经全国中小学教材审定委员会 2005 年初审通过
选修 2-1（理科）
湖南教育出版社
定价：8.65 元
ISBN 978-7-5355-4614-2
9 787535 546142 >
经全国中小学教材审定委员会 2005 年初审通过
普通高中课程标准实验教科书
湖南教育出版社高中课程标准实验教科书
1 2－
选修
（ 理科
）
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数 学
Mathematics
湖 南 教 育 出 版 社
选修 2-1( 理科）
普通高中课程标准实验教科书
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书 书 书
执行主编 ! 李尚志
!
编 !! 委 ! 查建国 ! 郑志明 ! 何书元 罗培基 ! 贺仁亮
普通高中课程标准实验教科书 数!!学
选修" #$ !理科"
责任编辑# 甘!哲
湖南教育出版社出版发行 !长沙市韶山北路%%&号"
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"447年6月第$版!"4$9年5月第"版第$%次印刷
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本册教材 中 ! 将 学 习 常 用 逻 辑 用 语 " 圆 锥 曲 线 与 方程 " 空间向量与立体几何 !
正确地理解 和 使 用 逻 辑 用 语 是 现 代 社 会 公 民 应 该 具备的基本 素 质 ! 这 对 于 从 事 各 项 工 作 " 进 行 社 会 交 流都是 必 不 可 少 的 ! 数 学 是 逻 辑 性 很 强 的 一 门 学 科 ! 准确地理解 和 使 用 逻 辑 用 语 ! 对 于 正 确 理 解 和 表 达 数 学内容 ! 更是 一 种 起 码 的 基 本 功 ! 本 册 教 材 将 帮 助 你 练好这种基 本 功 ! 学 习 一 些 常 用 的 逻 辑 用 语 ! 体 会 它 们在表述和 论 证 中 的 作 用 ! 帮 助 你 正 确 地 理 解 和 使 用 它们 !
从小学到初 中 再 到 高 中 ! 每 个 阶 段 的 数 学 课 你 都 在不断地阅 读 " 理 解 和 使 用 逻 辑 用 语 ! 本 册 教 材 中 的 常用逻辑用语只是对你熟悉的内容的一次总结和提高 !
在必修阶段 我 们 已 经 学 习 了 处 理 几 何 问 题 的 两 个 有力的工具 # 向 量 和 坐 标 ! 我 们 利 用 解 析 几 何 的 方 法
$ 也就是坐标的方法 % 研究了平面上的直线和圆 ! 尝试 了利用向量 的 方 法 来 处 理 平 面 图 形 ! 在 本 册 教 材 中 我 们将进一步 发 挥 这 两 个 工 具 的 作 用 ! 利 用 解 析 几 何 的 方法处理圆锥曲线 ! 以向量为工具处理空间图形 !
还是解析 几 何 ! 还 是 点 与 坐 标 的 对 应 " 几 何 性 质 与代数等式 的 对 应 " 曲 线 与 方 程 的 对 应 ! 同 样 的 思 路 和 方 法 ! 以 前 研 究 了 直 线 与 圆 ! 现 在 研 究 圆 锥 曲 线 !
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1书 书 书
也可以由圆经过中心投影得到 ! 大千世界 ! 天上地下 ! 圆锥曲线无 处 不 在 ! 它 是 天 体 运 动 的 轨 道 ! 日 月 星 辰 无不遵循 ! 它 的 良 好 的 光 学 性 质 也 有 广 泛 的 应 用 ! 利 用解析几何 方 法 研 究 曲 线 ! 不 论 是 直 线 " 圆 还 是 圆 锥 曲线 ! 基本思路 都 是 要 善 于 利 用 坐 标 的 语 言 建 立 代 数 模型来描述 几 何 性 质 ! 利 用 代 数 运 算 解 决 问 题 ! 再 翻 译为几何语言 !
还是 向 量 ! 还 是 有 方 向 有 大 小 的 量 ! 还 是 加 法 "
数乘 " 数 量 积 ! 同 样 的 工 具 ! 以 前 处 理 了 平 面 图 形 ! 现在处理空 间 图 形 ! 除 了 坐 标 中 的 两 个 数 变 成 了 三 个 数 ! 一切都是轻车 熟 路 ! 可 以 得 心 应 手 ! 大 概 是 由 于 用普通的推理处理空间图形比处理平面图形困难得多 ! 而用向量处理 空 间 图 形 与 处 理 平 面 图 形 的 难 度 却 差 别 不大 ! 因此向量 在 处 理 空 间 图 形 中 显 示 出 比 处 理 平 面 图形更大的 威 力 ! 利 用 向 量 解 决 几 何 问 题 ! 不 论 是 在 空间中还是 平 面 上 ! 基 本 的 思 路 都 是 要 善 于 建 立 向 量 模型描 述 几 何 性 质 ! 利 用 向 量 的 代 数 运 算 解 决 问 题 ! 再翻译为几何的语言 !
祝愿同学们一步步登高 ! 更上一层楼 !
!!
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第
１
章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系 /
1.1.1 命题的概念和例子 / 习题 1 /
1.1.2 命题的四种形式 / 习题 2 /
1.1.3 充分条件和必要条件 / 习题 3 /
1.2 简单的逻辑联结词 /
1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或” / 习题 4 /
1.2.2 全称量词和存在量词 / 习题 5 /
小结与复习 / 复习题一 /
第
２
章 圆锥曲线与方程数学实验 生活中的圆锥曲线 / 2.1 椭圆 /
2.1.1 椭圆的定义与标准方程 / 2.1.2 椭圆的简单几何性质 /
习题 1 / 2.2 双曲线 /
2.2.1 双曲线的定义与标准方程 / 2.2.2 双曲线的简单几何性质 /
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抛物线
2.3.1 抛物线的定义与标准方程 / 2.3.2 抛物线的简单几何性质 /
习题 3 / 2.4 圆锥曲线的应用 /
习题 4 /
数学实验 圆锥曲线的光学性质 / 2.5 曲线与方程 /
习题 5 /
数学文化 圆锥曲线小史 / 小结与复习 /
复习题二 /
第
３
章 空间向量与立体几何问题探索 尝试用向量处理空间图形 / 3.1 空间中向量的概念和运算 /
习题 １ / 3.2 空间向量的坐标 /
习题 ２ / 3.3 直线的方向向量 /
习题 ３ /
3.4 直线与平面的垂直关系 / 习题 ４ /
3.5 平面的法向量 / 习题 ５ /
3.6 直线与平面、平面与平面所成的角 / 习题 ６ /
3.7 点到平面的距离 /
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共面与平行 习题 ８ / 小结与复习 /
复习题三 /
眼多知道一点演 圆锥截线 /
圆锥曲线的统一定义 / 柯西不等式 /
向量的线性相关 /
附录 数学词汇中英文对照表 /
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若ｐ则ｑ
互
否 互
逆
互 逆
互 否
互 为 逆 否
互 为
逆 否
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逻辑规矩有方圆 ! 当且仅当令如山 ! 或者婉言容选择 ! 充分游刃天地宽 !
常用逻辑用语
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若ｑ则ｐ
原命题
逆命题
逆否命题 若 q则 ｐ
否命题 若 p则 q
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!!人与人之间交流的语言!基本上分为两类"一类是感性语言!一 类是理性语言!感性语言是对视#听#闻#触摸等获取的信息所作的 表达!理性语言则是对大脑中的思维活动所作的表达!逻辑用语就是 一种理性语言!是表达理性思维的载体!
学习常用逻辑用语!掌握常用逻辑用语的用法!就可以利用这些 逻辑用语准确#简洁地表述数学内容和数学思想!同时!在各种交流 活动中!也 可 以 利 用 这 些 逻 辑 用 语 严 密 地 表 述 对 各 种 问 题 的 思 考 结果!
!!
"#"! 命题及其关系
!!
"#"#"!
命题的概念和例子数学知识的丰富和数学的发展依赖于人们不断地提出命题并力图 证明这些命题!那么什么是命题呢$
在数学课中曾遇到过大量如下的语句"
%"&奇偶相同的两个整数之和是一个偶数'
%$&三角形的三个内角之和等于"%&''
%(&若"!#是任意两个正实数!则"$#"$槡"#'
%)&*+,-&'%槡$
$'
%.&若实数"满足"$%/!则"%(!
上述这些句子都叫作命题!它们的共同特征是每个句子都陈述了 能够判断其成立或不成立的一件事情!
可以判断 成 立 或 不 成 立 的 语 句 叫 作命 题 %01202*+3+2,&!成 立 的 命题 叫 作真 命 题 %314501202*+3+2,&!不 成 立 的 命 题 叫 作假 命 题
%678*501202*+3+2,&!例如!上述命题 %"&#%$&#%(&是三个真命题! 而命题 %)&#%.&是两个假命题!
１． １ 命题及其关系
１． １． １ 命题的概念和例子
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!! !若""#则""$
这种形式的命题也可以 写成 !如果" " #那 么
" "$的形式!
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!!证明假命题的方法 通常是举出一个反例!
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例!判 断 下 列 语 句 是 否 是 命 题!若 是!则 判 断 其 真 假!并 说 明 理由!
"!#"""$
"##若#!$是正实数且##"$#!则#"$$
"$#若#!$是任意实数且##"$#!则#"$!
解! "!#因为无法判断其是否成立!故不是命题!
"##真命题!
%!##"$#!
&!##'$#("#'$#"#)$#""!
%!#""!$""!
&!#)$""!
因此!#'$""!即!#"$!
"$#假命题!取#('#!$(!!则##"$#!但##$!
暂时不知道真假 的 命 题 可 以 叫 作猜 想"%&'()%*+,)#!一 个 好 的 猜 想将推动数学的发展!因为人们在证明猜想的过程中会提出许多新的 数学概念和想出许多新的数学方法!
例如%命题 &当整数*$$时!方 程"*)+*(,* 没 有 正 整 数 解'
就是著名的费马"-),./*#大定理!长期以来!人们不知 道 费 马 大 定 理究竟是真命题还是假命题!一直作为一个猜想而存在!历经$""多 年!直至!001年!费马大定理才最终获得证明!
练 习
判断下列语句是否是命题!若是!则判断其真假!
"!#"%1$
"##有两个角为123的三角形是等腰直角三角形$
"$#方程"#)!4"没有实数根!
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!!在学习数学的过程 中!同学们应尽力提 出 自己的猜想!并力图 证 明它们!这是需要努 力 培养的一种能力!
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! 习题 !
!!判断下列命题的真假!并说明理由"
#!$若"!#是任意实数!则"""$"#"#"%
##$若%!&是实数且%#$&#'"!则%'&'"!
#!试证"
#!$命题 &若(#"!则%#$%)('"有两个不同的实数根'是真命题%
##$命题 &若%#$%)('"有两个不同的实数根!则实数(#"'是假命题!
$!试证"命题 &两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形'是假命题!
%!试独立举出数学上一个真命题和一个假命题的例子!
!!
! &! &# !
命题的四种形式在数学中!命题通常都由条件和结论组成!例如"
#!$若两个三角形全等!则它们相似%
##$若两个三角形相似!则它们全等%
#$$若两个三角形不全等!则它们不相似%
#%$若两个三角形不相似!则它们不全等!
我们可以发现上述命题具有 &若*!则+'的形式!其中*叫作 命题的条件!+叫作命题的结论!
仔细分析上述四个命题的构成!容易发现它们之间有内在的联系! 可以看到!命题#!$的条件是命题##$的结 论!而 命 题#!$的 结 论
１． １． ２ 命题的四种形式
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是命题!!"的条件#即它们的条件和结论互换 了!我 们 把 这 样 的 两 个 命题 叫 作互 逆 命 题!其 中 一 个 命 题 叫 作原 命 题 !"#$%$&'()#")"*$+ ,$"&"#另一个叫作原命题的逆命题 !-"&./#*/)#")"*$,$"&"0事实上#
命题!1"和命题!2"也互为逆命题0
对于命题!3"!1"#其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题 的条件的否定和结论的否定#这样的两个命题叫作互否命题0其中一 个命题叫作原命 题#另 一 个 叫 作 原 命 题 的否 命 题 !&/%',$./)#")"*$+ ,$"&"0事实上#命题!!"和命题!2"也互为否命题0
对于命题!3"!2"#其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题 的结论的否定和条件的否定#这样的两个命题叫作互为逆否命题0其 中一个命 题 叫 作 原 命 题#另 一 个 叫 作 原 命 题 的逆 否 命 题 !-"&./#*/+
&/%',$./)#")"*$,$"&"!事实上#命题!!"和命题!1"也互为逆否命题! 也就是说#设命题!3"为原命题#那么$
命题!!"为命题!3"的逆命题% 命题!1"为命题!3"的否命题% 命题!2"为命题!3"的逆否命题!
用符号抽象地表示 命 题 可 以 更 清 晰 地 显 示 命 题 的 四 种 形 式!通 常#用"和#分别表示原命题的条件和结论#用■"和■#分别表示
"和#的否定#于是四种形式的命题可以表示为$
原命题$若"则#%
逆命题$若#则"%
否命题$若■"则■#%
逆否命题$若■#则■"!
命题的四种形式中#任一对命题之间的相互关系如图3 3所示!
图3 3
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! !若 设 命 题 !!"为 原命题#你能分别指 出 其逆命题$否命题和 逆 否命题吗% 这样做#还 会产生新的命题吗%
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!!关键是写好原命题 的条件!和结论"#
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!!原命题为真时不能 判断它的逆命题的真假 性!因此!考虑一个 命 题的逆命题是提出猜想 的一个来源!
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例!!分别写出下列两个命题的四种形式!
!!"若!""#$#则%&'!"槡( )$
!)"设#"##$"##若#"$#则#)"$)! 解! !!"原命题!若!""#$#则%&'!"槡(
)$
逆命题!若%&'!"槡(
)#则!""#$$
否命题!若!#"#$#则%&'!#槡( )$
逆否命题!若%&'!#槡(
)#则!#"#$!
!)"原命题!设#"##$"##若#"$#则#)"$)$ 逆命题!设#"##$"##若#)"$)#则#"$$
否命题!设#"##$"##若#$$#则#)$$)$ 逆否命题!设#"##$"##若#)$$)#则#$$!
例"!把下列命题改写成 %若%则&&的形式#并写出它们的逆 命题'否命题和逆否命题!
!!"矩形的两条对角线互相平分$
!)"小于'*的数的平方大于)*!
解!!!"原命题!若四边形是矩形#则它的两条对角线互相平分$
逆命题!若四边形的两条对角线互相平分#则它是矩形$
否命题!若四边形不是矩形#则它的两条对角线不互相平分$
逆否命题!若四边形的两条对角线不互相平分#则它不是矩形!
!)"原命题!若#%'*#则#)")*$
逆命题!若#)")*#则#%'*$
否命题!若#&'*#则#)$)*$
逆否命题!若#)$)*#则#&'*!
我们已经知道#当原命题为真时#它的逆命题可以为真也可以为 假!那么#原命题的真假性同它的否命题及逆否命题的真假性之间是 否有关系呢(
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!!原命题为真!它的逆命题可以为真!也可以为假! 例!!试证"
#!$命题%两个角相等的三角形是等腰三角形&的逆命题是真命题!
#"$命题%若""#!#"#!则"#"#&的逆命题是假命题! 证明! #!$逆命题是"等腰三角形有两个角相等!
设等腰#$%&中!$%'$&!则 由 %等 边 对 等 角&得" $%'
$&!
因此!#!$中命题的逆命题是真命题!
#"$逆命题是"若"#"#!则""#且#"#!
取"'#'(!!则"#"#!但"%#!#%#!
因此!#"$中命题的逆命题是假命题!
"!原命题为真!它的逆否命题一定为真!
事实上!逆否命题只是原命题的另一种陈述! 例如"
原命题!若"'#!则"#'#' 逆否命题!若"#&#!则"&#!
$!原命题为真!它的否命题可以为真!也可以为假!
例如"真命题 %若""#!则"$"#&的否命题 %若"'#!则"$'
#&是真命题!而真命题 %若""#!则"""#&的 否 命 题 %若"'#!
则""'#&是假命题!
一般地!四种命题的真假性!有且仅有下面四种情况"
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题!因此四种命题的真假性 之间的关系如下"
#!$两个命题互为逆否命题!它们有相同的真假性'
#"$两个命题互为逆命题或否命题!它们的真假性没有关系!
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!!逆否命题不产生新 命题!
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!
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!!否命题是原命题的 哪 种 形 式 命 题 的 逆 否 命题!
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!!!"#$%&'(
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练 习
!!写出下列命题的四种形式!
"!#若两个三角形全等$则它们的面积相等%
""#若"!#$则"$!#!
"!写出命题 &正方形的对角线互相 垂 直'的 逆 命 题(否 命 题 和 逆 否 命 题$并 判 断 它们的真假!
$!&原命题为真$它的否命题一定为假'的说法是否正确) 请举例说明!
" 习题 !
!!把下列命题改写成 &若#则$'的形 式$并 分 别 写 出 它 们 的 逆 命 题(否 命 题 和 逆否命题!
"!#正方形的四条边相等%
""#末位是%的整数可以被%整除%
"$#当"!#时$函数%&"'()在!上单调递增!
"!写出下列命题的逆命题(否命题和逆否命题$并分别判断它们的真假!
"!#设"$)$*为任意实数$若"&)$则"*&)*%
""#到圆心的距离等于该圆半径的直线是圆的切线%
"$#'&%是方程'"+&'+%'#的根!
$!判断下列说法是否正确!
"!#一个命题的逆命题为真$它的否命题也为真%
""#原命题为假$它的逆否命题也为假!
&!写出下列命题的四种形式!
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!!"两个偶数之积仍是一个偶数#
!""#$%&'(!槡&
&#
!&"过直线"外一点能够作一条直线与直线"平行#
)#试证下列两个命题的逆命题都是假命题$
!!"设$是整数%若$是*的倍数%则$&是+的倍数#
!""二次函数的图象一定有对称轴#
,#写出下列命题的四种形式%并分别判断它们的真假性$
!!"设$%%%&是任意三个实数%若$!%%则$&!%&#
!""函数'!("在区间!!%)*"上单调递增#
!-!-&"
!-!-"节我们讨论了 &若+%则,'这 种 形 式 的 命 题%其 中 有 的 命题为真命题%有的命题为假命题#
例如%有下列两个命题$
!!"若$!%%则$"!%"#
!""若$"!%"%则$!%#
其中命题!!"为真命题%命题!""为假命题#
一般地% &若+%则,'为 真 命 题%是 指 由+成 立 可 以 推 出,成 立#在这种情况下%记作+#,%并把+叫作,的充分条件!./001213%#
24%51#14%"%,叫作+的必要条件!%323..$6724%51#14%"#
+#,可以理解为由于+成 立%则,一 定 也 成 立%即+对 于,的 成立是充分的#换个角度考虑%一旦,不成立%则+一 定 也 不 成 立% 即,对于+的成立是必要的#
当 命题 &若+%则,'为假命题时%则由+推不出,%记作+#$,#
在这种情况下%+不是,的充分条件%,不是+的必要条件#
上面的命题!!"是真命题%即$!%#$"!%"%所以$!%是$"!%"的 一个充分条件#但$"!%"$$!%%# 所以$"!%"是$!%的一个必要条件#
又如命题$若%-./是等腰三角形%则%-./有两个角相等# 在这个命题中%+#,%所以+是,的充分条件%,是+的必要条件#
１． １． ３ 充分条件和必要条件
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9书 书 书
!!充分性的证明!条 件"结论!必要性的 证 明!结论"条件!
书 书 书
另一方面!!!"!所以"也是!的必要条件!!也是"的充分条件# 一般地!如果对"和!!既 有"!!!又 有!!"!就 记 作""!#
即"既是!的充分条件!又是!的必要条件!此时我们称"是!的充 分必要条件"!"##$%$&'()'*'&%&!!)+,%-'*$($-'#!简称充要条件#
显然!"是!的充要条件!那么!也是"的充要条件#在这种情况
下!"和!称为互相等价#两个互相等价的命题或条件通常是对同一事
物从不同角度所作的描述#
例如!三角 形 全 等 的 判 别 条 件...$./.$/./分 别 从 不 同 方 面描述了两个三角形全等的同一个事实!它们相互等价#
例!#从 %充分而不必要条件&$%必要而不充分条件&和 %充要 条件&中选择适当的一种填空#
"0#四边形的对角线相等是该四边形为矩形的####'
"1#$$2是$为正数的####'
"3#四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行
的#####
解# "0#四 边 形 是 矩 形!四 边 形 的 对 角 线 相 等!反 之 不 成 立# 因此!"0#中应填 %必要而不充分条件&#
"1#$$2!$%4!$%4!&$$2#因此! "1#中应填 %充分而不必 要条件&#
"3#四边形的 一 组 对 边 平 行 且 相 等"四 边 形 的 两 组 对 边 分 别 平 行!它们实际 上 都 在 描 述 四 边 形 是 平 行 四 边 形#因 此! "3#中 应 填
%充要条件&#
例"#试证(
"0#在实数范围内!%&0是%1&0的充分而不必要条件'
"1#四边形的两组对边分别相等是四边形是矩形的必要而不充分
条件#
证明# "0#%&0!%1&0!%&0是%1&0的 充 分 条 件'由 于
"'0#1&0!%1&0&%&0!%&0! 不是%1&0的必要条件#因此!%&0 是%1&0的充分而不必要条件#
"1#记"(四边形的两组对边分别相等!!(四边形是矩形#!!
"!"是!的必要 条 件'由 于 平 行 四 边 形 的 两 组 对 边 分 别 相 等!" !&
书 书 书
!!其中!和"既可是 命题!又可是一个条件#
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!!分别考虑命题 !若
!则""和 !若"则!"
的真假性#
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!!"不是!的充 分 条 件#因 此!四 边 形 的 两 组 对 边 分 别 相 等 是 四 边 形是矩形的必要而不充分条件#
例!!下列各组命题中!"是!的什么条件 "在 #充分 而 不 必 要 条件$%#必要而不充分条件$% #充 要 条 件$% #既 不 充 分 又 不 必 要 条 件$中选出一种&' 为什么'
"!&设$!%""!"($"&%"##!!($!%都不为零)
""&"(#$$$!!!($%&$##)
"'&设$是整数!"($是(的倍数!!($是)的倍数)
"*&"(圆$"&%"'("与直线)$&*%&+'#相切!!(+"'")"&
*"&("#
解! "!&$!%都 不 为 零%$"&%"##)取$'#!%'!!$"&
%"##!但$'#!即" %&!#
所以"是!的必要而不充分条件#
""&因 为#$$$!$ !
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"!!
$%&$##!但+
"!#!!即!%&"#
所以"是!的充分而不必要条件#
"'&取$'(!$不是)的 倍 数!"%&!)又 取$')!$不 是(的 倍数!即!%&"#
所以"是!的既不充分又不必要条件#
"*&若圆$"&%"'("与直线)$&*%&+'#相切!则圆心到直线
)$&*%&+'#的距离,' '+'
)"&*
槡
"'(!即+"'")"&*"&("!"%!)反 过来!若+"'")"&*"&("!则 '+'
)"&*
槡
"'(成 立!$"&%"'(" 的 圆 心
"#!#&到直线)$&*%&+'#的距离等 于(!即 圆$"&%"'("与 直 线
)$&*%&+'#相切!!%"#
所以"是!的充要条件#
充分条件%必要条件和充要条件究竟有什么用处' 事实上!很多 数学知识都是由这种形式的命题给出#例如!数学中的定义都是充分
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必要条件!!两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形"#这条定义 表明#四边形是平行四边形的充要条件是其两组对边分别平行!但由 于可以证明 !对边平行且相等"和 !两组对边分别平行"互为充要条 件#所以也可以说 !对边平行且相等的四 边 形 叫 作 平 行 四 边 形"!可 见数学中的定义可以用等价的条件来替换#即可以作形式上的改变! 在初中#我们接触到性 质 定 理和判 定 定 理的 说 法!!等 腰 三 角 形 两底角相等"叫作等腰三角形的性质定理#意思是说等腰三角形必有
!两底角相等"这 条 性 质#即 此 性 质 是 等 腰 三 角 形 的必 要 条 件!反 过 来#!有两角相等的三角形是等腰三角形"叫作等腰三角形的判定定 理#它揭示了具备此条件的三角形肯定是等腰三角形#即它是三角形 成为等腰三角形的充分条件!把性质定理和判定定理综合起来就是简 单地一句话$!两角相等是三角形成为等腰三角形的充要条件"!使用 充分条件%必要条件和充要条件这些逻辑用语来表述#学过的数学知 识就显得更有条理了!
练 习
!!下列命题中#哪些命题是 !四边形是矩形"的充分条件&
'!(四边形的对角线相等)
'"(四边形的两组对边分别相等) '#(四边形有三个内角都为直角)
'$(四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补!
"!设"##!!#下列各式中哪些是 !"#"%"的必要条件&
'!("$#%%)### ####'"(""$#"$%) '#(""$#""%) '$("#$##"%!
#!从 !充分而不必要条件"% !必 要 而 不 充 分 条 件"% !充 要 条 件"与 !既 不 充 分 又 不必要条件"中选出适当的一种填空$
'!(!%&'(中&(%&%'"是 !%&'(中&'"%&("$'(""的#####)
'"(!"$%"是 !"'!"的#####)
'#(!"%""是 !""%$"的#####!
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书 书 书
! 习题 !
!!从 !充分而不必要条件"# !必 要 而 不 充 分 条 件"# !充 要 条 件"与 !既 不 充 分 又 不必要条件"中选出适当的一种填空$
%!&!两个角是对顶角"是 !两个角相等"的!!!!!!'
%"&!"#!"#"是 !""!"的!!!!!!'
%$&!""#($"#"是 !"%$"!"的!!!!!!'
%%&设"($(&都是实数(!"%$%&'#"是 !('!是方程"("%$(%&'#的 一 个根"的!!!!!!'
%&&!##(#!"是 !("#("的!!!!!!!
"!下列各组命题中()是*的什么条件 %在 !充 分 而 不 必 要 条 件"# !必 要 而 不 充 分条件"#!充要条件"#!既不充分又不必要条件"中选出一种&) 为什么)
%!&设((+是实数()$("+(*$$($"$+$'
%"&)$,在%-./的边./的中线上(*$%-.,的面积'%-/,的面积'
%$&)$"'("''(%&"#)&(*$"'"'
%%&)$-&.(*$-'.'-!
$!!("(!"是 !((!"的必要条件吗) 为什么)
%!试证 !("!"是 !!
( #!"的充分而不必要条件!
&!试证 !""#($"#"的充要条件是 !"%$"#("$"#"!
)!判断下列命题的真假(并说明理由$
%!&!""$"#"是 !"""$""的充要条件'
%"&!""$"是 !"&""$&""的充分条件'
%$&!""$"是 !"%&"$%&"的充要条件!
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!!
!"#! 简单的逻辑联结词
人说话或书面表达意思时!一句接着一句!句子之间需要用联结 词联结!不同的联结词表达的意思有很大的差别!特别地!数学表达 更需要精确和严密!本节我们讨论简单的逻辑联结词!
!!
!"#"!!
!!联结词 "非#$$%&%!
设"是一 个 命 题!用 联 结 词 "非#对 命 题"作 全 盘 否 定!得 到 新命题!记作■"!读作 "非"#或 "不是"#!
例!!写出下列命题"的否定■"&
$!%"&'是方程##$!()*的根'
$#%"&空集是集合%的子集'
$+%"&!(不是,的倍数!
解! $!%■"&'不是方程##$!()*的根!
$#%■"&空集不是集合%的子集!
$+%■"&!(是,的倍数!
若"是真命题!则 ■"是 假 命 题'若"为 假 命 题!则 ■"为 真 命题!
#!联结词 "且#$-$.%!
用联结词 "且#把两个命题"!&联结起 来!得 到 新 命 题!记 作
""&!读作 ""且&#!
"""&#为真命题当且仅当"和&都为真命题!可用串联电路直 观地显示 $如图! #%&当且仅当开关"合上且开关&也合上时灯才 会亮!当"!&两个命题中有一个为假命题时!""&是假命题!
１． ２ 简单的逻辑联结词
１． ２． １ 逻辑联结词“ 非” 、“ 且” 和“ 或”
书 书 书
””此处命题的否定与
!"!"#节 中 的 否 命 题 有 何区别!
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图! "
!!具体地!命题!""的真假性由下表给出"
! " !""
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
例!!根据下列各组命题中的!!"!写出命题!""!并判断其真假"
#!$!"矩形的对角线互相平分!""矩形的对角线互相垂直%
#"$!"函数#$%"在 ##!&'$上 单 调 递 增!""函 数#$%"
在 #('!#$上单调递减)
解!#!$!"""矩形的对角线互相垂直平分)因 为"为 假 命 题! 所以!""为假命题)
#"$!"""函 数#$%"在 #( '!#$上 单 调 递 减!在 ##!
&'$上单调递增)因为!!"都为真命题!所以!""为真命题)
$)联结词 &或'#%&$)
用联结词 &或'把两个命题!!"联结起 来!得 到 新 命 题!记 作
!#"!读作 &!或"')
图! $
&!#"'为 真 命 题 当 且 仅 当!和"
中至 少 有 一 个 为 真 命 题)!#"可 用 并 联电路直观地显示#如图! $$"当且仅 当开 关! 和" 中 有 一 个 合 上 时 灯 就 会亮)
具体地!命题!#"的 真 假 性 由 下 表给出"
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! " !!"
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
""例!"根据下列各组命题中的!!"!写出命题 "!!"#!并判断 其真假$
%!&!$"是集 合'#!$!%(中 的 元 素!"$$是 集 合'#!$!%(
中的元素)
%#&!$方 程##$#%!&'有 两 个 正 实 数 根!"$方 程##$#%
!&'有两个负实数根&
解"%!&!!"$集 合 '#!$!%(中 含 有 数"或$&由 于"是 真 命题!!!"是真命题&
%#&!!"$方程##$#%!&'有 两 个 正 实 数 根 或 有 两 个 负 实 数 根&由于!!"都是假命题!!!"是假命题&
练 习
!&把下列命题改写成!!"或!#"的形式$
%!&!$#&#!"$#$#)
%#&!$槡#是实数!"$槡#%!&
#&根据下列各组命题 中 的!!"!写 出 命 题 "!#"#! "!!"#! "■!#!并 判 断 其 真假&
%!&!$!'是偶数!"$!'是质数)
%#&!$#'!是 方 程#$%$#$#&'的 根!"$#' %!是 方 程#$%$#$#&' 的根&
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! 习题 !
!!判断下列命题的真假!
"!#方程""##"#$%&的判别式大于或等于&$
""#正方形是轴对称图形且正三角形也是轴对称图形!
"!根据下列各组命题中的$%%%写出命题 &$"%'%&$#%'%&■$'%并判断其真假!
"!#$!!是无理数%%!!是实数$
""#$!方程""&!%&没有实根%%!方程""#'%&没有实根!
#!根据下列各组命题 中 的$%%%写 出 命 题 &$"%'% &$#%'% &■$'%并 判 断 其 真假!
"!#$!'(()*"在 "&%"#内单调递增%%!'(()*"在 "&%!#内恒大于&$
""#$!"是集合(")中的元素%%!"不是集合(#%$%')中的元素$
"##$!集合)是)$*的子集%%!集合)是)%*的子集$
"$#$!方程""&#"#!%&的两根符号不同%%!方程""&#"#!%&的 两 根 之 和为#!
$!设$%%是两个命题!试证!
"!#■"$#%#是真命题当且仅当 "■$#""■%#是真命题$
""#■"$"%#是真命题当且仅当 "■$##"■%#是真命题!
