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(一)不同振動模態下巒大杉圓柱與梭柱之振動特性

考量試材質量對振動干擾影響及盡可能擷取到較多的彎曲 振動模態之共振頻率,本部份研究針對直徑3cm、長度 60cm 之 巒大杉圓柱與梭柱試材進行彎曲振動試驗。

1. 不同振動模態下圓柱與梭柱之彎曲振動頻率

為能正確判定 FFT 頻譜圖上各模態之共振頻率,配合 Brüel&Kjær 之模態分析軟體進行彎曲模態及對應共振頻率之 確認。圖49(a)、(b)、(c)、(d)、(e)分別為巒大杉圓柱第 1、2、3、4、5 之彎曲振動模態,符合一般梁構件態兩端自由 之彎曲振動型態(Bodig and Jayne,1982)。經由彎曲振動試 驗結果,巒大杉圓柱各彎曲模態下的共振頻率值如表 11 所 示,其中梭柱基本共振頻率較圓柱為高,其他模態共振頻率較 圓柱為低。依梭柱的斷面直徑及長度與圓柱相關尺寸加以比 較,理論上由於本研究中梭柱之直徑較圓柱為小,其共振頻率 較圓柱為低;梭柱之長度則稍低於圓柱,其共振頻率應較圓柱 為高,但由於梭柱為一非均勻斷面之構件,其質量、斷面積、

斷面慣性矩分佈對不同彎曲振動模態的影響會有所不同。以自 由振動理論可以來說明,本研究之柱肚位於材長0.4 位置處,

靠近基本振動模態時之 0.5L 波腹處,質量削減較高頻振態 少。再者,基本振動模態之節點位置為0.224L 及 0.776L 處,

位於節點兩端以外的部分因卷殺造成質量消減,會提高振動的 基本共振頻率;對第2 及第 3 振動模態的影響會因波腹位置靠 近構件外側,其質量遭到卷殺削減因此造成高頻振動頻率減

低。

另外,依非均勻斷面的等效斷面慣性矩與斷面積,計算出 梭柱的正確動彈性模數。根據Galerkin's 的逼近法所計算之梭 柱相對於柱頭之等效斷面慣性矩與斷面積如表12 。由表中結 果可知隨彎曲振動模態的增加,等效斷面慣性矩成線狀降低;

等效斷面積則成線狀增加。為評估本研究所採用之 Galerkin's 逼近法是否正確,依圓柱所測得之動彈性模數所預測梭柱在各 彎曲模態下的共振頻率與梭柱實測結果如表 13 所示,兩者間 之差異百分率(差異百分率=(實測值-預測值)/實測值*100)除第 5 模態為 3.28%以外,其他模態皆在 2%以下,就木材為一非 均勻性材質而言,此種預測差異性應為可接受範圍之內,亦顯 示依Galerkin's 逼近法所計算之等效斷面慣性矩與斷面積可準 確評估非均勻斷面木材的動彈性模數。

(a)第 1 振態(基本振態) (b)2 振態

(c)3 振態 (d)4 振態

(e)5 振態

圖49 巒大杉圓柱各彎曲振動模態

Fig.49 The first five modes of bending vibration test of round columns made of Luanta Fir.

0.224L(波節) 

0.776L(波節) 

0.5L(波腹)  0.5L(波節) 

(波腹) 

(波腹)  0.132L(波節) 

0.868L(波節) 

(波腹)  (波節)  (波腹) 

(波腹)  (波節)  (波節) 

(波節) 

表11 巒大杉 60cm 圓柱與梭柱各彎曲模態之共振頻率統計分析

Table 11 The resonant frequencies of flexural vibration modes of round and shuttle-shaped columns with 60cm in length.

*:括號內數值為標準差

表12 巒大杉 60cm 梭柱依柱頭直徑為基準之等效斷面慣性矩(Ieff)與斷面積(Aeff)之平均比值 Table 12 The average equivalent moment of inertia(Ieff) and area of cross-section(Aeff) of

shuttle-shaped columns made of Luanta fir with 60cm in length.

彎曲共振模態 Ieff Aeff

1 1.72(0.17)* 1.11(0.04)

2 1.49(0.14) 1.13(0.05)

3 1.42(0.13) 1.14(0.05)

4 1.40(0.13) 1.13(0.25)

5 1.38(0.13) 1.13(0.05)

*:括號內數值為標準差

表13 梭柱各共振頻率預測值與實測值之比較

Table13 Compare with resonant frequencies of predicted and measured values.

彎曲共振模態 預測值(Hz) 實測值(Hz) 差異百分率(%)

1 360 366 1.64

2 884 898 1.56

3 1602 1633 1.90

4 2513 2537 0.95

5 3424 3540 3.28

共振頻率(Hz) 彎曲共振模態

圓柱 梭柱

1 347(27)* 366(33)

2 924(66) 898(69)

3 1718(95) 1633(102)

4 2717(129) 2537(118)

5 3726(109) 3540(130)

圖50 圓柱與梭柱各不同彎曲振動模態共振頻率與基本共振頻率之比值

Fig.50 The ratios of natural frequencies to fundamental frequency of flexural vibrations in round and shuttle-shape columns.

2. 振動模態下巒大杉圓柱與梭柱之動彈性模數

圓柱依Euler 梁理論所計算之各彎曲模態下的動彈性模數 如表14 所示;梭柱依 Galerkin's 逼近法及等效斷面慣性矩與斷 面積所計算之各彎曲模態下的動彈性模數如表 14。不論圓柱 或梭柱,愈高次的彎曲振動模態所計算之動彈性模數會愈低,

此乃因未考慮到旋轉慣性及剪斷變形的關係。由於以Euler 梁 理論評估材料之動彈性模數以基本共振頻率所計算之彈性模 數最準確,故根據基本共振頻率所計算之圓柱與梭柱動彈性模 數比較結果如圖51,決定係數R2為 0.96,顯示應用 Galerkin's 逼近法可準確評估非均勻斷面木材之動彈性模數。本研究中梭 柱依第1 到第 5 彎曲振態所計算之動彈性模數與圓柱的差異百 分率分別為 3.40%、3.64%、4.20%、1.97%及 7.00%,整體 差異百分率平均值為4.04%。

卓志隆(2000)依 Timoshenko 梁理論,考慮旋轉慣性及 剪斷變形對共振頻率的影響,依第1 到第 6 彎曲共振頻率所計

理論探討長細比對彎曲振動的影響,如長細比低於 18 時,會 造成動彈性模數低估的現象,愈高次模態的動彈性模數值愈 低;Chui 等(1990)以數值法分析彎曲振動,若允許決定自 然頻率的誤差為5%時,彎曲振動邊界條件為兩端皆自由狀態 時,則試材長細比需在15 以上。

表14 不同彎曲振態下,巒大杉圓柱與梭柱之動彈性模數

Table14 The dynamic modulus of elasticity of round and shuttle-shaped columns made of camphor tree and Luanta fir in various vibration modes.

動彈性模數(GPa) 彎曲共振模態

圓柱 梭柱 差異百分率(%)

1 7.95(1.05)* 8.22(1.46) 3.40

2 7.42(0.88) 7.69(1.22) 3.64

3 6.67(0.57) 6.95(0.90) 4.20

4 6.10(0.63) 6.22(0.60) 1.97

5 5.14(109) 5.50(0.44) 7.00

*:括號內數值為標準差

 

圖51 依基本共振頻率所計算之巒大杉圓柱與梭柱動彈性模數比較

Fig.51 Comparing with flexural dynamic modulus of elasticity calculated by fundamental frequency of round and shuttle-shaped columns made of Luanta Fir.

(二)不同長細比圓柱與梭柱動彈性模數比較

由於10cm 及 20cm 長之圓柱或梭柱的質量太輕,振動試驗 時易因敲擊鎚施力亦引起試材彈跳(Bouncing)而不易測量到共 振頻率,故表15 只有 30cm、40cm 及 60cm 三種長度試材的試驗 結果。

依 Euler 梁理論及基本共振頻率計算之各長細比圓柱動彈 性模數值,如表15;依 Galerkin's 逼近法與等效斷面慣性矩和斷 面積計算法及基本共振頻率計算之動彈性模數,如表15。

比較表15 中資料,可知在同一長細比值下之圓柱或梭柱試 材沿徑向之彎曲振動基本共振頻率平均較沿弦向者為高,沿徑向 之彎曲動彈性模數亦稍高於弦向之試驗結果。合併樟樹所有試材 之徑向與弦向彎曲振動彈性模數間關係,經線性回歸分析後如圖 52 所示,樟樹方程式為MoET =0.93x+0.46MoERR2 =0.83;巒大 杉方程式為MoET =0.85x+0.91MoERR2 =0.84。平均而言樟樹弦向 彎曲動彈性模數較徑向彎曲動彈性模數低 1.3%;巒大杉則兩者 間差距較大為 3.6%,以兩者間線性迴歸係數來看,兩者間呈高 度相關性且無顯著差異。卓志隆(2000)研究結果顯示柳杉氣乾 材徑向彎曲動彈性模數較弦向彎曲動彈性模數低1%,差異亦很 小,生材狀態則兩者間差異較大,為6%。

表15 不同長細比圓柱與梭柱之動彈性模數

Table15 The dynamic modulus of elasticity of round and shuttle-shaped columns at different slenderness ratios.

密度 含水率 fR* fT* DMoER* DMoET*

樹種 類型 長細比

) /

( kg m

3 (%) (Hz) (Hz) (GPa) (GPa)

40.2 590(45)A ** 10.0(0.4)A 1074(117) 1073(111) 7.75(1.66)A 7.72(1.52)A 53.4 642(49)B 9.9(0.3)A 547(50) 547(51) 8.33(1.38)A 8.31(1.40)AB

圓柱

80 598(40)A 9.8(0.2)A 280(24) 283(18) 8.55(1.52)A 8.71(1.32)B 45.4 620(76)A 12.1(0.1)A 1155(173) 1145(157) 8.15(1.87)A 8.01(1.62)A 60.1 632(53)A 11.4(0.2)A 599(68) 576(93) 7.69(1.62)A 7.20(2.04)A 樟樹 梭柱

90 645(42)A 11.1(0.5)A 264(24) 262(24) 8.04(1.46)A 7.96(1.54)A 40.2 373(31)AB 10.7(0.2)A 1331(75) 1308(55) 7.57(0.62)A 7.31(0.48)A 53.4 399(38)B 10.9(0.2)A 696(70) 676(60) 8.32(1.31)B 7.83(0.83)A

圓柱

80 360(20)A 10.5(0.1)A 345(22) 346(24) 7.84(0.81)AB 7.86(0.99)A 45.4 387(42)AB 10.8(0.4)A 1369(184) 1327(189) 8.23(1.95)A 7.75(1.95)A 60.1 399(38)B 10.9(0.2)A 788(69) 772(68) 8.14(0.98)A 7.84(1.27)A 巒大杉 梭柱

90 360(20)A 10.5(0.1)A 366(32) 361(27) 8.30(1.57)A 8.08(1.38)A

*: fRfT分別為沿徑向及弦向彎曲振動之基本共振頻率,DMoERDMoET分別為沿徑向及弦向的彎曲動彈性模數。

**:括號內數值為標準差。英文字母為 Duncan 多變域分析在顯著水準 5%的檢定結果,同一行字母相同表示相互間差異不顯著。

圖52 樟樹徑向彎曲動彈性模數與弦向彎曲動彈性模數之線性迴歸

Fig.52 Linear regression of flexural dynamic modulus of elasticity between radial and tangential directions of camphor tree.

不同長細比圓柱或梭柱間動彈性模數差異性,經 Duncan 多變域分析,在5%顯著水準下的檢定結果如表 15,大部分情形 不具有差異性,但少部份情形如樟樹圓柱不同長細比間之DMoET

值、巒大杉不同長細比圓柱間之DMoER值呈顯著差異,造成此差 異原因可能為試材為逢機取樣,並未考慮到分組試材密度間存在 差異性的關係,故為消除密度的影響,將各試材動彈性模數除以 比重後,再進行不同長細比圓柱或梭柱間比動彈性模數差異性分 析,結果如表16,皆不具有顯著差異性,由表 16 亦可瞭解巒大 杉的比動彈性模數較樟樹高出很多。

為驗證 Galerkin's 逼近法應用於梭柱動彈性模數的評估準確性,

Table16 The specific dynamic vibration of modulus of elasticity of round and shuttle-shaped columns.

圓柱 梭柱

表17 圓柱與梭柱間比動彈性模數平均差異百分比

Table17 The mean discrepancies of dynamic modulus of elasticity between round and shuttle-shaped columns.

差異百分比(%) 樹種

ρ /

DMoER DMoET/ρ

1.5 0.1 -5.4 -11.5 樟樹

-12.6 -14.5 5.9 3.6 -24 -0.5 巒大杉

6.4 2.7

三、 軸向載重對梭柱基本共振頻率的影響 (Fixed-Fixed)。依 Euler 樑理論在不同邊界條件下之振動方程式推 導作比較,依下列式計算:

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