在構圖的過程中，工具的使用扮演著重要的角色。Duval 在 1995 年提出 對 圖形的四個瞭解，其中在構圖性的瞭解中指出，構圖的過程中，圖形的結構、各 個元素的安排與技術的限制及數學性質有關，而技術限制又隨著構圖工具而變。
若不考慮數學性質和技術限制，就不能理解圖形。因此，不同的構圖工具，會影 響學生對圖形的理解及構圖過程中圖形各元素的安排順序。
本構圖活動中的一個研究主題，即是透過不同的構圖方式了解學生在不同的 構圖工具時對圖形的瞭解與構圖情形。而構圖方式包含有一般構圖，就是提供學 生具有刻度的直尺、量角器、三角板，另一種是課本所敎授的尺規作圖方式，只 提供沒有刻度的直尺與圓規，第三種構圖方式是 GSP 軟體，學生利用軟體所提供 的功能來構圖。在本研究中參與構圖活動的學生，在八年級下學期時利用資訊教 育課程學過有約八小時的 GSP 軟體的操作，但因時間久遠，因此在進行構圖前先 作十至十五分鐘的複習，希望學生能更順利的來使用軟體。而學生經過複習，對 大部分的基本功能能順利操作，並告訴學生構圖中若需要也可請老師做指導。
本節探討不同的構圖工具時圖形的瞭解與性質的應用，包括有：不同構圖工 具時對於圖形的暸解與性質應用，各組學生在不同構圖工具時對於圖形暸解改變 歷程。以下針對各點作分析探討：
不同構圖工具時對於圖形的瞭解與性質應用
本研究共有五個構圖活動，每個構圖活動的圖形分別使用一般構圖、尺規構
圖、GSP 軟體構圖等三種不同的構圖工具。其中，等腰三角形與菱形的構圖，是先 請學生說出圖形的定義，並徒手將圖形畫出來。構圖三的活動是將文字的敘述轉 譯成圖形，構圖四、五是透過察覺來模仿構圖及將圖形放大兩倍的圖形變換。在 學生的構圖中，學生 S3 表示完全不懂 GSP 的操作，因此，學生 S3 就不利用 GSP 軟體來構圖，其餘學生大都能順利的畫出圖形。分別說明如下：
一、學生在構圖中對於等腰三角形的瞭解與性質的應用情形：
學生 一般構圖 尺規構圖 GSP 構圖 S1 兩底角相等 兩腰相等 具旋轉性質
S2 中垂線性質 中垂線性質 具旋轉性質 S3 中垂線性質 中垂線性質
S6 中垂線性質 中垂線性質 底邊上的高垂直平分底邊 S7 中垂線性質 中垂線性質 底邊上的高垂直平分底邊 S5 底邊上的高會垂直平分底邊 中垂線性質 具旋轉性質
S8 底邊上的高會垂直平分底邊 中垂線性質 底邊上的高垂直平分底邊 S10 中垂線性質 中垂線性質 中垂線性質
S4 兩腰相等 兩腰相等 底邊上的高垂直平分底邊 S9 兩腰相等 兩腰相等 兩腰相等
(1)學生在一般構圖中利用兩底角相等、兩腰相等的概念，透過測量的步驟來 畫出，最能表現出學生對於圖形的想法，尤其是第四組的學生，完全以圖 形的定義、語義來構圖。
(2)在一般構圖中，有五位學生是利用尺規作圖的方法來構圖。學生在學習數
雖然是一般構圖，但仍是以尺規作圖方法來構圖，尤其以構圖能力為中上 程度學生的構圖最為明顯。
(3)等腰三角形為一個線對稱圖形，學生在 GSP 軟體的構圖方法中，大部分是 以畫中垂線(對稱軸)的方法構圖。此外，有三位學生依旋轉 90 度方式來作 等腰直角三角形，此一構圖方法，雖然也能畫出＂一個＂等腰三角形，但 是顯然無法對於等腰三角形做性質上的瞭解。
(4)學生利用三種構圖工具構圖時所得圖形與徒手畫圖形作一比較，學生 S4、
S6、S8、S9 所畫圖形外形極為相似，學生 S3、S7 是利用中垂線性質來構圖，
所得圖形與徒手畫比較時為底邊較長的等腰三角形，學生 S1、S2、S5 在 GSP 構圖時是使用旋轉 90 度來作圖，而得到等腰直角三角形，圖形與徒手畫時 差異較大，學生 S10 則作出正三角形，與徒手畫圖形的外形不同。若依構 圖工具來看，一般構圖與徒手畫的相似度最高，而 GSP 軟體構圖則差異性 較大。
二、學生在構圖中對於菱形的瞭解與性質的應用情形：
學生 一般構圖 尺規構圖 GSP 構圖
S1 對角線互相垂直平分 對角線互相垂直平分 對角線互相垂直平分 S2 對角線互相垂直平分 中垂線性質 線對稱圖形
S3 中垂線性質 中垂線性質
S6 對角線互相垂直平分 中垂線性質 線對稱圖形 S7 中垂線性質 中垂線性質 線對稱圖形 S5 對角線互相垂直平分 對角線互相垂直平分 線對稱圖形
S8 對角線互相垂直平分 中垂線性質 對角線互相垂直平分 S10 中垂線性質 中垂線性質 對角線互相垂直平分
S4 四邊相等 中垂線性質 線對稱圖形 S9 對角線互相垂直平分 中垂線性質 中垂線性質
(1)學生對於菱形的概念為四邊等長，構圖時是利用對角線互相垂直平分的性 質來構圖，即學生對於圖形的概念瞭解與構圖時所使用的方法是不一定相 同的，這兩者之間可以為是一種知覺性的瞭解與構圖性的瞭解。
(2)學生 S1 的構圖，在不同構圖工具時都是應用對角線互相垂直平分的性質來 構圖，但是因工具的不同，過程中是有差異的，一般構圖是利用測量作線 段、作直角；尺規作圖中的直角則是視覺估測的作圖，而在 GSP 軟體的構 圖中，作線段中點與垂直線，但在取上下等線段時，則是視覺估測的作圖。
(3)在 GSP 軟體構圖中，部分學生沒有使用作垂直線的指令，而是利用電腦螢 幕上鉛垂線的特性來直接做垂直線段，因為若不是鉛垂線則會出現有鋸齒 的現象，提供給學生一項構圖上的輔助工具。
(4)學生利用三種構圖工具構圖時所得圖形與徒手畫圖形作一比較，學生 S1、
S4、S6、S7、S9、S10 所畫圖形與徒手畫圖形極為相似，學生 S3 是利用中 垂線性質來構圖，所得圖形與徒手畫比較時為上下較長的菱形，學生 S5 認 為菱形是歪掉的平行四邊形，因此，三種構圖工具構圖時所得圖形皆是有 些歪斜，但徒手畫時卻是一個典型的菱形，學生 S8 的徒手畫圖形是一個典 型的菱形，但是三種工具構圖所得圖形強調四邊要相等，因此圖形比較接 近正方形，學生 S2 在 GSP 構圖時是使用對稱性質來作圖，圖形較接近正方
形，與徒手畫時差異較大。若依構圖工具來看，三種不同工具構圖所得圖 形差異不大。
三、學生在構圖中對於平行線的瞭解與性質的應用情形：
學生 一般構圖 尺規構圖 GSP 構圖 S1 距離處處相等 直尺的上下邊緣 平行的指令
S2 平移 平移 平行的指令
S3 距離處處相等 距離處處相等
S6 同時垂直於一線段 同時垂直於一線段 同時垂直於一線段 S7 直尺的上下邊緣 直尺的上下邊緣
S5 同時垂直於一直線 直尺的上下邊緣 平行的指令 S8 平移 距離處處相等 平移線段 S10 誤解題目 誤解題目 誤解題目
S4 平移 直尺的上下邊緣 兩條水平線 S9 誤解題目 誤解題目 誤解題目
(1)學生在在一般構圖與尺規作圖中對於平行的作法出現有多次是利用直尺的 上、下邊緣、或是向上平移直尺來構圖，尤其是在尺規作圖時最為明顯，
認為沒有交點的兩線段就是平行。其中有學生認為平行的兩線段需要等 長，為概念上的錯誤。
(2)學生 S3 對於平行的概念是距離相等，一般構圖時卻用了三種方法來構圖，
主要是由於對性質使用的不熟悉，構圖時嘗試作中垂線、角平線等來構圖，
並藉由測量來確認是否為平行。
(3)學生在將文字轉譯成圖形的過程中，容易受「關鍵字」的影響，著重於平 行線的構圖，而對於兩腰的構圖並不重視，大都是視覺估測的畫出兩腰長。
(4)在 GSP 軟體的構圖中，學生可在電腦螢幕上利用螢幕上的兩條水平線特性 來構圖，因為若不是水平線，則會出現鋸齒的現象，提供給學生另一各輔 助作圖的工具。
四、在模仿構圖中對於圖形的瞭解與性質的應用情形：
學生 一般構圖 尺規構圖 GSP 構圖 S1 線段與角度 SSS 全等構圖 旋轉關係 S2 線段與角度 SSS 全等構圖 垂直或平行 S3 SSS 全等 SSS 全等構圖
S6 SSS 全等 SSS 全等構圖 垂直或平行 S7 等腰三角形 等腰三角形
S5 線段與角度 線段與角度 旋轉關係 S8 線段與角度 線段與角度 垂直或平行 S10 SSS 全等 SSS 全等構圖 垂直或平行
S4 線段與角度 SSS 全等構圖
S9 線段與角度 線段與角度 伸縮關係
(1)在一般構圖與尺規作圖中，出現有許多次是以三角形 SSS 全等的方法來構 圖，透過此三角形的全等性質來畫三角形，再將各個三角形做組合來構圖。
尤其以尺規作圖中出現最多次，顯然是受到工具上的限制，而想出來的構 圖方法。
(2)在 GSP 軟體構圖中，最能促進學生對於圖形的分析、結構上的瞭解，由於 構圖時是透過旋轉、垂直線、平行線、伸縮等指令的構圖，因此，學生在 構圖時就必須去對圖形做結構上的分析，了解圖形中線段的平行、垂直、
點與點間存在有伸縮 2 倍關係等，在配合指令的使用來構圖。
五、在放大兩倍圖形變換的構圖中對於圖形的瞭解
學生 一般構圖 尺規構圖 GSP 構圖
S1 邊長作改變，角度不變(尺規) 邊長作改變，角度不變(尺規) 平移關係 S2 邊長作改變 邊長作改變，角度不變(尺規) 伸縮關係 S3 邊長作改變，角度不變 邊長作改變，角度不變(尺規)
S6 SSS 全等構圖 (尺規) SSS 全等構圖 伸縮關係 S7 邊長作改變，角度不變(尺規) 邊長作改變，角度不變(尺規)
S5 平移關係 平移關係 伸縮關係
S8 邊長作改變 邊長改變 伸縮關係
S8 邊長作改變 邊長改變 伸縮關係