3.5 非线性电磁驱动力补偿的自适应鲁棒控制
3.5.5 在线参数估计
上面两个小结阐述了控制器在存在各种建模误差的情况下保证瞬态和稳态性能，因此 本小节主要围绕如何获得准确的在线参数估计。这里面我们假设系统只存在参数不确定 性，即 ˜d = 0。
定义Hf(s)为一个稳定的滤波函数，例如Hf(s) = (τ 1
fs+1)2。对动力学(3-119)两边进行滤 波，我们可以得到
θ1˙x2f = uf − θ2x2f − θ3Sf f(x2) + θ41f + θ5u|u|f + θ6u3f (3-152) 其 中 ˙x2f, uf, x2f, Sf f, 1f, u|u|f, u3f代 表 ˙x2, u, x2, Sf(x2), 1, u|u| , u3滤 波 后 的 输 出 信 号 。 因 此(3-152)可以写成
uf =−φTfθ (3-153) 其中φTf = [− ˙x2f,−x2f,−Sf f, 1f, u|u|f, u3f]。定义预估输出和预估误差为
ˆ
uf =−φTfθˆ ϵ = ˆuf − uf
(3-154)
我们可以得到预估误差的模型
ϵ =−φTfθ˜ (3-155)
浙江大学博士学位论文 55
基 于 上 面 的 预 估 误 差 模 型 ， 各 种 参 数 估 计 的 方 法 都 可 以 使 用 。 下 面 我 们 分 别 选 用Krstic和Landau书中[66, 110]提出的两种典型估计算法（梯度估计和最小二乘估计）进 行阐述。
A. 梯度估计
对于梯度估计，Γ > 0选成一个常对角阵，例如Γ = diag[γ1, ..., γ6]。而τ 定义为
τ = 1
1 + ν∥φf∥2φfϵ, ν≥ 0 (3-156) B. 最小二乘估计
这里使用指数遗忘的最小二乘法[110]，Γ > 0定义为
˙Γ = αΓ− 1
1 + νφTfΓφfΓφfφTfΓ, Γ(0) = ΓT(0) > 0 (3-157) 其中ν≥ 0，而α为遗忘因子。τ定义为
τ = 1
1 + νφTfΓφfφfϵ (3-158) 在实际中，上面的最小二乘估计在不满足持续激励的情况下有可能会发生估计器发散，
例如λmax(Γ(t)) → ∞。因此我们对(3-157)进行了如下改进，设置了自适应更新率的上 限ρM，从而使Γ(t)≤ ρMI, ∀t
˙Γ =
αΓ− 1+νφ1T
fΓφfΓφfφTfΓ, if λmax(Γ(t))≤ ρM
0, otherwise
(3-159)
定理 3.11： 系统只存在参数不确定性（ ˜d = 0）时，使用DCDIARC控制算法(3-125) 和(3-143)，以及投影式自适应律(3-123)和(3-134)，无论选择梯度估计(3-156)还是最小二乘 估计(3-158)和(3-159)，如果持续激励的条件满足，即
∫ t
t−T
φfφTf dτ ≥ βIp,∀t > t0 for some T > 0, t0, andβ > 0 (3-160)
那么ˆθ可以收敛到真实值，即˜θ → 0。此外，在定理3.10的基础上，还可以实现渐进跟踪，
即t→ ∞时e → 0。
证明： 在满足持续激励条件下，˜θ → 0并且˜θ ∈ L2。选择以下Lyapunov函数
Va = 12θ1p2+12θ1k12e2+12γd−1dˆ20 (3-161)
56 第三章 基于有效非线性补偿的直线电机自适应鲁棒控制研究
对其求导，并注意到(3-134)，(3-143)，(3-145)和(3-149) V˙a ≤ −k2p2− 12θ1k13e2
+vs2p− ˆd0p− pφTdθ + ˆ˜ d0γd−1P rojdˆ0(γdp)
≤ −k2p2− 12θ1k13e2− pφTdθ + ˆ˜ d0γd−1(P rojdˆ0(γdp)− γdp)
≤ −k2p2− 12θ1k13e2− pφTdθ˜
(3-162)
由于˜θ ∈ L2而φd有界，故φTdθ˜∈ L2。从不等式(3-162)可得p, e ∈ L2。应用Barbalat引理，
当t → ∞时可得e → 0。
3.5.6 对比实验研究
3.5.6.1 性能指标
类似[68]，我们选择以下指标作为控制性能优劣的考核：
⋄ eM = max
t {|e(t)|}，跟踪误差的最大绝对值，表征跟踪的最差瞬态性能。
⋄ eF = max
Tf−10≤t≤Tf
{|e(t)|}，最后10秒的最大跟踪误差，表征系统的最终跟踪性能
⋄ L2[e] =
√ 1 Tf
∫Tf
0 |e|2dt，跟踪误差的均方根值，表征轨迹跟踪的平均效果，其中Tf表 示总共的运动时间。
⋄ uM = max
t {|u(t)|}，最大瞬态控制电压。
3.5.6.2 对比实验方案设置
我 们 选 择2.2.1节 提 到 的 两 轴 直 线 电 机 平 台 的X轴 和Y轴直 线 电 机 作 为 研 究 对 象 ， 并 且 加 了5kg的 外 负 载 ， 采 用 自 带 的 光 栅 传 感 器 作 为 位 移 反 馈 信 号 ， 其 测 量 分 辨 率 为0.5µm。dSPACE控制器的采样频率为5kHz，速度信号由位移信号直接求导，故而其分 辨率为0.0025 m/s。以下两种控制算法被用来实验对比：
C1： 无非线性电磁驱动力补偿的DCDIARC控制算法，即3.2.6节所述的控制算法。
C2： 上面小节提出的非线性电磁驱动力补偿的DCDIARC控制算法。
为了做公平的比较，当两种控制器的控制参数有相同含义时都取成一样。由于C1的 控 制 参 数 都 在C2中有体现，所以下面只叙述C2的控制参数。同3.4.3节类似，我们使 用vs=−ks′p来替代非线性增益。
对于X轴实验，控制参数k′s = 500× 0.19，k1 = 250，γd = 500， ˆdmax = 1。Sf( ˙xd)选 成π2 arctan(900 ˙yd)。 未 知 参 数 的 上 下 界 为θmax = [0.25, 0.45, 0.35, 0.5,−0.004, −0.0005]T 和θmin = [0.05, 0.08, 0.05,−0.5, −0.015, −0.002]T。我们选用最小二乘估计，其参数为α = 0.02，µ = 0.1，ρM = 1000，Γ(0) = diag{2, 50, 100, 500, 0.5, 0.05}。参数的初始值选为bθ(0) =
浙江大学博士学位论文 57 diag{2, 50, 100, 500, 0.05, 0.005}。其他的控制参数设置与X轴一样。点对点运动的参考跟踪 信号yd(t)移动距离0.4m，最大速度1m/s，最大加速度10m/s2。
Input without Compensantion(V)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 Input with Compensantion(V)
图 3-15 X轴控制输入
Input without Compensantion(V)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 Input with Compensantion(V)
图 3-16 Y轴控制输入
58 第三章 基于有效非线性补偿的直线电机自适应鲁棒控制研究
Error without Compensantion(µm)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 Error with Compensantion(µm)
图 3-17 X轴跟踪误差
Error without Compensantion(µm)
22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 Error with Compensantion(µm)
图 3-18 X轴跟踪误差放大图
0 5 10 15 20 25 30 35 40
−50 0 50
Error without Compensantion(µm)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
−50 0 50
Time(s) Error with Compensantion(µm)
图 3-19 Y轴跟踪误差
21.5 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5
−50 0 50
Error without Compensantion(µm)
21.5 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5
−50 0 50
Time(s) Error with Compensantion(µm)
图 3-20 Y轴跟踪误差放大图
浙江大学博士学位论文 59