本章主要是探究若干代數式的幾何意義之學習，以及討論從鋪磁磚之 regular tessellation 出發到 semiregular tessellation 成「勻稱連續圖形」的公式。另一方面以 立體動態幾何軟體 Cabri-3D 來作實例分析與設計操作的教學素材之開發，對「四面 體與平面的截痕形狀」的討論探究，延伸動態探究「正多面體的稜邊與球面之交點個 數」，並將尤拉多面體定理的靜態文字與圖片的證明，以動態立體幾何的方式模擬呈 現書中所載之敘述，期望能夠幫助學生在學習立體觀念時不再瞎子摸象，培養清楚的 空間概念。最後我們針對思源科技教育基金會所主辦的「2007 思源科學創意大賽--數 學專題競賽」之題目 ---「鋪路造橋問題」，藉由腦力激盪的探究過程，從其中激發學 生提出解決問題的觀察、猜想、邏輯推理與檢驗論證，並且學習瞭解到具體操作數學 軟體的方法，進而創新和突破找出解決問題的方法與步驟。
本章共分為四節，分別說明如下：
4-1 代數式的幾何意義之思維
在數學解題中，對數量關係做出“幾何”的思索，另闢新路，尋找另類思維，往 往可以化難為易。我們希望學生在面對一個數學問題的時候，要勇於把解決問題 的能力和創新的思維的想法說出來，培養具備靈活的思維，而將代數與幾何圖形 相結合是一種重要的數學思路，尤其在解三角問題時，更可以讓複雜的問題簡單 化，有時後甚至還會得到“柳暗花明又一村”的效果。
4-2 鋪磁磚之「半正則嵌鑲」成「勻稱連續圖形」的公式
首先討論一些平面圖形的基本結構，介紹「正則嵌鑲」 (regular tessellation) 的
「勻稱連續圖形」，了解這些圖形的構成原理，再證明「半正則嵌鑲」成「勻稱 連續圖形」的公式。並介紹交通大學陳明璋教授利用 Microsoft PowerPoint 系統 平台，所設計的數學簡報系統 (MathPS) 以其簡易的電腦操作方式來處理連續圖 形。盼能在教學過程中，能夠先以審美的態度去 “感染” 學生的美感，引領學生 的好奇心，來探討這些美的信息背後所隱含的數學原因。
4-3 高中數學問題的立體動態之操作探究 --- 以 Cabri-3D 為工具
牽涉到三維空間的立體概念及思維，對高中學生而言往往像是瞎子摸象，只能知 其一而無法窺得全貌，這當中最重要的原因之一就是因為缺少了直觀感知與操作 認知。因此，我們運用 Cabri-3D 立體幾何軟體所提供的操作構建功能，製作了 幾個基本的操作模擬，讓整個立體空間探究學習的過程有了很好的視覺呈現效 果，以幫助學習認知較慢的學生透過對實際模型的操作和觀察，來初步認識空間
幾何體的結構特徵，並能領略到數學的幾何之美以及在數學探究中的思維活動。
4-4 三角形中的極值點問題之探究 --- 以鋪路造橋問題為例，以 GSP 為工具
當今的中學數學教育中，問題解決 (Problem Solving) 已成為一個學習的焦點。本 文是針對思源科技教育基金會所主辦的「2007 思源科學創意大賽--數學專題競賽」
之題目---「鋪路造橋問題」，(http://www.seed.org.tw/mainpage.aspx# )，由高一數 理實驗班的五位學生，參與腦力激盪的探究過程，從其中激發學生提出解決問題 的觀察、猜想、邏輯推理與檢驗論證，並且學習瞭解到具體操作數學軟體的方法，
進而找出解決問題的方法與步驟，又能有所創新和突破，提昇科技競爭能力。由 於競賽問題貼近生活情境，沒有標準答案，讓同學可以於訓練解決的過程中建立 獨立的思維模式，同時領略數學平易近人的一面，開拓心靈的深度及廣度，並從 中體會團隊合作精神。
4-1 代數式的幾何意義之思維
在數學解題中，對數量關係做出“幾何”的思索，另闢新路，尋 找另類思維，往往可以化難為易。我們希望學生在面對一個數學問題 的時候，要勇於把解決問題的能力和創新的思維的想法說出來，培養 具備靈活的思維，而將代數與幾何圖形相結合是一種重要的數學思 路，尤其在解三角問題時，更可以讓複雜的問題簡單化，有時後甚至 還會得到“柳暗花明又一村”的效果。
4-1-1 前言
美籍匈牙利數學家和數學教育家喬治·波利亞 (Geoge Polya,1887-1985) 從思維科 學、數學方法論和數學哲學的角度，對數學自身的特點和數學教育的規律與原則進行 了深入的研究，形成了自己獨特的數學教育思想，對現代數學教育產生了極其深遠而 持久的影響。尤其是他對數學解題的研究，堪稱解題教學的行動綱領，波利亞認為，
解題過程就是一個運用探索法誘發學生靈感的過程。
我們希望學生在面對一個數學問題的時候，要勇於把解決問題的能力和創新的思 維的想法說出來，若培養具備靈活的思維，那麼在解決問題時就能從不同角度與方 向，用多種方法來思考問題。在數學解題中，對數量關係做出“幾何”的思路，往往可 以化難為易，數學解題能力的一個重要訓練就是學生能進行一題多解或多題一解。
數學教學應當向學生闡明一件事情，就是數學與所有其他學科一樣，是建立在直 觀的瞭解及公認為便利的習慣上，而這種瞭解或習慣並不是永恆不移的真理。數學是 人類活動的事蹟，數學史中記載著各種的發明、發現、猜測，有好的也有壞的，數學 發展的前線上也滿佈著有趣、未解決的問題。
問「為什麼？」這樣的問題很重要，而在數學中只給出一個明細的證明步驟，不 一定就算是解答了問題。假設我們剛證完一個有趣而且驚人的結果，再問說：「為什 麼？真是這樣的嗎？」，我們認為對於很多情況而言，這樣問是有意義的，而一個正 確的答案並不是重複一次演譯的步驟就夠了。我們期望的是：足以啟示整個事態的洞 察力，即能夠深入問題的核心，且讓學生看出為什麼整個結果會是那樣的洞察方法；
又因為可以從很多不同的觀點看同一問題，這樣的洞察法很少是獨一的。
在這樣的觀點下，本文提供了幾則代數式的幾何意義之探究學習。分別在第 4-1-2
節從「 2 3 1
圖4-1-2-1 一道國際數學奧林匹亞競賽試題的幾何意義
個方法、這個公式，代入就好了」，要敢於把自己的想法說出來，以培養學生解決問 題的能力和創新的思維，而數學解題能力的一個重要方面是學生能進行一題多解或多 題一解。事實上，若具備靈活的思維，那麼在解決問題時就能從不同角度與方向，用 多種方法來思考問題。在數學解題中，對數量關係做出“幾何”的思路，往往可以化 難為易。因此，我們有了下列的思維想法：(如圖 4-1-2-1 所示)
(1). 令 25.71 7
θ =π ° , 設∠POA=θ , OA=1. 作AB=OA, 則∠BAQ=2θ.
(2). 作BC=AB, 則∠PBC=3θ, 再作CD=BC, 則∠CDB=3θ.
(3). ∵ 4 3
3 3
7 7 OCD π θ θ π π π θ
∠ = − − = − = = ∴OC=OD . ∴(OB+BD)＝(OA+AC)
即2 cosθ +2 cos 3θ = +1 2 cos 2θ 得cosθ −cos 2θ+cos 3θ =1
故 2 3 1
cos cos cos
7 7 7 2
π π π
− + = ■
聯想是以觀察為基礎，對研究的物件或問題的特點，聯繫已有的知識和經驗進行 想像。學生在回答問題時，最怕的是回答得“蠢”，引起同學嘲笑，這也是我們的學 生不願意積極思索來回答問題的重要因素之一。因此，站在教學現場第一線的我們，
更應當注意回答學生的感受，不要吝於對學生多予正面的讚揚與獎勵，有利於鼓勵學 生培養發散性的思維能力，啟發學生從不同角度和方法來解決問題。
4-1-3 兩則三角恆等式的意義之推廣
三角函數中有許多的恆等式，例如：在∆ABC中 sin 2A+sin 2B+sin 2C=4sin sin sinA B C sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
A B C
A+ B+ C=
tanA+tanB+tanC=tan tan tanA B C cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
2sin cos 2sin cos
2sin cos cos
4sin sin sin 4sin sin sin 4sin sin sin
A B C A B A B A B
O C
sin sin sin sin
2 2 2 2
1 1
sin sin 2 sin 2 sin 2
2 2
sin sin 2 sin 2 sin 2
ABC BOC AOC AOB
S S S S
E
sin 2cos 2cos sin 90 2cos cos cos
2 2 2 2 2 2 2 2
DEF
DEF DEF DEF DEF
A A B
sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
OAB OBC OCA ABC
S∆ +S∆ +S∆ =S∆
E A 章 “Finbonacci numbers and the arctangent function”, 其中對反正切式有極佳的圖形詮 釋 ，如圖 4-1-4-1 ~ 圖 4-1-4-3 所示。
β α
4-2 鋪磁磚之「半正則嵌鑲」成「勻稱連續圖形」的公式
我們首先討論一些平面圖形的基本結構，介紹「正則嵌鑲」
(regular tessellation) 的「勻稱連續圖形」，了解這些圖形的構成原理，
再證明「半正則嵌鑲」成「勻稱連續圖形」的公式。並介紹交通大學 陳明璋教授利用 Microsoft PowerPoint 系統平台，所設計的數學簡報 系統 (MathPS) 以其簡易的電腦操作方式來處理連續圖形。盼能在教 學過程中，能夠先以審美的態度去 “感染” 學生的美感，引領學生的 好奇心，來探討這些美的信息背後所隱含的數學原因。
4-2-1 前言
在日常生活中，我們可以看到各式各樣的物體以及平面圖形，有些物體的形狀很 有規則，有些物體的形狀較沒有規則，但是看起來仍然賞心悅目，美得令人心曠神怡。
法國哲學家、數學家笛卡耳說：「美是一種恰到好處的協調與適中」，這些美麗的形體，
有些是天然形成的，而更多的是人類心靈創作的結晶。
我們經常用到平面幾何圖案的基本圖形：方形、圓形、三角形、菱形、星形、正 三角形、正方形、正五邊形、…、正 n 邊形、平行四邊形、梯形、橢圓形、…，我們 暫且稱為「單位圖形」。「單位圖形」是在相同或相似的形圖組合中最基本的條件。根 據文獻的分析，人類對圖形美感的共通性通常是以具有連續性、具有對稱或旋轉性、
及成比例性等三個基本原則為主要的因素，我們將從視覺直觀上、數學理論上 (對高 中生) 、及電腦應用上來淺析連續圖形的幾何美感、數學關係、和應用技術。
在這樣的觀點下，我們分別在第 4-2-2 節從勻稱連續圖案的 regular tessellation 出發到 semiregular tessellation, 在第 4-2-3 節說明利用平移、鏡射、旋轉原理來嵌鑲 成連續圖形；以及在第 4-2-4 節介紹數學簡報的概念架構系統 MathPS.
4-2-2 勻稱連續圖形
我們常常可以在地磚、包裝紙、壁紙、領帶、窗帘布、衣服、…、數學函數圖形 (如正餘弦函數)、及大自然的現象中，看到各式各樣的某些圖案。這些圖案都是把一
我們常常可以在地磚、包裝紙、壁紙、領帶、窗帘布、衣服、…、數學函數圖形 (如正餘弦函數)、及大自然的現象中，看到各式各樣的某些圖案。這些圖案都是把一