针对上面提出的非线性刚性动力学模型，我们进行了各种时域辨识实验，以辨识其未 知参数并验证模型的有效性。首先，在简化了部分非线性动力学后，我们得到现今常见的 直线电机二阶刚性动力学模型，采用最小二乘法辨识出惯性等主要动力学参数。然后，对
20 第二章 直线电机非线性刚性动力学建模及辨识 三大类非线性力分别进行单独的测量和辨识，从而系统地得到含各种非线性的刚性动力学 辨识结果。
2.4.1 简化二阶刚性动力学辨识
为了辨识刚性动力学的一些基本参数，先对模型进行简化处理，即把动力学(2-8) 和(2-19)代入(2-1)，并且忽略定位力和时变的建模误差成分，因而我们可以得到现今直线 电机控制中常见的简化二阶刚性动力学[68]
θ1y = u¨ − θ2y˙− θ3Sf( ˙y) + θ4 (2-21) 其中θ1 = M/K，θ2 = B/K，θ3 = Af/K，而θ4为Fdis/K中的常值成分。
常见的时域系统辨识方法有极大似然法和最小二乘法。极大似然法是基于统计意义上 的，故在实际应用中多采用基于物理模型的最小二乘法。对于无建模误差的系统，在满足 持续激励的条件下，最小二乘能保证参数的收敛性；而对有建模误差的，只有当其满足白 噪声形式时，才能保证在持续激励下的参数收敛性。在实际系统中，建模误差存在着很多 不确定性，不可能只是白噪声，故而没有什么理论上的参数收敛性结论，但最小二乘的参 数辨识在一定程度上还是能获得优化的参数估计。因此其激励信号的选择要遵循以下两个 准则：（1）满足持续激励条件，即信号需要足够丰富已激发模型中的各个动力学；（2）
要尽可能减少模型误差。对于上面的简化二阶刚性动力学(2-21)，我们选用满足持续激励 条件的方波信号作为激励信号，有限的信号幅值使驱动电流不处于明显的非线性区域，快 速通过低速区域而减少动态摩擦力的建模误差，在小范围内移动以减少定位力的干扰，对 各个测量信号进行滤波以滤去测量噪声和系统高频动力学的影响。
定义θ = [θ1, θ2, θ3, θ4]T，φ = [¨y, ˙y, Sf( ˙y),−1]T，因此(2-21)可写成
φTθ = u (2-22)
那么θ的最小二乘估计值为
θ = (ΦTfΦf)−1ΦTfUf (2-23) 其中Φ = [φ1, φ2,· · · , φN]T和U = [u1, u2,· · · , uN]T，φN和uN分别代表测量到的第N组φ和u 数据。而Φf和Uf为Φ和U经滤波后的信号。
经过时域辨识实验[106]，X轴的辨识结果为θ1 = 0.12，θ2 = 0.166，θ3 = 0.15；Y轴的辨 识结果为θ1 = 0.64，θ2 = 0.24，θ3 = 0.606。而θ4的估计基本都为零。从2.2.1节中介绍的 直线电机参数，我们可以知道K = KiKF = 24.5A/10V × 30.3N/A = 74.235N/V ，从而得
浙江大学博士学位论文 21
Value of Cogging Force, x−axis
图 2-10 X轴定位力
Value of Cogging Force, y−axis
图 2-11 Y轴定位力 图2-12和2-13所示），我们发现其基波为20m−1即对应为电机的磁极距P = 50mm，而其
22 第二章 直线电机非线性刚性动力学建模及辨识 Curve fitted using LSM
Real measurement Curve fitted using LSM
Real measurement 个参数σ0 = 7000，σ1 = 1176。从图2-16中可知，在0.08m/s以下Stribeck现象是十分明显
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的，而这之上传统的静态摩擦力已可以描述摩擦特性，故在我们提出的改进模型中，
将l1取成0.08m/s。此外，在5kHz的采样频率下，我们验证了观测器(2-13)达到0.11m/s仍 不会失稳，因此l2可以取成0.1m/s。而s(| ˙y|)在l1和l2之间的过渡段，我们使用直线来做一 个简单的连接。h( ˙y)可取成h( ˙y) = 0.00013+0.00013| ˙y|，使σ0和σ1在可能的变动范围内始终满足耗散 条件σ1h( ˙y) < 4σ0| ˙y|g( ˙y)。此外，图2-16显示动态摩擦力的大小也达到了定位力的量级，而不 能简单地忽略。因此有效的动态摩擦力补偿对控制性能的提升，尤其是在启动时刻和低速 运动时有着重要的意义。
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21
velocity (m/s)
applied force (V, in voltage)
Stribeck Curve
图 2-16 X轴Stribeck现象的动态摩擦力拟合曲线
2.4.4 非线性电磁驱动力的测量和辨识
我们依旧采用2.4.2节中的HBM力传感器，将电机固定在一个位置，测量其在不同输 入电压下的驱动力。图2-17 和2-18为X轴和Y轴的非线性电磁驱动力测量值以及其拟合曲 线。其中实线代表三阶多项式模型(2-20)拟合的结果，拟合参数X轴为A1 = 73.34，A2 =
−0.5571，A3 = −0.07888；Y轴为A1 = 78.29，A2 = −1.455，A3 = −0.02332。由于A2
和A3的 值 相 对 较 小 ， 当 驱 动 力 小 于 持 续 推 力279N时 ， 模 型(2-20)可 简 化 为 线 性 模 型(2-19)，如图中的虚线。在大输入的时候，非线性现象十分明显，而非线性的模型辨识 结果可以保证其在全局范围内较好的拟合效果。比较2.4.1计算的产品参数K = 74.235，本 小节辨识的A1基本上与其一致，说明辨识结果的有效性。
24 第二章 直线电机非线性刚性动力学建模及辨识 Solid: cubic polynomial fitting
Dashed: linear approximation of the fitting
Input Voltage(V) Solid: cubic polynomial fitting Dashed: linear approximation of the fitting
Input Voltage(V)
第 三 章 基于有效非线性补偿的直线电机自适应鲁 棒控制研究
摘要：基于前面一章提出的直线电机非线性刚性动力学模型和辨识结果，发展各种非线性 补偿的自适应鲁棒控制策略。首先介绍了自适应鲁棒控制技术在传统的简化二阶刚性动力 学中的各种实现，从理论上证明这些控制算法具有优越的瞬态和稳态跟踪性能。随后分别 设计非周期定位力补偿的自适应鲁棒控制器，改进LuGre动态摩擦力补偿的自适应鲁棒控 制器，非线性电磁力补偿的自适应鲁棒控制器，以及各种非线性综合补偿的自适应鲁棒控 制器。通过一系列实验结果的比较，验证了这些补偿控制算法的优越性。
3.1 引言
针对存在模型不确定和参数不确定的系统的控制，Yao提出了一种面向高性能的非线 性自适应鲁棒控制(ARC)理论[53, 54, 55, 56, 57]。它在理论上严格证明了可以同时取得传统鲁棒
控制[64, 65]和鲁棒自适应控制[66, 67]所能达到的控制性能，因此也克服了各自控制性能的限
制问题。由于直线电机控制难点之一为明显的模型不确定、参数不确定以及各种干扰的影 响，故而自适应鲁棒控制可发挥出显著的优势，并已经获得较好的实验结果[68, 34]。
此外，直线电机驱动系统存在着定位力、摩擦力和非线性电磁驱动力三大类非线性。
已有一些研究[79, 80, 81, 82, 83]进行了定位力有效补偿，但是集中在周期性定位力的补偿控制，
并未涉及非周期领域；也存在一些摩擦力的补偿控制研究[95, 80, 96, 97, 98]，但在控制算法的设 计和补偿模型的选择上仍然具有一定的提升空间；而目前基本还没有文献涉及到非线性电 磁驱动力的补偿控制。通过前面一章的刚性动力学建模和辨识，我们已经获得了有效地描 述非线性物理特性和兼顾补偿控制器实现难度的非线性数学模型（非周期定位力模型、改 进的LuGre动态摩擦力模型、三阶多项式非线性电磁驱动力模型）。针对直线电机的另一 控制难点――非线性动力学的制约，我们期望将自适应鲁棒控制的思想和这些非线性的补 偿有机结合起来，获得控制性能的进一步提升，以达到高速高精度的运动控制需求。