套裝軟體支援下之高中數學教學的動態呈現與探究

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(1)國立交通大學理學院網路學習學程碩士論文. 套裝軟體支援下之高中數學教學的動態呈現與探究 Mathematical Exploring and its Dynamic Presentation Supported by Various Softwares. 研究生：孟主安指導教授：黃大原. 中華民國. 教授. 九十六. 年六月.

(2) 套裝軟體支援下之高中數學教學的動態呈現與探究 Mathematical Exploring and its Dynamic Presentation Supported by Various Softwares. 研究生：孟主安. Student：Chu-An Meng. 指導教授：黃大原. Advisor：Tayuan Huang. 國立交通大學理學院網路學習學程碩士論文. A Thesis Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in. Degree Program of E-Learning June 2006 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十六年六月.

(3) 套裝軟體支援下之高中數學教學的動態呈現與探究學生：孟主安. 指導教授：黃大原博士國立交通大學理學院網路學習碩士在職專班. 摘. 要. 資訊科技的蓬勃發展，讓我們的教學模式更加地多元化。如何運用資訊科技融入數學教學之中，是教育工作者目前主要的課題之一，亞洲方面尤其以中國大陸和新加坡最為積極。本研究主要針對高中數學教學的動態呈現與探究學習兩方面，作資訊科技融入教學設計的探討。我們在第三章裡，選擇適合網路學習的單元，並依據所使用軟體的特性，以資訊科技的優勢，設計以學生為核心的教學模組和方法，取代傳統的教學內容。我們使用 MathPS 設計了視覺化動態圖說證明 (Dynamic Proofs Without Words) 的例說，讓學生在正規嚴謹的數學證明之外，亦能從其他不同的觀點來體會數學之美。此外，我們並利用 Excel 軟體設計了「改變參數看圖形變化」單元，希望學生透過實驗及觀察，對於參數與圖形的關係能有進一步的理解。圖形與代數兩者相輔相成的結合，對學生在思考數學時，會有更佳的學習效果。在第四章中，我們先針對若干問題培養學生多樣化的思維。接著將透過 Cabri-3D 軟體以動態立體幾何的方式，模擬呈現立體的實物圖形，幫助學生建立清楚的空間觀念。最後，我們在動態平面幾何軟體 GSP 的環境下，藉由觀察探索與解決問題的過程，提供學生進一步體會數學探究活動中的創造性研究。【關鍵字】數學簡報系統、圖說證明、數學探究、正多面體的截痕. i.

(4) Mathematical Exploring and its Dynamic Presentation Supported by Various Softwares Student: Chu-An Meng. Advisor: Dr. Tayuan Huang Degree Program of E-Learning. National Chiao Tung University. Abstract The innovation of information technology nowadays accelerates the variety of our teaching styles. It has became current major concerns for how instructors integrating the information technology with subject contents for mathematical teaching and learning in class worldwide for the past decades, especially in China and Singapore. The focus of this thesis is to study how info-technology contributes to mathematical exploring and its dynamic presentations in mathematics teaching in high school. In Chapter 3, some units that manifest internet-learning are chosen to develop student-centered teaching modules and methods. The advantages of old teaching style are replaced by the advantages of info-technology depending on the software used. Therefore, some examples of “Dynamic Proofs Without Words” show us dynamical ways of mathematical proofs within the environment of MathPS. In addition to strict mathematical proofs, it enables learners to appreciate the insights of mathematics from various view points. Moreover, the subjects “The change of graphs by changing the parameters” is developed by Excel. We hope that students will further understand the relationship between parameters and graphs by observing through various experiments. It contributes to better learning kind on thinking mathematics question by the combination of the graph and algebra. Students’ versatile ways of thinking for various questions are given in Chapter 4. We also show how to build clear ideas about the presentations of three dimension through dynamic solid geometry using the dynamic geometry software Cabri-3D. Finally, we will show how to be benefited from the process of mathematical exploring together with problem solving under the dynamic geometry software GSP, so that students can successfully experience themselves the creative thinking of mathematical exploring. Keywords: MathPS, dynamic proofs without words, mathematical exploring, truncated polyhedra solid. ii.

(5) 誌. 謝. 論文能夠順利的完成，要感謝的貴人及事物實在太多了。首先要感謝専班在網路學習組所用心安排的課程，它掌握了資訊與網路科技在數學教育方面應用的國際脈動，並基於「製作 − 分享 − 批評 − 參與 − 提升」之良性循環模式的理念，使得我們匯萃在這個豐富多元且充實愉快的學習環境，能夠共同呼應資訊科技融入教學機制、學科教師將資訊科技融入課堂學習的願景，這些都要感謝専班所有師長們前瞻性的推動與付出。除此之外，非常感謝我的指導教授黃大原老師，他嚴謹的淵博學問與優雅的教學風格，以及慎密的思維與認真的態度，還有對於學生的關懷心與同理心，不僅是值得我學習「經師」的目標，更是值得我效法「人師」的榜樣。特別是當論文出現空窗之際，或在生活陷入愁雲之季，老師總是會給予久旱逢甘霖般地提綱挈領，並且不時撥冗稍來關心的鼓勵和支持，在此致上最誠摯的謝忱，老師：謝謝您。再者，要非常感謝陳明璋老師引領我們在資訊領域的指導與成長，他靈活熟悉又創新的軟體技術，特別是他所研發的「數學簡報系統」(MathPS)，不僅讓我學到許多資訊上的實用教學技術，更可以真正做到資訊融入教學的理念。還要感謝専班主任莊祚敏教授，以他豐富的學問與見聞，在論文研討課堂上循循善誘的指導，使得我在撰寫論文時更能得心應手。感謝袁媛教授帶領我進入數學教育的領域，指導我們站在學生學習的角度思考教學的方向與素材設計的內容。感謝清華大學全任重教授引領我開啟動態立體幾何軟體的門窗，而能接觸新的幾何教學世界。也要感謝專班所有教授認真且精彩的課程內容，讓我入寶山滿載而歸。更要感謝國立大里高中黃義虎校長的支持，讓我得以在班級經營及教學工作的忙碌之餘，還能順利的完成論文。也要感謝同事們在進修期間給予我的鼓勵支持以及指導指教。也要特別感謝專班的同學－政樺、吉彬、心怡、佳煌，在研究討論切磋中讓我獲得許多寶貴意見和加油鼓勵，以及專班所有同學一起陪我走過這段忙碌卻充實的日子，這些點滴真令人難忘。最後要由衷地感謝我的家人。尤其是我的愛妻—燕錚的體諒與包容，讓我能無後顧之憂而専心完成課業，還有我那疏於照顧的小寶貝—紘霆，因為你的乖巧懂事，讓爸爸能順利完成學業。還有我親愛的父母親、岳父母以及三位姐姐們，您們綿綿無盡的親情支柱，讓我有勇氣與恆心堅持下去，渡過許多學習的低潮而能順利的完成論文，您們都是支持我完成進修的幕後功臣。雖然在這段期間連續遭逢生命中頓時降臨的晴天霹靂，但是雨過天晴的此時，願以此論文獻給所有關心、支持我的師長及親友，和你們一同分享這個喜悅。. iii.

(6) 目. 錄. 中文摘要 ....................................................................................................................................i 英文摘要 ..................................................................................................................................ii 誌謝 .........................................................................................................................................iii 目錄 ..........................................................................................................................................iv 表目錄 .......................................................................................................................................v 圖目錄 ......................................................................................................................................vi 第一章緒論 .............................................................................................................................1 1-1 1-2 1-3 1-4. 研究背景 ...................................................................................................................1 研究動機及目的 .......................................................................................................2 研究方法及限制.........................................................................................................2 論文結構 ...................................................................................................................3. 第二章文獻探討 .....................................................................................................................5 2-1 2-2 2-3 2-4. 資訊科技與數學課程的整合.....................................................................................5 亞洲四國資訊科技融入高中數學教學之變革.........................................................6 數學動態模擬的探究學習理論.................................................................................8 套裝數學軟體的簡介.................................................................................................9. 第三章在電腦軟體環境下的高中數學之動態示例.............................................................11 3-1 幾則無窮概念的動態幾何意義之呈現---以 MathPS, GSP 為設計平台.............13 3-1-1 前言..................................................................................................................13 3-1-2 惠更斯級數......................................................................................................14 3-1-3 一則交錯級數..................................................................................................17 3-1-4 擺線軌跡下所圍的面積..................................................................................19 3-2 幾則數學定理、公式的動態圖說證明之呈現---以 MathPS 為設計平台...........23 3-2-1 前言..................................................................................................................23 3-2-2 正弦三倍角公式..............................................................................................24 3-2-3 正餘弦疊合的範圍..........................................................................................27 3-2-4 維維安尼定理..................................................................................................29 3-2-5 算幾不等式......................................................................................................31 3-3 幾則平移及伸縮概念的動態呈現 ---以 Excel 為設計平台................................37 3-3-1 前言..................................................................................................................37. iv.

(7) 3-3-2 3-3-3 3-3-4 3-3-5. 斜率、截距與直線方程式關係的互動變化....................................................38 拋物線方程式 (二次函數圖形) 的互動變...................................................40 橢圓方程式的互動化......................................................................................40 雙曲線方程式的互動變化..............................................................................42. 第四章在電腦軟體環境下的高中數學之探究與學習.........................................................45 4-1 代數式幾何意義之探究與學習...............................................................................47 4-1-1 前言................................................................................................................47 4-1-2 一道國際數學奧林匹亞競賽試題的再出發................................................48 4-1-3 兩則三角恆等式的意義之推廣…................................................................50 4-1-4 反正切三角函數式與方格紙的關係之初探................................................53 4-2 鋪磁磚之「半正則嵌鑲」成「勻稱連續圖形」的公式..........................................55 4-2-1 前言................................................................................................................55 4-2-2 勻稱連續圖形................................................................................................55 4-2-3 利用平移、鏡射、旋轉嵌鑲連續圖形............................................................60 4-2-4 電腦科技處理連續圖形................................................................................61 4-3 高中數學問題的立體動態之操作探究---以 Cabri-3D 為工具............................63 4-3-1 前言................................................................................................................63 4-3-2 四面體與平面的截痕形狀............................................................................64 4-3-3 正多面體的稜邊與球面之交點個數............................................................69 4-3-4 歐拉多面體定理的投影證法........................................................................75 4-4 三角形中的極值點問題之探究---以鋪路造橋問題為例，以 GSP 為工具…......77 4-4-1 前言................................................................................................................77 4-4-2 從簡單的定理推論出發................................................................................78 4-4-3 動態模擬、建立數學模型.............................................................................80 4-4-4 結論與相關研究討論及應用........................................................................88 參考文獻 .................................................................................................................................91. v.

(8) 表表 2-2-1-1 表 4-1-4-1 表 4-2-2-1 表 4-2-2-2 表 4-3-3-1. 目. 錄. 亞洲四國在資訊科技融入高中數學課程之比較..................................................6 π的著名反正切式................................................................................................53 以兩種正多邊形半正則嵌鑲連續圖形的關係表................................................57 以三種正多邊形半正則嵌鑲連續圖形的關係表................................................59 正多面體稜長為 4 的相關幾何量.........................................................................70. vi.

(9) 圖. 目. 錄. 圖 3-1-2-1 阿基米德級數幾何意義(1) ...................................................................................15 圖 3-1-2-2 阿基米德級數幾何意義(2) ...................................................................................15 圖 3-1-2-3 兩圓外切且與 x 軸切於同側................................................................................15 圖 3-1-2-4 兩圓與 x 軸間又內切另一個圓.............................................................................15 圖 3-1-2-5 惠更斯級數的幾何意義........................................................................................16 圖 3-1-2-6 惠更斯級數的另一種幾何意義............................................................................17 圖 3-1-3-1 一則無窮交錯級數之和的幾何意義....................................................................18 圖 3-1-3-2 一則無窮交錯級數之和的幾何意義_觀察(1) .....................................................18 圖 3-1-3-3 一則無窮交錯級數之和的幾何意義_觀察(2) .....................................................19 圖 3-1-3-4 一則無窮交錯級數之和的幾何意義_觀察(3) .....................................................19 圖 3-1-3-5 一則無窮交錯級數之和的幾何意義_猜想..........................................................19 圖 3-1-3-6 一則無窮交錯級數之和的幾何意義與三角形重心的連結................................19 圖 3-1-4-1 腳踏車車輪軌跡中的擺線(1) ...............................................................................20 圖 3-1-4-2 腳踏車車輪軌跡中的擺線(2) ...............................................................................20 圖 3-1-4-3 擺線軌跡參數方程的假設圖示............................................................................20 圖 3-1-4-4 擺線軌跡下所圍的面積之動態圖示步驟(1) .......................................................21 圖 3-1-4-5 擺線軌跡下所圍的面積之動態圖示步驟(2) .......................................................21 圖 3-1-4-6 擺線軌跡下所圍的面積之動態圖示步驟(3) .......................................................21 圖 3-1-4-7 擺線軌跡下所圍的面積之動態圖示步驟(4) .......................................................22 圖 3-1-4-8 擺線軌跡下所圍的面積之動態圖示步驟(5) .......................................................22 圖 3-1-4-9 擺線軌跡下所圍的面積之動態圖示步驟(6) .......................................................22 圖 3-1-4-10 擺線軌跡下所圍的面積之動態圖示步驟(7) .....................................................22 圖 3-1-4-11 擺線軌跡下所圍的面積之動態圖示步驟(8) .....................................................22 圖 3-2-2-1 正弦三倍角公式動態圖解(1) ...............................................................................24 圖 3-2-2-2 正弦三倍角公式動態圖解(2) ...............................................................................24 圖 3-2-2-3 正弦三倍角公式動態圖解(3) ...............................................................................24 圖 3-2-2-4 正弦三倍角公式動態圖解(4) ...............................................................................24 圖 3-2-2-5 正弦三倍角公式動態圖解(5) ...............................................................................25 圖 3-2-2-6 正弦三倍角公式動態圖解(6) ...............................................................................25 圖 3-2-2-7 正弦三倍角公式動態圖解(7) ...............................................................................25 圖 3-2-2-8 正弦三倍角公式動態圖解(8) ...............................................................................25 圖 3-2-2-9 正弦三倍角公式動態圖解(9) ...............................................................................25 圖 3-2-2-10 正弦三倍角公式動態圖解(10) ...........................................................................25 圖 3-2-3-1 正餘弦疊合的範圍_(1)作一過原點的直線..........................................................27 圖 3-2-3-2 正餘弦疊合的範圍_(2)單位圓上一點到直線的距離..........................................27 圖 3-2-3-3 正餘弦疊合的範圍_(3)距離小於或等於 1 .......................................................27 vii.

(10) 圖 3-2-3-4 − a 2 + b 2 ≤ a ⋅ cos θ + b ⋅ sin θ ≤ a 2 + b 2 ..............................................................27 圖 3-2-3-5 正餘弦疊合的範圍_(5)距離=1 時，P 點位置....................................................... 28 圖 3-2-3-6 正餘弦疊合的範圍_(6)移動 P 點.........................................................................28 圖 3-2-3-7 正餘弦疊合的範圍_(7)移動 P 點至紅色距離=藍色 1 ....................................... 28 圖 3-2-3-8 正餘弦疊合的範圍_(8)移動 P 的連續動作.......................................................... 28 圖 3-2-3-9 正餘弦疊合的範圍_(9)找到距離=1 時 P 點位置..................................................28 圖 3-2-3-10 正餘弦疊合的範圍_(10)此時過 P 點和原點的直線恰垂直於原直線.............. 28 圖 3-2-4-1 維維安尼定理動態圖解(1) ...................................................................................29 圖 3-2-4-2 維維安尼定理動態圖解(2) ...................................................................................29 圖 3-2-4-3 維維安尼定理動態圖解(3) ...................................................................................29 圖 3-2-4-4 維維安尼定理動態圖解(4) ...................................................................................29 圖 3-2-4-5 維維安尼定理動態圖解(5) ...................................................................................30 圖 3-2-4-6 維維安尼定理動態圖解(6) ...................................................................................30 圖 3-2-4-7 維維安尼定理動態圖解(7) ...................................................................................30 圖 3-2-4-8 維維安尼定理動態圖解(8) ...................................................................................30 圖 3-2-4-9 維維安尼定理動態圖解(9) ...................................................................................30 圖 3-2-4-10 維維安尼定理動態圖解(10) ...............................................................................30 圖 3-2-5-1 算幾不等式之推廣_(1)以長度觀點的靜態圖解..................................................31 圖 3-2-5-2 算幾不等式之推廣_(2)以長度觀點的動態圖解..................................................31 圖 3-2-5-3 算幾不等式_以 a+b 為直徑作半圓....................................................................33 圖 3-2-5-4 算幾不等式之推廣_(3)Pappus 於西元 300 年的原圖..........................................33 圖 3-2-5-5 算幾不等式_以 Pappus 圖推廣的靜態圖.............................................................33 圖 3-2-5-6 算幾不等式_以 Pappus 圖推廣的動態圖.............................................................33 圖 3-2-5-7 平均不等式之推廣_(1)以線段作藍色..................................................................34 圖 3-2-5-8 平均不等式之推廣_(2)以線段作綠色..................................................................34 圖 3-2-5-9 平均不等式之推廣_(3)以線段作紫色..................................................................35 圖 3-2-5-10 平均不等式之推廣_(4)將 OP 長度平移至 MN .................................................35 圖 3-2-5-11 平均不等式之動態圖..........................................................................................35 圖 3-2-5-12 以面積的觀點的算幾不等式(1) .........................................................................36 圖 3-2-5-13 以面積的觀點的算幾不等式(2)..........................................................................36 圖 3-2-5-14 以面積的觀點的算幾不等式(3)..........................................................................36 圖 3-2-5-15 以面積的觀點的算幾不等式(4)..........................................................................36 圖 3-2-5-16 以面積的觀點的算幾不等式(5)..........................................................................36 圖 3-2-5-17 以面積的觀點的算幾不等式(6)..........................................................................36 圖 3-3-1-1 以 GSP 動態呈現可操作的拋物線方程式及其圖形............................................37 圖 3-3-2-1 動態改變截距以觀察直線的斜率及其圖形之變化............................................38. viii.

(11) 圖 3-3-2-2 圖 3-3-2-3 圖 3-3-2-4 圖 3-3-2-5 圖 3-3-2-6 圖 3-3-2-7 圖 3-3-2-8 圖 3-3-2-9 圖 3-3-3-1 圖 3-3-3-2 圖 3-3-3-3 圖 3-3-3-4 圖 3-3-4-1 圖 3-3-4-2 圖 3-3-4-3 圖 3-3-4-4 圖 3-3-4-5 圖 3-3-4-6 圖 3-3-4-7 圖 3-3-4-8 圖 3-3-5-1 圖 3-3-5-2 圖 3-3-5-3 圖 3-3-5-4 圖 3-3-5-5 圖 3-3-5-6 圖 3-3-5-7 圖 3-3-5-8 圖 4-1-2-1 圖 4-1-3-1. 菱形方程式的圖形_改變 a 值...............................................................................39 菱形方程式的圖形_改變 b 值..............................................................................39 菱形方程式的圖形_改變 h 值..............................................................................39 菱形方程式的圖形_改變 k 值..............................................................................39 矩形方程式的圖形_改變 a 值...............................................................................39 矩形方程式的圖形_改變 b 值...............................................................................39 矩形方程式的圖形_改變 h 值...............................................................................39 矩形方程式的圖形_改變 k 值..............................................................................39 拋物線方程式的圖形_標準上下型......................................................................40 拋物線方程式的圖形_改變 c 值...........................................................................40 拋物線方程式的圖形_改變 h 值...........................................................................40 拋物線方程式的圖形_改變 k 值...........................................................................40 橢圓方程式的圖形_改變 a 值..............................................................................41 橢圓方程式的圖形_改變 b 值...............................................................................41 橢圓方程式的圖形_改變 h 值...............................................................................41 橢圓方程式的圖形_改變 k 值...............................................................................41 圓方程式的圖形....................................................................................................41 圓方程式的圖形_改變 a (半徑) ...........................................................................41 圓方程式的圖形_改變 h 值...................................................................................41 圓方程式的圖形_改變 k 值...................................................................................41 雙曲線方程式的圖形_改變 a 值...........................................................................42 雙曲線方程式的圖形_改變 b 值...........................................................................42 雙曲線方程式的圖形_改變 h 值...........................................................................42 雙曲線方程式的圖形_改變 k 值...........................................................................42 雙折線方程式的圖形_改變 a 值...........................................................................43 雙折線方程式的圖形_改變 b 值..........................................................................43 雙折線方程式的圖形_改變 h 值..........................................................................43 雙折線方程式的圖形_改變 k 值..........................................................................43 一道國際數學奧林匹亞競賽試題的幾何意義....................................................49 sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A sin B sin C ..........................................................51. 圖 4-1-3-2 sin A + sin B + sin C = 4 cos 圖 4-1-3-3 cot. A B C cos cos .............................................................51 2 2 2. A B C A B C + cot + cot = cot cot cot ..............................................................52 2 2 2 2 2 2. 圖 4-1-4-1. π = arctan 12 + arctan 13 ..........................................................................................53 4. 圖 4-1-4-2. π = arctan 23 + arctan 15 ........................................................................................53 4. ix.

(12) 圖 4-1-4-3 圖 4-1-4-4 圖 4-1-4-5. π = arctan 14 + arctan 53 .....................................................................................53 4. π 4. π 4. = tan −1. x y−x + tan −1 .....................................................................................54 y y+x. = tan −1. x y + tan −1 ................................................................................54 2x + y x+ y. 圖 4-2-2-1 三種 regular tessellation 圖形.............................................................................56 圖 4-2-2-2 以兩或三種正多邊形半正則嵌鑲的九種勻稱連續圖形....................................57 圖 4-2-3-1 正六邊形的平移嵌鑲............................................................................................60 圖 4-2-3-2 正方形的平移嵌鑲................................................................................................61 圖 4-2-3-3 利用鏡射嵌鑲........................................................................................................61 圖 4-2-3-4 利用旋轉嵌鑲........................................................................................................61 圖 4-2-3-5 利用 MathPS 處理連續圖形的網站作品..............................................................62 圖 4-3-2-1 正立方體被以主對角線為法線的平面所截之截痕面........................................65 圖 4-3-2-2 平面截正立方體的截痕為任意三角形................................................................65 圖 4-3-2-3 平面截正立方體的截痕為平行四邊形(1) ..........................................................65 圖 4-3-2-4 平面截正立方體的截痕為平行四邊形(2) ..........................................................66 圖 4-3-2-5 平面截正立方體的截痕為任意四邊形................................................................66 圖 4-3-2-6 平面截正立方體的截痕為任意五邊形................................................................66 圖 4-3-2-7 平面截正立方體的截痕為任意六邊形................................................................66 圖 4-3-2-8 平面截四面體的截痕為三角形............................................................................67 圖 4-3-2-9 平面截四面體的截痕不存在(不共面)..................................................................67 圖 4-3-2-10 平面截四面體的截痕為四邊形..........................................................................67 圖 4-3-2-11 平面截四面體的截痕為梯形..............................................................................67 圖 4-3-2-12 平面截四面體的截痕為平行四邊形..................................................................68 圖 4-3-2-13 平面恰過四面體一頂點截痕為三角形..............................................................68 圖 4-3-2-14 平面恰過四面體兩頂點截痕為三角形..............................................................68 圖 4-3-3-1 正六面體與球面交 0 個交點.................................................................................69 圖 4-3-3-2 正六面體與球面交 12 個交點..............................................................................69 圖 4-3-3-3 正六面體與球面交 24 個交點...............................................................................69 圖 4-3-3-4 正六面體與球面交 8 個交點................................................................................69 圖 4-3-3-5 正六面體與球面交 0 個交點................................................................................69 圖 4-3-3-6 正四面體與球面相交的製作步驟........................................................................72 圖 4-3-3-7 正四面體與球面交 0 個交點................................................................................72 圖 4-3-3-8 正四面體與球面交 6 個交點................................................................................72 圖 4-3-3-9 正四面體與球面交 12 個交點..............................................................................72 圖 4-3-3-10 正四面體與球面交 4 個交點..............................................................................72 圖 4-3-3-11 正八面體與球面相交的製作步驟......................................................................73. x.

(13) 圖 4-3-3-12 正八面體與球面交 0 個交點...............................................................................73 圖 4-3-3-13 正八面體與球面交 12 個交點.............................................................................73 圖 4-3-3-14 正八面體與球面交 24 個交點............................................................................73 圖 4-3-3-15 正八面體與球面交 6 個交點..............................................................................73 圖 4-3-3-16 正十二面體與球面交 0 個交點...........................................................................74 圖 4-3-3-17 正十二面體與球面交 30 個交點........................................................................74 圖 4-3-3-18 正十二面體與球面交 60 個交點........................................................................74 圖 4-3-3-19 正十二面體與球面交 20 個交點........................................................................74 圖 4-3-3-20 正二十面體與球面交 0 個交點...........................................................................74 圖 4-3-3-21 正二十面體與球面交 30 個交點........................................................................74 圖 4-3-3-22 正二十面體與球面交 60 個交點........................................................................74 圖 4-3-3-23 正二十面體與球面交 12 個交點........................................................................74 圖 4-3-4-1 尤拉多面體定理在 Cabri-3D 的投影...................................................................76 圖 4-4-2-1 鋪路造橋問題的地圖............................................................................................78 圖 4-4-2-2 平形四邊形的方法................................................................................................78 圖 4-4-2-3 ∆ACP 繞 A 點轉 60° ..............................................................................................80 圖 4-4-2-4 ∆ABC 的費瑪點.....................................................................................................80 圖 4-4-3-1 作法 2.1 的動態模擬..............................................................................................81 圖 4-4-3-2 作法 2.2 的動態模擬..............................................................................................81 圖 4-4-3-3 作法 2.3 的動態模擬..............................................................................................82 圖 4-4-3-4 作法 2.4 的動態模擬..............................................................................................82 圖 4-4-3-5 作法 3.1 的動態模擬..............................................................................................83 圖 4-4-3-6 作法 3.2 的動態模擬.............................................................................................83 圖 4-4-3-7 作法 3.3 的動態模擬..............................................................................................84 圖 4-4-3-8 作法 3.4 的動態模擬..............................................................................................84 圖 4-4-3-9 作法 3.5 的動態模擬.............................................................................................85 圖 4-4-3-10 作法 3.6 的動態模擬...........................................................................................85 圖 4-4-3-11 作法 3.7 的動態模擬...........................................................................................86 圖 4-4-3-12 三地標位置..........................................................................................................88 圖 4-4-3-13 問題 5 的動態模擬..............................................................................................88 圖 4-4-4-1 取一個節點 O.........................................................................................................89 圖 4-4-4-2 取兩個節點 M, N ...................................................................................................89 圖 4-4-4-3 當 AM=BM,CN=DN..............................................................................................90 圖 4-4-4-4 互為 120 度時.........................................................................................................90. xi.

(14) 第一章緒論近年來教育部積極推動資訊科技融入各學科的教學，鼓勵第一線教師實施多元化的教材與教法，期望為學生建立一個有啟發性及互動性的學習環境（教育部，2001）。我們利用 PowerPoint（MathPS）, Excel, GSP, Cabri 3D 等電腦套裝軟體的特性，選擇適當的高中數學之教學素材和探究問題，以動態模擬的方式呈現教材的內容，讓豐富的資訊科技資源融入教與學的過程，使得學生達到更有效的學習效果。本章分別在第 1-1 節探討研究的背景，第 1-2 節說明本研究之動機與目的，第 1-3 節說明研究上的方法及其限制，第 1-4 節則概略說明整個論文的結構。. 1-1 研究背景「資訊科技融入教學」是國內教學的新型態，也是世界各先進國家教學的趨勢。 1960 年代美國伊利諾大學發展了 Programmed Logic for AutomaticTeaching Operation 系統，首度將電腦應用帶入教育，開啟了電腦輔助教學 ( Computer Assisted Instruction , CAI ) 的時代 (蔡政樺，2006)，直到網際網路的盛行及科技應用軟體的發達，才為電腦輔助教學、資訊融入教學開啟嶄新的一頁 (林信男，民 89 年)。1983 年美國數學教師協會 ( National Council of Teachers of Mathematics, NCTM ) 建議各學年階段的教師使用科技的工具教導數學技能與概念，國內學者 (吳鐵雄，1993) 也認為電腦輔助教學是突破我國傳統教學，適應學生個別差異，提高教學品質的有效途徑之一。現代資訊技術的廣泛應用正對於數學教育產生深刻的影響，教師要如何將科技融入數學課程內容、教材教學、以及數學探究學習等各方面之中，才能使電腦成為教學環境中不可缺少的工具。因此，在教育部大力推動之下，九十四學年起將全面落實資訊融入教學計畫，依教育部中小學資訊教育總藍圖的規劃，所有教學將需要有百分二十的資訊融入教學時數。所以，學校的資訊融入教學要如何規劃與實施是值得教育工作者深思熟慮的課題，我們應該用積極的態度提升自己的資訊素養，進而養成將資訊融入教學的實際教學能力，利用電腦軟體技術來呈現以往數學教學中難以呈現的課程內容，加強數學教學與科技技術的結合，並鼓勵學生運用電腦應用軟體所呈現的環境進行探索和學習。. 1.

(15) 1-2 研究動機與目的許多的研究者指出，利用電腦視覺化的增強有利學生在幾何上的學習，如 Bishop (1989) 覺得電腦產生的圖像能對學生的視覺化產生一個激勵的影響。Clements 和 Battisa (1992) 也建議在幾何學習上可採用適當的電腦軟體來輔助學習。Hansen (1998) 提到 21 世紀「電腦」將是日常生活的一部份，各階段的教學將廣泛地在電腦軟體環境為基礎下進行數學問題的探究，並且認為「因為電腦程式很著重在視覺化的使用，因此視覺的思考必須學習」，所以電腦對學習者在形象思維的發展中扮演一個很重要的角色 (左台益、梁勇能，民 90)。數學本身研究最基本的對象是「數」與「形」，「幾何圖形」所引出的幾何直覺和由「數」而引出的具體和概念關係，往往是數學中極為豐富的源泉。研究者指出高中學生數學學習的困難，有部分的原因是數學公式比較抽象，而難以直觀的理解 (李政豐，2000)。若是能讓數學素材視覺化，數學單元的內容模擬動態化，利用具體的圖形呈現來幫助學生對數學公式產生直覺而深刻的印象，進而學得定理、公式，縱然少了嚴密的推論，也是教師可以努力的方向之一。另一方面，科學上的許多新發現都是先經由「觀察」而來的，動態視覺思考的邏輯推理與在語言上的邏輯推理是非常相似的，而藉由實際的操作模擬過程進一步，思考者可以將抽象的概念轉為具體的想法，進一步再設計一些數學問題的探究活動，為學生形成積極主動且具有多元化創造學習的條件，以激發學生的數學學習興趣，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新能力與意識。本研究希望透過數種電腦軟體的功能與特色，運用視覺思考於數學的學習，提供若干具有互動性、可操作性及可動態呈現的模擬實驗素材，透過具體的影像直覺留下印象，加深學生數學概念的認識，希望透過電腦應用軟體的強大功能與優勢，在資訊科技融入教學的環境中，鼓勵學生使用現代化科技手段來處理繁雜的計算、解決實際問題，以取得更多的時間和精力去探索和發現數學的規律，並培養學生創新精神和實踐能力。. 1-3 研究方法及限制根據 Van Hiele 之幾何教學理論以及課程教學實務，可以了解到幾何課程的學習應該藉由實驗、觀察、探索、研究等活動不斷地安排在不同學習層次中，讓學生透過有趣的、具體的、可操作的幾何形象更了解幾何世界，促進他們幾何思維的能力 (蔡 2.

(16) 政樺，2006)。因此，本研究採用的方法是將學生在學習高中數學上的難懂之處，以學生為主角，問題為核心，在教師的指導下，利用 PowerPoint (MathPS), Excel, GSP, Cabri3D 等電腦套裝軟體的特性，結合學習理論在電腦教學上的應用，選擇需要利用電腦軟體來呈現實物模型的單元或問題素材，透過電腦軟體所營造的環境，讓學生運用所學的數學知識及基本資訊能力達到更有效的學習效果。本研究雖以動態模擬的方式呈現教材的內容，但是仍有下列的限制應該特別的注意，以避免陷入事倍功半的窘境。 1.. 代數性質與幾何性質的轉換應該是等價的，否則解題時會出現漏洞。有時候由於圖形的侷限性 (例如在圖說證明中基本上其角度限制在 0 度到 90 度之間)，不能完整地表現數的一般性，這時的圖形性質只是一種直觀的、顯淺的說明，必須向學生闡釋清楚。但是這個作用確也是抽象而嚴格證明的「導盲犬」之一。. 2.. 要切實的灌輸學生，我們在進行幾何直觀的分析與代數抽象的探索時，兩方面應該相輔相成，勿以為數形結合只是對代數問題進行幾何分析，這是一種錯誤的單方面的誤解。數學式與幾何圖形相互結合是發揮雙重效果，而不是簡單地用幾何取代代數。. 3.. 找到解題思路之後，我們要判斷這個概念到底是否適合以幾何意義來呈現，需取決於哪種方法更加簡單、更加優美並能夠到教學的目的，而不是機械式的將所有的代數問題全部皆用幾何方式來解說觀念。另一方面，礙於時間因素，關於學生的實質學習成效，並未詳加探討，仍有更多. 的研究空間；教師的教學是否能更便利有效是需要未來的研究者加以探討。. 1-4 論文結構本研究的主要架構如下：在第二章中，主要在討論資訊科技與數學課程整合的過程，所產生的學習理論與教學方式的變革，以及面臨的難題。由亞洲地區主要的國家在資訊科技融入高中數學課程教學的比較，大陸和新加坡近年來所重視與投入的比例，確實值得我們積極學習。在套裝電腦軟體的數學探究之情境設計所依據的理論之下，學生可以透過電腦動態模擬，有更多的觀察、探索、試驗的新學習方式。在第三章中，以電腦軟體 MathPS, GSP 探討並製作若干動態化的數學模式，呈現 3.

(17) 無窮級數、擺線軌跡下所圍面積的極限，將靜態的圖形化為動態的方式，並提供數則動態圖說證明 (Dynamic proofs without words)，由一個步驟接一個步驟的呈現在學習者的眼前，以視覺的方式了解數學，透過具體的影像直覺留下印象，加深數學概念的認識。另外，以 Excel 的計算和繪圖功能製作若干模擬動態，讓學生或教師透過滑鼠的操作，觀察直線斜率和截距、及圓錐曲線方程式在係數上的變化，了解在直角坐標系中圖形平移、伸縮變換下的變化情形。在第四章是探究若干代數式的幾何意義之學習，以及討論從勻稱連續圖案 regular tessellation 出發到 semiregular tessellation. 另一方面以立體動態幾何軟體 Cabri-3D 來作實例分析與設計操作的教學素材之開發，對「四面體與平面的截痕形狀」的討論探究，延伸動態探究「正多面體的稜邊與球面之交點個數」，並將尤拉多面體定理的靜態文字與圖片的證明，以動態立體幾何的方式模擬呈現書中所載之敘述，期望能夠幫助學生在學習立體觀念時不再瞎子摸象，培養清楚的空間概念。最後我們針對思源科技教育基金會所主辦的「2007 思源科學創意大賽--數學專題競賽」之題目 ---「鋪路造橋問題」，藉由腦力激盪的探究過程，從其中激發學生提出解決問題的觀察、猜想、邏輯推理與檢驗論證，並且學習瞭解到具體操作數學軟體的方法，進而創新和突破找出解決問題的方法與步驟。. 4.

(18) 第二章文獻探討本章主要在討論資訊科技與數學課程整合的過程，所產生的學習理論與教學方式的變革，以及面臨的難題。由亞洲地區主要的國家在資訊科技融入高中數學課程教學的比較，大陸和新加坡近年來所重視與投入的比例，確實值得我們積極學習。在套裝電腦軟體的數學探究之情境設計所依據的理論之下，學生可以透過電腦動態模擬，有更多的觀察、探索、試驗的新學習方式。. 2-1 資訊科技與數學課程的整合隨著電腦科技的快速發展，衝擊了原有的數學課程與教學模式，數學課程與電腦資訊的相互支援，已成為許多國家數學課程改革的重要原則。其中最顯著的例子即是美國於 2000 年制訂的《國家數學標準》強調科學技術與數學課程中的重要結合性，並提供大量動態化的數學電子檔實例，讓教師懂得怎樣在教學實踐中去運用資訊科技。由於視覺設計成為各種電腦輔助學習軟體中非常重要的介面因素，各種靜態或動態視覺圖像的運用，更成為電腦互動介面中最受矚目的一環 (林麗娟，2000)。而人類的知覺歷程會影響學習、概念的形成、問題索解能力以及批判思考之發展，因此視覺圖像設計者應掌握人類認知原則，促使能夠製出更具效能的教學媒體、教材 (Fleming & Levie, 1993)。幾何圖形經由電腦科技的輔助能以動態圖像的方式呈現，提供學習者強有力的學習與知覺經驗，可以讓學習者形成動態的內在表徵，使學習者對抽象的概念更具知覺的能力 (鄭晉昌，1997)。相對的也產生若干值得教育研究界深入探討的要題，尤其是動態式呈現科技的運用，固然滿足了學習的視覺感官需求，但是也增添學習上的變數 (李進福，2006)。目前科技融入教學最大的困難之一，就是缺乏教學實例與可共享的資源不多 (吳正已， 2001；何榮桂，2002)。所以教師利用新科技製作教材時，不應只是專注於新技術的學習與特效的展現，應該發揮教師的本位專長，設計良好的教材內容。並且在教材內容利用電腦的功能呈現時，應注意訊息的呈現方式及利用視覺元素作正確的視覺引導，將訊息正確地傳達給學生。另一方面，資訊科技與數學課程的整合最直接的就是教學方式的變革與學習方式的改變，因為它能提供理解和探索數學的平台，使得數學實驗的重要性及其表現形式變得更加具體和生動。美國教育家布魯巴克認為：“最精湛的教育藝術，遵循的最高準 5.

(19) 則就是學生自己提出問題”，美國著名數學家哈爾莫斯說 “問題是數學的心臟”，學生可以透過電腦提供的資料、圖像或動態模擬，有更多的觀察、探索、試驗的機會，既可以作出猜測，又能夠透過檢驗假設來證明自己的猜想。這種從實例出發—在電腦上做實驗—發現規律—提出猜想—進行證明和論證，正是一個以問題為主體，以電腦為手段，以學生為核心的全新教學模式，也是創造學生主動探究學習情境的工具。. 2-2 亞洲四國資訊科技融入高中數學教學之變革學者曾對亞洲地區的中國大陸、新加坡、日本、韓國等與我們台灣做過十二年數學課程比較的研究 (單維彰等，2005)，其中對於資訊科技融入高中數學教學與探究應用的部分，我們可以整理歸納如表 2-2-1-1 所示。表 2-2-1-1 亞洲四國在資訊科技融入高中數學課程之比較中國大陸. 各國資訊科技融入高中數學課程的描述比較. 研究者. 1. 綱要特別強調「只要條件許可，都應該用電腦或計. 姜志遠. 算機」。 2. 將演算法的基本概念當作數學的基礎知識，有時為了能在電腦上實現，還需要將自然語言或程式框圖翻譯成電腦語言。 3. 建立數學模型的能力。新加坡. 1. 要求平面和立體圖形變換的學習配合計算機，落實. 翁婉珣. 將 IT 帶到教學過程中。 2. 把動態與操作的幾何放在數學課程裏，其意義與價值是讓學生為將來3D立體的電腦繪圖或設計軟體做好幾何概念的準備。 3. 台灣在3D幾何操作或設計製作特殊動畫的訓練安排較少。日本. 1. 日本顯著比台灣更注重電子計算機在數學上的應. 洪雅齡. 用。 2. 綱要強調教師在指導各學科時要在適當的時機能夠活用電腦及視訊網路以提升學生的學習效果，但並沒有明確指出何時該用。韓國. 1. 綱要中只有在選修應用數學跟離散數學上，較認真在說「計算器與電腦」，而其他主題也只是在教學. 6. 黃子倩.

(20) 方法中，用一句話「利用計算器取得平方根的近似值」帶過。很不踏實。 2. 台灣與韓國在這方面都比較保守，我們或許都應該參考新加坡的作法。由表 2-2-1-1 得知，大陸與新加坡地區近年來相當的重視數學與電腦技術的結合，並積極全力推動運用現代化科技於數學學習探索和解決問題方向的數學建模活動，加強資訊技術與課程的整合。我們進一步研讀「普通高中數學課程標準 (實驗) 解讀」(江蘇教育出版社，2004) 裡，有關於資訊科技融入數學教學之整合，發現若干值得我們重視與學習之處，概述如下： 1. 增強數學的視覺化：強調幾何與其他數學內容的融合以及幾何直觀的作用，運用資訊技術呈現以往教學中難以呈現的課程內容。特別是幾何圖形的性質，複雜的計算過程，函數的動態變化過程，幾何證明的直觀背景等，若能運用資訊技術來直觀呈現，使其視覺化，將會有助於學生的理解，提高數學教學效率。 2. 運用資訊科技改變學生的學習方式：使用各種科學型計算器及科技軟體進行數學探索，使得以紙筆為工具的數學學習方式發生了改變，學生可以用計算器進行計算，通過軟體操作觀察規律，預測數學結論，進行合情推理，讓資訊技術為所有學生提供多元化的數學學習。 3. 數學建模方式的學習：電腦與數學的結合，使實際問題轉化成數學問題後，有時可以直接經過電腦輔助，從中探索規律做出決策。從數學本身看，我們的數學教育必須適應這些特點，注重將實際現象轉化為數學問題的教學 (實質就是建模)，這樣既可以使學生理解數學與社會的緊密聯繫，數學就在他們的身邊，提高學習數學的興趣。 4. 注意視覺化的侷限性：注意幾何直觀的侷限性，以及用幾何直觀代替邏輯證明的錯誤做法。不要過分迷信技術，因為有的時候視覺化的形象則未必可以幫助學生的理解。. 7.

(21) 另一方面，我們也發現了他們在資訊科技融入數學教學所加強的內容與方面如下： 1. 加強數形結合、幾何直觀等數學思想方法學習的要求：用代數方法研究圖形的幾何性質，並強調借助幾何直觀理解代數關係的意義，即對代數關係的幾何意義的解釋。 2. 加強藉由資訊科技畫出具體數學圖像的要求：鼓勵學生使用計算器和電腦探索和解決問題，透過使用電腦技術展示各種函數的圖像，並學習通過圖形解讀數學資訊，例如體會函數是描述因變數隨引數而變化的重要數學模型；畫三角函數 y = A sin(ω x + θ ) 的圖像，分析參數變化對函數的影響。. 3. 加強動態學習方式的要求：圓錐曲線是較好體現數形結合思想的一個素材。通過圓錐曲線的背景讓學生瞭解曲線與方程之間的對應關係，進一步體會數形結合的思想。設計一個平面截圓錐得到橢圓的過程，利用電腦演示平面截圓錐所得的圓錐曲線。並加強從對空間幾何體的整體觀察入手來學習立體幾何。專班這些年來努力的目標與「普通高級中學數學科課程綱要修訂草案 96.7.13 版」. ( http://203.64.26.48:8080/98math/modules/smartfaq/ ) 所揭示的目標相符。藉著「製作、分享、批評、參與、提升」的良性循環模式，使網路學習的內容更為豐富多元，共同呼應資訊科技融入教學機制、學科教師將資訊科技帶入課堂、融入學習的理念和願景。. 2-3 數學動態模擬的探究學習理論在數學電腦軟體環境下的數學探究之情境設計所依據的理論，其一是由 Bruner,. Ross & Wood (1976) 先提出的 “鷹架理論”，就是教師在協助學生解決超越其個人能力的問題時所扮演的角色，強調在教學的情境中，教師的理想角色是提供學生協助，就如同建築物的「鷹架」一樣，當學生的能力增加之後，「鷹架」就逐漸的移開，即將學習的責任慢慢轉移到學習者的身上。其二是根據蘇俄教育學家維谷斯基 (1896-1934) 的 “最近發展區” 理論 (the Zone. of Proximal Development, 簡稱 ZPD)，此理論認為學生現在能夠獨立完成學習任務的層次即 “實際發展層次”；而在教師的指導下或啟發性問題引導下完成學習任務的層次. “潛在發展層次＂。兩者之間的差距叫 “最近發展區”，如果最近發展區越大，則學生 8.

(22) 的發展能力也越大。在軟體環境中的探索性學習能夠創造學生的 “最近發展區”，從而提升學生的發展水準。因此，在數學電腦軟體的探究環境中透過事先架構設計好的內容和具有內建的認知學習輔助，例如回饋，依序進行，資料的多元化呈現方式，以及一項活動可以預期的發展歷程，能夠提供學習者的一個學習鷹架，來幫助學生在電腦軟體的環境裡完成不可能在一般教室學習環境中達成的數學問題的探索與研究 (裴小倩、朱家雄，2004)。. 2-4 套裝數學軟體的簡介計算機科技的迅速發展以及電腦軟體的形象逼真地模擬各種情境，為數學的學習提供了新環境和支持條件，並為學生的理解、探究、討論、發表意見及解決問題等活動提供了可操作與實驗模擬的工具。由於各教學設計模組的不同與延伸問題的探究情境的差異，所需要呈現的效果不一，所以，我們確實有必要先了解目前幾個常用來作為資訊融入教學的應用軟體的一些特性與功能 (李政豐，2003)。. 1. MathPS 簡報系統：由國立交通大學陳明璋教授所帶領的研發團隊，利用 Microsoft PowerPoint 系統平台，設計的一個數學簡報的概念架構系統，在該平台上建構數學教材的編輯及課堂授課的環境。因 Microsoft PowerPoint 系統的繪圖功能，缺乏數學的構圖能力，且無法處理複雜的構圖，其動畫功能雖豐富，但稍嫌複雜不易操作，缺乏課堂互動所需要功能，故 MathPS 乃結合數學教材多元呈現之特性、編輯大量資訊的方法論、及簡報系統本身的功能所完成，使得圖形的呈現有了多元性、動態式的效果。其中利用定位複製法構作的圖形，即定位法則（ Positioning ）、複製法則（Duplication）及雕琢式建構法（Deconstruction）是此系統三個重要的法則。定位法則讓使用者達到「糢糊操作，精準定位」的需求；複製法則可以讓使用者建構複雜的構圖，如碎形，視覺設計等；雕琢式構圖法以解建構取代逐一建構。視覺構圖法就是該系統所研發處理大量資訊的定位方法及複製法則所呈現的效果。這是其他繪圖軟體所無法達到的程度，也使得它在教學活動的（陳明璋，2006）素材設計與視覺化圖像的呈現效果愈來愈精采與多元，是一個普及化且平易近人，並能達到呈現素材內容之最佳效果的好用軟體。. 2. Excel：是一個試算表格，具有很強計算及函數繪圖的功能，尤其適合處理一些演算法則 9.

(23) 與計算，如遞迴關係的表示、變數參數的調整、多種數學函數與公式可套用，是一種可以函數、圖表方式的呈現與容易表達數學式及方法的優良工具。. 3. GSP：是一種呈現幾何作圖及可操作實驗的幾何軟體，具有強大的尺規作圖功能，適合處理一些動態幾何圖形的模擬實驗與觀察猜測，可利用參數概念來進行動點的軌跡探究，也可利用動態按鈕來設計一些數學上的動畫。. 4. Cabri-3D：世界第一套動態式與交談式的立體幾何軟體，於 2004 年在羅馬的 Cabri World 正式發表，它延續尺規作圖的方式，讓使用者透過視覺及滑鼠完成立體幾何圖形。點選工具列可以構作並操作一些，如：點、線、線段、射線、向量、圓和錐體曲線、平面、三角形、多角形、半平面、球面、圓錐、正多面體與幾何變換等立體幾何物件；而從功能表中可以對所構作的立體幾何圖形作屬性及視角的改變，並且可以同時開啟多個觀看視窗以及各種角度的透視圖像，還可以拖曳滑鼠右鍵，來作立體視角的改變。透過這個 Cabri-3D 立體幾何軟體的輔助與視覺呈現的優勢，相信在立體幾何課程的資訊融入教學設計與在立體幾何問題的探數學究與研究等方面會有令人預想不到的神奇效果 (蔡政樺，2006)。. 10.

(24) 第三章在電腦軟體環境下的高中數學之動態示例本章中主要以電腦軟體 MathPS, GSP 探討並製作若干動態化的數學模式，呈現無窮級數、擺線軌跡下所圍面積的極限，將靜態的圖形化為動態的方式，並提供數則動態圖說證明 (Dynamic proofs without words)，由一個步驟接一個步驟的呈現在學習者的眼前，以視覺的方式了解數學，透過具體的影像直覺留下印象，加深數學概念的認識。另外，以 Excel 的計算和繪圖功能製作若干模擬動態，讓學生或教師透過滑鼠的操作，觀察直線斜率和截距、及圓錐曲線方程式在係數上的變化，了解在直角坐標系中圖形平移、伸縮變換下的變化情形。本章透過 MathPS, GSP 軟體動態呈現若干問題，共分為三節，分別說明如下： 3-1 幾則無窮概念的動態幾何意義之呈現---以 MathPS, GSP 為設計平台 “數學式” 與 “幾何圖形” 是數學研究中兩類不同的基本對象，代數是圖形的抽象表現，而圖形又是代數的直觀呈現。若是在數學問題的教學研究中，將數形的關係結合起來，使代數問題的抽象觀點，透過幾何化、直觀化以及具體化來呈現動態化的數學模式，從而使學生瞭解一些代數問題時避免複雜的抽象與推理，讓數學程度不佳的學生，能夠直觀的觀察體認及引導思路，讓這種作用當作是抽象而嚴格證明的「導盲犬」。 3-2 幾則數學定理、公式的動態圖說證明之呈現---以 MathPS 為設計平台以美國數學協會 MAA 期刊「Mathematics Magazine」當中「Proof without words」專欄內的文章為腳本，並參考網路學習專班的作品集「萬腦奔騰數學網」第一 ~ 三輯中關於視覺化動態呈現之研究探討，再結合本身第一線教學的實務經驗，利用普及的電腦軟體 PowerPoint 再配合上 MathPS 的增益功能，製作出動態的圖說證明 (Dynamic proofs without words), 給予擬人化般的生命力，以自然、直觀、易懂、易學的方式，把教學效果不彰的部分，藉由視覺化圖形的呈現來輔助證明的直觀性。 3-3 幾則平移及伸縮概念的動態呈現 ---以 Excel 為設計平台運用普及的電腦軟體 Excel, 並參考我們網路學習專班的作品集「萬腦奔騰數學網第一輯」第二、六章中關於介紹 Excel 強大的計算和繪圖功能之研究探討，再結合本身第一線教學的實務經驗，來製作標準的圓錐曲線圖形，讓學生或教師透過滑鼠的操作，觀察方程式在係數上的變化，或改變係數觀察圖形的變化，體會這些互相對照呼應表徵內部的變換或不同表徵之間的轉譯，進一步能了解在直角坐標系中圖形平移、伸縮變換下的變化情形。. 11.

(25) 12.

(26) 3-1 幾則無窮概念的動態幾何意義之呈現 ---以 MathPS, GSP 為設計平台 “數學式”與“幾何圖形”是數學研究中兩類不同的基本對象，代數是圖形的抽象表現，而圖形又是代數的直觀呈現。若是在數學問題的教學研究中，將“數”和“形”的關係結合起來，使代數問題的抽象觀點，透過幾何化、直觀化以及具體化來呈現動態化的數學模式，從而使學生瞭解一些代數問題時避免複雜的抽象與推理，讓數學程度不佳的學生，能夠直觀的觀察體認及引導思路，讓這種作用當作是抽象而嚴格證明的「導盲犬」。. 3-1-1 前言 “圖形”是直觀且顯而易見的，透過圖形的外表，揭示其內在的代數特徵，這對發展學生思維的引導有著深刻重要的意義，在解決數學問題時，若能把兩者結合起來，則對問題的解決可以達到事半功倍的作用。例如在推導無窮等比數列當 r < 1 時各項和的公式，學生不希望從教師那裡獲得莫名其妙的現成結論：當 r < 1 時， lim r n = 0 ，身為教育者的我們更不可以一句話“證 n →∞. 明較煩，上課省略”就此帶過。那教學中如何處理呢？我們認為可以採用觀察數列變化趨勢，猜測極限的做法，並將“數”和“形”的關係結合起來，使抽象觀點透過幾何化、直觀化以及具體化的方式呈現，藉此加深學生的學習印象，達到事半功倍的效果。不過，我們在應用數形結合方法時，應該注意三項原則：等價性原則、雙向性原則、簡單化原則，以避免陷入事倍功半的窘境。 1. 等價性原則：是指代數性質與幾何性質的轉換應該是等價的，否則解題時會出現漏洞。有時候由於圖形的侷限性，不能完整地表現數的一般性，這時候的圖形性質只是一種直觀的、顯淺的說明。但這個作用確也是抽象而嚴格證明的「導盲犬」之一。 2. 雙向性原則：要切實的灌輸學生，我們在進行幾何直觀的分析與代數抽象的探索時，兩方面應該相輔相成，勿以為數形結合只是對代數問題進行幾何分析，這是一種錯誤的單 13.

(27) 方面的誤解。數學式與幾何圖形相互結合是發揮雙重效果，而不是簡單地用幾何取代代數。 3. 簡單性原則：找到解題思路之後，我們要判斷這個概念到底是否適合以幾何意義來呈現，需取決於哪種方法更加簡單、更加優美並能夠到教學的目的，而不是機械式的將所有的代數問題全部皆用幾何方式來解說觀念。在此意義上，本文提供數則幾何意義明確的無窮級數，以資訊科技融入數學教學的方式，探討並製作成動態化的模式呈現 (第 3-1-2 節與第 3-1-3 節)。另一方面，根據擺線的重要幾何性質，將 Cycloid 軌跡下所圍的面積極限，化靜態的圖形為動態的方式 (第 3-1-4 節)，藉由一個步驟接一個步驟的呈現在學習者的眼前，可以達到在數學方面更好的動態演示，讓學生藉著視覺化、動態化的模式呈現，以視覺的方式了解數學，透過具體的影像直覺留下印象，加深數學概念的認識，協助學生們對數學公式的掌握。然而實質的教學成效，仍有更多的研究空間。. 3-1-2 惠更斯級數 1 1 1 1 高中數學課程在第一冊及第六冊提到無窮級數的和，對於 + + + ⋅⋅⋅ + n + ⋅⋅⋅ 2 4 8 2 ＝1, 除了使用數列的極限應用來處理“無窮多項相加”的問題外，部分教科書還介紹了一個用數形結合來詮釋“無窮項和”的圖解法。當我們在高三的班級講授完這個章節，有位學生於課餘時跑來詢問：「是否還有其他“無窮級數的和”的幾何意義？」。因此我們整理這個相關主題，並試著以數學軟體來模擬呈現其『數形合一』的意義。. 1 1 1 1 我們在一般現行的教課書上，常見到的無窮級數，如 + + + ⋅⋅⋅ + n + ⋅⋅⋅ = 1, 2 4 8 2 1 1 1 1 1 + + + ⋅⋅⋅ + n + ⋅⋅⋅ = , 它們的幾何意義是非常地一目瞭然，淺顯易懂的。而 “阿 3 9 27 3 2 1 1 1 1 1 基米德級數 : + + + ⋅⋅⋅ + n + ⋅⋅⋅ = ”, 其幾何意義就更是花樣百出，令人讚賞 4 16 64 4 3 了。其實，若將阿基米德級數寫成. 3 3 1 3 1 3 1 + ⋅ + ⋅ 2 + ⋅⋅⋅ + ⋅ n −1 + ⋅⋅⋅ =1, 則可以由下 4 4 4 4 4 4 4. 列兩個 “圖說證明 ” 看出其另一種呈現的幾何意義，如圖 3-1-2-1 與圖 3-1-2-1 所示。我們網路學習專班在這方面亦有許多精彩紛呈的作品成果。. 14.

(28) A. B. C. 圖 3-1-2-2 阿基米德級數幾何意義(2). 圖 3-1-2-1 阿基米德級數幾何意義(1). 上面提到的，是阿基米德 (Archimedes, 西元前 287~西元前 212) 在求拋物線弓形面積時，所產生歷史上的第一個無窮級數，因此又稱為阿基米德級數。他當時所得到的結論是：設 P, Q 是拋物線 y 2 = x 上的任意兩點，若 M 是 PQ 的中點， MR 平行於拋物線的對稱軸，則斜線部份面積等於. 4 ∆PQR 的面積。其動態模擬可參考網 3. 址：http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml. 1 1 1 其次，我們思考 “惠更斯級數: 1 + + + + ... ” 所代表的幾何圖形之意義是什 3 6 10 麼？首先，在<<數學傳播季刊>>第 22 卷第 1 期，由蔡聰明教授所寫的「談惠更斯級數」，有如下精闢的解釋：. (1). 兩圓 O0, O1 相切，半徑分別為 r0, r1, 並與x軸切於同側，切點為A0, A1, 則 2. A0 A1 = 4r0 r1 , 如圖 3-1-2-3 所示。 2. 2. pf): 直角三角形 OAB，(r0+r1)2= A0 A1 +(r0-r1)2 , 展開整理得 A0 A1 = 4r0 r1. O0. O0 O1. O1 O2. A0. A1. A0. 圖 3-1-2-3 兩圓外切且與 x 軸切於同側. A2. A1. 圖 3-1-2-4 兩圓與 x 軸間又內切另一個圓. 15. ■.

(29) (2). 承 (1), 兩圓與 x 軸之間又內切一個圓 O2, 其半徑為 r2, 則. 2. 2. 1 1 1 = + . r2 r0 r1. 2. pf): 由 (1) 知 A0 A1 = 4r0 r1 , A0 A2 = 4r0 r2 , A1 A2 = 4r1r2 , 如圖 3-1-2-4 所示， 2. 2. 2. 且 A0 A1 = ( A0 A2 + A2 A1 ) 2 = A0 A2 + A2 A1 + 2 A0 A2 ⋅ A2 A1. 4r0 r1 = 4r0 r2 + 4r1r2 + 2 ⋅ 2 r0 r2 ⋅ 2 r1r2 (2 r0 r1 ) 2 = (2 r0 r2 + 2 r1r2 ) 2 1 1 1 = + r2 r1 r0. 整理得. ■. (3). 承 (2) 同樣的方法不斷的作內切圓 O3,O4,...一直下去，其半徑分別為 r3, r4,..., 則 rn = (. 1 n − 1 −2 + ) , n = 2, 3, 4, ... , 如圖 3-1-2-5 所示。 r1 r0. pf): 由 (2) 知. 1 1 1 = + r2 r1 r0. O0 O1. 1 1 1 1 2 = + = + r3 r2 r0 r1 r0. O3. 1 1 1 1 3 = + = + r4 r3 r0 r1 r0. 1 r2. A0. O2. A3 A2. A1. 圖 3-1-2-5 惠更斯級數的幾何意義. ...... 可知. 1 1 1 1 的等差數列， , , , …, 是一個公差為 r2 r3 r4 r0. 所以. 1 1 n −1 1 n − 1 −2 = + , 即 rn = ( ) . + r1 r0 rn r1 r0. (4). 承 (3) 若令 r0=r1=1, 則 rn =. ∞. ∞. n =1. 1 2 且 An An +1 = , 2 n n(n + 1). 2 = 2, 即 n =1 n( n + 1). ∑ An An+1 = ∑. ■. ∞. 1. 1. 1. 1. ∑ n(n + 1) = 1 + 3 + 6 + 10 + ... =2 n =1. 2. 16. ■.

(30) 我們再進一步以 Proofs Without Words Exercises in Visual Thinking (Roger B. Nelsen,. 1993) 第 127 頁為腳本，並自行研究開發其動態圖說證明，在動態中呈現 “惠更斯級數” 的另一種幾何意義之視覺化過程，如圖 3-1-2-6 所示。. 圖 3-1-2-6 惠更斯級數的另一種幾何意義. 3-1-3 一則交錯級數到目前為止，我們所處理無窮級數都是正項之和，然而，學生對於遇到同時含有正項與負項的無窮級數，就顯得更加膽戰心驚了。這種級數中最簡單的是一種正負號交錯的 “交錯級數” (Alternating Series)，例如，像這種幾何級數. 1 1 1 1 “ 1 − + − + ⋅⋅⋅ + (−1) n −1 n −1 + ⋅⋅⋅ ” 2 4 8 2 1 就是一個交錯幾何級數，其公比為 − 。交錯級數有兩種形式：不是奇數項都是負數， 2 那麼就是偶數項都是負數。對於這樣的幾何級數，除了直接代無窮等比公式求值外，是否還存在著什麼樣的幾何意義呢？首先，我們試著來直接求其前幾項和之值，觀察看看該值會有什麼“趨勢 ”？. 1 1 1 1 3 1 1 1 5 1 − = =0.5, 1 − + = =0.75, 1 − + − = =0.625, 2 2 2 4 4 2 4 8 8 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 21 1 − + − + = =0.6875, 1 − + − + − = =0.65625, 2 4 8 16 16 2 4 8 16 32 32 1 1 1 1 1 1 43 1 − + − + − + = =0.671875, ……, 2 4 8 16 32 64 64 我們發現其和似乎愈來愈向 “某一個值 ”逐漸地靠近，而這個值似乎是介於 0.65 至 17.

(31) 0.68 之間，而在 0.65 至 0.68 之間恰好有一個特殊且除不盡，又經常使用到的循環小數 “. 2 2 0.666667 ”, 那在圖形上所代表的有那些意義呢？ 3 3. 依照曹亮吉教授在「阿草的葫蘆---文化活動中的數學」 (遠哲科學教育基金會，. 1996) 第十二章所闡述的數學思考模式，告訴我們先想到透過特殊的情形來推敲猜測，再遊走回到一般的情形。因此我們想到圖形中當然是以正三角形為最佳特例，而「三角形重心正三角形的 “心” 首推 “重心”。對了，三角形的重心有一個重要性質：到頂點的距離等於重心到對邊中點距離的二倍」，所以，. 2 這個數字與圖形產生相結 3. 合就有了眉目。更進一步，我們以動態幾何軟體 GSP , 設計了一個方式如下： (如圖 3-1-3-1 至圖 3-1-3-6 所示 )。 ∆ABC 中令 AM1 為 BC 上的中線，其長為 1, 取 AB、AC 兩邊的中點 D1 及. E1, 與 M1 連成 ∆D1M 1 E1 , 令 D1E1 交 AM1 於 M2 , …(類推) … AM1 =1， 1 1 AM2 = 1 − = =0.5 2 2 1 1 3 AM3 = 1 − + = =0.75 2 4 4 1 1 1 5 AM4 = 1 − + − = =0.625, … 2 4 8 8 1 1 1 1 則 1 − + − + ⋅⋅⋅ + (−1) n −1 n −1 =AMn, 因 n 愈大，Mn 會愈接近於 G , 2 4 8 2 而 G 是 ∆ABC , ∆D1M 1 E1 , ∆D2 M 2 E2 , ∆D3 M 3 E3 …的重心，所以. 1 1 1 1 2 2 1 − + − + ⋅⋅⋅ + (−1) n −1 n −1 + ⋅⋅⋅ ＝ AG ＝1× ＝ . 2 4 8 2 3 3. 圖 3-1-3-1 一則無窮交錯級數之和的幾何意義. ■. 圖 3-1-3-2 一則無窮交錯級數之和的幾何意義_觀察(1). 18.

(32) 圖 3-1-3-3 一則無窮交錯級數之和. 圖 3-1-3-4 一則無窮交錯級數之和. 的幾何意義_觀察(2). 的幾何意義_觀察(3). 圖 3-1-3-4 一則無窮交錯級數之和. 圖 3-1-3-5 一則無窮交錯級數之和. 的幾何意義_猜想. 的幾何意義_與三角形重心的連結. 3-1-4 擺線軌跡下所圍的面積『畫家畫奔馳中的馬車，總是把車輪輪軸上方的輪輻畫成模糊一片，而分開可見的輪輻要在輪軸下方才可能出現。這是什麼道理呢？輪輻是等間隔的，這種視覺上的印象表示：車輪轉動時上方輪緣的水平方向前進速度要比下方的來得快。』(擺線--幾何中的海倫，曹亮吉，http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_15_09_1/index.html ), 這樣富洞察力的描述，讓我們驚喜於一幅令人賞心悅目的畫作，竟然也暗藏著數學知識，真是容易教人勾起學習的動機與思考的想像呀！. 19.