投影式自适应律

同3.2.2节类似，我们设计如下非连续投影式自适应律

˙ˆθ = Proj_θˆ(Γτ ) (3-62)

其中Γ > 0为一对角阵，τ 为自适应函数。映射函数P rojθˆ(•) = [P rojθˆ1(•1),· · · , P rojθˆ5(•5)]^T 定义为

P rojθˆi(•i) =











0 if ˆθ_i = θ_imaxand•i > 0 0 if ˆθi = θiminand•i < 0

•i otherwise

(3-63)

非连续的投影式自适应律(3-62)可以保证：

(P1)

θˆ∈ Ωθ ={ ˆθi : θ_imin≤ ˆθi ≤ θimax } (3-64)

(P2)

θ˜^T (

Γ⁻¹P roj_θˆ(Γτ )− τ)

≤ 0, ∀τ (3-65)

3.3.3 直接自适应鲁棒控制(DARC)

定义一个类滑模变量p

p= e + k^∆ 1e = x2− x2eq, x2eq

= ˙∆ yd− k1e, (3-66)

其中e = x₁ − yd为输出跟踪误差，k₁ > 0为常数增益。由于G_p(s) = ^e(s)_p(s) = _s+k¹

1是一个稳定 的收敛速度为k1的传递函数，当p很小或者趋于零时，e也就会很小或者趋于零。因此，剩 下的控制目标就只是如何使p尽可能的小。对p进行求导，同时注意到公式(3-59)，我们可 以获得

θ₁p = u˙ − θ1˙x_2eq− θ2x₂− θ3S_f(x₂)− θ4b^TS_r(x₁) + θ₅+ ˜d,

= u + φ^Tθ + ˜d

(3-67) 其中φ^T = [− ˙x2eq,−x2,−Sf,−Sr^T, 1]。我们设计的直接自适应鲁棒控制器为

u = u_a+ u_s, u_a =−φ^Tθ,ˆ (3-68) 其中u_a是自适应模型补偿项，u_s为鲁棒反馈项。将公式(3-68)代入公式(3-67)，我们可以得

浙江大学博士学位论文 37

到

θ₁p = u˙ _s− φ^Tθ + ˜˜ d. (3-69) 因此，鲁棒反馈控制项us可以取成

u_s = u_s1+ u_s2, u_s1 =−k2p, (3-70) 其中u_s1为简单的比例反馈来稳定名义动力学，而u_s2是用来减弱模型不确定影响的鲁棒 项，它满足下面的两个条件

p{us2− φ^Tθ + ˜˜ d} ≤ ε (3-71)

pus2 ≤ 0 (3-72)

其中ε为一任意小的常数。例如满足上面条件的u_s2可以取成

u_s2 =−ks2p, k_s2 = 1

4εh² (3-73)

而h是任何满足下面不等式的光滑函数

h ≥ ∥θM∥∥φ∥ + δd (3-74)

其中θ_M = θ_max− θmin。

　　 定理 3.6： 如果我们采用投影式自适应律(3-62)，并且选择τ 为以下函数

τ = φp (3-75)

那么，直接自适应鲁棒控制器(3-68)可以保证

A. 所有信号都是有界的。而且，如果我们定义一个正定函数Vs = ¹₂θ₁p²，那么它有界 于

V_s(t)≤ exp(−λt)Vs(0) + ε

λ[1− exp(−λt)] (3-76) 其中λ = 2k₂/θ_1max。

B. 如果在有限时间t₀后，系统只存在参数不确定性，即 ˜d = 0，∀t ≥ t0。那么除了结 果A，我们还能实现最终的零跟踪误差，即在t→ ∞时，e → 0 和p → 0。



38 第三章 基于有效非线性补偿的直线电机自适应鲁棒控制研究

证明： 我们对Lyapunov函数Vs进行求导，并注意公式(3-69)，(3-70)和(3-71) V˙_s = −k2p² + p

[

u_s2− φ^Tθ + ˜˜ d ]

≤ −λVs+ ε

(3-77)

故通过比较引理，我们可以直接得到不等式(3-76)。因此，p是有界的。通过稳定的传递 函数G_p(s)，我们知道e和 ˙e也是有界的。由于理想轨迹y_d是有界并且二次可导，x₁ = e + y_d 和x₂ = ˙e + ˙y_d也是有界的。由于采用投影式的自适应律，ˆθ是有界的，故而控制输入u也是 有界的。所以，所有的信号都是有界的，定理3.6的结论A证毕。

现在考虑定理3.6的结论B，选择Lyapunov函数V_a如下

V_a = 1

2θ₁p²+1 2

θ˜^TΓ⁻¹θ˜ (3-78)

当 ˜d = 0时，由(3-62)，(3-65)，(3-69)，(3-70)和(3-72)可知 V˙_a = p

[−k2p− ˜θ^Tφ + u_s2 ]

+ ˜θ^TΓ⁻¹P rojθˆ(Γτ )

= −k2p²+ u_s2p + ˜θ^T (Γ⁻¹P rojθˆ(Γτ )− τ)

≤ −k2p²

(3-79)

因此p∈ L2∩ L_∞。通过Barbalat引理，当t→ ∞时，p → 0和e → 0。 

3.3.4 期望补偿的自适应鲁棒控制(DCARC)

为了减少测量噪声对控制性能的影响，我们也同样设计了针对非周期定位力的期望补 偿自适应鲁棒控制器。

利用中值定理，我们可以得到

S_f(x₂)− Sf( ˙y_d) = g_f(x₂, t) ˙e (3-80) Sr(x1)− Sr(yd) = gr(x1, t)e (3-81) 其中g_f(x₂, t)和g_r(x₁, t)为确定的非线性函数。

期望补偿的自适应鲁棒控制器可设计成

u = u_a+ u_s, u_a =−φ^T_dθˆ (3-82) u_s = u_s1+ u_s2, u_s1=−ks1p (3-83)

˙ˆθ = Projθˆ(Γφ_dp) (3-84)

浙江大学博士学位论文 39

其中φ^T_d = [−¨yd,− ˙yd,−Sf( ˙yd),−Sr^T(yd), 1]使用理想轨迹信号替代了实际测量信号。而ks1为 一足够大的非线性增益，以使下面的矩阵正定



 −k₂+ k_s1− θ1k₁+ θ₂+ θ₃g_f −¹₂(k₁θ₂+ k₁θ₃g_f − θ^T_4bg_r)

−¹₂(k₁θ₂+ k₁θ₃g_f − θ^T_4bg_r) ¹₂θ₁k₁³



 (3-85)

u_s2需要满足以下两个条件

p{us2− φ^Tdθ + ˜˜ d} ≤ ε

pu_s2 ≤ 0 (3-86)

其中ε为一任意小的常数。例如满足上面条件的u_s2可以取成

u_s2 =−ks2p, k_s2 = 1

4εh² (3-87)

而h是任何满足下面不等式的光滑函数

h≥ ∥θM∥∥φd∥ + δd (3-88) 其中θM = θmax− θmin。

　　 定理 3.7： 如 果 我 们 采 用 投 影 式 自 适 应 律(3-84)， 期 望 补 偿 的 自 适 应 鲁 棒 控 制 器(3-82)可以保证

A. 所有信号都是有界的。而且，如果我们定义一个正定函数V_s = ¹₂θ₁p² +¹₂θ₁k²₁e²，那 么它有界于

Vs ≤ exp(−λt)Vs(0) + ε

λ[1− exp(−λt)], (3-89) 其中λ = min{2k2/θ_1max, k₁}。

B. 如果在有限时间t₀后，系统只存在参数不确定性，即 ˜d = 0，∀t ≥ t0。那么除了结 果A，我们还能实现最终的零跟踪误差，即在t→ ∞时，e → 0 和p → 0。



证明： 我们对Lyapunov函数Vs进行求导 V˙_s = p

{−ks1p + u_s2− φ^Tdθ + (θ˜ ₁k₁− θ2) ˙e + θ₃[S_f( ˙y_d)− Sf(x₂)]

+θ^T_4b[S_r(x_d)− Sr(x₁)] + ˜d }

+ θ₁k₁²e ˙e

= p {

u_s2− φ^Tdθ + ˜˜ d }

+ (−ks1+ θ₁k₁− θ2− θ3g_f)p² +(k₁θ₂+ k₁θ₃g_f − θ^T_4bg_r)ep− θ1k³₁e²

(3-90)

40 第三章 基于有效非线性补偿的直线电机自适应鲁棒控制研究 注意到矩阵的正定条件(3-85)，可知

V˙_s ≤ p{

u_s2− φ^Tdθ + ˜˜ d

}− k2p² −1

2θ₁k₁³e² (3-91) 由于p{us2− φ^T_dθ + ˜˜ d} ≤ ε 以及λ = min{2k2/θ_1max, k₁}

V˙_s≤ −λVs+ ε (3-92)

故通过比较引理，我们可以直接得到不等式(3-89)。因此，p是有界的。通过稳定的传递 函数Gp(s)，我们知道e和 ˙e也是有界的。由于理想轨迹yd是有界并且二次可导，x1 = e + yd

和x₂ = ˙e + ˙y_d也是有界的。由于采用投影式的自适应律，ˆθ是有界的，故而控制输入u也是 有界的。所以，所有的信号都是有界的，定理3.7的结论A证毕。

现在考虑定理3.7的结论B，当 ˜d = 0时，选择Lyapunov函数V_a如下

Va= Vs+1 2

θ˜^TΓ⁻¹θ˜ (3-93)

注意到(3-91)，可知

V˙_a ≤ −k2p² −¹₂θ₁k³₁e²+ pu_s2− ˜θ^Tφ_dp + ˜θ^TΓ⁻¹P roj_θˆ(Γφ_dp)

≤ −k2p² −¹₂θ1k³₁e² =−W (3-94) 因此W ∈ L1，Va ∈ L∞。由于所以信号都有界，很容易验证W 是有界的且一致连续的。应 用Barbalat引理，当t→ ∞时W → 0，因此可得p → 0和e → 0。 

在文檔中 博士学位论文 (頁 60-64)