K‧P 法

第二章、 K‧P 法與量子點等效位能

2.1 K‧P 法

當電子在週期性位能中，波函數可以表示成 Bloch’s function 的形式，

如(2.1.2)式

的函數。現在我們考慮 Schrödinger

equation，如(2.1.3)式

ˆp= − ∇ih

H0是哈密頓量(Hamiltonian)，將(2.1.2)式代入(2.1.3)式，可得

0 _{n k}, ( ) _n _{n k}, ( )

function 取代 bloch function 中的

QD( )

是 Bloch function 的週期性部分。考慮 (2.1.11)式與(2.1.12)式

, ( ) un k^v rv

後經過計算最後可得到單能帶等效質量 Schrödinger equation

QD 0

( ) ( ) ( )

2 * V r g r Eg r

m m

⎛ ⎞

∇ + =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

h v v v

(2.1.13) 2.2 量子點等效位能

這篇論文中很重要的一部分就是我們如何決定自組式量子點內載子所感受到的位能，或者我們稱之為等效位能。等效位能本身是複雜多變的，包含材料組成、應變效應、壓電效應、庫倫作用力等，我們忽略庫倫作用力的影響，這是由於量子點相對於塊材(bulk)的侷限能很強[17]，尺寸效應(size effect)影響載子能量主要部份。

材料組成可分成兩個部份來討論：量子點形狀、材料擴散(附錄 B)。量子點真實的形狀至今仍無定論，這裡我們以常用的模型做代表，包括截角金字塔形狀量子點以及金字塔形狀量子點。

圖 2.2.1、量子點形狀(a) 方向 (b) 方向 資料來源：J. Marquez, et al, Appl. Phys. Lett. 78, 2309 (2001).[18]

(a)

圖 2.2.3、截角金字塔特徵函數示意圖，虛線表示截角部分

在電洞部份：

我們定義真空階能量為零時，應變會造成量子點的導電帶

(Conduction band edge)變小、價電帶(Valence band edge)變大。計算

等效位能V_{c v}^strain_, (ε_ij)使用的公式[9]。

這裡我們取無窮遠處與量子點中心的能量差作為等效的ΔE′_c，以 b=10nm 的量子點來說Δ =E_c′ 0.41eV，Δ =E_v′ 0.24eV，考慮不同大小的量子點得到圖2.2.7

圖 2.2.7、截角金字塔形狀量子點，組成為 In0.75Ga0.25As/GaAs，應變對 Conduction/Valence band offset 的影響。b 是截角金字塔底的大小，虛線為考慮應變前的 Band offset

圖2.2.7是高1.8(nm)的截角金字塔形狀量子點考慮應變後的侷限位能

變化圖，虛線部分為初始的ΔE_c與ΔE_v，Δ =E_c 775.5(meV)、

，參數細節參考附錄A。 142.3( )

Ev m

Δ = eV

第三章有限差分法

有限差分法是一種離散方法，離散(Discretization)過程本身是用一個插值多項式(Interpolating Polynomial)及其微分來代替偏微分方程的解。首先要把所給方程的求解區域用網格劃分，然後對方程式中的導數(Derivative)進行近似，得到關於網格點上未知函數的線性代數 方程組。

3.1 均勻網格有限差分法

下面我們以Taylor級數展開為基礎，說明空間導數的近似方法，

並給出近似導數精確到任意階精確度的一般方法。

這裡我們先推導一維的結果，三維的結果可以容易從一維的式子

推廣得到。首先從一維、單電子等效質量薛丁格方程式(3.1.1)出發

2 2

* 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2

d x V x x E x

m dx

ψ ψ

− h + =

ψ

(3.1.1)

假設系統的邊界條件為

ψ (0) = 0

，

ψ

(L_x)=0，這裡我們只考慮0 ~ L_x 這個範圍，我們將系統切成N_x + 個格點，每一個格點的間距為1

x / x

x L

Δ = N ，我們定義

ψ

₀

= ψ (0)

、

ψ ψ

₁

= ( Δ

)

、…、

ψ ψ

= (

⋅ Δ

)

、…、

( )

N Nx x Lx

ψ = ψ ⋅ Δ = ψ

圖 3.1.1、一維均勻網格系統示意圖

之間的距離。計算範圍x方向從0 ~ L_x、y方向從0 ~ L_y_、z方向從

將結果代回(3.1.8)式後得到三維、單電子等效質量薛丁格方程式用均

圖 3.1.3、矩陣H( , , )( , , )i j k i j k_{′ ′ ′} (3.1.11)式中非零項的示意圖 3.2 一維非均勻網格有限差分法

由於電腦計算有費時及記憶體限制等問題，相對能取的網格點數

就有所限制，有鑑於此，我們希望能控制網格點的位置以減少計算上不必要的浪費，非均勻網格系統可以幫助我們達到這個目的。首先介紹一維非均勻網格有限差分法。

與3.1 小節介紹的一維均勻網格相同，圖(3.2.1)定義了一維不均

勻網格系統中的網格大小

{

^Δ^xi

}

與網格座標

{ }

xi ，其中Δ =x_i x_i₊₁− 不x_i 再是定值。

圖 3.2.1、一維非均勻網格系統示意圖

也就是說這個矩陣不Hermitian，或我們可以說矩陣不共軛對稱。矩

陣不Hermitian 在表達物理上是有問題的，包含特徵值非實數、特徵

向量彼此間不正交歸一。

雖然矩陣不共軛對稱，但是仍可求得結果，為了維持矩陣對稱性

轉換前與轉換後的波函數關係為

ψ =

⁻

Φ

(3.2.12)

由於B為對稱矩陣且為對角線矩陣，我們可以很簡單的證明L H ′為一對稱矩陣即H ′=H^T，現在我們可以對角化H ′得到特徵值與特徵函數，再透過

Φ ψ =L⁻¹Φ得到波函數

ψ

，於是我們得到(3.1.1)式在一維非均勻網格中完整的解。

為了驗證這個推導的正確性，我們作下面的計算。首先我們使用

一維簡諧振子模型 1 ² ²

V = 2mω x _{當作我們的位能，並令}hω=1eV ^，^如此我們可以簡單算出從基態開始的能量依序為0.5、1.5、2.5…個電子伏特，在所有輸入參數都相同的情況下我們得到圖(3.2.2)

(a) (b)

圖 3.2.2、(a)、(c)模擬簡諧振子( ¹ ² ²

V =2mω x )的能階，(b)、(d)誤差百分比實心：考慮均勻網格三點差分近似方形：計算範圍 Lx=4(nm) 空心：考慮非均勻網格三點差分近似三角形：計算範圍 Lx=8(nm) 這裡誤差百分比的算法以基態來講是 ⁿ⁼¹ − ×100%

n=1

E = 0.5eV 計算值

E = 0.5eV ，從圖

3.2.2我們很容易看出在取相同網格點時非均勻網格差分是比較快收

斂的，這裡我們都是使用三點差分近似作二階導數展開，所以取相同網格點時需要的記憶體是一樣的。同時從圖3.2.2我們也可以看出當計算範圍取大時均勻網格相對不均勻網格收斂性下降的快很多，這是因為非均勻網格只是把最外面的點往外移，但是均勻網格卻要多花很多網格點在不必要的空間裡。這裡我們模擬的是一維簡諧振子的模

型，非均勻網格系統與矩陣對稱的數學轉換也可以用相同的方式推廣

H ′Φ = Φ E

^(3.3.4)

第四章量子點電子結構

本章主要驗證我們用單能帶有效質量理論，在非均勻網格空間中

利用三點有限差分法模擬金字塔形狀量子點，與文獻[2,3,20]比較的結果。之後在相同情況下探討均勻網格與非均勻網格系統收斂性、計算時間、所需記憶體等的差異。

4.1 金字塔量子點

這一小節我們討論金字塔形狀、材料為 InAs/GaAs的量子點，用

文獻[2]的參數作計算，對電子而言我們有束縛位能Δ =E_c 450meV 0.066

e e

m = m

， InAs的等效質量，GaAs的等效質量。並且在計算中我們忽略潤濕層(wetting layer)的部份。得到圖3.2.1 的結果

* 0.04

me = m_e ^*

圖 4.1.1、金字塔型量子點電子能階

圖中我們比較了三篇文獻的結果，大致上得到一樣的結果，以

M.Califano[2]的結果為例，我們的結果與M.Califano 的平均差距大約

3.9 個meV，換算成平均誤差大約0.3%，所以可以知道我們的非均勻網格程式結果是可信的。

4.2 均勻網格與非均勻網格差異

以三維簡諧振子模型 1 ^{2 2}

V = 2mω r _為例，

令hω =1eV ^，如此我們可以簡單算出從基態開始的能量依序為 1.5、 2.5…個電子伏特。這裡我們三個方向的格點數與計算範圍都取相同，在均勻與非均勻的所有輸入參數都相同的情況下我們得到圖 (4.2.1)

圖 4.2.1、簡諧振子( ¹ ^{2 2}

V =2mω r )能階示意圖

(a) (b)

圖 4.2.2、(a)、(c)模擬簡諧振子( ¹ ^{2 2}

V =2mω r )的能階，(b)、(d)誤差百分比實心：考慮均勻網格三點差分近似方形：計算範圍 L=10(nm) 空心：考慮非均勻網格三點差分近似三角形：計算範圍 L=20(nm) 這裡誤差百分比以基態來講是 ⁿ⁼¹ − ×100%

n=1

E = 1.5eV 計算值

E = 1.5eV ^，從圖4.2.1 我們很容易看出在取相同網格點時非均勻網格差分是比較快收斂的，這裡我們都是使用三點差分近似作二階導數展開，所以取相同網格點時需要的記憶體是一樣的。同時從圖4.2.1我們也可以看出當計算範圍取大時均勻網格相對不均勻網格收斂性下降的快很多，這是因為非均勻網格只是把最外面的點往外移，但是均勻網格卻要多花很多網格點在不必要的空間裡。這裡我們模擬的是三維簡諧振子的模型，

下面我們模擬真實量子點來了解是否非均勻格點也有同樣的高效率。

(a) (b)

圖 4.2.3、截角金字塔量子點基態能量的收斂情形

(a)能量隨矩陣變大的收斂情形，其中均勻與非均勻均收歛到 0.36eV (b)誤差百分比

模型說明可以參考2.2 小節與第五章結果與討論。這裡的誤差百分比

以基態來講是 − 100%

n=1 n=1

E = 0.36eV 計算值

E = 0.36eV ，0.36eV 是矩陣收斂值。

以底部長度為10nm的情況可知使用非均勻格點計算量子點大約比均勻格點在硬體上效率高三到五倍左右，不同尺寸的量子點只會有微小的差異，所以大致上非均勻格點的效率在真實量子點的情況也是遠高於均勻格點。

第五章結果與討論

我們假設真實量子點形狀近似於截角金字塔形狀，參考文獻[21]

的參數(附錄A)，本章先交代如何得到量子點等效位能，接著是計算的結果與討論。我們考慮擴散、應變、量子點尺寸等效應後得到量子點等效位能，將量子點等效位能代入單能帶等效質量Schrödinger

equation(2.1.13)式後得到能階、波函數分布期望值，於是我們得到量

子點尺寸效應、應變效應、材料擴散效應(附錄B)等對能階、波函數分布期望值的影響。

5.1 截角金字塔形狀量子點

我們固定截角金字塔高h為1.8nm，以b=10nm的量子點為例，

考慮的材料為IncGa1-cAs/GaAs，摻雜 Ga為 25%(即c=0.75)。等效質

量方面m^*_HH =0.5m_e，和。圖5.1.1

為我們考慮量子點等效位能的流程圖

* 0.04 ( )

e e

m = m dot m^*_e = 0.066 (m bar_e rier)

919(meV)

電洞為：

h erf error function

( , , ) ( ) ( ) ( )

QD x y z

X′ x y z =C x C y C z⋅ ⋅ (5.1.4)

x( )

C x 與C y_y( )分別為x與y方向的擴散函數(附錄B)，這裡我們令 x

與y方向的擴散長度非常小(即不考慮x與y方向的擴散)。

圖 5.1.2、截角金字塔量子點 z 方向考慮擴散前後特徵函數變化圖

用特徵函數來表示電子與電洞的位能函數(2.2.3)與(2.2.4)式則改寫成 ( , , ) ^barrier ( , , )

c c c QD

V x y z′ =E − Δ × ′E′ X x y z

′

(5.1.5)

( , , ) ^barrier ( , , )

v v v QD

V x y z′ =E − Δ ×E′ X x y z

圖 5.1.3、截角金字塔量子點 z 方向考慮擴散前後等效位能變化圖

縮小時，由於侷限電子的邊界變小，波函數的分布範圍會相對變小，

但是因為量子點縮小時電子能量會越靠近連續態，電子受到侷限位能的影響會越微弱，使得電子穿出量子點的機率大增，於是我們看到一個現象：當量子點小到一定程度時y方向波函數分布範圍不降反升。

從圖5.1.5 可以發現這個現象，其中反轉點受到材料擴散的影響略有

不同，大約在底部長度10到 11奈米之間，參考圖5.1.6 可以猜測波函數分布反轉現象可能發生在量子點大小限縮電子只剩下基態是束縛態的情況。由於本篇分析中截角金字塔固定高度為1.8nm，從圖

5.1.5來看 z方向的電子分布穿出量子點十分多，這是由於z 方向厚度

太薄幾乎無法侷限電子的關係，猜測如果增加z 方向的厚度應該可以看到一樣的反轉現象。在電洞方面，波函數分布在y方向隨著長度減少而減少，在z 方向大致不變。

圖 5.1.5、量子點尺寸效應、不對稱性與擴散長度對波函數分布的影響

在文檔中利用有限差分法計算自組式量子點電子結構 (頁 16-0)

第二章、 K‧P 法與量子點等效位能

2.1 K‧P 法

第三章 有限差分法

ψ ψ

ψ

ψ (0) = 0

ψ

ψ

= ψ (0)

ψ ψ

= ( Δ

)

ψ ψ

= (

⋅ Δ

)

( )

( )

ψ = ψ ⋅ Δ = ψ

{

}

{ }

ψ =

Φ

ψ

H ′Φ = Φ E

第四章 量子點電子結構

第五章 結果與討論

第三章有限差分法

第四章量子點電子結構

第五章結果與討論