第四章 研究結果與資料分析
在圖形的表徵呈現上，我們大致可分為概念、文字敘述、及視覺上的圖形等 三方面來討論，因此構圖活動內容的安排上，包含有簡單幾何圖形的構圖、將文 字轉譯成圖形的構圖、察覺模仿的全等構圖、圖形轉換的相似形放大構圖，希望 藉由學生的構圖活動過程來瞭解學生對於圖形的概念、構圖時圖形性質的使用情 形等。學生在過去學習幾何圖形的經驗中，由敎師的教學或教材的呈現，獲得了 幾何圖形的概念，形成概念心像圖形，這形成的過程，每位學生都有自己的方式，
如等腰三角形，有學生說是兩個腰相等，或說是由兩個相等的直角三角形拼成的。
這些概念會影響到學生在構圖時的想法與步驟的安排。
構圖活動是利用週六、日進行，每次兩位學生，構圖過程全程錄影。在構圖 的過程中，學生 S3 表示不會操作 GSP 軟體，因此，學生 S3 僅作一般構圖與尺規 作圖，此外，在 GSP 軟體的構圖中有部分學生無法作出部分圖形，包含有學生 S5 的等腰梯形、學生 S4、S7 的全等模仿構圖、學生 S7 的放大 2 倍構圖。在晤談方 面，研究者在觀看學生構圖的錄影帶後，再與學生一起觀看錄影帶並作一對一的 晤談，其中學生 S7、S8 因遇到學校舉行段考，為避免影響學生準備考試而沒有進 行晤談。所有學生利用三種不同構圖工具的構圖情形列在附錄四。
第一節 構圖時圖形的想法與性質的使用情形
在觀察過這十位學生的構圖活動與晤談，將學生對於圖形的想法，不同工具
時對圖形的瞭解及作圖步驟分析整理歸納如下：
一、等腰三角形的構圖
在平面圖形之中，三角形是最為簡單者，而在各種各樣的三角形之中，最為 基本者則首推等腰三角形。原因是等腰三角形所具有的線對稱能夠具體而微地反 映著平面的反射對稱性。
T ：你覺得什麼是等腰三角形？
S1：兩腰相等，兩個底角相等的三角形 T ：除了兩腰相等外，還有其他的性質嗎 S1：兩個底角也相等
T ：在構圖前你就知道這性質了嗎 S1：以前就學過了
T ：你覺得什麼是等腰三角形？
S2：兩個腰相等
T ：你覺得什麼是等腰三角形？
S3：等腰三角形就是兩腰相等啊。
在構圖前，學生對於等腰三角形的概念可分為下列情形：
學生 對圖形的概念 徒手畫的圖形 學生 對圖形的概念 徒手畫的圖形 S1 兩個腰相等、底
角相等
S6 兩腰相等
S2 2 個底角相 等、底角所對的
S7 就是兩邊長長 度相等，角也相
S3 有兩邊等長的 腰、有兩角大小 相同
S8 三角形兩股相 等
S4 邊長等長 S9 其中兩個角度 一樣，另一個角 都可以，總和要 180 度
S5 用二個相同的 直角三角形拼 成的三角形
S10 有兩個一樣的 邊
學生對於等腰三角形的概念，呈現出對於圖形的定義及圖形的概念心象，如 兩腰相等、兩角相等、是由二個相同的直角三角形拼成的三角形等。有了對等腰 三角形的概念，學生在構圖時，會特別去注意三角形兩腰要相等，即使是隨意沒 有使用方法的用直尺直接畫出兩腰，畫完後，也會用尺去測量、檢驗兩腰是否相 等，然後作修改。此外有學生在做完圖後會使用量角器去測量兩底角是否相等，
以驗證圖形的正確性。構圖時圖形性質的使用情形依構圖工具的不同分別描述如 下：
一般構圖
1.等腰三角形兩底角相等
學生 S1 的構圖歷程與構圖時對於圖形的性質應用為兩底角相等。構圖方法如 下：
(1)先作底邊
(2)利用量角器作出兩個相等的底角，如右圖。
T ：這個三角形是一個等腰三角形嗎？
S1：是阿！
T ：你是怎麼畫來的…
S1：就畫兩個底角相等
T ：那你能確認一下是等腰三角形嗎？
S1：畫完後我有用尺去量量看，兩線段是相等
2.利用中垂線性質
學生 S2、S3、S6、S7、S10 的構圖歷程與構圖時對於圖形性質應用為尺規作圖方 法作兩相等的腰而完成等腰三角形。構圖方法如下：
(1)先作底邊
(2)再利用圓規作兩腰長。
S2 S3 S6 S7 S10
3.底邊上的高垂直平分底邊
學生 S8 的構圖歷程與構圖時對於圖形性質應用情形為底邊上的高會垂直平 分底邊，來作兩相等的腰而完成等腰三角形。構圖方法如下：
(1)先作底邊
(2)量取底邊的中點，並做垂直線
而在學生 S5 的構圖中，認為等腰三角形就是由兩個直角三角形拼成的。
T ：你覺得什麼是等腰三角形？
S5：兩邊相等
T ：你能再說明詳細一些嗎
S5：就不管怎麼拚，二個直角三角形，有兩個邊會合起來，另二邊會等長，
然後等長的邊，角會相等，就符合等腰三角形的性質。
T ：一定要是直角三角形嗎 S5：應該吧
T ：怎麼說？
S5：那個底才會平啊
因此在構圖時，一直強調要找底邊的中點並作垂直線，畫出兩個直角三角形。
構圖方法如下：
(1)作一線段，並利用刻度找出中點 (2)利用量角器作垂直線
(3)在垂直線上找一點，並與線段兩端點連接起來成等腰 三角形。(如右圖)
T ：在使用尺規作圖時，等腰三角形的畫法不同喔 S5：因為我一直找不出他的中點
T ：後來用中垂線方法，你如何想出這方法的 S5：之前好像有學過
T ：所以你一直在找垂直的線 S5：沒錯
4.等腰三角形兩腰相等
學生 S9 的構圖歷程與構圖時對於圖形性質應用為兩相等的 腰，並再作底邊而完成等腰三角形。構圖方法如下：
(1)學生直接使用直尺直覺的畫出兩相等線段 (2)作底邊線段形成三等腰角形
學生 S4 利用三角板作直角及兩相等的股長來完成構圖。
尺規作圖
1.利用中垂線性質
學生 S2、S3、S5、S6、S7、S8、S10 的構圖歷程與構圖時對於圖形的性質應 用為用尺規作圖方法作兩相等的腰而完成等腰三角形。其中在一般構圖中使用此 方法的學生在限制尺規方法構圖時，也是使用此方法，因為此兩種構圖方法不受 構圖工具的影響。構圖方法：
(1)作一線段
(2)分別以線段兩端點為圓心，適當長為半徑畫弧，兩弧相交於一點 (3)分別連接此點與線段端點
學生構圖情形如下：
S2 S3 S5 S6
S7 S8 S10
F'
A F A'
2.等腰三角形兩腰相等
學生 S1、S4、S9 的構圖歷程與構圖 時對於圖形的性質應用為用為兩腰 相等。學生 S1、S4 的構圖方法是憑 直覺的方式來做兩相等的腰。
學生 S9 是利用圓等半徑來畫等腰三角形，即是先畫一圓 形，再取兩半徑而成等腰三角形。如右圖。
GSP 軟體構圖
1.兩腰關係是具有旋轉特性
學生 S1、S2、S5 在 GSP 軟體的構圖中的構圖歷程與構圖 方法為用兩腰間存在有旋轉的關係。學生 S1 以 A 為旋轉中 心，將線段 AF 旋轉 45 度、以 F＇為旋轉中心，將線段 AF＇
旋轉 90 度而得到等腰三角形。而學生 S2 的構圖方法：
(1)作一線段 AB
(2)以 B 點為旋轉中心，將線段 AB 旋轉 90 度
(3)再 A＇點為旋轉中心，將線段 AA＇旋轉 45 度，形成 一個等腰直角三角形
學生 S5 亦是透過旋轉線段來做等腰三角形
B
A'' A'
A
2.等腰三角形底邊上的高垂直平分底邊
學生 S4、S6、S7、S8 的構圖歷程與構圖時的性質應用為用底邊上的高垂直平分 底邊，構圖步驟如下：
(1)作線段並取線段中點 (2)過中點作垂直線
(3)在中垂線上取一點，再將此點分別與線段兩端點連接而成等腰三角形
S4 S6 S7 S8
3.等腰三角形兩腰相等
學生 S9 的構圖歷程與構圖時對於圖形的做法為兩腰相等，構圖 方法與尺規作圖方式相同，利用圓等半徑來畫等腰三角形
4.中垂線性質
學生 S10 則是利用尺規作圖方法來構圖，此等腰三角 形為一個正三角形。
二、菱形的構圖
學生在構圖前對於菱形的概念瞭解，有下列情形：
學生 對圖形的概念 徒手畫的圖形 學生 對圖形的概念 徒手畫的圖形 S1 四邊等長、對角
相等
S6 正方形倒反
S2 四個邊相等 S7 四個邊相等、四 個角也相等
S3 四個邊等長 S8 邊長相等、對角 線垂直平分
S4 長得像風箏 S9 所有的邊長度 都一樣
S5 歪掉的平行四 邊形
S10 有兩組各自不 同的邊
學生 S6 的想法中，認為菱形是倒反的正方 形，因此菱形的四個邊要相等，四個角是直角，並 且可以將菱形切割成四個相等的三角形。因此在構
圖時，特別注意四個邊相等，且四個角也一定要 90 度。
T： 你寫說菱形是倒過來的正方形，你能再詳細說明一下。
S6：不知道怎麼解釋，就是這兩邊這兩邊平行。
T ：還有呢？
S6：四個角要相等，可以變成四個相等的三角形 T ：四個邊要相等嗎
S6：要
學生 S5 在作菱形構圖時，突然停下來想了許久，問說什麼是菱形啊。學生 S6 答說是將將正方形旋轉一下就是菱形，這時學生 S5 隨即寫下菱形是歪的平行四 邊形。
T ：菱形的構圖，你想了很久，後來同學楊××(學生 S6)說是將正方形旋轉一 下，你好像想到什麼？
S5：啊長方形轉過來也一樣啊，不一定是正方形 T ：你是說長方形轉過來是菱形
S5：對啊!我覺得他是兩組對邊平行 T ：兩組對邊平行
S5：平行相等，所以不一定是正方形
學生在不同的構圖工具進行構圖時，對於圖形的瞭解與構圖歷程、圖形性質 的使用情形分別描述如下：
一般構圖
1.對角線互相垂直平分
學生 S1、S2、S5、S8、S9 的構圖歷程與構圖時性質的應用為對角線是互相垂直 平分，因此，利用作出兩條互相垂直平分的線段來做菱形的構圖。步驟如下：
(1)作一線段並取線段中點
(2)用三角板或量角器畫垂直線，並在上下各取等長線段 (3)連接線段端點成菱形。
S1：一開始亂畫，然後就想畫 3 公分，再切一半，就可以量 90 度，上面就可 以畫了
T ：一半就是平分，90 度就是垂直，所以…
S1：是垂直平分線
T ：所以你是用垂直平分的方法 S1：就是兩條垂直線，四線段一樣長
T ：作菱形時有想到對角線互相垂直平分嗎？
S2：一開始沒有想到
T ：可是你是用對角線互相垂直平分的方法來構圖的 S2：因為菱形都長成這樣
T ：所以你畫菱形所用的方法是…
S2：就畫四個邊相等
T ：可是你並不是從四個邊開始畫
S2：因為從外面很難畫，要從中間開始畫，這樣各邊連起來才會相等。
2. 中垂線性質來構圖
學生 S3、S6、S7、S10 的構圖歷程與構圖方法為尺規作圖中作中垂線方法 來獲得菱形，構圖的步驟：
(1)作一線段
(2)分別以線段兩端點為圓心畫弧，
S3 S6 S7 S10
3.菱形是四邊相等
學生 S4 的構圖歷程與構圖時對於圖形的做法為四邊的長相等，構圖 時直覺的來畫四個等長的邊。
尺規作圖
1.對角線互相垂直平分
學生 S1、S5 的構圖歷程與構圖時性質的應用為對角線互相垂直平分，因此，
利用作出兩條互相垂直平分的線段來做菱形的構圖，其中垂直部分是憑直覺來構 圖的。
學生 S1 因為無法正確的找出線段中點，畫出來的菱形感覺四邊不相等，而後 就一直的修改，直到感覺四邊是相等的。如右圖：
T ：你知道菱形的對角線要垂直平分嗎？
S2：知道垂直，平分好像沒想到 T ：角度呢？
S2：也沒想到，只想到邊長要相等
T ：畫完後你一直擦，一直修改，為什麼呢 S2：看起來不像
學生 S5 也是透過對角線垂直平分的概念來構圖。
2.利用中垂線性質來構圖
學生 S2、S3、S4、S6、S7、S8、S9、S10 的構圖歷程與構圖時性質的應用為利 用尺規作圖法中的中垂線作法來獲得菱形。
學生因為沒有足夠的構圖工具，所以構圖的方法不同，是採用圓規畫弧的方法 作中垂線而畫菱形，但學生 S6 認為不準，因為四個角不是直角。(如下圖)
T ：第二次畫菱形方法不一樣。
S6：因為沒有尺那些的很難畫。
T ：哪一種比較準？
S6：第一種。這個不像是，因為倒過來不像是正方形，好像是平行四邊形。
T ：一定要直角才行嗎 S6：對
T ：一定要直角才是菱形嗎？
S6：對
學生的構圖情形如下：
S2 S3 S4 S6
S7 S8 S9 S10
GSP 軟體構圖
1.菱形是線對稱圖形
學生 S2、S4、S6、S7 的構圖歷程與構圖時對於圖形的性質應用則認為菱形是 一個線對稱的圖形。構圖方法如下：
(1)作線段並取線段中點 (2)過中點作垂直線
(3)在中垂線上取一點，並作此點的對稱點，
再將此二點分別與線段兩端點連接而成 菱形，
S2 S4 S6 S7
M' N'
M N
O
P
學生 S5 構圖方法是將所做好的等腰直角三角形作對稱而成菱形。步驟如下：(1)作線段 MN
(2)以 M 點為旋轉中心，將線段 MN 旋轉 90 度 (3)連接 NN＇並作直線 OP
(4)以線段 OP 為對稱軸，作 M 點的對稱點 M＇ 。如右圖
2.對角線互相垂直平分
學生 S1 的構圖歷程與構圖時對於圖形的瞭解為對角線互 相垂直平分。構圖的步驟：
(1)作線段，並取中點
(2)過中點在線的上下兩邊直覺的作等線段 (3)連接線段端點。如右圖
學生 S8 是將線段往上及往下移動等距離來構圖。如右圖：
3.可利用尺規作圖方法來構圖
學生 S9的構圖歷程與構圖時對於圖形的做法為尺規作圖 法中的中垂線作法來構圖，即是先作一線段，再分別以線 段端點為圓心作圓，連接端點與交點即可完成構圖。
三、將文字描述轉譯成圖形
此構圖活動是將對圖形的文字描述，轉譯成圖形。文字敘述內容為：
「一個四邊形，一組對邊平行，另一組對邊相等但不平行」
學生閱讀完此文字敘述，學生 S1、S2、S3、S5、S6 都說是梯形，學生 S4 則答不 出來，只知道是平行線，S9 則是解讀成需要畫三個圖形，S10 則是錯誤構圖成箏 形。
T ：看完這文字敘述，你認為是什麼圖形？
S2：我就想到等腰梯形啊！
T ：你的理由是……
S2：因為平行，又另兩邊要相等 T ：那你的作圖計畫是什麼？
S2：就先畫平行線，再畫兩邊
T ：看完這文字敘述，你認為是什麼圖形？
S4：我不知道
T ：試著徒手畫畫看
S4：只看到平行，不知道是什麼？
學生在這題的構圖方法上，一開始是畫平行線，接著畫出另兩邊。其中學生 S1、S2、S5、S6 認為圖形是梯形，因此畫了兩條的平行線，至於兩腰則是任意的 畫。學生所畫的圖形如下：
S1 S2 S3
S4 S5 S6
S7 S8
S9 S10
學生在構圖過程中，對於平行線的構圖遇到較多的困難，以下就學生對於平行 線的瞭解來作分析：
一般構圖 1.平移概念
學生 S2、S4、S7、S8 的構圖歷程與構圖時對於圖形的性質應用為兩條沒有交 點的線段。作圖時是憑直覺的將尺向上移動一段距離來作平行線。作圖情形如下：
S2 S4
S8 S7
2.平行線間的距離處處相等
學生 S1、S3 的構圖歷程與構圖時性質的應用為平行線間的距離處處相等。
其中學生 S1 是利用三角板作垂直且相等的線段來作平行線。
如右圖：
學生 S3 構圖時嚐試三種方法來作兩條距離相等的線段。
T ：你的構圖步驟、計畫是什麼？
S3：作中垂線來畫平行線 T ：位什麼是中垂線呢？
S3：作圗不都是要用到中垂線及角平分線嗎 T ：那你的想法是什麼？
S3：利用兩條中垂線來畫平行線，最後不行。
T ：為什麼？
S3：因為高度不同。(如右圖)
T ：這次是想用什麼方法？
S3：利用量角器，左右取同樣角度(如右 圖)
T ：成功了嗎？
S3：量了一下，有點差，可能不平行或 畫歪了。
T ：你擦掉了，換另一種方法嗎 S3：利用角平分線的方法。(如右圖) T ：可是最後又擦掉了，為什麼呢？
S3：我覺得第二種方法較可能畫出。
學生 S3 畫完兩條平行又相等的線段後，在上面的線段利用作中點方法，將線 段四等分，再將第一及第三等分點分別連接下面線段端點而成梯形。
3.同時垂直於一直線的兩線段
學生 S5、S6 的構圖歷程與構圖時性質的應 用為為同時垂直於一直線的兩線段。構圖時即 利用量角器或三角板來作垂直線。如右圖：
其中學生 S5 構圖時是使用量角器作直角來作平行線。
T ：你畫圖時是先畫哪一部份？
S5：平行啊
T ：平行線要怎麼畫？
S5：先做一條線，畫出垂直線，再作垂直線。
T ：你是用 90 度角去量
S5：因為 90 度是直角，直角畫出的度數一樣 T ：即二個角一樣
S5：就這個這個
接著再作等腰梯形的兩腰時，應用了對稱的想法，但是學生並不知道為什麼。
T ：在上面那條線段為什麼二邊取相等線段？
S5：我想讓他對稱比較完整一點。
T ：這兩腰不平行，有相等嗎？你知不知道兩腰要相等。
S5：沒看到
T ：所以只是未了好看才劃兩邊相等 S5：啊！所以要畫等腰梯形。
學生 S9 概念錯誤、S10 則誤解題目的意思，而畫出如下的圖形。
S9 S10
尺規作圖 1.平移概念
學生 S2 的構圖歷程與構圖時對於圖形的概念為兩條沒有交 點的線段。作圖時是憑直覺的將尺向上移動一段距離來作平 行線。如右圖：
2.直尺的上、下邊緣
學生 S1、S3、S4、S5、S7、S8 的構圖歷程與構圖時性質的應用為平行線間的 距離處處相等。S1、S4、S5、S7 學生在構圖時是利用尺的上、下邊緣來作平行 線。作圖情形如下：
S1 S4 S5 S7
學生 S3、S8 則是利用尺規作圖方法來作等距離的兩線段。作圖情形如下：
S3 S8
3.同時垂直於一直線的兩線段
學生 S6 的構圖歷程與構圖時對於圖形性質的應用為同時垂直 於一直線的兩線段。構圖時，是憑直覺來作垂直線的。如右圖：
學生 S9 概念錯誤、S10 則誤解題目的意思，而畫出如下的圖形。
S9 S10
GSP 軟體構圖 1.兩條水平線
學生 S4 的構圖歷程與構圖時對於圖形的概念為兩條沒有交點 的線段。作圖時是憑直覺的利用畫線段的功能做兩條水平線段，
兩腰則是任意畫。如右圖：
2.利用平行的指令來構圖
學生 S1、S2、S5 的構圖歷程與構圖時對於圖形的做法為過線外一點作平行線 的指令。
構圖時學生 S1 同時應用了線對稱的概念來作等腰梯形。構圖步驟如下：
(1)畫一線段，並作中垂線 (2)在中垂線上取一點作平行線 (3)在這組平行線上各取一點
(4)以中垂線為對稱軸作對稱點，最後連接 這四點而成等腰梯形。如右圖
學生 S2 則是同時應用了旋轉 180 度的概念來作等腰 梯形。如右圖：
學生 S5 的構圖中，兩腰是任意畫的。如右圖：
3.同時垂直於一直線
學生 S6 的構圖歷程與構圖時對於圖形性質的應用為同時垂直 一線段的兩直線。構圖時是利用過線上一點作垂直線的方法來 構圖。如右圖：
4.平移線段
學生 S8 的構圖歷程與構圖時對於圖形作法為將一線段 向上平移一段距離。構圖時則是利用了平移的指令，同時應 用了作線段中點及過線上一點作垂直線的功能來作等腰梯 形。如右圖：
學生 S9 概念錯誤、S10 則誤解題目的意思，而畫出如下的圖形。
S9 S10
四、模仿構圖
本構圖活動是請學生畫出與右圖形狀、大小一樣的圖形。
此圖形由四個等腰直角三角形構成，其中線段間包含有垂直、平 行、相等、二倍大小，整體看來是一個具有結構的圖形。目的是
藉由察覺及構圖的過程，了解學生對於圖形的了解，包括圖形各元素間的關係、
構圖中各元素得安排順序及構圖的計畫與性質的使用。
學生對於圖形的了解能直覺的說出是由四個三角形構成，也注意到大三角形 是小三角形的二倍，小三角形是靠在大三角形各邊的中點上。從整體的位置而言，
學生並沒有察覺出形成一個大的等腰直角三角形，只有 S2 在訪談中發現，並說先 畫大三角形會比較容易畫且又快。學生的想法有：
S1：大三角形是小三角形的二倍 S2：完蛋了!這個圖形太難畫了。
T ：這個圖形好像有安排設計過的。
S2：對啊！我第一次看大概是這樣，沒有注意垂直之類的，後來畫錯了，慢 慢的發現是怎麼樣。
T ：你發現了什麼嗎？
S2：發現這三點在一條直線上，這三點也一直線，這樣就有一個大三角形。
T ：所以構圖時……
S2：啊！想到了！可以先畫一個大三角形，再在各邊取四等分，在用直尺接 起來，那時沒想到
S5：就二倍、二倍、二倍
T ：大三角形是小三角形的兩倍嗎？
S5：對！還有直角。
T ：有去量過嗎？
S5：沒有，看起來像
S7：這個圖形是由四個等腰三角形構成的 T ：還有呢
S7：就是中點、中點、中點
學生能說出圖形各個元素及其位置關係與性質。因此學生在不同的構圖工具 進行構圖時，對於圖形的瞭解與構圖時圖形性質的使用情形分別描述如下：
一般構圖 1.線段與角度
學生 S1、S2、S4、S8、S9 於構圖時的構圖安排是以作等線段及作等角為主，
構圖時利用尺或圓規作等線段，量角器、三角板或憑直覺作直角，並依序由內而 外或由上而下將各個元素畫出來完成構圖。
學生 S2 的構圖中，等線段的作圖是利用圓規來作，直角部分則是憑直覺做出 的。圖形的各個元素依序來畫出，步驟如下：
(1)做線段 AB
(2)直覺的做出直角∠B (3)做線段 BC、AC
(4)作直線 L，在 L 上取 F 點 (5)做線段 FG
(6)直覺的做出直角∠G (7)做線段 FE
(8)在 L 上取 I 點 (9)做線段 IH
(10)直覺的做出直角∠H (11)做線段 HJ、IJ
(12)在線段 BC 上取 D 點、做線段 DK (13)直覺的做出直角∠K
(14)做線段 KM、DM
其他學生的構圖情形如下：
S1 S4 S8 S9
另外，學生 S5 於構圖時利用尺與量角器來構圖，但是忽略了大小，因此圖形 形狀相同，大小不同。如右圖：
2. 三角形 SSS 全等構圖
學生 S3、S6、S10 於構圖時對於圖形的性質應用是利用三角形 SSS 全等的性質 來構圖，學生透過尺規作圖中 SSS 全等的構圖來做三角形。
學生的構圖情形如下：
S3 S6 S10
又學生 S7 於構圖時對於圖形的想法為作等腰三角形，學生利用尺規作圖作出 等腰三角形來完成構圖。構圖的步驟如下：
(1)作線段 AB，及線段 AB 的中垂線 L (2)作線段 AC、BC
(3)作線段 DE，及線段 DE 的中垂線 M (4)作線段 DF、FE
(5)作線段 GI，及線段 GI 的中垂線 N (6)作線段 GH、HI
(7)作線段 JK，及線段 JK 的中垂線 R (8)作線段 JP、PK
尺規作圖 1.線段與角度
學生 S5、S8、S9 於構圖時對於圖形的構圖安排是以作等線段與作等角度為主，
構圖時利用圓規作等線段，S5 是利用直尺邊緣的角來作直角，S8、S9 則是憑直 覺來作直角。構圖情形如下：
S5 S8 S9
2. SSS 全等構圖
學生 S1、S2、S3、S4、S6、S10 於構圖時對於圖形的性質應用是三角形 SSS 全 等的構圖，學生 S7 則為作等腰直角三角形。
學生 S1 的構圖，過程中是利用三角形 SSS 全等性質來做三角形。步驟如下：
(1)作線段 AB
(2)分別以點 A、B 為圓心畫弧得到 C 點，
(3)連接 AC、BC
(4)在線段 AB 上取點 D，並作線段 DE (5)分別以點 D、E 為圓心畫弧得到 F 點 (6)連接 DF、EF
(7)作直線 L，並取點 G、H (8)作線段 GI
(9)分別以點 G、I 為圓心畫弧得到 J 點 (10)連接 JG、JI
(11)作線段 HK
(12)分別以點 H、K 為圓心畫弧得到 M 點 (13)連接 MH、MK
其他學生的作圖：
S2 S3 S4
S6 S10
學生 S7 於構圖時對於圖形的瞭解為作等腰三角形，學 生利用尺規作圖作出等腰直角三角形來完成構圖。如右 圖：
GSP 軟體構圖
1.線段具有旋轉關係
學生 S1、S5 於構圖時對於圖形的做法為線段間具有旋轉 90 度的關係，構圖時 將線段旋轉 90 度來作等腰直角三角形。
學生 S1 的構圖是分別作大小三角形，再利用複製另外兩個小三角形組合而 成，過程中利用旋轉功能做出等腰直角三角形，但是對於大三角形邊長是小三角
(1)作線段 JP
(2)以 J 為中心將 P 點旋轉 45 度得到 K 點 (3)再以 K 為中心將 J 點旋轉 90 度得到 Q 點 (4)連接線段 JK、KQ、JQ
(5)作線段 LM
(6)以 L 為中心將 M 點旋轉 45 度得到 N 點 (7)再以 N 為中心將 L 點旋轉 90 度得到 R 點 (8)連接線段 LN、NR、LR
(9)複製三角形 LNR
(10)移動所複製的小三角形至適當位置
2.線段具有垂直或平行的關係
學生 S2、S6、S8、S10 於構圖時對於圖形的作法為線段間具有垂直或平行的關 係，構圖時利用作平行線或垂直線來構圖。
學生 S10 利用垂直線、平行線、旋轉的功能，及圖形間各元素的關係，以較 整體的觀點，考慮整各圖形的架構來構圖。步驟如下：
(1)作線段 AB
(2)以 B 為中心，將 A 點旋轉 90 度得到 A＇點，
連接線段 AA＇
(3)取線段 AB 的中點
(4)分別過 A、C 點作垂直線 (5)分別過 B、D、A＇點作平行線 (6)連接線段 EF
(7)分別以 A＇、G 點為圓心，線段 A＇G 為半徑 畫圓
(8)連接線段 IH、GH
(9)分別以 A、C 點為圓心，線段 AC 為半徑畫圓 (10)連接線段 KM、KC
J
P L
M
K
Q N
R
L1
L5 L4
L3 L2 M
K
I
F
G
E D
A'
A C B
H
其他學生的構圖情形如下：
S2 S6 S8
3.元素具有伸縮的關係
學生 S9 於構圖時對於圖形的做法為利用伸縮的關係來畫出點的位置。構圖時 考慮到圖形間各元素的位置關係，利用垂直、伸縮、旋轉等功能來完成。構圖步 驟如下：
(1)作線段 AB。
(2)以 B 為中心，將 A 點旋轉 90 度得到 A＇點，連接 線段 BA＇及線段 AA＇
(3)作線段 A＇C
(4)分別以 A、C 點為中心，將 B、A＇點伸縮 2 倍得 到 B＇及 D 點，連接 A＇及 D 點
(5)以 B＇點為中心，將 D 點伸縮 2 倍得到 D＇點，
(6)以 D 點為中心，將 D＇點伸縮 2 倍得到 H 點，連 接 D、H 點及 C、H
(7)取線段 CH 的中點 E 點，
(8)以 D 點為中心，將 E 點伸縮 2 倍得到 E＇點，連接 F、E＇點及 E＇、H 點 (9)取線段 E＇H 的中點 G 點
(10)分別以 E、G 點為中心，將 D＇、H 點伸縮 2 倍得到 I 及 H＇點，
(11)連接線段 D＇E、線段 IH＇及線段 D＇H 點
I
G H' F
E'
E
H D' B'
A' D C
A B
五、圖形轉換
此一構圖活動是將簡單圖形放大二倍，透過如此圖 形的轉換來了解學生對於放大的想法及在構圖的過程中 各個元素的安排情形。在學生的想法中，所謂的放大是 邊長變成兩倍長，角度不改變，學生 S10 雖然不知道相 似形的內容，但仍能利用放大的概念來構圖。
T ：放大兩倍的圖呢？
S2：第一次是隨便畫的，只考慮邊長是二倍 T ：好像有一個問題……
S2：角度 T ：嗯
S2：有想到，好像很像，所以就算了
S3：放大二倍就是邊長變成二倍，角度不變 T ：以前就學過了嗎？
S3：相似形時就學過了
學生在構圖時的想法是以邊長放大二倍，角度相同為主。因此學生在不同的構圖 工具進行構圖時，對於圖形的瞭解與構圖時圖形性質的使用情形分別描述如下：
一般構圖
1.邊長作改變，角度不變
學生 S3、S10 於構圖時對於圖形的作法為邊長放大 2 倍，角度不變，構圖時利 用量角器來量角度，用尺或圓規來畫出二倍線段長的方式來構圖。
學生 S10 的構圖步驟如下：
(1)用直尺作直線 PQ＝2AB
(2)量角器作∠P＝∠A、∠Q＝∠B (3)用直尺作線段 SP＝2DA、RQ＝
2CB (4)連接 SR
C D
A B
2.邊長作改變
學生 S2、S4、S8、S9 於構圖時對於圖形的做法為邊長放大 2 倍。構圖時用尺 或圓規來畫出二倍線段長，角度則是依直覺來構圖。學生的構圖情形如下：
S2 S4 S8
學生 S9 一開始是用直尺測量將邊長放大二倍，但是因為沒有注意到角度相 同，因此圖形並不準確，學生覺得怪怪的。後來將圖形切割成一個長方形及三個 三角形，並依圖形各邊長放大二倍。構圖步驟如下：
(1)作線段 TV＝2EF、TS＝2DE、UV＝2GF (2)作線段 PT＝2AE，連接線段 PS (3)作線段 VQ＝2FB，連接線段 QU (4)用量角器作∠RSU＝∠CDG (5)連接線段 RU
3.尺規作圖
學生 S1、S6、S7 於構圖時對於圖形的做法為利 用尺規作圖作等角與 2 倍線段長來構圖。學生 S1 的構圖步驟：
(1)作線段 PQ＝2AB
(2)利用尺規作∠P＝∠A、∠Q＝∠B (3)作線段 PS＝2AD、線段 QR＝2BC (4)連接線段 RS
學生 S6 因不會等角度的尺規作圖，構圖的過程除了邊長是利用圓規作二倍長 外，等角度是利用三角形 SSS 全等方法來作。構圖步驟如下：
(1)作線段 PT＝AB
(2)分別以 P、T 為圓心，線段 AD、BD 為半 徑畫弧，設兩弧交於 U 點
(3)作直線 PU 並取一點 S，使得 PS＝2AD (4)分別以 Q、T 為圓心，線段 BC、AC 為半
徑畫弧，設兩弧交於 V 點
(5)作直線 QV 並取一點 R，使得 QR＝2BC (6)連接線段 RS，則四邊形 PQRS 即為所求。
4.平移關係
學生 S5 於構圖時對於圖形的概念為一種平移的關係。構圖時直接在原圖形上構 圖，並利用平移的概念來作等角度。
T ：如何作這放大兩倍的圖形 S5：把邊放大二倍
T ：你是用尺往上推，這是為什麼呢？
S5：這樣角度會一樣 T ：哪一個角度會一樣？
S5：內角角度會一樣，這樣推出去角度不變，邊放大兩倍 T ：這樣算不算是平行？
S5：像吧！
學生 S5 的構圖步驟：
(1)延長線段 AD，並取 S 點，使得線段 AS＝2AD (2)延長線段 AB，並取 Q 點，使得線段 AQ＝2AB (3)利用直尺先對準線段 CD 再往上平移至 S
點，再作直線
(4)利用直尺先對準線段 BC 再往右平移至 Q 點，再作直線
尺規作圖 1.尺規作圖
學生 S1、S2、S3、S6、S7、S10 於構圖時對於圖形的作法為利用尺規作圖來構 圖。學生 S1、S2、S3、S7 採用尺規作圖作等角與 2 倍線段長來構圖。構圖情形 如下：
S1 S2 S3 S7
學生 S6、S10 採用尺規作圖做三角形 SSS 全等的方法來構圖。
其中，學生 S10 因不會等角度的尺規作圖，構圖的過程除了邊長是利用圓規作 二倍長外，等角度是利用三角形 SSS 全等方法來作。構圖步驟如下：
(1)作線段 PT＝AB
(2)分別以 P、T 為圓心，線段 AD、BD 為半 徑畫弧，設兩弧交於 U 點
(3)作直線 PU 並取一點 S，使得 PS＝2AD (4)分別以 Q、T 為圓心，線段 BC、AC 為半
徑畫弧，設兩弧交於 V 點
(5)作直線 QV 並取一點 R，使得 QR＝2BC
(6)連接線段 RS，則四邊形 PQRS 即為所求。
學生 S6 亦是使用 SSS 全等的方法來構圖。
2.邊長改變
學生 S4、S8、S9 於構圖時對於圖形的做法為邊成長為 2 倍。學生構圖時利用 圓規作 2 倍的邊長，角度是憑直覺來作，構圖情形如下：
S4 S8 S9
3.平移關係
學生 S5 於構圖時對於圖形的瞭解為平移關係，學生構 圖時利用尺的平移來作圖。構圖情形如右：
GSP 軟體構圖 1.平移關係
學生 S1 於構圖時對於圖形的做法為將整個圖形平移的概念來構圖，步驟如下：
(1)作直線 PT
(2)平移四邊形 ABCD，使得 A 點與 P 點重合，取 U 點與 B 點重合、V 點與 D 點重合
(3)平移四邊形 ABCD，使得 A 點與 U 點重合，取 Q 點與 B 點重合、X 點與 C 點重合
(4)平移四邊形 ABCD，使得 A 點與 V 點重合，取 S 點與 D 點重合 (5)平移四邊形 ABCD，使得 B 點與 X 點重合，取 R 點與 C 點重合 (6)連接線段 RS，四邊形 PQRS 即為所求。
2.伸縮關係
學生 S2、S4、S5、S6、S8、S9、S10 於構圖時對於圖形的作法為伸縮關係，學 生利用伸縮的功能指令來構圖。構圖時先取一點為伸縮中心，再利用了伸縮二倍 的功能來構圖。
S2 S4 S10
X V
U Q
PA B
D S
C X
V
U Q
P
B A
D S
R
C
X V
U Q
P
B A
DS
R C
X V
U Q
B A
D S
RC
第二節 不同的構圖工具與圖形的瞭解
在構圖的過程中，工具的使用扮演著重要的角色。Duval 在 1995 年提出 對 圖形的四個瞭解，其中在構圖性的瞭解中指出，構圖的過程中，圖形的結構、各 個元素的安排與技術的限制及數學性質有關，而技術限制又隨著構圖工具而變。
若不考慮數學性質和技術限制，就不能理解圖形。因此，不同的構圖工具，會影 響學生對圖形的理解及構圖過程中圖形各元素的安排順序。
本構圖活動中的一個研究主題，即是透過不同的構圖方式了解學生在不同的 構圖工具時對圖形的瞭解與構圖情形。而構圖方式包含有一般構圖，就是提供學 生具有刻度的直尺、量角器、三角板，另一種是課本所敎授的尺規作圖方式，只 提供沒有刻度的直尺與圓規，第三種構圖方式是 GSP 軟體，學生利用軟體所提供 的功能來構圖。在本研究中參與構圖活動的學生，在八年級下學期時利用資訊教 育課程學過有約八小時的 GSP 軟體的操作，但因時間久遠，因此在進行構圖前先 作十至十五分鐘的複習，希望學生能更順利的來使用軟體。而學生經過複習，對 大部分的基本功能能順利操作，並告訴學生構圖中若需要也可請老師做指導。
本節探討不同的構圖工具時圖形的瞭解與性質的應用，包括有：不同構圖工 具時對於圖形的暸解與性質應用，各組學生在不同構圖工具時對於圖形暸解改變 歷程。以下針對各點作分析探討：
不同構圖工具時對於圖形的瞭解與性質應用
本研究共有五個構圖活動，每個構圖活動的圖形分別使用一般構圖、尺規構
圖、GSP 軟體構圖等三種不同的構圖工具。其中，等腰三角形與菱形的構圖，是先 請學生說出圖形的定義，並徒手將圖形畫出來。構圖三的活動是將文字的敘述轉 譯成圖形，構圖四、五是透過察覺來模仿構圖及將圖形放大兩倍的圖形變換。在 學生的構圖中，學生 S3 表示完全不懂 GSP 的操作，因此，學生 S3 就不利用 GSP 軟體來構圖，其餘學生大都能順利的畫出圖形。分別說明如下：
一、學生在構圖中對於等腰三角形的瞭解與性質的應用情形：
學生 一般構圖 尺規構圖 GSP 構圖 S1 兩底角相等 兩腰相等 具旋轉性質
S2 中垂線性質 中垂線性質 具旋轉性質 S3 中垂線性質 中垂線性質
S6 中垂線性質 中垂線性質 底邊上的高垂直平分底邊 S7 中垂線性質 中垂線性質 底邊上的高垂直平分底邊 S5 底邊上的高會垂直平分底邊 中垂線性質 具旋轉性質
S8 底邊上的高會垂直平分底邊 中垂線性質 底邊上的高垂直平分底邊 S10 中垂線性質 中垂線性質 中垂線性質
S4 兩腰相等 兩腰相等 底邊上的高垂直平分底邊 S9 兩腰相等 兩腰相等 兩腰相等
(1)學生在一般構圖中利用兩底角相等、兩腰相等的概念，透過測量的步驟來 畫出，最能表現出學生對於圖形的想法，尤其是第四組的學生，完全以圖 形的定義、語義來構圖。
(2)在一般構圖中，有五位學生是利用尺規作圖的方法來構圖。學生在學習數
雖然是一般構圖，但仍是以尺規作圖方法來構圖，尤其以構圖能力為中上 程度學生的構圖最為明顯。
(3)等腰三角形為一個線對稱圖形，學生在 GSP 軟體的構圖方法中，大部分是 以畫中垂線(對稱軸)的方法構圖。此外，有三位學生依旋轉 90 度方式來作 等腰直角三角形，此一構圖方法，雖然也能畫出＂一個＂等腰三角形，但 是顯然無法對於等腰三角形做性質上的瞭解。
(4)學生利用三種構圖工具構圖時所得圖形與徒手畫圖形作一比較，學生 S4、
S6、S8、S9 所畫圖形外形極為相似，學生 S3、S7 是利用中垂線性質來構圖，
所得圖形與徒手畫比較時為底邊較長的等腰三角形，學生 S1、S2、S5 在 GSP 構圖時是使用旋轉 90 度來作圖，而得到等腰直角三角形，圖形與徒手畫時 差異較大，學生 S10 則作出正三角形，與徒手畫圖形的外形不同。若依構 圖工具來看，一般構圖與徒手畫的相似度最高，而 GSP 軟體構圖則差異性 較大。
二、學生在構圖中對於菱形的瞭解與性質的應用情形：
學生 一般構圖 尺規構圖 GSP 構圖
S1 對角線互相垂直平分 對角線互相垂直平分 對角線互相垂直平分 S2 對角線互相垂直平分 中垂線性質 線對稱圖形
S3 中垂線性質 中垂線性質
S6 對角線互相垂直平分 中垂線性質 線對稱圖形 S7 中垂線性質 中垂線性質 線對稱圖形 S5 對角線互相垂直平分 對角線互相垂直平分 線對稱圖形
S8 對角線互相垂直平分 中垂線性質 對角線互相垂直平分 S10 中垂線性質 中垂線性質 對角線互相垂直平分
S4 四邊相等 中垂線性質 線對稱圖形 S9 對角線互相垂直平分 中垂線性質 中垂線性質
(1)學生對於菱形的概念為四邊等長，構圖時是利用對角線互相垂直平分的性 質來構圖，即學生對於圖形的概念瞭解與構圖時所使用的方法是不一定相 同的，這兩者之間可以為是一種知覺性的瞭解與構圖性的瞭解。
(2)學生 S1 的構圖，在不同構圖工具時都是應用對角線互相垂直平分的性質來 構圖，但是因工具的不同，過程中是有差異的，一般構圖是利用測量作線 段、作直角；尺規作圖中的直角則是視覺估測的作圖，而在 GSP 軟體的構 圖中，作線段中點與垂直線，但在取上下等線段時，則是視覺估測的作圖。
(3)在 GSP 軟體構圖中，部分學生沒有使用作垂直線的指令，而是利用電腦螢 幕上鉛垂線的特性來直接做垂直線段，因為若不是鉛垂線則會出現有鋸齒 的現象，提供給學生一項構圖上的輔助工具。
(4)學生利用三種構圖工具構圖時所得圖形與徒手畫圖形作一比較，學生 S1、
S4、S6、S7、S9、S10 所畫圖形與徒手畫圖形極為相似，學生 S3 是利用中 垂線性質來構圖，所得圖形與徒手畫比較時為上下較長的菱形，學生 S5 認 為菱形是歪掉的平行四邊形，因此，三種構圖工具構圖時所得圖形皆是有 些歪斜，但徒手畫時卻是一個典型的菱形，學生 S8 的徒手畫圖形是一個典 型的菱形，但是三種工具構圖所得圖形強調四邊要相等，因此圖形比較接 近正方形，學生 S2 在 GSP 構圖時是使用對稱性質來作圖，圖形較接近正方
形，與徒手畫時差異較大。若依構圖工具來看，三種不同工具構圖所得圖 形差異不大。
三、學生在構圖中對於平行線的瞭解與性質的應用情形：
學生 一般構圖 尺規構圖 GSP 構圖 S1 距離處處相等 直尺的上下邊緣 平行的指令
S2 平移 平移 平行的指令
S3 距離處處相等 距離處處相等
S6 同時垂直於一線段 同時垂直於一線段 同時垂直於一線段 S7 直尺的上下邊緣 直尺的上下邊緣
S5 同時垂直於一直線 直尺的上下邊緣 平行的指令 S8 平移 距離處處相等 平移線段 S10 誤解題目 誤解題目 誤解題目
S4 平移 直尺的上下邊緣 兩條水平線 S9 誤解題目 誤解題目 誤解題目
(1)學生在在一般構圖與尺規作圖中對於平行的作法出現有多次是利用直尺的 上、下邊緣、或是向上平移直尺來構圖，尤其是在尺規作圖時最為明顯，
認為沒有交點的兩線段就是平行。其中有學生認為平行的兩線段需要等 長，為概念上的錯誤。
(2)學生 S3 對於平行的概念是距離相等，一般構圖時卻用了三種方法來構圖，
主要是由於對性質使用的不熟悉，構圖時嘗試作中垂線、角平線等來構圖，
並藉由測量來確認是否為平行。
(3)學生在將文字轉譯成圖形的過程中，容易受「關鍵字」的影響，著重於平 行線的構圖，而對於兩腰的構圖並不重視，大都是視覺估測的畫出兩腰長。
(4)在 GSP 軟體的構圖中，學生可在電腦螢幕上利用螢幕上的兩條水平線特性 來構圖，因為若不是水平線，則會出現鋸齒的現象，提供給學生另一各輔 助作圖的工具。
四、在模仿構圖中對於圖形的瞭解與性質的應用情形：
學生 一般構圖 尺規構圖 GSP 構圖 S1 線段與角度 SSS 全等構圖 旋轉關係 S2 線段與角度 SSS 全等構圖 垂直或平行 S3 SSS 全等 SSS 全等構圖
S6 SSS 全等 SSS 全等構圖 垂直或平行 S7 等腰三角形 等腰三角形
S5 線段與角度 線段與角度 旋轉關係 S8 線段與角度 線段與角度 垂直或平行 S10 SSS 全等 SSS 全等構圖 垂直或平行
S4 線段與角度 SSS 全等構圖
S9 線段與角度 線段與角度 伸縮關係
(1)在一般構圖與尺規作圖中，出現有許多次是以三角形 SSS 全等的方法來構 圖，透過此三角形的全等性質來畫三角形，再將各個三角形做組合來構圖。
尤其以尺規作圖中出現最多次，顯然是受到工具上的限制，而想出來的構 圖方法。
(2)在 GSP 軟體構圖中，最能促進學生對於圖形的分析、結構上的瞭解，由於 構圖時是透過旋轉、垂直線、平行線、伸縮等指令的構圖，因此，學生在 構圖時就必須去對圖形做結構上的分析，了解圖形中線段的平行、垂直、
點與點間存在有伸縮 2 倍關係等，在配合指令的使用來構圖。
五、在放大兩倍圖形變換的構圖中對於圖形的瞭解
學生 一般構圖 尺規構圖 GSP 構圖
S1 邊長作改變，角度不變(尺規) 邊長作改變，角度不變(尺規) 平移關係 S2 邊長作改變 邊長作改變，角度不變(尺規) 伸縮關係 S3 邊長作改變，角度不變 邊長作改變，角度不變(尺規)
S6 SSS 全等構圖 (尺規) SSS 全等構圖 伸縮關係 S7 邊長作改變，角度不變(尺規) 邊長作改變，角度不變(尺規)
S5 平移關係 平移關係 伸縮關係
S8 邊長作改變 邊長改變 伸縮關係
S10 邊長作改變，角度不變 SSS 全等構圖 伸縮關係
S4 邊長作改變 邊長改變 伸縮關係
S9 邊長作改變 邊長改變 伸縮關係
(1)學生在放大兩倍的構圖中，邊長放大 2 倍是最貼近的想法，因此，在構圖 時特別著重於邊長的構圖，無論是透過測量長度、圓規作線段、或在直尺 上做記號，目的即是要作出 2 倍的邊長，而對於角度則不重視，甚至是視 覺上估測來作。
(2)學生對於邊長放大 2 倍是利用測量、圓規作線段的方法來作，但若放大的 不是整數倍，如 2.7 倍，則在尺規的作圖上會有很大的困難。
(3)在 GSP 軟體的構圖中大部分學生是利用伸縮的功能指令能快速、正確的來 完成構圖，但在一般構圖與尺規作圖中卻沒有應用此一方法，主要是受到 工具特性的影響，或是學生在 GSP 軟體構圖中，只是知道指令的操作，至 於指令的內涵、意義上學生並不清楚。
學生在不同構圖工具時對於圖形暸解改變歷程
學生在經過三種不同工具的構圖歷程中，由於工具的改變與圖形性質的應用，
對於圖形有不同的瞭解。
學生在徒手畫的構圖活動中，學生將心中對於圖形的想法、影像具體的畫出 來，由於受到語意與典型心像的影響，畫出的圖形皆大同小異。等腰三角形為水 平，兩腰較長，菱形為上下較長，左右較短的對稱四邊形，或是旋轉一角度的正 方形，其中 S8、S9 會在圖形的
邊上做「標記」，以表達圖形中 邊或角的相等。
在使用 GSP 軟體來構圖時，學生常用的功能有作線段中點、垂直線、平行線、
伸縮、對稱、旋轉等功能，而較少使用測量長度、角度的功能，因此學生在構圖 時，比較能促進學生主動的去探究圖形的結構問題，即比較著重於整體圖形的結 構，再利用軟體所提供的功能來構圖，如利用作線段中點及垂直線來做等腰三角 形，利用對稱的功能來做菱形及等腰梯形，對於等腰直角三角形則將線段旋轉 90 度的功能來完成，放大 2 倍的構圖則使用伸縮的功能來構圖。整個構圖是以「指 令」的形式出現，因此，學生若對於指令不熟悉，則將造成學生在構圖時的困難。
在一般構圖中，學生強調於測量的步驟，因此對於圖形性質的應用、學習上 與工具的刻度有關。構圖時工具的使用包含有測量線段長度、角的度數，利用直 尺的上下邊緣、直尺上的直角，三角板上的角來構圖。在尺規作圖中因工具的需 要，即學生要用尺規作圖時，就必須去使用圖形的性質來構圖，若學生對於性質 的不了解，也會造成構圖上的困難，而學生視覺估測的構圖則是憑個人直覺，即 是「用準」的方式來作圖。若有使用直覺構圖即列為直覺的構圖。若依圖形、學
生組別、瞭解方式來分類，統計學生的構圖次數，情形如下：
一般構圖 尺規構圖 GSP 軟體構圖 組別 圖 1 圖 2 圖 3 圖 4 圖 5 圖 1 圖 2 圖 3 圖 4 圖 5 圖 1 圖 2 圖 3 圖 4 圖 5
I 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
II 1 2 1
III 1 1 1 1 1 1 2 2 直覺
構圖
IV 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2
I 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 II 3 2 2 1 2 3 3 1 3 3 2 2 1 1 1 III 1 1 1 1 3 2 3 1 2 3 2 1 3 使用
性質 功能
構圖 IV 1 1 1 1 1 2
I 1
II 1 2 1
III 2 2 1 2 1 1 1 使用
工具 特性
IV 1 1 1
(1)學生在一般構圖時，對於圖形的作法中以視覺估測來構圖的有 17 個圖形、
以性質來構圖的有 19 個圖形、以工具輔助來構圖的有 14 個圖形，三者的 次數相差不多，而在尺規作圖中，視覺估測來構圖的有 16 個圖形、以性質 來構圖的有 33 個圖形、以工具輔助的有 1 個圖形，即在尺規作圖中，對於 圖形的瞭解大部分是屬於圖形的性質。在 GSP 軟體構圖中使用軟體的功能 指令來構圖的有 24 個圖形，視覺估測來構圖的有 12 個圖形，有 14 個圖形 無法作出，因此，在 GSP 軟體的構圖是以軟體所提供的功能指令為主來構 圖。
(2)依學生的組別來說，第四組學生在 30 個圖形中，有 19 個是曾透過視覺估 測的完成構圖，比例相當高，顯示出學生對於構圖能力的不足，即對於圖 形性質的不了解或功能指令使用的不熟悉。而第一組學生，因有一位學生 經常依直覺來構圖，另一位學生則是以性質來構圖為主，第二組學生則在 39 個構圖中，有 30 個是利用性質瞭解來構圖，比例最高，第三組學生則在 一般構圖中，使用工具瞭解來構圖的次數最多，而在尺規作圖與 GSP 軟體 的構圖中仍以性質的瞭解為主。因此，由不同程度學生的構圖來看，中、
高程度學生的構圖，著重於圖形性質得應用，中下程度學生構圖時以工具 的輔助最多，至於程度較低的學生則當不了解構圖方法時，視覺估測是她 們常常採用的方法。
第三節 圖形性質與結構的察覺
圖形概念的瞭解
一、對於等腰三角形的瞭解
學生在構圖前對於等腰三角形的了解，大部分都能指出是兩邊相等、兩底角 相等的三角形，所畫出的等腰三角形為底邊水平且較短，兩腰較長的典型等腰三 角形。
在構圖前，學生對於等腰三角形的概念可分為下列情形：
學生 對圖形的概念 徒手畫的圖形
S1、S2、S7 兩個腰相等、底角相等
S3、S4、S6、S8、
S10
兩腰相等
S5 由兩個直角三角形拼成的
S9 其中兩個角度一樣，另一個角 都可以，總和要 180 度
在構圖後，學生對於等腰三角形的概念可分為下列情形：
學生 對圖形的瞭解 圖形
S1、S2、S3、S4、
S5、S6、S8、S10、
S7
兩個腰相等、底角相等
