仿照例$!例%!例'的方法对双曲线进行研究!可以发现&
对任给的常数!!"!点&和直线'$&&'%!到&的 距 离 与 到'的 距离等于!的点的轨迹 是 双 曲 线%&是 双 曲 线 的 一 个 焦 点!'称 为 双 曲线的一条准线!!是双曲线的离心率%
双曲线,$
$$-./$$""的离心率!"#
$!相应于它的两个焦点&"$-#!
!%!&$$#!!%!各有一条准线,"-$$
#和,"$$
#%
由以上关于椭圆#双曲线的结果以及抛物线的定义!可以总结出 关于圆锥曲线的如下一般结论&
任意给定常数! !!!!"#点&和直线'!&&'"!设动点0到&的
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83书 书 书
距离和到!的距离之比等于"!则#的轨迹是圆锥曲线$其中%是这 条圆锥曲线的焦点!!称为它的准线$
当"!!时#的轨迹是椭圆!当"&!时是抛物线!当""!时是 双曲线$
这可以看作圆锥曲线的统一的定义$这样定义出来的轨迹包括除 了圆之外的所有的圆锥曲线$
根据圆锥曲线的上述统一定义!我们知道本节例!中的轨迹是圆 锥曲线!例!中得出的方程!!""#"'#()#*#+"#'*"#+#&$#可以看 作是除了圆以外的圆锥曲线的统一方程$
当"&!#$!"!!或""!时曲线分别是抛物线$椭圆$双曲线$ 但例!中得出的方程不是它们的标准方程$
当"&!时#我们已 经 将 曲 线 适 当 平 行 移 动 使 得 移 动 后 的 曲 线 经 过原点#方程不含常数项#成为抛物线的标准方程$
当"#!时#可以 将 这 个 方 程 的 图 象 适 当 移 动 位 置#使 摆 放 在 新 的位置的曲线方程不含一次项#曲线关于原点对称#方程成为椭圆或 双曲线的标准方程$
练 习
!$证明与两条坐标轴的距离的积是常数,","$#的点的轨迹方程是')&-,$
#$已知一条直线!和它上方的一个点%!点%到!的距离是#$一条曲线 也 在!的 上方!它上面的每一点到%的 距 离 减 去 到!的 距 离 的 差 都 是#$建 立 适 当 的 坐 标系!求这条曲线的方程$
$ 习题 !
!$设.!/两点的坐标分别是."*!!*!#!/"%!&#!证明线段./的垂直平分线
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!!如果允许椭圆的两 个焦点重合为一点!使
!"!!则 椭 圆 变 成 圆! 焦点是它的圆心#因 此 规定圆 的 离 心 率$"!
%
"!#但是圆没有准线# 在科学研究和应用 中常常将圆看成椭圆的 特殊情况#但在中学 教 材中将椭圆与圆看成不 同的曲线#
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!!有兴趣的同学可以 自己试一试!
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的方程是!"!#$"#$%
!%已知两定点&%!$&"$#"&!!&"$#"动点'使直线'&%"'&!的斜率的乘积为$
'
("证明点'的轨迹方程是!!
)&*#!
%&#%!#!$#%
)%长为!(!(是正常数#的线段&)的两端点&")分别在互相垂直的两条直线上滑 动"求线段&)中点* 的轨迹%
'%求平面内到两个定点&")的距离之比等于!的动点*的轨迹方程%
+%已知点*到两条互相垂直的直线的距离的积是常数+!+"$#"求点*的轨迹方程%
&%已知&")是两个定点"且#&)#,!"动点*到点&的距离是'"线 段*)的 垂 直平分线-交&*于点'%当点*移动时"求点'的轨迹方程%
"%设椭圆.$!!
(!"#!,%!("$#的两个焦点是/%!$0"$#和/!!0"$#!0"$#"且椭圆
.与圆!!"#!,0!有公共点%
!%#求(的取值范围%
!!#若椭圆上的点到焦点的最短距离为槡), !"槡 求椭圆的方程%
!)#对!!#中的椭圆."直线-$#,+!"1!+!$#与.交于不同的两 点* "2"若 线段*2的垂直平分线恒过点&!$"$%#"求实数1的取值范围%
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85书 书 书
!!! 数学文化
圆锥曲线小史
平面在圆锥面上截得的不同曲线称为圆锥曲线!当平面与圆锥 面的轴线垂直时!截得的曲线是一个圆"当平面与圆锥面的轴线不 垂直时!随着夹角逐渐变小!截得的曲线分别是一个椭圆!一条抛 物线!或者双曲线的一支!
在平面直角坐标系中!圆锥曲线又称为二次曲线!
圆锥曲线的研究具有悠久的历史!圆锥曲线的性质在实际中具 有广泛的应用!
早在公元前!"#年!柏拉图学派的梅内克缪斯 #$%&'%()*+,$
为了解决三等 分 角 问 题 和 倍 立 方 问 题!首 先 系 统 地 研 究 了 圆 锥 曲 线!欧几里得 #-+(./0$%阿 基 米 德 #12()/*%0%,$都 写 了 圆 锥 曲 线方面的著作!阿基米德证 明 了!由 抛 物 线 与 它 的 弦 围 成 的 图 形! 它的面积等于弦与弦两端的切线所构成的三角形面积的3&!!因对 圆锥曲线性质的研究而闻名于世的首推古希腊著名的几何学家%天 文学家阿波罗尼奥斯 #144..5&/+,!约 前363'前78#$!他 是 欧 几 里得的学生!在亚历山大学派中与欧几里得%阿基米德齐名的三大 学者之一!他首先证明了三种圆锥曲线都可以通过用一个平面与圆 锥面相截而得到!而且知道了圆锥曲线的光学性质!他所写的 (圆 锥曲线论)是一本全面%系统%具有独创性的古希腊几何杰作!在 此后一千多年的时间内!后人 #至少在几何上$几乎不能再为它增 添什么新的内容!
79世纪 中 叶!笛 卡 儿 #:%,('2;%,$发 明 了 解 析 几 何 学!利 用 坐标法对圆锥曲线重新进行了研究!发现二次曲线在建立适当的坐 标系后!一 般 总 能 归 结 为 椭 圆%抛 物 线 和 双 曲 线 的 标 准 方 程!因
圆锥曲线小史
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此!圆锥曲线又称为二次曲线!
圆锥曲线的理论具有广泛的应用!除了应用圆锥曲线的光学性 质之外!天体运 行 的 轨 道 遵 循 圆 锥 曲 线 的 规 律!开 普 勒 "!"#$"%!
&'(&#&)*+$在长期天文观察的基础上!发现了行星沿椭圆轨道运 动!并 提 出 了 著 名 的 行 星 运 动 三 定 律!牛 顿 ","-./0!&)1*#
&(2($对开普勒的成就加以发展!发现了万有引力定律!利用数学
严格地计算出%当初始速度为(3456&7时!物体的轨道是一个圆' 当初始速度超过(3456&7!但 小 于&&3256&7时!物 体 的 轨 道 是 一个椭圆'而当初始速度大于&&3256&7时!物体将沿着抛物线的 轨道远离地球永不回头!
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!!!
!!
一 ! 指导思想
学习本章的目的!不仅是为了掌握圆锥曲线的定义和性质!还 要更进一步学习如何用代数方法 "坐标方法#研究几何问题!同时 要学习如何利用运动的观点思考问题!如何利用数学研究运动变化 着的现实世界!
!!
二 ! 内容提要
这一章的主要内容包括椭圆$双曲线$抛物线的定义$标准方 程$简单几何性质!以及它们在实际中的一些应用!
!!三种曲线的标准方程"各取其中一种#$图形$性质如下表%
椭!圆 双曲线 抛物线
几何条件
与两个定点的距 离的和等于常数
"但 大 于 两 定 点 之间的距离#
与两个定点的距 离的差的绝对值
等于常数 "但小
于两定点之间的 距离#
与一个定点和一条 定直线的距离相等
标准方程
""
#"$%&""'!
"#"&"##
""
#"(%&""'!
"#"#!&"##
%"'")"
")"##
图!形
顶点坐标 "*#!##!
"#!*&# "*#!## "#!##
小结与复习
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!!在科学研究和应用 中常常将圆看成椭圆的 特殊情况!但在中学 教 材中将椭圆与圆看成不 同的曲线!
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!!续表
椭!圆 双曲线 抛物线
对称轴 !轴!长轴长!""
#轴!短轴长!$
!轴!实轴长!""
#轴!虚轴长!$ !轴
焦点坐标
#%&!"$
&' "槡!($!
#%&!"$
&' "槡!)$!
*!!
# "$
离心率 ""+"#!+'&
" +##!+'&" +'#
准线方程 !'%"!
& !'%"&! !'(*
!
渐近线方程 #'%$
"!
!!!,圆%椭圆%双曲线%抛 物 线 统 称 圆 锥 曲 线!它 们 的 统 一 性 如下&
##$从方程的形式看&在直角坐标系中!这几种曲线的方程都 是二元二次的!所以它们属于二次曲线,
#!$从点的集合 !或轨迹"的观点看#除了圆以外$它们都是 与定点和定直线距离的比 是 常 数+的 点 的 集 合 !或 轨 迹"$这 个 定 点是它们的焦点$定直线是它们的准线,只是由于离心率+取值范 围的不同$而分为椭圆%双曲线和抛物线三种曲线,
#$$从几何学的观点来看&它们都是由平面截圆锥面得到的截 线 #见本章章头图$,
在宇宙间运动的天体!如行星%彗星%人造卫星等!由于运动 速度的不同!它们的 轨 道 有 的 是 圆!有 的 是 椭 圆!有 的 是 抛 物 线!
有的是双曲线 #图! $%$,
图! $%
$,坐标法是研究曲线 的 一 种 重 要 方 法,本 章 在 必 修 第 三 册 第
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!章的基础上进一步学习了求曲线方程的一般方法!如何利用曲线 的方程和曲线的几何性质以及用坐标法解简单的几何问题等!
"!椭圆"双曲线"抛 物 线 是 常 见 的 曲 线!利 用 它 们 的 方 程 及 几何性质!可 以 帮 助 我 们 解 决 一 些 简 单 的 实 际 问 题!本 章 通 过 例 题!给出了解决某些实际问题的一般方法!
!!
三 ! 学习要求和需要注意的问题
#!学习要求!
##$掌握三种圆锥曲线的定义"标准方程和简单的几何性质!
#$$能 够 根 据 具 体 条 件!利 用 各 种 不 同 的 工 具 画 椭 圆"双 曲 线"抛物线的图形!
#%$了解圆锥曲线的实际背景!感受圆锥曲线在刻画现实世界 和解决实际问题中的作用!
#"$通过已学习过的圆锥曲线的知识!了解曲线与方程的对应
关系!进一步感受数形结合思想!
$!需要注意的问题!
##$在引入曲线时!应通过丰富的实例!使学生了解圆锥曲线 的背景与应用!
#$$曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主!注重使学生体 会曲线与方程的对应关系!感受数形结合的基本思想!
#%$本章研究几何图形时!大量采用了坐标法!所以在解答问 题时!最好先画出草图!注意观察"分析图形的特征!同时在解决 实际问题时!要注意选择适当的坐标系!以使问题变得简单!
!!
四 ! 参考例题
例!!一 动 圆 与 圆"$#$$#&"#'()外 切!同 时 与 圆"$#
$$%&"%*#()内切!求动圆圆心的轨迹方程!并说明它是什么样 的曲线!
分析!本题可以按求点的轨迹方程的一般方法来解!设动圆圆 心的坐标为 #"!$$!利用初中学过的两圆相切的性质和判定定理
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!即充要条件"列出方程#最后化简整理!
本题也可以从分析图形入手来寻找解题思路!设动圆的半径为
"#由图! "#可知#
!#$$!%!#$&!'"#!#!$!%!#!(!)"!
因为
!#$$!'!#!$!%!#$&!'"'!#!(!)"%!#$&!'!#!(!
为常数#利用椭圆的定义#可以直接求出它的方程!
图! "#
解法!"如图! "##设 动 圆 圆 心 为$!*#+"#半 径 为"#两 已知圆的圆心分别为#$##!!
分别将两已知圆的方程
*!'+!'%*'&'(#
*!'+!)%*)#$'(
配方#得
!*'""!'+!%)#
!*)""!'+!%$((!
当#$与##$$!*'""!'+!%)外切时#有
!#$$!%"'!# !
当#$与##!$!*)""!'+!%$((内切时#有
!#!$!%$(*"! "
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!!"两式的两边分别相加!得
!!!"!#!!""!$!"%
即
"&###"#'
槡
"# "槡
&(##"#'"$!"% #化简方程#!先移项!再两边分别平方!并整理!得
" "
槡
&###"#'"$!"$&% $将$两边分别平方!并整理!得
#&"#%'"(!&'(&% %
将常数项移至方程的右边!两边分别除以!&'!得
&"
#)#'"
"*$!% &
由方程&可知!动圆圆心的轨迹是椭圆!它的长轴和短轴长分
别为!"!) #!槡 如图" #+中虚线所示% 解法!"同解法!得方程
"&###"#'
槡
"# "槡
&(##"#'"$!"% !由方程!可知!动圆圆心""&!'#到点!!"(#!&#和点!""#!
&#的距离的和是常数!"!所以点"的轨迹是焦点为 "(#!&#和
"#!&#!长轴长等于!"的 椭 圆!并 且 这 个 椭 圆 的 中 心 与 坐 标 原 点 重合!焦点在&轴上!于是可求出它的标准方程%
)""*$)!"+$!"!
,"*$#!+$)%
,"-"$#),+("*%
于是得动圆圆心的轨迹方程为
&"
#)#'"
"*$!%
这个椭圆的长轴和短轴的长分别为!"!) #!槡 图形如图" #+
中虚线所示%
例!"如 图" %&!直 线'$&("与 抛 物 线'"$"&相 交 于 点
.!/%"!#求证$!.#!/%""#求!./!的长%
解法""设.!/两 点 的 坐 标 为."&!!'!#!/"&"!'"#!将
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