点坐标为 !&#'$"#!&#$"#且"%"$
!!"两焦点坐标为 !&#'("#!&#("#且经过点 !!#'$"&
!&方程 !!
!#)' $!
)#%)%表示双曲线#求)的取值范围&
!!
!*!*! !
双曲线的简单几何性质实验!任意选取""&#*"&#用 描 点 作 图 法 或 计 算 机 软 件 作 出 双曲线!!
"!'$*!!%%的图形#如图! %%所示&观察图形#研究它的如
２． ２． ２ 双曲线的简单几何性质
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图! ""
下性质!
"!范围!曲线是否分布 在 一 个 有 限 的 范 围 之 内" 或 者 在 某 一 个 范围之外"
!!对称性!曲线是不是中心对称图形" 如果是#找出对称中心! 曲线是不是轴对称图形" 如果是#找出对称轴!
#!你所观察到的其他性质!
比如#当曲线无限延伸时#双曲线的一支与抛物线有什么区别! 以下通过双曲线的标准方程"!
#!$%&!!'"来研究双曲线的一些简单 性质!
!!
!!!
将"当作已知数#从方程中解出
%'(& "
槡
!$#!# ! !
要求出实 数 值%#则 实 数 值"的 取 值 范 围 是"""###即"$$$ )#
$#%%&##*)'!双曲线的两支分别位于直线"'$#左侧和直线"'
#右侧#向左右两方无限延伸!
将%当作已知数#从 方 程 中 解 出"'(# %
槡
!*&!& !%的 取 值 范 围 是全体实数!
由表达式!还可以更精细地描述双曲线 分 布 的 范 围!双 曲 线 上 的 点的坐标$"#%'满足条件
一、 范 围
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!!!"# $
槡
!%&!& "# $
槡
!& "#
&!$!'
当$#&时!%#
&$"!"#
&$"当$$%&时!%#
&$%!%#
&$'
因此!双曲线处于两条直线!"(#
&$所围成的包含$轴在内的那 两个区域中!并且在直线$"%&!$"&所围成的区域外侧!如图!""'
&&
&&&
将 #$!!$分 别 换 成 #%$!%!$! #$!%!$和 #%$!!$!
双曲线标准方程都不变'可见双曲线关于原点%$轴%!轴都是对称 的!原点是它的对称中心!两条坐标轴都是它的对称轴'
双曲线的对称中心称为它的中心'
&&
&&&
双曲线$!
&!%!#!!""与 它 的 对 称 轴$轴 有 两 个 交 点)"#%&!#$!
)!#&!#$!都称为双曲线的顶点'这两个顶点之间的线段)")! 叫作 双曲线的实轴#$%&'&()*$!长度为!&'实轴)")!被中心*分成两条长 度相等的线段*)"!*)!!它们的长度&称为双曲线的实半轴长'
双曲线$!
&!%!#!!""与它的另一条对称轴!轴没有交点!但我们仍 将这条对称轴上两点+"##!%#$!+!##!#$之 间 的 线 段+"+! 称 为 双 曲 线的虚轴#)+&,)-&$.&()*$!它 的 长 度 等 于!#!这 个 长 度 的 一 半#称 为 虚半轴长'
&&
&&&
我们已经知道双曲线处于两条相交直线!"(#
&$所 围 成 的%包 含$轴在内的 两 个 区 域 中'从 图 象 上 看!双 曲 线 的 两 支 向 两 端 无 限 延伸!越来越接近于这 两 个 区 域 的 边 界 直 线!"(#
&$'我 们 通 过 方
四、 渐近线 三、 顶 点 二、 对称性
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程来研究双曲线接近这两条直线的程度! 在双曲线方程"!
#!$%&!!'"中将"当作已知数!解出
%' (& "
槡
!$#!# !
我们先来研究双曲线中"!#的一支!先来考察这支曲线向右上 方接近于直线%'&
#"的 程 度!为 此!对 同 样 的 横 坐 标"!计 算 出 直 线%'&"
#与双曲线%'& "
槡
!$#!# 上的点的纵坐标之差
""""") '&"# $& "
槡
!$#!# '&""$ "
槡
!$#!## ' &#!
#""* "
槡
!$#!#'&#
"* "
槡
!$#! !随着"的无限增大!分母"* "
槡
!$#!无限增大!分子&#不变!因 此!)无限接近于#!这 说 明 双 曲 线 在 右 上 方 无 限 接 近 于 直 线%'&#"!
同理可 知!当"无 限 增 大 时!双 曲 线%' $& "
槡
!$#!# 与 直 线%'
$&#"上具有相同横坐标"的点无限接近!双曲线向右下方 无 限 接 近 于直线%'$&
#"!
由于双曲线"!
#!$%&!!'"与直线%'&
#"及%'$&
#"都是关于原点 成中心对称的图形!由双曲线向右上方无限接近于直线%'&
#"知 道 它向左下方也无限接近于这条直线!由双曲线向右下方无限接近于直 线%'$&
#"知道它向左上方也无限接近于这条直线!
双曲线"!
#!$%&!!'"在无限延伸的过程中无限接近于两条直线%'
(&#"!这两条直线称为双曲线的渐近线 "$%&'()*)+#!
过实轴的两个顶 点+""$#!##!+!"#!##作 平 行 于 虚 轴 的 直 线