第五章、 結果與討論
5.1 截角金字塔形狀量子點
我們固定截角金字塔高h為1.8nm，以b=10nm的量子點為例，
考慮的材料為IncGa1-cAs/GaAs，摻雜 Ga為 25%(即c=0.75)。等效質
量方面m*HH =0.5me， 和 。圖5.1.1
為我們考慮量子點等效位能的流程圖
* 0.04 ( )
e e
m = m dot m*e = 0.066 (m bare rier)
919(meV)
電洞為：
h erf error function
( , , ) ( ) ( ) ( )
QD x y z
X′ x y z =C x C y C z⋅ ⋅ (5.1.4)
x( )
C x 與C yy( )分別為x與y方向的擴散函數(附錄B)，這裡我們令 x
與y方向的擴散長度非常小(即不考慮x與y方向的擴散)。
圖 5.1.2、截角金字塔量子點 z 方向考慮擴散前後特徵函數變化圖
用特徵函數來表示電子與電洞的位能函數(2.2.3)與(2.2.4)式則改寫成 ( , , ) barrier ( , , )
c c c QD
V x y z′ =E − Δ × ′E′ X x y z
′
(5.1.5)
( , , ) barrier ( , , )
v v v QD
V x y z′ =E − Δ ×E′ X x y z
圖 5.1.3、截角金字塔量子點 z 方向考慮擴散前後等效位能變化圖
縮小時，由於侷限電子的邊界變小，波函數的分布範圍會相對變小，
但是因為量子點縮小時電子能量會越靠近連續態，電子受到侷限位能 的影響會越微弱，使得電子穿出量子點的機率大增，於是我們看到一 個現象：當量子點小到一定程度時y方向波函數分布範圍不降反升。
從圖5.1.5 可以發現這個現象，其中反轉點受到材料擴散的影響略有
不同，大約在底部長度10到 11奈米之間，參考圖5.1.6 可以猜測波 函數分布反轉現象可能發生在量子點大小限縮電子只剩下基態是束 縛態的情況。由於本篇分析中截角金字塔固定高度為1.8nm，從圖
5.1.5來看 z方向的電子分布穿出量子點十分多，這是由於z 方向厚度
太薄幾乎無法侷限電子的關係，猜測如果增加z 方向的厚度應該可以 看到一樣的反轉現象。在電洞方面，波函數分布在y方向隨著長度減 少而減少，在z 方向大致不變。
圖 5.1.5、量子點尺寸效應、不對稱性與擴散長度對波函數分布的影響 實心：電子 三角形：Ξ=0.98
空心：電洞 圓形：Ξ=0.95 方形：Ξ=0.9
圖5.1.6 與圖5.1.7分別描述電子與電洞的能階，兩者的行為大致相
同，能階受到量子點尺寸效應與材料擴散的影響，量子點尺寸越小侷 限能越小，材料擴散長度越長，不同材料間的混合程度越大，藉由異 質結構產生的侷限能就越小。侷限能越小載子能量就越高。這些現象 都可以很清楚的在下面兩張圖中看到。
圖 5.1.6、量子點尺寸效應、不對稱性與擴散長度對電子能階的影響
圖 5.1.7、量子點尺寸效應、不對稱性與擴散長度對電洞能階的影響
圖5.1.8 顯示當量子點越小時躍遷能量越大，這是由於隨著量子點變 小時，電子與電洞感受到的侷限能都會變小，但是等效質量的不同造 成兩種載子對侷限能變小的反應出現差異。這裡我們電洞的等效質量 大約是電子的10 倍左右，從圖5.1.6可以發現當量子點很小時電子幾 乎只剩下基態存在，但是電洞由於等效質量較重的關係，即使量子點 很小時仍存在很多能態如圖5.1.7，這也就是為什麼當量子點尺寸變 小時躍遷能量會提高的原因。而擴散長度 越大表示異質材料彼此間 混合的程度越大，如此一來藉由異質材料所產生的侷限位能會相對越 小，侷限能小相對地載子能量就會比較大，躍遷能量等於電子能量加 電洞能量加能隙就會大。至於量子點底部的不對稱性影響較小，似乎 與尺寸效應的影響方式相同。
lD
圖 5.1.8、量子點尺寸效應、不對稱性與擴散長度lD對躍遷能量的影響
第六章 結論
本論文是利用 理論中單能帶有效質量模型配合波包近似法
來計算截角金字塔量子點系統，在數值計算上我們用matlab撰寫了 三維有限差分法的程式，並且使用非均勻網格的技術來增加程式平均 約2~3 倍的效率，即收斂到相同結果時所需記憶體差別2~3倍，依量 子點形狀的不同，變化越劇烈效率越高。電腦的設備是2613GHz的 CPU、16GB的實體記憶體和 Linux系統。
k p⋅
本篇論文主要是在討論截角金字塔量子點考慮尺寸、應變、擴散
等效應時電子結構上的差異。在電子方面，應變及擴散效應會使束縛 能量變小。電子能量隨著底部長度減少而增加，波函數分布隨著底部 長度減少出現反轉現象，這是因為隨著量子點變小，電子的基態能量 越來越接近束縛能量，電子穿透量子點束縛的情況顯著。在電洞方面 應變效應會使束縛能量變大，擴散效應會使束縛能量變小。電洞能量 隨著底部長度減少而增加，波函數分布範圍在y方向隨著長度減少而 減少，在z 方向大致不變。以及躍遷能量隨著量子點底部長度變小時 會增大。
在這篇論文的工作中，我們用程式驗證了文獻[2,3,20]的分析，
更進一步考慮量子點的形狀(任何量子點形狀，只要知道對應的特徵
函數如式2.2.2，都可以解出量子點電子結構)、量子點尺寸、應變、
擴散、不對稱性等效應。
本篇論文上有許多影響沒有考慮，例如壓電效應、電子和電洞之
間的庫倫作用力、外加電場或磁場等。還有在本篇論文電洞是用單能 帶理論，如果要更精確可以用四能帶理論或八能帶理論等來計算。
參考文獻
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附錄 A、材料參數[21]
表A.1 In Gac 1−cAs GaAs/ 材料參數
Quantity Unit GaAs InAs Interpolation
CB edge E c meV -5289 -6207 -5289-1380c+461c2
VB edge E v meV -6807 -6620 -6807+200c-14c2
CB effective
mass e
m m0
ac
av
bv
0.067 0.022 0.0667-0.0419c-0.00254c2 CB hydrostatic
def. pot.
meV -8013 -5080 -8013+2933c
VB hydrostatic def. pot.
meV 220 1000 220+780c
VB shear def.
pot. [100]
meV -1824 -1800 -1824+24c
這裡我們採用量子點內部Ga摻雜25%(即c=0.75)，Δ =Ec 775.5(meV)
圖 A.1、(a)Ga 摻雜對 Conduction band offset 的影響 (b)Ga 摻雜對 Valence band offset 的影響
隨著Ga 摻雜越多，載子位能變小，這是由於自組式量子點是藉由不
同材料間能隙的差異來侷限載子，當材料的異質性降低時，自然地侷 限能力就下降了。
附錄 B、擴散現象[13,22]
2
附錄 C、非均勻網格三點差分通式推導
2 2 3 3 4
⎤ ⎡ ⎤
三維非均勻網格有限差分：
(C.17)
2
2
附錄 D、均勻網格多點差分效益比較
2 2
4 2 4
表 D.2、均勻網格系統五點差分近似 Taylor 級數表
道五點甚至更多點差分近似對程式收歛性的提升效益，所以我們實際 使用五點差分近似解三維Schrödinger equation 去了解這件事情。
我們使用三維簡諧振子模型 1 2 2
V =2mω r 當作我們的位能，並令 ω=1eV
h ，如此我們可以簡單算出從基態開始包含簡併態的能量依序 為1.5、2.5、3.5…個電子伏特，在所有輸入參數都相同的情況下我們 得到圖(D.1)
(a) (b)
(c) (d)
圖 D.1、(a)、(c)模擬簡諧振子( 1 2 2
V = 2mω r )的能階，(b)、(d)誤差百分比 虛線：前三個不同的能階漸近線 方形：基態
實心：考慮三點差分近似 圓形：三重簡併第一基發態 空心：考慮五點差分近似 三角形：六重簡併第二基發態
這裡誤差百分比的算法以基態來講是 n=1 − ×100%
n=1
E = 1.5eV 計算值
E = 1.5eV ，從圖
D.1 (a)、(b)我們很容易看出在取相同網格點時五點差分是比較快收斂
的，但是當我們使用五點差分時矩陣的非零項也同時變多了，所以取 相同網格點時三點與五點差分所需要的記憶體是不一樣的，因此我們 現在改對記憶體使用量作圖，從圖D.1 (d)可以大概看出五點差分的誤 差大約比三點差分小一個百分比左右，所以我們可以得到一個簡單的 結論就是以簡諧振子的例子來說五點差分是收斂性稍微好的。
(註:這裡使用的程式語言為matlab，電腦的設備是 2613GHz的CPU、 16GB的實體記憶體和 Linux系統。)