本章中主要以電腦軟體 MathPS, GSP 探討並製作若干動態化的數學模式，呈現 無窮級數、擺線軌跡下所圍面積的極限，將靜態的圖形化為動態的方式，並提供數則 動態圖說證明 (Dynamic proofs without words)，由一個步驟接一個步驟的呈現在學習 者的眼前，以視覺的方式了解數學，透過具體的影像直覺留下印象，加深數學概念的 認識。另外，以 Excel 的計算和繪圖功能製作若干模擬動態，讓學生或教師透過滑鼠 的操作，觀察直線斜率和截距、及圓錐曲線方程式在係數上的變化，了解在直角坐標 系中圖形平移、伸縮變換下的變化情形。
本章透過 MathPS, GSP 軟體動態呈現若干問題，共分為三節，分別說明如下：
3-1 幾則無窮概念的動態幾何意義之呈現---以 MathPS, GSP 為設計平台
“數學式” 與 “幾何圖形” 是數學研究中兩類不同的基本對象，代數是圖形的抽象 表現，而圖形又是代數的直觀呈現。若是在數學問題的教學研究中，將數形的關 係結合起來，使代數問題的抽象觀點，透過幾何化、直觀化以及具體化來呈現動 態化的數學模式，從而使學生瞭解一些代數問題時避免複雜的抽象與推理，讓數 學程度不佳的學生，能夠直觀的觀察體認及引導思路，讓這種作用當作是抽象而 嚴格證明的「導盲犬」。
3-2 幾則數學定理、公式的動態圖說證明之呈現---以 MathPS 為設計平台
以美國數學協會 MAA 期刊「Mathematics Magazine」當中「Proof without words」
專欄內的文章為腳本，並參考網路學習專班的作品集「萬腦奔騰數學網」第一 ~ 三輯中關於視覺化動態呈現之研究探討，再結合本身第一線教學的實務經驗，利 用普及的電腦軟體 PowerPoint 再配合上 MathPS 的增益功能，製作出動態的圖 說證明 (Dynamic proofs without words), 給予擬人化般的生命力，以自然、直觀、
易懂、易學的方式，把教學效果不彰的部分，藉由視覺化圖形的呈現來輔助證明 的直觀性。
3-3 幾則平移及伸縮概念的動態呈現 ---以 Excel 為設計平台
運用普及的電腦軟體 Excel, 並參考我們網路學習專班的作品集「萬腦奔騰數學 網第一輯」第二、六章中關於介紹 Excel 強大的計算和繪圖功能之研究探討，再 結合本身第一線教學的實務經驗，來製作標準的圓錐曲線圖形，讓學生或教師透 過滑鼠的操作，觀察方程式在係數上的變化，或改變係數觀察圖形的變化，體會 這些互相對照呼應表徵內部的變換或不同表徵之間的轉譯，進一步能了解在直角 坐標系中圖形平移、伸縮變換下的變化情形。
3-1 幾則無窮概念的動態幾何意義之呈現
---以 MathPS, GSP 為設計平台
“數學式”與“幾何圖形”是數學研究中兩類不同的基本對象，代數 是圖形的抽象表現，而圖形又是代數的直觀呈現。若是在數學問題的 教學研究中，將“數”和“形”的關係結合起來，使代數問題的抽象觀點，
透過幾何化、直觀化以及具體化來呈現動態化的數學模式，從而使學 生瞭解一些代數問題時避免複雜的抽象與推理，讓數學程度不佳的學 生，能夠直觀的觀察體認及引導思路，讓這種作用當作是抽象而嚴格 證明的「導盲犬」。
3-1-1 前言
“圖形”是直觀且顯而易見的，透過圖形的外表，揭示其內在的代數特徵，這對發 展學生思維的引導有著深刻重要的意義，在解決數學問題時，若能把兩者結合起來，
則對問題的解決可以達到事半功倍的作用。
例如在推導無窮等比數列當 r <1時各項和的公式，學生不希望從教師那裡獲得 莫名其妙的現成結論：當 r <1時，lim n 0
n r
→∞ = ，身為教育者的我們更不可以一句話“證 明較煩，上課省略”就此帶過。那教學中如何處理呢？我們認為可以採用觀察數列變 化趨勢，猜測極限的做法，並將“數”和“形”的關係結合起來，使抽象觀點透過幾何化、
直觀化以及具體化的方式呈現，藉此加深學生的學習印象，達到事半功倍的效果。
不過，我們在應用數形結合方法時，應該注意三項原則：等價性原則、雙向性原 則、簡單化原則，以避免陷入事倍功半的窘境。
1. 等價性原則：
是指代數性質與幾何性質的轉換應該是等價的，否則解題時會出現漏洞。有時候 由於圖形的侷限性，不能完整地表現數的一般性，這時候的圖形性質只是一種直 觀的、顯淺的說明。但這個作用確也是抽象而嚴格證明的「導盲犬」之一。
2. 雙向性原則：
要切實的灌輸學生，我們在進行幾何直觀的分析與代數抽象的探索時，兩方面應 該相輔相成，勿以為數形結合只是對代數問題進行幾何分析，這是一種錯誤的單
方面的誤解。數學式與幾何圖形相互結合是發揮雙重效果，而不是簡單地用幾何
A1
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我們再進一步以 Proofs Without Words Exercises in Visual Thinking (Roger B. Nelsen,
圖3-1-3-1 一則無窮交錯級數之和的幾何意義 圖3-1-3-2 一則無窮交錯級數之和的幾何意義_觀察(1)
圖3-1-3-3 一則無窮交錯級數之和 的幾何意義_觀察(2)
圖3-1-3-4 一則無窮交錯級數之和 的幾何意義_觀察(3)
圖3-1-3-4 一則無窮交錯級數之和 的幾何意義_猜想
圖3-1-3-5 一則無窮交錯級數之和 的幾何意義_與三角形重心的連結
3-1-4 擺線軌跡下所圍的面積
『畫家畫奔馳中的馬車，總是把車輪輪軸上方的輪輻畫成模糊一片，而分開可見 的輪輻要在輪軸下方才可能出現。這是什麼道理呢？輪輻是等間隔的，這種視覺上的 印象表示：車輪轉動時上方輪緣的水平方向前進速度要比下方的來得快。』(擺線--幾 何中的海倫，曹亮吉，http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_15_09_1/index.html ), 這樣富洞察力的描述，讓我們驚喜於一幅令人賞心悅目的畫作，竟然也暗藏著數學知 識，真是容易教人勾起學習的動機與思考的想像呀！
圖3-1-4-1 腳踏車車輪軌跡中的擺線(1) 圖3-1-4-2 腳踏車車輪軌跡中的擺線(2)
為了使得學生更能激盪出強烈的數學學習動機，並且可以更具體地呈現出引人入 勝的模擬動態來加以解釋其中的關係，我們試圖先以動態幾何軟體 GSP 設計模擬出 比較真實感的動態畫面，如圖 3-1-4-1 與圖 3-1-4-2 所示，讓學生有機會一窺其奧妙 的面紗。
在數學上，我們稱：「讓一個圓沿直線從A 點滾一圈後到 B 點，則原先圓上緊貼 A 處的那點的軌跡就會畫出一道曲線，是為擺線的曲線」。這是十七世紀開始令數學 家們最感興趣、談論最多的曲線之一。1599 年，Galileo (1564～1642 年) 曾經試圖用 天秤來量擺線與直線 AB 之間所圍成弓形的面積。他發現一個擺線弓形和三個圓盤在 天秤上大約能夠平衡，並認為兩者之比應該是無理數，所以猜測弓形面積大約等於圓 盤的 π 倍大。直到 1634 年才由法國數學家 Roberval (1602～1675 年) 用理論性的
「卡氏原理」真正算出了擺線弓形的正確面積。
到了1638 年當時微積分尚未成形，Descartes (596～1650 年) 用傳統的平面幾何 方法把圓想成是邊數無窮的多邊形，得出了擺線的切線作法。另一位法國數學家 Pascal (1623～1662 年) 在 1658 年全心投入研究擺線的性質。在此同時，有一位以 設計倫敦聖保羅教堂出名的英國建築師 C. Wren (1632～1723 年) 也完成了計算擺線 長的工作，發現從A 到 B 的擺線弧長等於圓直徑的 4 倍長。
隨著微積分的發展至今，這些性質的證明也就變得輕而易舉了。在現今的微積分 課程裡，它成了標準的例題、習題或考題，而有著「學生曲線」之雅稱。雖然用擺線 的參數方程式以微積分的方法，很快可以求得擺線弓形面積及擺線長，例如：
2π-t P C
2απ C
圖3-1-4-4 擺線軌跡下所圍的面積 之動態圖示步驟(1)
圖3-1-4-5 擺線軌跡下所圍的面積 之動態圖示步驟(2)
建立一直角坐標系，並設半徑為α, 取 O(0,0) , B(2απ,0), A( t,0)α , ∴P 點坐標為( tα + αsin(2π − α − αt), cos(2π −t)),
即P ( tα − αsin t,α − αcos t) 則擺線與底線所圍成的面積
= 2 2
0πydx = 0π(α − αcos t)d( tα − αsin t)
∫ ∫
= 2
0π( cos t)( cos t)dt
α
∫
α − α α − α =α2∫
02π(1 cos t) dt− 2 = 2 20
3 1
( 2cos t cos 2t)dt
2 2
α
∫
π − +=α × π = πα =3×圓面積 ■ 2 3 3 2
不過，對大多數教師而言，微積分的教學，一直有著作圖複雜，解釋不易的問題；
對大部分學生而言，也存在著對微積分『抽象』的感受，因此增加了教與學兩方面不 少的困難度。為了改善這樣的困擾，使得學生能夠藉著視覺化、動態化的模式呈現，
以視覺的方式了解數學，透過具體的影像直覺留下印象，加深數學概念的認識，本文 最後參照 Mathematics Magazine 期刊 (Philip R Mallinson, The Area under a polygonal arch, Vol.71, Iss. 2; pg. 141, 1 pgs, Apr 1998.) 為背景腳本，以 MathPS 來設計擺線軌 跡下所圍面積極限的動態視覺，如圖 3-1-4-4 ~ 圖 3-1-4-11 所示，展現 Cycloid 的 另一番面貌，提供教師教學及學生學習的用途。
圖3-1-4-10 擺線軌跡下所圍的面積 之動態圖示步驟(7) 圖3-1-4-6 擺線軌跡下所圍的面積
之動態圖示步驟(3)
圖3-1-4-7 擺線軌跡下所圍的面積 之動態圖示步驟(4)
圖3-1-4-8 擺線軌跡下所圍的面積 之動態圖示步驟(5)
圖3-1-4-9 擺線軌跡下所圍的面積 之動態圖示步驟(6)
圖3-1-4-11 擺線軌跡下所圍的面積 之動態圖示步驟(8)
3-2 幾則數學定理、公式的動態圖說證明之呈現
---以 MathPS 為設計平台 本文中首先以美國數學協會 MAA 期刊「Mathematics Magazine」
當中「Proof without words」專欄內的文章為腳本，並參考網路學習專 班的作品集「萬腦奔騰數學網」第一 ~ 三輯中關於視覺化動態呈現 之研究探討，再結合本身第一線教學的實務經驗，利用普及的電腦軟 體 PowerPoint 再配合上 MathPS 的增益功能，製作出動態的圖說證 明 (Dynamic proofs without words), 給予擬人化般的生命力，以自然、
直觀、易懂、易學的方式，把教學效果不彰的部分，藉由視覺化圖形 的呈現來輔助證明的直觀性。
3-2-1 前言
高中學生學習數學的困難來源之一，就是難以從直觀的角度來理解抽象的數學公 式 (陳明璋，2002)。固然用圖說方式來證明數學公式常因無法一次考慮所有的條件而 失之於不夠嚴謹，但是這已足以讓學生瞭解到數學的另一種相通之美，「數學公式會 告訴你發生了什麼而沒說為什麼」(洪萬生，1999 )，這樣的直覺以及想像給了學習者 高度的美學滿足。「數學美感的獲得，常常是數學家以經年累月的苦思、單調乏味的
高中學生學習數學的困難來源之一，就是難以從直觀的角度來理解抽象的數學公 式 (陳明璋，2002)。固然用圖說方式來證明數學公式常因無法一次考慮所有的條件而 失之於不夠嚴謹，但是這已足以讓學生瞭解到數學的另一種相通之美，「數學公式會 告訴你發生了什麼而沒說為什麼」(洪萬生，1999 )，這樣的直覺以及想像給了學習者 高度的美學滿足。「數學美感的獲得，常常是數學家以經年累月的苦思、單調乏味的