圖論與拓樸學的介紹

從前的東普魯士柯尼斯堡(今日俄羅斯加里寧格勒)有一條河，河中心有兩個 小島，小島與河的兩岸有七條橋連接。當時的人們無法解決如何在所有橋都只能 走一遍的前提下，怎樣才能夠把這把這個地方的小島都走遍。後來很多數學家都 嘗試去解析這個難題，而這些解析的方法就發展成為了數學中的〝圖論〞。

圖論最基本也是最重要的假設就是用點和線來簡化表達一個實際的事物，以 柯尼斯堡七橋為例，圖 2-1 為柯尼斯堡七橋的示意圖(示意圖 2-1 是用〝點〞來 代表陸地(A、B、C、D)，然後用〝線〞來代表橋樑)。

2.1.2 拓樸學

而圖論發展到後來發展出了拓樸結構的畫法，數學家想出了以〝點〞來代表 某項特定的〝事物〞，以〝線〞來代表某項特定〝事物彼此間的某種關係〞的方 法來將圖論的示意圖轉換成拓樸結構的表達方式。例如圖 2-2，即用〝點〞來代 表陸地(A、B、C、D)，然後用〝線〞來代表這兩個陸地彼此間有相連接的關係(橋 樑)而將示意圖 2-1 轉換成圖 2-2。

而圖論發展到後來就發展出了拓樸結構的畫法，如圖 2-3。底下是拓樸結構 的畫法、規則及研究限制的介紹。

方法：以〝點〞來代表某項〝事物〞，以〝線〞來代表”事物彼此間的某種 關係。

本研究利用拓樸結構所表達的事物有以下兩種情況：

情況一: 以〝點〞來代表空間；並且以〝線〞來代表空間和空間之間是否有 連接。

情況二: 以〝點〞來代表動線；並且以〝線〞來代表動線和動線之間是否有 連接。

規則: 任何一條線，兩邊一定有點且為不同點，線亦不能重複。

研究限制: 所有的點和線所代表之意義皆相同。以柯尼斯堡七橋為例:

本例中的〝點〞代表了陸地(包括小島)，但並無法區別島的大小或是島的高 度之類的差異。而本例的〝線〞則代表了兩塊陸地能夠相連結(橋)，但並無法區 分出橋的長短和寬度等等…也就是說以拓樸學的方法來表示圖面會造成點和線 本身的差異性被忽略。

圖 2-1 柯尼斯堡七橋示意圖 資料來源：【21】

圖 2-2 柯尼斯堡七橋圖論的表達方式 資料來源：【21】

圖 2-3 柯尼斯堡七橋的拓樸結構

2.1.3 拓樸學對方向性之規定

拓樸學，是近代發展起來的一個研究連續性現象的數學分支。中文名稱起源 於希臘語Topology的音譯。Topology原意為地誌學，於19 世紀中期由科學家引 入，當時主要研究的是出於數學分析的需要而產生的一些幾何問題。發展至今，

拓撲學主要研究拓撲空間在拓撲變換下的不變性質和不變數。

對於拓樸學，一般習慣上用 G 代表圖面，V 代表點，E 代表線，由於拓樸 學的圖面是由點和線所構成的，因此可以表達為: G = (V, E)。

V 是點(vertices, nodes, points)的集合。E 是線(邊, edges, arcs, lines) 的集合。

有時候拓樸結構畫法的不同，會讓人誤以為是在表達兩個不同的事物，例如 圖 2-4，不過事實上，只要拓樸結構的單元數一樣多，而且拓樸結構單元間的連 接關係是相同的，那麼儘管看起來不太一樣，但事實上卻仍然是相同的拓樸結構。

例：圖 2-4 (A)、(B)二圖的拓樸結構相同。

圖 2-4 兩個相同的拓樸結構

有關於圖論的探討，又可以分為有方向性的圖和無方向性的圖，一般而言，

圖無方向性(即：雙向性)，若有方向性則須事先說明(通常的作法是加以註解或是 以箭頭的形式來表示)。

點：標記/無標記 (labeled/unlabeled) 線：有向/無(雙)向 (directed/undirected) 無(雙)向圖：如圖 2-4 之(A)、(B)

有向圖(digraph)：其邊線具方向性，如圖 2-5 的(C)。

圖 2-5 圖論原則說明

有關於圖論的規定，首先，圖不能有重複的線。如圖 2-5 的(D)之 d 和 g 重 前的研究中被大量使用。Tommelein (1992,1993)、Yeh (1997)以 及 Li (1998)等相繼提出各種不同的規劃技術以應用於工地配置