圖形概念的瞭解
一、對於等腰三角形的瞭解
學生在構圖前對於等腰三角形的了解，大部分都能指出是兩邊相等、兩底角 相等的三角形，所畫出的等腰三角形為底邊水平且較短，兩腰較長的典型等腰三 角形。
在構圖前，學生對於等腰三角形的概念可分為下列情形：
學生 對圖形的概念 徒手畫的圖形
S1、S2、S7 兩個腰相等、底角相等
S3、S4、S6、S8、
S10
兩腰相等
S5 由兩個直角三角形拼成的
S9 其中兩個角度一樣，另一個角 都可以，總和要 180 度
在構圖後，學生對於等腰三角形的概念可分為下列情形：
學生 對圖形的瞭解 圖形
S1、S2、S3、S4、
S5、S6、S8、S10、
S7
兩個腰相等、底角相等
S9 其中兩角要度數相同
其中，學生 S9 一直強調兩個角的度數要相同才是等腰三角形，對於兩腰長 度是否相等並沒有明確表達，但在訪談中答說會相等。
T ：等腰三角形一定是要 45°、45°、90°嗎？
S9：不一定，因為比較好畫 T ：可以是別的樣子嗎？
S9：可以啊！
T ：為什麼 45°、45°、90°是等腰三角形呢？
S9：這個 90°，這個 45°，等腰就兩個一樣 45°，這樣才等腰。
T ：那邊要不要一樣？
S9：要
學生在一般構圖時，對於圖形性質的察覺，主要是以有刻度的直尺來作測量、
驗證，如學生 S1、S3 在作完圖後，還刻意的利用量角器去測量底角，以驗證底角 的相等。
T ：做完圖為什麼用量角器去量角度？
S3：驗證一下底角是否相等
T ：你之前不知道底角會相等嗎？
S3：沒想到，忘了吧。
T ：那有什麼新發現？
S3：等腰三角形底角真的相等。
部分學生是利用底邊中點作垂直線的方式做等腰三角形，而部分學生則是利 用尺規做圖方法作圖，學生在作圖後也會利用直尺測量兩腰的長度，以驗證兩腰 是否相等。
此外，有部分學生是利用等腰三角形頂點的高垂直平分底邊的性質來構圖，
但是學生對於此一性質一開始都沒有指出來。Duval 提出對圖形的瞭解中提到，圖
形的結構，不依靠知覺性了解和線索，端視於技術限制和數學性質。學生雖然知 道等腰三角形是兩腰相等，但是構圖時卻是從底邊的中垂線做起。也就是說學生 對於等腰三角形的認知與構圖方式是不一樣的，學生知道此一性質，只是沒有明 確的指出，而強調於「等腰」三角形。經訪談老師的提示，學生才指出此一性質。
S1：一開始亂畫，然後就想畫 3 公分，再切一半，就可以量 90 度。
T ：一半是平分，90 度是垂直，所以這條線是……
S1：是垂直平分線
T ：所以你是用垂直平分的方法畫的
又其中學生 S5 認為等腰三角形是由兩個直角三角形拼成的，在構圖時也一直 在作中垂線，要作出兩個相等的直角三角形，構圖的過程雖然一直的使用此一性 質，但是在概念認知上似乎是不知道的。
在尺規作圖中，沒有刻度的輔助，大部分學生則採用中垂線性質來構圖，而 有學生沒能應用到性質來構圖，而是以視覺估測的方式來構圖。
二、對於菱形的瞭解
學生對於菱形的概念，除了有定義上的四邊相等外，有部分學生則呈現出對 於菱形的概念心像，而所畫出的菱形，則仍受到此兩個概念的影響。構圖前後，
學生對於菱形的概念了解有：
學生 構圖前的概念 徒手畫的圖形 構圖後的瞭解
S1 四邊等長、對角相等 四邊等長、對角相等、對角線 互相垂直平分
S2 四個邊相等 對角線要垂直、不相等、四個 邊都相等
S3 四個邊等長 四邊等長、對角線互相垂直、
由四各大小一樣的直角三角 形組成，對邊平行
S4 長得像風箏 對角相等、平行邊等長
S5 歪掉的平行四邊形 四邊等長、角度相等
S6 正方形倒反 兩對邊平行，對角相等是直角
S7 四個邊相等、四個角 也相等
四個邊長度相等、四個角也相 等
S8 邊長相等、對角線垂 直平分
邊長相等、對角線垂直平分
S9 所有的邊長度都一樣 四邊長度一樣，角對面的角度 是一致的
S10 有兩組各自不同的邊 有兩組各自不同的邊
對於菱形呈現出概念心像的學生中，S4 雖然說像風箏，但是所畫圖形是菱
工具下，構圖的方法與圖形的性質有著密切的關係。另一方面，在說明菱形的結 構時，能讓學生操作，將四個直角三角形來拼成菱形，相信能讓學生對菱形的結 構與性質會有更多的了解。而在限制尺規作圖方法構圖時，大部分學生是利用中 垂線的性質來構圖的。
三、對於等腰梯形的瞭解
此構圖活動是將對圖形的文字描述，轉譯成圖形。文字敘述內容為：
「一個四邊形，一組對邊平行，另一組對邊相等但不平行」
了解學生的轉譯過程及構圖時對圖形的瞭解。經與學生訪談，讀完文字敘述 後，學生 S2 認為是等腰梯形，S9 誤解題目的意思，畫了三個圖形，S10 不了解平 行的意義，畫成箏形，其餘學生能根據「一個四邊形，一組對邊平行」說出是梯 形，至於另一組對邊則說只要不平行即可。
T ：看到這句話，你想到要畫一個怎樣的圖形？
S5：我就畫梯形。
T：是梯形，你如何看出是梯形。
S5：因為一組對邊平行，另一組對邊不平行 T ：所以你畫圖時是先畫哪一部份？
S5：平行啊！
對圖形的了解可從兩方面來描述：
1.對於平行的了解
學生對於平行的概念是兩條不相交的線段，在構圖時，學生 S1 是利用平行線 間距離相等的性質，學生 S5 則是利用「兩直線同時垂直於一直線」的性質，但是 學生只知道作法，不知道使用的性質，另一方面，直覺估測的構圖也常常出現，
如利用平移的性質，或直接利用直尺的上、下兩邊緣，或是在電腦螢幕上畫出兩 條水平的線段。
T ：你是用尺及量角器來畫的，如何說是平行呢？
S5：先作一條線，畫出垂直線，再作垂直線。
T ：你是用 90 度去量的。
S5：因為 90 度是直角，直角畫出來的度數一樣。
T ：哪兩個一樣？
S5：就這個這個
而學生 S9 一開始誤會題目畫了三個圖形，當研究者請他再畫一次時，S9 表 示是平行四邊形，並說畫不出題目要求的圖形。
T ：另一組對邊也平行耶，若一組對邊平行，另一組對邊不平行，那會是長 成什麼樣？
S9：這樣畫出來，一組平行，另一組也要平行啊！不然怎麼畫？
學生 S10 認為平行是兩條線不相交，且兩條線要等長，因此，一組對邊平行，
而另一組對邊要求是不平行，學生就覺得有困難。
2.對於等腰梯形的了解
此一構圖活動，只有學生 S2、S3 正確的畫出等腰梯形，其他大部分學生只畫 出一組平行線，另一組對邊只注意到不平行，而忽略了要相等，因此畫出圖形皆 為各種的梯形，訪談中問到圖形的兩腰不相等時，學生知道但是也沒有去修改它。
T ：圖形要求兩邊等長但不平行 S1：只要不平行就好了
T ：可是不相等啊 S1：對啊！
學生 S3 在構圖時，嘗試用了三種方法而完成，完成後因為不確定兩腰是否相 等，特地利用量角器來測量兩底角的度數，以驗證兩腰是否相等。因為學生認為 等腰梯形是由長方形及兩個全等的直角三角形拼湊而成的，因此若兩底角相等，
T ：你在測量麼
S3：角度，兩底角是否相等。
T ：為什麼？
S3：角度一樣，長度才會一樣
T ：你再畫什麼？
S3：兩邊是直角三角形，這兩個三角形若是一樣就是相等。
學生 S2 在使用 GSP 軟體構圖時，作平行線的功能解決了一個困擾的問題，但 是兩腰相等呢？因為無法去測量線段的長度，而無法直接畫出相等的兩腰。最後，
S2 採取了對稱的概念，認為等腰梯形是一個對稱的圖形，因此，當畫完平行線後，
作了一條對稱軸，利用對稱的概念畫出等腰梯形。
對於圖形結構的瞭解
Duval 在對圖形構圖性的瞭解提到，當我們在描述或繪製一個圖形時，圖形 中的各個元素會依著某一個順序來出現。也就是說當我們在構圖時，對於圖形是 具有一個想法的，除了各個組成元素的一一出現外，元素與元素間的大小、位 置……等等關係都會作安排，然後形成一個心像，最後依著一定
的構圖步驟將圖形畫出。在本題的構圖中，研究者藉由模仿繪製 如右的圖形，讓學生對圖形作察覺、讀圖、構圖，從構圖的過程 中，了解學生對於圖形的瞭解情形。
學生在察覺此一圖形時，能直覺的說出是四個三角形，且大三角形是小三角
形邊長的 2 倍。學生對此一圖形的了解因構圖工具的不同，呈現不同的瞭解。我 們從以下兩方面來分析：
1.利用一般作圖與尺規做圖時對圖形的了解
在此構圖工具時，學生著重於圖形中各個元素的單獨繪製，對於圖形的結構，
比較不注意，也就是說，學生不必對於圖形做結構方面的分析、了解就能完成構 圖。學生是利用有刻度的尺來測量長度，或是利用圓規來畫等線段、尋找中點，
利用量角器、三角板或憑直覺來做直角等，然後依序的畫出線段而成圖形。此外，
大部分學生都是從圖形的中心大三角形畫起，只有學生 S8、S9 則是由上方的小三 角形開始畫，至於圖形的位置、架構方面，S6、S8、S9、S10 有注意到有一些線段 是必須在同一條直線上的， S1、S2、S4 則注意到一些三角形的頂點是在同一條直 線上的，並會畫直線來驗證確認，這些的發現幫助了在構圖上的便利。
其中 S2 在訪談中，表示一開始覺得很難畫，後來畫錯了才慢慢的了解其中的 位置關係，近一步的發現了圖形結構上的關係，並表示若再畫一次會更快更準確。
S2：完蛋了!這個圖形太難畫了。
T ：這個圖形好像有安排設計過的。
S2：對啊！我第一次看大概是這樣，沒有注意垂直之類的，後來畫錯了，慢 慢的發現是怎麼樣。
T ：你發現了什麼嗎？
S2：發現這三點在一條直線上，這三點也一直線，這樣就有一個大三角形。
S2：發現這三點在一條直線上，這三點也一直線，這樣就有一個大三角形。