均勻網格有限差分法

下面我們以Taylor級數展開為基礎，說明空間導數的近似方法，

並給出近似導數精確到任意階精確度的一般方法。

這裡我們先推導一維的結果，三維的結果可以容易從一維的式子

推廣得到。首先從一維、單電子等效質量薛丁格方程式(3.1.1)出發

2 2

* 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2

d x V x x E x

m dx

ψ ψ

− h + =

ψ

  (3.1.1)

假設系統的邊界條件為

ψ (0) = 0

，

ψ

(L_x)=0，這裡我們只考慮0 ~ L_x 這個範圍，我們將系統切成N_x + 個格點，每一個格點的間距為1

x / x

x L

Δ = N ，我們定義

ψ

₀

= ψ (0)

、

ψ ψ

₁

= ( Δ

x

)

、…、

ψ ψ

_i

= (

i

⋅ Δ

x

)

、…、

( )

x

( )

N Nx x Lx

ψ = ψ ⋅ Δ = ψ

圖 3.1.1、一維均勻網格系統示意圖

2

之間的距離。計算範圍x方向從0 ~ L_x、y方向從0 ~ L_y、z方向從

將結果代回(3.1.8)式後得到三維、單電子等效質量薛丁格方程式用均

圖 3.1.3、矩陣H( , , )( , , )i j k i j k_{′ ′ ′} (3.1.11)式中非零項的示意圖 3.2 一維非均勻網格有限差分法

由於電腦計算有費時及記憶體限制等問題，相對能取的網格點數

就有所限制，有鑑於此，我們希望能控制網格點的位置以減少計算上 不必要的浪費，非均勻網格系統可以幫助我們達到這個目的。首先介 紹一維非均勻網格有限差分法。

與3.1 小節介紹的一維均勻網格相同，圖(3.2.1)定義了一維不均

勻網格系統中的網格大小

{

^Δxi

}

與網格座標

{ }

xi ，其中Δ =x_i x_i+1− 不x_i 再是定值。

圖 3.2.1、一維非均勻網格系統示意圖

也就是說這個矩陣不Hermitian，或我們可以說矩陣不共軛對稱。矩

陣不Hermitian 在表達物理上是有問題的，包含特徵值非實數、特徵

向量彼此間不正交歸一。

雖然矩陣不共軛對稱，但是仍可求得結果，為了維持矩陣對稱性

2

轉換前與轉換後的波函數關係為

L1

ψ =

⁻

Φ

(3.2.12)

由於B為對稱矩陣且 為對角線矩陣，我們可以很簡單的證明L H ′為 一對稱矩陣即H ′=H^T，現在我們可以對角化H ′得到特徵值 與特徵 函數 ，再透過

E

Φ ψ =L⁻¹Φ得到波函數

ψ

，於是我們得到(3.1.1)式在一 維非均勻網格中完整的解。

為了驗證這個推導的正確性，我們作下面的計算。首先我們使用

一維簡諧振子模型 1 ^{2 2}

V = 2mω x _{當作我們的位能，並令}hω=1eV ^，如 此我們可以簡單算出從基態開始的能量依序為0.5、1.5、2.5…個電子 伏特，在所有輸入參數都相同的情況下我們得到圖(3.2.2)

(a) (b)

(c) (d)

圖 3.2.2、(a)、(c)模擬簡諧振子( ^{1 2 2}

V =2mω x )的能階，(b)、(d)誤差百分比 實心：考慮均勻網格三點差分近似 方形：計算範圍 Lx=4(nm) 空心：考慮非均勻網格三點差分近似 三角形：計算範圍 Lx=8(nm) 這裡誤差百分比的算法以基態來講是 ⁿ⁼¹ − ×100%

n=1

E = 0.5eV 計算值

E = 0.5eV ，從圖

3.2.2我們很容易看出在取相同網格點時非均勻網格差分是比較快收

斂的，這裡我們都是使用三點差分近似作二階導數展開，所以取相同 網格點時需要的記憶體是一樣的。同時從圖3.2.2我們也可以看出當 計算範圍取大時均勻網格相對不均勻網格收斂性下降的快很多，這是 因為非均勻網格只是把最外面的點往外移，但是均勻網格卻要多花很 多網格點在不必要的空間裡。這裡我們模擬的是一維簡諧振子的模

型，非均勻網格系統與矩陣對稱的數學轉換也可以用相同的方式推廣

E

H ′Φ = Φ E

^(3.3.4)

第四章 量子點電子結構

本章主要驗證我們用單能帶有效質量理論，在非均勻網格空間中

利用三點有限差分法模擬金字塔形狀量子點，與文獻[2,3,20]比較的 結果。之後在相同情況下探討均勻網格與非均勻網格系統收斂性、計 算時間、所需記憶體等的差異。

4.1 金字塔量子點

這一小節我們討論金字塔形狀、材料為 InAs/GaAs的量子點，用

文獻[2]的參數作計算，對電子而言我們有束縛位能Δ =E_c 450meV 0.066

e e

m = m

， InAs的等效質量 ，GaAs的等效質量 。並且在 計算中我們忽略潤濕層(wetting layer)的部份。得到圖3.2.1 的結果

* 0.04

me = m_e ^*

圖 4.1.1、金字塔型量子點電子能階

圖中我們比較了三篇文獻的結果，大致上得到一樣的結果，以

M.Califano[2]的結果為例，我們的結果與M.Califano 的平均差距大約

3.9 個meV，換算成平均誤差大約0.3%，所以可以知道我們的非均勻 網格程式結果是可信的。

4.2 均勻網格與非均勻網格差異

以三維簡諧振子模型 1 ^{2 2}

V = 2mω r _為例，

令hω =1eV ^，如此我們可以簡單算出從基態開始的能量依序為 1.5、 2.5…個電子伏特。這裡我們三個方向的格點數與計算範圍都取相 同，在均勻與非均勻的所有輸入參數都相同的情況下我們得到圖 (4.2.1)

圖 4.2.1、簡諧振子( ^{1 2 2}

V =2mω r )能階示意圖

(a) (b)

(c) (d)

圖 4.2.2、(a)、(c)模擬簡諧振子( ^{1 2 2}

V =2mω r )的能階，(b)、(d)誤差百分比 實心：考慮均勻網格三點差分近似 方形：計算範圍 L=10(nm) 空心：考慮非均勻網格三點差分近似 三角形：計算範圍 L=20(nm) 這裡誤差百分比以基態來講是 ⁿ⁼¹ − ×100%

n=1

E = 1.5eV 計算值

E = 1.5eV ^，從圖4.2.1 我們很容易看出在取相同網格點時非均勻網格差分是比較快收斂 的，這裡我們都是使用三點差分近似作二階導數展開，所以取相同網 格點時需要的記憶體是一樣的。同時從圖4.2.1我們也可以看出當計 算範圍取大時均勻網格相對不均勻網格收斂性下降的快很多，這是因 為非均勻網格只是把最外面的點往外移，但是均勻網格卻要多花很多 網格點在不必要的空間裡。這裡我們模擬的是三維簡諧振子的模型，

下面我們模擬真實量子點來了解是否非均勻格點也有同樣的高效率。

(a) (b)

圖 4.2.3、截角金字塔量子點基態能量的收斂情形

(a)能量隨矩陣變大的收斂情形，其中均勻與非均勻均收歛到 0.36eV (b)誤差百分比

模型說明可以參考2.2 小節與第五章結果與討論。這裡的誤差百分比

以基態來講是 − 100%

×

n=1 n=1

E = 0.36eV 計算值

E = 0.36eV ，0.36eV 是矩陣收斂值。

以底部長度為10nm的情況可知使用非均勻格點計算量子點大約比均 勻格點在硬體上效率高三到五倍左右，不同尺寸的量子點只會有微小 的差異，所以大致上非均勻格點的效率在真實量子點的情況也是遠高 於均勻格點。

第五章 結果與討論

我們假設真實量子點形狀近似於截角金字塔形狀，參考文獻[21]

的參數(附錄A)，本章先交代如何得到量子點等效位能，接著是計算 的結果與討論。我們考慮擴散、應變、量子點尺寸等效應後得到量子 點等效位能，將量子點等效位能代入單能帶等效質量Schrödinger

equation(2.1.13)式後得到能階、波函數分布期望值，於是我們得到量

子點尺寸效應、應變效應、材料擴散效應(附錄B)等對能階、波函數 分布期望值的影響。

5.1 截角金字塔形狀量子點

我們固定截角金字塔高h為1.8nm，以b=10nm的量子點為例，

考慮的材料為IncGa1-cAs/GaAs，摻雜 Ga為 25%(即c=0.75)。等效質

量方面m^*_HH =0.5m_e， 和 。圖5.1.1

為我們考慮量子點等效位能的流程圖

* 0.04 ( )

e e

m = m dot m^*_e = 0.066 (m bar_e rier)

919(meV)

電洞為：

h erf error function

( , , ) ( ) ( ) ( )

QD x y z

X′ x y z =C x C y C z⋅ ⋅   (5.1.4)

x( )

C x 與C y_y( )分別為x與y方向的擴散函數(附錄B)，這裡我們令 x

與y方向的擴散長度非常小(即不考慮x與y方向的擴散)。

圖 5.1.2、截角金字塔量子點 z 方向考慮擴散前後特徵函數變化圖

用特徵函數來表示電子與電洞的位能函數(2.2.3)與(2.2.4)式則改寫成 ( , , ) ^barrier ( , , )

c c c QD

V x y z′ =E − Δ × ′E′ X x y z

′

  (5.1.5)

( , , ) ^barrier ( , , )

v v v QD

V x y z′ =E − Δ ×E′ X x y z

圖 5.1.3、截角金字塔量子點 z 方向考慮擴散前後等效位能變化圖

縮小時，由於侷限電子的邊界變小，波函數的分布範圍會相對變小，

但是因為量子點縮小時電子能量會越靠近連續態，電子受到侷限位能 的影響會越微弱，使得電子穿出量子點的機率大增，於是我們看到一 個現象：當量子點小到一定程度時y方向波函數分布範圍不降反升。

從圖5.1.5 可以發現這個現象，其中反轉點受到材料擴散的影響略有

不同，大約在底部長度10到 11奈米之間，參考圖5.1.6 可以猜測波 函數分布反轉現象可能發生在量子點大小限縮電子只剩下基態是束 縛態的情況。由於本篇分析中截角金字塔固定高度為1.8nm，從圖

5.1.5來看 z方向的電子分布穿出量子點十分多，這是由於z 方向厚度

太薄幾乎無法侷限電子的關係，猜測如果增加z 方向的厚度應該可以 看到一樣的反轉現象。在電洞方面，波函數分布在y方向隨著長度減 少而減少，在z 方向大致不變。

圖 5.1.5、量子點尺寸效應、不對稱性與擴散長度對波函數分布的影響 實心：電子 三角形：Ξ=0.98

空心：電洞 圓形：Ξ=0.95 方形：Ξ=0.9

圖5.1.6 與圖5.1.7分別描述電子與電洞的能階，兩者的行為大致相

同，能階受到量子點尺寸效應與材料擴散的影響，量子點尺寸越小侷 限能越小，材料擴散長度越長，不同材料間的混合程度越大，藉由異 質結構產生的侷限能就越小。侷限能越小載子能量就越高。這些現象 都可以很清楚的在下面兩張圖中看到。

圖 5.1.6、量子點尺寸效應、不對稱性與擴散長度對電子能階的影響

圖 5.1.7、量子點尺寸效應、不對稱性與擴散長度對電洞能階的影響

圖5.1.8 顯示當量子點越小時躍遷能量越大，這是由於隨著量子點變 小時，電子與電洞感受到的侷限能都會變小，但是等效質量的不同造 成兩種載子對侷限能變小的反應出現差異。這裡我們電洞的等效質量 大約是電子的10 倍左右，從圖5.1.6可以發現當量子點很小時電子幾 乎只剩下基態存在，但是電洞由於等效質量較重的關係，即使量子點 很小時仍存在很多能態如圖5.1.7，這也就是為什麼當量子點尺寸變 小時躍遷能量會提高的原因。而擴散長度 越大表示異質材料彼此間 混合的程度越大，如此一來藉由異質材料所產生的侷限位能會相對越 小，侷限能小相對地載子能量就會比較大，躍遷能量等於電子能量加 電洞能量加能隙就會大。至於量子點底部的不對稱性影響較小，似乎 與尺寸效應的影響方式相同。

lD

圖 5.1.8、量子點尺寸效應、不對稱性與擴散長度l_D對躍遷能量的影響

第六章 結論

本論文是利用 理論中單能帶有效質量模型配合波包近似法

來計算截角金字塔量子點系統，在數值計算上我們用matlab撰寫了 三維有限差分法的程式，並且使用非均勻網格的技術來增加程式平均 約2~3 倍的效率，即收斂到相同結果時所需記憶體差別2~3倍，依量

來計算截角金字塔量子點系統，在數值計算上我們用matlab撰寫了 三維有限差分法的程式，並且使用非均勻網格的技術來增加程式平均 約2~3 倍的效率，即收斂到相同結果時所需記憶體差別2~3倍，依量

在文檔中 利用有限差分法計算自組式量子點電子結構 (頁 25-0)